2020-2021学年甘肃省兰州市第四片区九年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年甘肃省兰州市第四片区九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.已知5x=6y(y≠0)，那么下列比例式中正确的是()
A. x
5=y
6
B. x
6
=y
5
C. x
y
=5
6
D. x
5
=6
y
2.x=−1是下列哪个方程的解()
A. x−1=0
B. (x+1)2=0
C. x−1
x
=−2 D. 2x+y=1
3.如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E
和点B，D，F.已知a//b//c，且AC=3，CE=4，则BD
BF
的值是()
A. 3
4
B. 4
3
C. 3
7
D. 4
7
4.一元二次方程x2−6x+5=0配方后可化为()
A. (x−3)2=−14
B. (x+3)2=−14
C. (x−3)2=4
D. (x+3)2=4
5.菱形、矩形、正方形都具有的性质是()
A. 四条边相等，四个角相等
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 两组对边分别平行且相等
6.小明制作了3张卡片，分别涂上了红、黑、蓝三种颜色.从这三张卡片中随机抽取两
张恰好是“红蓝”的概率是()
A. 2
3B. 1
2
C. 1
3
D. 1
6
7.已知△ABC∽△A′B′C′，AB=8，A′B′=6，则BC
B′C′
=()
A. 2
B. 4
3C. 3 D. 16
9
8.已知一元二次方程x2−2x−m=0有两个实数根，那么m的取值范围是()
A. m≤−1
B. m≥−1
C. m>−1
D. m<−1
9.如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交
于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等
于()
A. 3cm
B. 4cm
C. 2.5cm
D. 2cm
10.小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：一直不出“锤
子”.小红、小明获胜的概率分别是P1，P2，则下列结论正确的是()
A. P1=P2
B. P1>P2
C. P1<P2
D. P1≤P2
11.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
且E、F分别为BC、CD的中点，(如图)则∠EAF等
于()
A. 75°
B. 45°
C. 60°
D. 30°
12.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做
涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是()
A. (1+x)2=11
10B. (1+x)2=10
9
C. 1+2x=11
10
D. 1+2x=10
9
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.因式分解法解一元二次方程x2−2x=0，可化为两个一元一次方程，即______ ，
______ ．
14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：
∠EDA=1：2，且AC=10，则EC的长度是______．
15.已知a，b可以取−2，−1，1，2中的任意一个值(a≠b)，则直线y=ax+b经过
第一、二、四象限的概率是______ ．
16.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，
D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为______．
三、解答题（本大题共12小题，共72.0分）
17.解方程：x2−2√2x+1=0．
18.如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF，
DF.求证：BF=DF．
19.李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调
整过来吗？证明步骤正确的顺序是______ ．
20.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，今年某商场销售甲厂家的高档、中档、低档
三个品种及乙厂家的精装、简装两个品种的盒装粽子．现需要在甲、乙两个厂家中各选购一个品种．
(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法求选购方案)；
(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么甲厂家的高档粽子被选中的
概率是多少？
21.已知长度为x−1，2，x+1，3的线段成比例，求x的值．
22.不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1)2x2+x−1=0；
(2)(m−1)x2+2x+3=0(其中x是未知数，且m≠1)．
23.如图，在平面直角坐标系内有两点A(−2,0)，B(1
2
,0)，CB所在直线的方程为y=2x+b，连接AC．
(1)求b的值；
(2)求证：△AOC∽△COB．
24.如图，已知AC//FE//BD，求证：AE
AD +BE
BC
=1．
25.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，
F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，
使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，
求阴影部分图形的周长．
26.某农场要建立一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25m)，另三边用木栏围
成，木栏长40m.设平行于墙的边长为xm，鸡场的面积为S．
(1)试说明S能达到180m2吗？能达到250m2？(参考数据：√10≈3.2)
(2)填表，并通过下表请你表述S与x之间的关系：
x(m)510152025
S(m2)______ ______ ______ ______ ______
27.解方程(x−1)2−5(x−1)+4=0时，我们可以将x−1看成一个整体，设x−1=y，
则原方程可化为y2−5y+4=0，解得y1=1，y2=4.当y=1时，即x−1=1，解得x=2；当y=4时，即x−1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5.
