2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷(二十六)理科数学

2021届全国卓越名校联盟新高三原创预测试卷（二十六）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A
B =（ ）
A. ()1,2-
B. [1,2)-
C. ()2,1--
D. ()2,3
【答案】B 【解析】 【分析】
化简集合B ,即可求出A
B .
【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥， ∴[]1,3B =-，∴[1,2)A
B =-，故选B.
【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题. 2.设p ：
3
0x x
-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0- B. []2,3
C. ()2,3
D. []1,0-
【答案】C 【解析】 【分析】
解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式
3
0x x
-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，
p 是q 的必要不充分条件，可知20
3a a ->⎧⎨
<⎩
,
所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3. 故选C.
【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题
3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()
()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A.
1
5
B. 5
C. 4
D.
14
【答案】A 【解析】 【分析】
先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.
【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=， 所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，
又()
()a b c a λ+⊥-，所以()
()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=，
解得：15
λ=. 故选：A
【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型. 4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-
，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫
-+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A.
15
B. 15
-
C. 7
5
D. 75
-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知条件,求出sin ,cos θθ,再利用诱导公式化简所求式子,即可得出结果. 【详解】∵sin 4
tan cos 3
θθθ=
=-，()0,θπ∈，sin 0θ>， cos 0θ<，又∵22sin cos 1θθ+=，
∴4
sin 5θ=
，3cos 5
θ=-， 37sin cos cos sin 225ππθθθθ⎛⎫⎛⎫
-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选C.
【点睛】本题考查同角间的三角函数关系,以及诱导公式,属于基础题.
5.曲线()2
ln f x x x x =+在点()()
1,1f 处的切线与直线10x ay --=平行，则a =（ ）
A.
1
3
B.
12
C. 1
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
求出()1f '，即为切线的斜率，可求出a . 【详解】因为()2
ln f x x x x =+，
所以()'2ln 1f x x x =++，因此， 曲线()2
ln f x x x x =+在()()
1,1f 处
的切线斜率为()'1213k f ==+=， 又该切线与直线10x ay --=平行，
所以
1
3a
=，∴13a =.
故选A.
【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题.
6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若1232a a a ++=，639S S =，则9S =（ ） A. 50 B. 100 C. 146 D. 128
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知条件，先求出6S ，再应用等比数列前n 项和为n S 的性质，即可求出结果. 【详解】由题意得∵31232S a a a =++=，63918S S ==， ∴6318216S S -=-=，根据等比数列的性质可 知，3S ，63S S -，96S S -构成等比数列， 故()()2
63396S S S S S -=-，∴96128S S -=， 故96128146S S =+=. 故选C.
【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质，对等比数列的性质的熟练掌握是解题的关键，属于基础题.
7.已知函数())
ln f x x =，设()3log 0.1a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =，则
（ ） A. a b c >>
B. b a c >>
C. c a b >>
D.
c b a >>
【答案】D 【解析】
先判断()f x 的奇偶性，再证明单调性，判断出,,a b c 对应自变量的大小关系，利用()f x 单调性比，即可得出答案. 【详解】∵(
))
ln
f x x =，∴(
))
ln
x f x =-
，∴()()0f x f x +-=，∴()()f x f x -=-， ∴函数()f x 是奇函数，∴当0x ≥时，易得
(
))
ln
f x x =为增函数，
故()f x 在R 上单调递增，
∵3log 0.10<，0.2031-<<， 1.133>， ∴()()()1.1
0.2
3
3
3log
0.1f f f ->>，∴c b a >>.
故选D
【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及单调性的应用，困难在于要想到证明函数奇偶性，属于中档题.
8.关于函数()sin f x x x =+，下列说法错误的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 是周期函数
C. ()f x 有零点
D. ()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
【答案】B 【解析】 【分析】
根据奇偶性定义可判断选项A 正确；依据周期性定义，选项B 错误；()00f =，选项C 正确；求()f x '，判断选项D 正确.
详解】()()sin f x x x f x -=--=-， 则()f x 为奇函数，故A 正确；
根据周期的定义，可知它一定不是周期函数，
因为()00sin00f =+=，()f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上有零点，故C 正确；
由于()'1cos 0f x x =+≥，故()f x 在(),-∞+∞ 上单调递增，故D 正确. 故选B.
