浙江高三高中数学月考试卷带答案解析

浙江高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知集合，则=（）
,或
2.若，则的值为（）
3.设复数z满足关系，那么z等于（）．
4.已知函数在内是减函数, 则（）
5.在中,设是边上的一点,且满足
,,则的值为（）
6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）
7.如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且,
则异面直线与所成角的正切值是（）。

8.已知是双曲线
的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是（）
9.将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是（）
10.下列四个命题中正确的命题序号是（）
①向量共线的充分必要条件是存在实数使成立。

②铁路动车从杭州出发经宁波到福州共有车站，为适应客运需要准备新增个车站，则客运车票增加了
种的必要条件是。

③成立的充分必要条件是。

④已知为全集，则的充分条件是。

②④①②①③③④
二、填空题
1.数列的前项和为,已知,,则 .
2.在中内角所对的边为，已知，则＝ .
3.过点作圆的弦，其中最长的弦长为,最短的弦长为,则
.
4.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数
为．
5.已知点，为坐标原点，点满足,则的最大值是．
6.如图三棱柱中，侧棱与底面成角，⊥底面于，⊥侧面于，且
⊥，，，则顶点到棱的距离是__________．
7.已知函数，且）若实数使得函数在定义域上有零点，则
的最小值为__________．
三、解答题
1.（本题满分14分）已知向量, , .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若, , 且, 求的值。

2.（本题满分14分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．
3.（本题满分14分）如图，已知平面平面=，，且，二面角．
（Ⅰ）求点到平面的距离；
（Ⅱ）设二面角的大小为，求的值．
4.（本题满分15分）过轴上的动点，引抛物线两条切线，为切点。

（Ⅰ）求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）若，设弦的中点为，试求的最小值（为坐标原点）．
5.（本题满分15分）已知函数定义域为(),设.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
(Ⅱ)求证:；
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数 (其中为函数的导函数) .
浙江高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知集合，则=（）
,或
【答案】D
【解析】此题考查集合的运算
解：由题可知可化为，可化为故.
点评：此题需将原集合化简后可清晰得解.
答案：D.
2.若，则的值为（）
【答案】B
【解析】此题考查二项式公式
解：因为是那些展开后的偶次相加所得故
答案：B.
3.设复数z满足关系，那么z等于（）．
【答案】A
【解析】此题考查复数的运算
解：设由得
故，所以，故
答案：A.
4.已知函数在内是减函数, 则（）
【答案】B
【解析】由正弦函数的可知，在内是增函数。

而在内是减函数，所以，而的周期必不小于，所以，故选择B
5.在中,设是边上的一点,且满足
,,则的值为（）
【答案】D
【解析】【考点】向量在几何中的应用．
分析：根据以及共线向量定理，得到= ，在△ABC中，利用向量减法遵循的三角形法则，即可求得λ，μ的值，从而求得λ+μ的值．
解：==(-)=-，
∴λ+μ=0，
故选D．
6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）
【答案】C
【解析】变量的变化如下：
S16311567813906
7.如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且,
则异面直线与所成角的正切值是（）。

【答案】C
【解析】【考点】异面直线及其所成的角；简单空间图形的三视图．
分析：先将三视图转化成空间图形，取AD的中点E，连接BE，PE，CE，将CD平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知∠PBE为异面直线PB与CD所成角，在Rt△PBE中，求出此角的正切值即
可．
解：取AD 的中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 根据题意可知BE ∥CD ，
∴∠PBE 为异面直线PB 与CD 所成角 根据条件知，PE=1，BE=，PE ⊥BE ∴tan ∠PBE=
故选C ． 8.已知
是双曲线
的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是（ ）
【答案】D
【解析】【考点】双曲线的简单性质．
分析：先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点M 的坐标可得，进而求得其中点N 的坐标，代入双曲线方程求得a ，b 和c 的关系式化简整理求得关于e 的方程求得e ． 解：依题意可知双曲线的焦点为F 1（-c ，0），F 2（c ，0） ∴F 1F 2=2c ∴三角形高是 c M （0，
c ）
所以中点N （-
，
c ） 代入双曲线方程得：
-=1
整理得：b 2c 2-3a 2c 2=4a 2b 2 ∵b 2=c 2-a 2
所以c 4-a 2c 2-3a 2c 2=4a 2c 2-4a 4 整理得e 4-8e 2+4=0 求得e 2=4±2 ∵e ＞1， ∴e=+1 故选D
9.将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为
和，则函数
在
上为增函数的概率是（ ）
【答案】D 【解析】略
10.下列四个命题中正确的命题序号是（ ） ① 向量共线的充分必要条件是存在实数使成立。