请利用这种方法求下列方程：
(1)(2x+5)2−(2x+5)−2=0；
(2)32x−4×3x+3=0．
28.【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O.AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，
分别交AB，AC于点F，G．
(1)判断△AFG的形状并说明理由；
(2)求证：BF=2OG．
【迁移应用】
(3)记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当S1：S2=1：3时，求AD：AB的
值．
答案和解析1.【答案】B
【解析】解：A、x
5=y
6
，则5y=6x，故此选项错误；
B、x
6=y
5
，则5x=6y，故此选项正确；
C、x
y =5
6
，则5y=6x，故此选项错误；
D、x
5=6
y
，则xy=30，故此选项错误；
故选：B．
比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．
此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．
2.【答案】B
【解析】解：将x=−1分别代入A、B、C、D四个选项中
A、左边=−2≠0=右边，故本选项不合题意；
B、左边=0=右边，故本选项符合题意；
C、左边=2≠−2=右边，故本选项不合题意；
D、左边−2+y≠1=右边，故本选项不合题意；
故选：B．
此题可把x=−1的值，代入选项中，看选项左右边的值是否相等，若相等，则x=−1是方程的解．
此题考查的是一元一次方程的解，可将x的值代入方程，然后观察方程的值是否左边=右边．
3.【答案】C
【解析】解：∵a//b//c，
∴AC
CE =BD
DF
=3
4
，
∴BD
BF =3
3+4
=3
7
，
故选：C．
利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：x2−6x=−5，
x2−6x+9=4，
(x−3)2=4．
故选：C．
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5.【答案】D
【解析】解：A、矩形的四条边可能不相等，菱形的四个角可能不相等，故A不符合题意；
B、菱形的对角线可能不相等，故B不符合题意；
C、矩形的对角线可能不垂直，故C不符合题意；
D、菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，都具有两组对边分别平行且相等的性质，故D符合题意．
故选：D．
根据菱形、矩形、正方形的边、角及对角线的性质逐个选项分析即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，从这三张卡片中随机抽取两张恰好是“红蓝”的结果有2个，
∴从这三张卡片中随机抽取两张恰好是“红蓝”的概率=2
6=1
3
，
故选：C．
先画出树状图，共有6个等可能的结果，随机抽取两张恰好是“红蓝”的结果有2个，然后由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与列树状图法以及概率公式；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴BC
B′C′=AB
A′B′
=8
6
=4
3
．
故选：B．
直接利用相似三角形的性质求解．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比．
8.【答案】B
【解析】解：∵一元二次方程x2−2x−m=0有两个实数根，
∴△=4+4m≥0，
解得：m≥−1．
故选：B．
由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下
关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线定理，是基础题，求出OE 等于菱形边长的一半是解题的关键.先求出菱形的边长AB，再根据菱形的对角线互相平分判断出OE是△ABD的中位线，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半解答．【解答】
解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴边长AB=24÷4=6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴BO=DO，
又∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=1
2AB=1
2
×6=3cm．
故选A．
10.【答案】A
【解析】解：根据题意画出树状图，如图所示：
所有等可能的情况数有6种，其中小红获胜的情况有2种，小明获胜的情况有2种，
则P1=P2=2
6=1
3
，
故选A
根据题意画出相应的树状图，找出小红、小明获胜的情况数，进而求出P1，P2的值，比较即可．
此题考查了列表法与树状图法，概率=所求情况数与总情况数之比．
11.【答案】C
【解析】解：连接AC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，且E、F分别为BC、CD的中点，
∴AB=AC，AD=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴AB=BC=AC，AC=CD=AD，
∴∠B=∠D=60°，
∴∠BAE=∠DAF=30°，∠BAD=180°−∠B=120°，
∴∠EAF=∠BAD−∠BAE−∠DAF=60°．
故选：C．
首先连接AC，由四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，易得△ABC与△ACD是等边三角形，即可求得∠B=∠D=60°，继而求得∠BAD，∠BAE，∠DAF的度数，则可求得∠EAF的度数．
此题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
12.【答案】B
【解析】解：假设股票的原价是1，设平均每天涨x．
则90%(1+x)2=1，
，
即(1+x)2=10
9
故选：B．
股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．
此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理
解：价格上涨x%后是原来价格的(1+x)倍．
13.【答案】x=0x−2=0
【解析】解：∵x2−2x=0，