【点睛】本题考查函数的性质，涉及到奇偶性、单调性、周期性、零点，属于基础题. 9.已知偶函数()f x 的图象经过点()1,3--，且当0a b ≤<时，不等式()()
0f b f a b a
-<-恒成立，
则使得(2)30f x -+<成立的x 的取值范围为（ ） A. ()3,+∞
B. ()1,3
C. ()(),13,-∞⋃+∞
D. []1,3
【答案】C 【解析】 【分析】
先由题意，得到点()1,3-也在函数图象上，函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，将不等式化为
(|2|)(1)-<f x f ，根据函数单调性，即可得出结果.
【详解】根据题意，()f x 为偶函数， 且经过点()1,3--，则点()1,3-也在函数图象上， 又当0a b ≤<时，不等式
()()
0f b f a b a
-<-恒成立，
则函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，
因为(2)30f x -+<，所以(2)3(|2|)(1)|2|1f x f x f x -<-⇒-<⇒-> 解得1x <或3x >. 故选：C
【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.
10.已知实数
x ，y 满足不等式组210
x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩
，目标函数1
3y z x +=+的最大值是（ ）
A.
23
B.
49
C.
59
D.
13
【答案】D 【解析】 【分析】
作出可行域，利用目标函数的几何意义，即可求出目标函数最大值.
【详解】不等式组210x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域如图所示：
1
3
y z x +=
+表示过可行域内的点(),x y 与 点()3,1M --的直线的斜率的最大值，
由2010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得31,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭， 这时()()1
1123
332
MA k --==--， 故目标函数1
3y z x +=+的最大值是13
.
故选D.
【点睛】本题考查非线性目标函数最优解，对目标函数的几何意义理解是解题的关键，属于基础题.
11.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若3b =ABC ∆的面积为
)
22
2=+-S a c b ，则a c +的最大值为（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到
1sin cos 22
ac B ac B
=-，求出23B π=，再
由(2
22222cos ()==+-=+-b a c ac B a c ac ，结合基本不等式，即可求出结果.
【详解】由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-
，又)
22
2=+-S a c b ，
1sin cos 2∴=ac B B
，因此tan B =23B π=.
所以(22
2
2
2
2
2
2()3
2cos ()()()44
+==+-=+-+-=+a c b a c ac B a c ac a c a c ，
即
223
()(23)4
a c + 2()16a c ∴+，即4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，故a c +的最大值为4.
故选：D
【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.
12.已知函数()27
ln ,0
2,0x x x x f x x x ⎧->⎪=⎨⎪-≤⎩
，令函数()()32g x f x x a =--，若函数()g x 有两
个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 9,16e ⎛⎫
⎪⎝⎭
B. (),0-∞
C. ()9,0,16e ⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
D. ()
9,0,16e ⎡⎤
-∞⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【解析】 【分析】
构造新函数
()()22ln ,0332,02x x x x F x f x x x x x ->⎧⎪
=-=⎨--≤⎪⎩
，问题转化为()y F x =与y a =有两个
交点，作出()F x ，利用数学结合思想，即可求得结果.
【详解】令()()22ln ,0332,02x x x x F x f x x x x x ->⎧⎪
=-=⎨--≤⎪⎩
，
当0x >时，函数()()'2ln 11ln F x x x =-+=-， 由()'0F x >得1ln 0x ->得ln 1x <，得0x e <<， 由()F'0x <得1ln 0x -<得ln 1x >，得x e >， 当x 值趋向于正无穷大时，y 值也趋向于负无穷大， 即当x e =时，函数()F x 取得极大值，极大值为
()2ln 2F e e e e e e e =-=-=，
当0x ≤时，()2
2
3392416x x x x F ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝
⎭， 是二次函数，在轴处取得最大值
9
16
，作出函数 ()F x 的图象如图：
要使()F x a =（a 为常数）有两个不相等的实根， 则0a <或
9
16
a e <<，即若函数()g x 有两个不同零点，
实数a 的取值范围是()9,0,16e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
． 故选C.
【点睛】本题考查函数的零点，构造新函数，转化为两个函数的交点，考查数行结合思想，作出函数图像是解题的关键，属于较难题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若()y f x =是偶函数，当0x >时，()31x
f x =-，则3
1log 2f ⎛⎫
⎪⎝⎭
=.______. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.
【详解】因为0x >时，()31x
f x =-，且函数()y f x =是偶函数，
所以()()3log 2
3
331log log 2log 23112⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭
f f f . 故答案为：1
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型.
14.若关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3，则a =_______. 【答案】3-或2 【解析】 【分析】
先由题意得到关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3，进而可求出结果. 【详解】因为关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3， 所以关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3， 所以有2236a a +=⨯=，解得：3a =-或2a =. 故答案为：3-或2
【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型.