② 铁路动车从杭州出发经宁波到福州共有车站，为适应客运需要准备新增
个车站，则客运车票增加了
种的必要条件是。

③ 成立的充分必要条件是。

④ 已知为全集，则的充分条件是。

②④ ①② ①③ ③④ 【答案】A
【解析】【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 分析：对于①要知道两非零向量共线的充要条件
对于②此题由题意的新增加的车票总数为A m+n 2-A m 2=58 对于③由式子特点联想三角函数的辅助角公式加以判断
对于④有韦恩图及集合交集并集和补集的概念可以加以判断
解：对于①由不为零向量的两向量共线的充要条件才是存在实数λ使=λ成立，故①错．
对于②由题意得：A m+n 2-A m 2=（m+n ）（m+n-1）-m （m-1）="58" （m ，n ∈N ）?n （2m+n-1）=58?
或
或
或
解值得
或
有必要条件的概念知②正确
对于③有充分必要条件可知取y=1使|2y|≤
成立，但ysinθ-cosθ=2y?sinθ-cosθ=2在θ∈[0，π]上没有θ使
得该式子成立，故③的充要条件错．
有此题义及交集并集和补集概念，由韦恩图可知④正确 故答案为：A
二、填空题
1.数列的前项和为
,已知
,
,则
.
【答案】
【解析】由a 2=2，a n+1=?S n （n=1，2，…），先求出a 1，a 2，a 3，a 4，从而猜想出a n 的值． 解：∵a 2=2，a n+1=?S n （n=1，2，…），
∴a 2=a 1=2， a 3=
(2+2)=2，
a 4=(2+2+2)=2， …
a n =2．
故答案为：2． 2.在中内角
所对的边为，已知，则＝ .
【答案】或
【解析】利用正弦定理可题设中a ，b 和A 的值求得sinB 的值，进而根据B 的范围求得B ． 解：由正弦定理可知：
∴sinB=
∵0＜B ＜180° ∴B=60°或120° 故答案为：60°或120°
3.过点作圆的弦，其中最长的弦长为,最短的弦长为,则 .
【答案】
【解析】先把圆整理成标准方程，求得圆心和半径，判断出点A 在圆内，推断出最长的弦为圆的直径求得a ，最短的是与圆心与A 连线垂直的直线所截得的弦，利用点到直线的距离求得OA ，进而利用勾股定理求得弦长，最后二者相减求得答案．
解：整理圆的方程得（x+1）2+（y-2）2=169，设圆心为O 可知点A 在圆内，则最长的弦为圆的直径a=26， 最短的弦是与圆心与A 连线垂直的直线所截得的弦
OA==12，弦长b=2
∴a-b=26-10=16 故答案为：16
4.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数
为 ．
【答案】
【解析】略 5.已知点
，为坐标原点，点满足,则的最大值是 ．
【答案】
【解析】首先作出点所在的区域，如图的阴影所示. 由得，则；由
得，则
；且
.
因为
，所以
，于是
由图可知，取得最大值有两种可能：点在线段
上或点
在线段
上。