∴x(x−2)=0，
∴x=0或x−2=0．
故答案为x=0，x−2=0．
利用因式分解法解方程可确定两个一元一次方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
14.【答案】2.5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
AC=5，
∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=1
2
BD=5，
OB=OD=1
2
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DAC=30°，
AC=5，
∴DC=1
2
∴EC=1
DC=2.5．
2
故答案为：2.5．
AC，进根据∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，∠EDA=60°，进而得出DC=1
2
而求得CE的长．
本题主要考查了直接三角形的性质和矩形的性质，根据已知得出∠DAC=30°是解题关键．
15.【答案】1
3
【解析】解：列表如下：
所有等可能的情况数有12种，其中直线y=ax+b经过第一、二、四象限的情况数有4种，
则P=4
12=1
3
．
故答案为：1
3
．
列表得出所有等可能的结果数，找出a与b都为正数，即为直线y=ax+b经过第一、二、四象限的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，以及一次函数图象与系数的关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】2
3
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°−60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°−60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC，
即∠B=∠C，∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴AB
CP =BP
CD
，
∵AB=BC=3，CP=BC−BP=3−1=2，BP=1，
即3
3−1=1
CD
，
解得：CD=2
3
，
故答案为：2
3
．
根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC，
证△BAP∽△CPD，得出AB
CP =BP
CD
，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
17.【答案】解：x2−2√2x+1=0，
∵a=1，b=−2√2，c=1，
∴x=−b±√b2−4ac
2a =2√2±√8−4
2
=√2±1；
∴x1=√2+1，x2=√2−1．
【解析】先找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
此题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程时，将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
18.【答案】证明：∵正方形ABCD，
∴AB=BC=CD=DA，∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠DAC=∠DCA=45°，∠BCA=∠BAC=45°，
∴∠DCA=∠BCA，
在△CDF和△CBF中，
{DC=BC
∠DCF=∠BCF CF=CF
，
∴△CDF≌△CBF(SAS)，
∴DF=BF，即BF=DF．
【解析】根据正方形的性质和全等三角形的判定即可证明．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质．
19.【答案】②④①③
【解析】解：∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，
∵DF//AC，
∴∠A=∠BDF，
∴△ADE∽△DBF．
故答案为：②④①③．
根据相似三角形的判定方法证明即可．
本题考查相似三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)树状图如下：
共有6种选购方案：(高，精)，(高，简)，(中，精)，(中，简)，(低，精)，(低，简)；
(2)因为先选中高档粽子有2种方案，即(高，精)(高，简)，
∴高档粽子被选中的概率是2
6=1
3
．
【解析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
(2)由(1)可求得甲厂家的高档粽子被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查了的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：根据线段成比例可得：(x−1)：2=(x+1)：3，
根据比例的基本性质，得：3(x−1)=2(x+1)，
解得：x=5．
【解析】根据四条线段成比例可得方程解答即可．
本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例得情况分别求解．
22.【答案】解：(1)在方程2x2+x−1=0中，△=12−4×2×(−1)=9>0，
∴方程2x2+kx−1=0有两个不相等的实数根；
(3)在方程(m−1)x2+2x+3=0(其中x是未知数，且m≠1)中，△=4−4(m−
1)×3=16−12m，
当△>0，即16−12m>0时，则m<4
且m≠1时，此时方程(m−1)x2+2x+3=0有
3
两个不相等的实数根．
，此时方程(m−1)x2+2x+3=0有两个相等当△=0，即16−12m=0时，则m=4
3
实数根；
，此时方程(m−1)x2+2x+3=0没有实数根．当△<0，即16−12m<0时，则m>4
3
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=−24<0，由此可得出方程2x2+3=0没有实数根；
(2)分三种情况讨论判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式，牢记“在一元二次方程中，①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程无实数根”是解题的关键．
,0)代入y=2x+b得1+b=0，
23.【答案】解：(1)把B(1
2