15.设
D 为ABC ∆所在平面内一点，4BC CD =，若2
4
AD AB AC λ
μ
=
+
，则
λμ+=__________.
【答案】
92
【解析】 【分析】
先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到15
44
AD AB AC =-
+，再由题意确定λμ，的值，即可得出结果.
【详解】如图所示，由4BC CD =，可知，B 、C 、D 三点在同一 直线上，图形如右:
根据题意及图形，可得:
1115
()444
4=+=+=+-=-+AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC ，2
4
AD AB AC λ
μ
=
+
，
124544
λ
μ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得: 125λμ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则19522λμ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭
故答案为：
9
2
【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型. 16.下列命题中：
①已知函数()21y f x =+的定义域为[]0,1，则函数()y f x =的定义域为[]1,3；
②若集合{
}
2
|40A x x kx =++=中只有一个元素，则4k =±； ③函数1
12y x
=
-在(),0-∞上是增函数； ④方程()22log 21x
x =++的实根的个数是1.
所有正确命题的序号是______（请将所有正确命题的序号都填上）. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】
对于①根据复合函数()21y f x =+与函数()y f x =自变量的关系，即可判断为正确； 对于②等价于方程有等根，故0∆=，求出k 的值为正确；对于对于③，可化为反比例函数，根据比例系数，可判断为正确；对于④，作出2x
y =，()2log 21y x =++的图象，根据图
像判断两函数有两个交点，故不正确.
【详解】对于①，因为函数()21y f x =+的定义域 为[]0,1，即01,1213x x ≤≤∴≤+≤， 故()y f x =的定义域应该是[]1,3，故①正确； 对于②，2160k ∆=-=，故4k =±，故②正确；
对于③，1
1
21
122
y x x -
=
=--的图象由反比例函数 1
2y x
-
=向右平移12
个单位，故其单调性与
函数1
2y x
-
=单调性相同，故可判定112y x
=- 在(),0-∞上是增函数，③正确； 对于④，在同一坐标系中作出2x
y =，
()2log 21y x =++的图象，由图可知有两个交点.
故方程的实根的个数为2，故④错误.
故答案为①②③.
【点睛】本题考查复合函数的定义域、函数的单调性、集合的元素、方程零点问题，要求全面掌握函数的性质，较为综合.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.已知命题:[2,1]p x ∀∈--，不等式2
a x x
<
-恒成立；命题q :函数[1,)x ∀∈+∞，21
41--x a x
； (1)若命题p 为真，求a 的取值范围；
(2)若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1a <-；（2）(),1-∞-. 【解析】 【分析】
（1）根据p 为真，得到[2,1]x ∈--时，
min
2a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭即可，根据函数单调性，求出2
=-y x
x 的最小值，进而可求出结果； （2）若q 为真命题，根据题意得到2max
141x a x ⎛⎫--
⎪⎝⎭，由函数单调性，求出1
y x x =-在
[1,)+∞上的最大值，进而可求出结果.
【详解】(1) 若p 为真，即[2,1]x ∀∈--，不等式2
a x x
<-恒成立; 只需[2,1]x ∈--时，min
2a x x ⎛⎫
<-
⎪⎝⎭即可，
易知：函数2=-y x x 在[2,1]--递减，所以2
=-y x x
的最小值为1-， 因此1a <-.
(2)若q 为真命题，则2max
141x a x ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭， 易知：1
y x x
=
-在[1,)+∞上单调递减，所以min 0y =； 因此2410a -，故12
-a 或1
2a ，
因为命题p q ∧是真命题，所以p ，q 均为真命题，故a 满足112a a <-⎧⎪
⎨-⎪⎩
或1
12a a <-⎧⎪⎨≥⎪⎩
解得：1a <-，
因此实数a 的取值范围是(),1-∞-.
【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.
18.已知函数2()sin 2cos 1,264x x f x x π⎛⎫=--+∈ ⎪
⎝⎭
R (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的最小值，并求出取得最值时x 的值. 【答案】(1)4π,5114,4()63k k k ππππ⎡⎤++∈
⎢
⎥⎣⎦
Z ；(2) 最小值为， 3x π=
. 【解析】 【分析】
（1）先将函数解析式化简整理，得到()23π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
x f x ，根据正弦函数的周期与单调
区间求解，即可得出结果； （2）由2,33x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦得,0236x ππ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦
，根据正弦函数的性质，即可得出结果.