①若点在线段上，则点，则
②若点
在线段
上，则点
，则
，此时
由知当时，取得最大值为
.
6.如图三棱柱
中，侧棱与底面成角，⊥底面于， ⊥侧面于，且
⊥，，，则顶点到棱的距离是__________．
【答案】
【解析】取B 1C 1的中点D ，连接A 1D ，PD ，先证A 、P 、D 、Q 四点共圆，根据余弦定理求出PQ ，再根据正弦定理求出直径AD ，最后证明AD 为顶点A 到棱B 1C 1的距离，即可得到结论． 解：取B 1C 1的中点D ，连接A 1D ，PD ∵侧棱BB 1与底面成60°，A 1A ∥BB 1
∴∠AA 1D=60°
而AQ ⊥底面A 1B 1C 1于Q ，AP ⊥侧面BCC 1B 1于P ∴∠PDQ=120°，∠PAQ=60° ∴A 、P 、D 、Q 四点共圆 则AD 为圆的直径 根据余弦定理可知PQ=
再根据正弦定理可知2R=
∵B 1C 1⊥面AQD ，AD?面AQD ∴B 1C 1⊥AD
则AD 为顶点A 到棱B 1C 1的距离 ∴顶点A 到棱B 1C 1的距离为
故答案为：
7.已知函数
，且
）若实数
使得函数
在定义域上有零点，则
的最小值为__________．
【答案】
【解析】，令
由基本不等式，有：当
时，当时，
①当
时，令
有：
实数
使得函数在定义域上有零点，故
由柯西不等式，有：
即：
的最小值为.
②当时，令
实数
使得函数
在定义域上有零点，
令
有△=
即：
又有方程的两个跟均小于
有：
即：
的最小值为.
综上所述，
的最小值为
.
三、解答题
1.（本题满分14分）已知向量,
,
.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若
,
, 且
, 求
的值。

【答案】（1）（2）
【解析】（Ⅰ）由
得，
，
……７分。

（Ⅱ）由得，，得，。

……分
2.（本题满分14分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）（2）分布列见解析，期望是2
【解析】（Ⅰ）。

……分
（Ⅱ）的分布列为下表……分
的数学期望……分
3.（本题满分14分）如图，已知平面平面=，，且，二面角．
（Ⅰ）求点到平面的距离；
（Ⅱ）设二面角的大小为，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（Ⅰ）如图，作⊥于，⊥于，连接，知，在中，易得，在中，，……7分。

（Ⅱ）如图，在平面内，过点作直线的垂线，垂足为，与直线交于点，易证为二面角的平面角，由已知得，可求得
，，
，……分
4.（本题满分15分）过轴上的动点，引抛物线两条切线，为切点。

（Ⅰ）求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）若，设弦的中点为，试求的最小值（为坐标原点）．
【答案】（1）见解析（2）1
【解析】（Ⅰ）证明（略），定点……分
（Ⅱ）设点坐标为，则＝，由（Ⅰ）直线过定点，设直线方程为代入整理得，设，
则，，当时，最小值为，所以最
小值为。

……分
5.（本题满分15分）已知函数定义域为(),设.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
(Ⅱ)求证:；
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数 (其中为
函数的导函数) .
【答案】（1）（2）见解析（3）当或时，一解；当时，二解。

【解析】(Ⅰ) 函数的导函数，欲使得函数在上为单
调函数，因当时，，当时，，故只要时，恒成立，可得。

…分
(Ⅱ)当时，得或，又时，，时，，时，，所以时，是函数在上的极小值，时，是函数在
上的极大值，当时，有，而，由知，
时由单调性知。

…分
(Ⅲ) 对于任意的，，而
⑴当时，在上单调递减，只要证
，
即且①，由知①显然成立，且有唯一解。

……分
⑵当时，只要证，只要证，显然成立。

当，即时，一解，当即时，
二解
⑶当时，只要证，
即证，显然成立。

当时，即时，二解，当，即，一解。

综合以上，当或时，一解；当时，二解。

……分。