解得b=−1；
(2)∵b=−1，
∴直线BC的解析式为y=2x−1，
当x=0时，y=−1，则C(0,−1)，
,0)，C(0,−1)，
∵A(−2,0)，B(1
2
∴OA=2，OC=1，OB=1
2
，
∴OA
OC =OC
OB
=2，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB．
【解析】(1)将B的坐标代入CB的解析式可得b的值，进而可得C的坐标；
(2)根据BC的坐标，易得△AOC与△COD中，对应边的比值相等，再根据OC⊥AB，易得两个三角形相似．
考查了一次函数综合题，相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．充分利用∠AOC=∠COB=90°.此题综合性较强，2个小题的坡度设置较好，区分度也把握地很好．
24.【答案】证明：∵AC//EF，
∴BE
BC =BF
BA
①，
∵FE//BD，
∴AE
AD =AF
AB
②，
①+②，得：BE
BC +AE
AD
=BF
AB
+AF
AB
=AB
AB
=1，
即AE
AD +BE
BC
=1．
【解析】利用平行线分线段成比例定理证明即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
25.【答案】解：根据折叠的性质，得：A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，
则阴影部分图形的周长=矩形的周长=2(10+5)=30．
【解析】根据折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．
本题考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴
影部分的周长．
26.【答案】
1752
150
3752
200
3752
【解析】解：(1)由题意可知，S =x ⋅40−x 2
．
当S =180时，有x ⋅
40−x 2
=180，
整理得：x 2−40x +360=0，
解得：x 1=20+2√10(不合题意，舍去)，x 2=20−2√10； 当S =250时，有x ⋅
40−x 2
=250，
整理得：x 2−40x +500=0，
∵△=(−40)2−4×1×500=−400<0， ∴原方程无实数解， ∴面积不能达到250m 2． (2)当x =5时，S =x ⋅40−x 2
=
1752
；
当x =10时，S =x ⋅40−x 2=150； 当x =15时，S =x ⋅40−x 2=
3752
；
当x =20时，S =x ⋅40−x 2=200； 当x =25时，S =x ⋅40−x 2=
3752
．
故答案为：
1752
；150；3752
；200；3752
．
(1)利用长方形的面积计算公式，可得出S =x ⋅40−x 2
，当S =180时，可得出关于x 的一
元二次方程，解之即可求出x 的值，进而可得出面积能达到180m 2；当S =250时，可得出关于x 的一元二次方程，由根的判别式△=−400<0，可得出原方程无实数解，进而可得出面积不能达到250m 2；
(2)分别将x =5，x =10，x =15，x =20，x =25代入S =x ⋅
40−x 2
，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及代数式求值，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)代入x 的值，求出与之对应的S 值．
27.【答案】解：(1)设2x+5=y，则原方程可化为y2−y−2=0，
∴(y−2)(y+1)=0，
解得y1=2，y2=−1．
当y=2时，即2x+5=2，解得x=−1.5；
当y=−1时，即2x+5=−1，解得x=−3，
所以原方程的解为x1=−1.5，x2=−3；
(2)原方程可变形为(3x)2−4×3x+3=0，
设3x=t，则原方程可化为t2−4t+3=0，
解得t1=1，t2=3．
当t=1时，即3x=1，解得x=0；
当t=3时，即3x=3，解得x=1，
所以原方程的解为x1=0，x2=1．
【解析】根据题意给出的方法以及根据一元二次方程的解法即可求出答案．
本题考查解一元二次方程，换元法解方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
28.【答案】(1)解：如图1中，△AFG是等腰三角形；
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF=∠AHG=90°，
∵AH=AH，
∴△AHF≌△AHG(ASA)，
∴AF=AG，
∴△AFG是等腰三角形．
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(2)证明：如图2中，过点O作OL//AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG，
∵AF=AG，
∴∠AFG=∠AGF，
∵∠AGF=∠OGL，
∴∠OGL=∠OLG，
∴OG=OL，
∵OL//AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴OL
BF =DO
BD
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=2OD，
∴BF=2OL，
∴BF=2OG；
(3)解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°，
∵∠DAK=∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴DK
AD =CD
AC
，
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第23页，共23页 ∵S 1=12⋅OG ⋅DK ，S 2=12⋅BF ⋅AD ，
又∵BF =2OG ，S 1S 2=13， ∴DK AD =23=CD AC ，
设CD =2x ，AC =3x ，则AD =√5x ，
∴
AD AB =AD CD =√52
．
【解析】(1)如图1中，△AFG 是等腰三角形．利用全等三角形的性质证明即可；
(2)如图2中，过点O 作OL//AB 交DF 于L ，则∠AFG =∠OLG.首先证明OG =OL ，再证明BF =2OL ，即可解决问题；
(3)如图3中，过点D 作DK ⊥AC 于K ，则∠DKA =∠CDA =90°，利用相似三角形的性质解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。