【详解】(1)因为2()sin 2cos 1sin cos cos sin cos 26426262x x x x x f x πππ⎛⎫
=--+=--
⎪⎝⎭
3cos 222223x x x π⎛⎫
=
-=- ⎪⎝⎭
所以函数()f x 的最小正周期为2412
T π
π=
=. 由322,2232x k k k ππππ
π+-+∈Z ，得51144,33
ππ
ππ++∈k x k k Z 故函数()f x 的单调递减区间为5114,4()33ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
k k k Z .
(2)因为2,,,033236x x ππππ⎡⎤⎡⎤
∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
所以当
236
x ππ-=-即3x π=时，min ()36f x f ππ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以函数
()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为，此时3x π=. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.
19.已知二次函数()f x 满足()()1f x f x =-，()20f =，且0为函数()()2g x f x =-的零点.
（1）求()f x 的解析式；
（2）当[]0,1x ∈时，不等式()f x x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()2
2f x x x =-++ （2）3m >
【解析】 【分析】
（1）根据已知条件可得()
f x 对称轴方程，结合()20f =，(0)2f =，即可求出()f x ;
（2）从不等式中分离m ，不等式恒成立转为m 与函数的最值关系，即可求出结果. 【详解】（1）设()()2
0f x ax bx c a =++≠，
由题意可知，()()1f x f x =-， 得到1
22
b a -
=，即得到=-a b ， 又因为0是函数()()2g x f x =-的零点， 即0是方程220ax bx c ++-=的根， 即满足20c -=，得2c =，又∵()20f =， ∴4204220a b c a b ++=⇒++=，
∵4220a b a b =-⎧⎨++=⎩，∴11a b =-⎧⎨=⎩
，
∴()2
2f x x x =-++.
（2）当[]0,1x ∈时，()f x x m <-+恒成立， 即222m x x >-++恒成立；
令()()2
22213h x x x x =-++=--+，[]0,1x ∈，
则()()max 13h x g ==， ∴3m >.
【点睛】本题考查用待定系数法求解析式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，属于中档题题.
20.已知数列{}n a 是等差数列，23a =，56a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S -=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）记2
1n n n n n
a c a a
b ++=
⋅⋅中，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）1n a n =+，2n
n b = （2）()
11
222n n T n =
-⋅+ 【解析】 【分析】
对于{}n a 根据已知条件求出公差，即可求得通项；对于{}n b 利用已知前n 项和n S 与通项关系，
可求得通项n b ；
（2）根据{}n c 的通项公式，用裂项相消法，可求出{}n c 的前n 项和n T .
【
详解】（1）由已知得11
3
46a d a d +=⎧⎨+=⎩，
解得12a =，1d =，所以1n a n =+， 当1n =时，1122b b -=，∴12b =
112,22,22n n n n n b S b S --≥-=-=当时，
两式相减得12n n b b -=,
11
2,0,2n
n n b b b b -=∴≠∴
= {}n b ∴以2为首项公比为2的等比数列，
2n n b ∴=.
（2）由（1）知，所以()()
3
212n n n c n n +=
⋅+⋅+
()()
111
2122n n n c n n -⇒=
-⋅+⋅+
()()01122311
11111112223232424252122n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴()
11
222n n T n =
-⋅+. 【点睛】本题考查等差、等比数列的通项，考查已知前n 项和求通项，以及求数列的前n 项和，属于中档题. 21.已知函数()()()2
11ln 2
ax a f x x x a R =-
++-∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）当0a >时，求函数()f x 的单调区间；
（3）当0a =时，设函数()()g x xf x =，若存在区间[]1,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭
，使得函数()g x 在
[],m n 上的值域为()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦，求实数k 的最大值.
【答案】（1）()min 1f x = （2）答案不唯一，见解析 （3）9ln 4
10
+ 【解析】 【分析】
（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；
（2）求导，对a 分类讨论，可求出函数()f x 的单调区间；
（3）求出()'g x ，通过分析()''g x ，可得到()g x 在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
增函数，从而有
()()()22,()22g m k m g n k n =+-=+-，转化为()()22g x k x =+-在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上至少有
两个不同的正根1,2m n m n ⎛
⎫>≥
⎪⎝
⎭，()22g x k x +=+，转化为()22
g x y x +=+与y a =1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭至少有两个交点，即可求出实数k 的最大值.
【详解】（1）当0a =时，()()ln 0f x x x x =->， 这时的导数()1
'1f x x
=-， 令()'0f x =，即1
10x
-
=，解得1x =， 令()'0f x >得到1x >， 令()'0f x <得到01x <<，
故函数()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增； 故函数()f x 在1x =时取到最小值， 故()()min 11f x f ==； （2）当0a >时，函数()()2
11ln 2
ax x f x x a -
++-=
导数为()()()1111'x ax ax a x f x x
--=-++-
=-， 若1a =时，()'0f x ≤，()f x 单调递减， 若1a >时，
1
1a
<， 当1x >或1
0x a
<<
时，()'0f x <， 当
1
1x a
<<时，()'0f x >， 即函数()f x 在区间10,
a ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，()1,+∞上单调递减， 区间1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增. 若01a <<时，1
1a
>， 当1
x a
>
或01x <<时，()'0f x <， 当1
1x a
<<
时，()'0f x >， 函数()f x 在区间()0,1，1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递减， 在区间11,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增.
综上，若1a =时，函数()f x 的减区间为()0,∞+，无增区间， 若1a >时，函数()f x 的减区间为10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞，增区间为1,1a ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 若01a <<时，函数()f x 的减区间为()0,1，1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
，增区间为1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
（3）当0a =时，设函数()()2
ln g x xf x x x x ==-. 令()'2ln 1g x x x =--，()()121
''20x g x x x x
-=-
=>，
当1
2
x ≥
时，()''0g x ≥，()'g x 为增函数， ()1''ln 202g x g ⎛⎫
≥=> ⎪⎝⎭
，()g x 为增函数，
()g x 在区间[]1
,,2m n ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭
上递增，
∵()g x 在[],m n 上的值域是()()22,22k m k n +-+-⎡⎤⎣⎦， 所以()()22g x k x =+-在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上至少有两个不同
的正根1,2m n m n ⎛⎫>≥
⎪⎝
⎭，()22
g x k x +=+， 令()2ln 2
2
x x x x F x =-++，求导得，()()22
32ln 2'4x x x x F x +--=+， 令()2
132ln 42G x x x x x ⎛⎫=+--≥
⎪⎝⎭
， 则()()()21'221232x x x x x x G x -+⎛⎫=+-
=≥ ⎪⎝⎭
， 所以()G x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
递增，102G ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，()10G =， 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，()0G x <，∴()F'0x <， 当[)1,x ∈+∞，()0G x >，∴()'0F x >， 所以()F x 在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上递减，在[
)1,+∞上递增，
∴()121F k F ⎛<≤⎫
⎪⎝⎭，∴9ln 41,10k +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
， ∴k 的最大值为
9ln 410
+. 【点睛】本题考查函数的极值最值、单调性、值域、零点问题，其实质就是应用求导方法研究函数性质，关键是能结合题意构造函数，是一道综合题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为
: 1(x y ααα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=
∈R . (1)求1C 的极坐标方程；
(2)若直线2C 与曲线1C 相交于M ，N 两点，求MN .
【答案】(1) 2
2cos 40ρρθ--=；
(2)【解析】
【分析】
（1）根据曲线1C 的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；
（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入()2215x y -+=，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】(1)曲线1C 的参数方程为
: 1(x y ααα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)， 转换为普通方程为: ()2
215x y -+=，
转换为极坐标方程为: 22cos 40ρρθ--=. (2)直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .转换为参数方程为
: x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
(t 为参数). 把直线的参数方程代入22(1)5x y -+=，
得到
: 240t --=，(1t 和2t 为M ，N 对应的参数)，
故
: 12t t +124t t ⋅=-， 所以
12||MN t t =-=
=
【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.
23.已知()|1||1|f x x ax =+++.
(1)当1a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
(2)若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1) 33,,2
2⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(,2][0,)-∞-⋃+∞. 【解析】
【分析】
（1）先由1a =-得|1||1|3++-≥x x ，分别讨论1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况，即可得出结果；
（2）先由题意，得到当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x -
或0a ≥恒成立，进而可求出结果.
【详解】(1)当1a =-时，不等式()3f x ≥可化简为|1||1|3++-≥x x .
当1x <-时，113x x --+-≥，解得32x -
，所以32x - 当11x -≤<时，113x x ++-≥，无解；
当1x ≥时，113x x ++-≥，解得32x ≥，所以32
x ≥； 综上，不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
； (2)当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax +≥.
由不等式的性质得11ax +≤-或11ax +≥，
即2ax ≤-或0ax ≥. 当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x
-
或0a ≥恒成立; 则2a ≤-或0a ≥.
综上，所求a 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞.
【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分
类讨论法求解即可，属于常考题型.。