2.1.1椭圆及其标准方程练习题及答案
2.1.1 椭圆及其标准方程
（3）已知两圆 C1：(x－4) ＋y ＝169，C2：(x＋
2 2
2
2
4) ＋y ＝9，动圆和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，求 动圆圆心的轨迹方程．
解：如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M
和内切于圆 C1， ∴|MC1|＝13－r. 圆 M 外切于圆 C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的 定义
距离之和等于常数
(大于| F1F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点 两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞| F1F2|}
焦点 焦距 集合语
言
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
解： 设圆 P 的半径为 r ，又圆 P 过点 B ， ∴ |PB| ＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系 xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c ＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点 A
的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 15 5 y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞ b＞ 0)．依题 a b
2.1.1椭圆及其标准方程——整理
2
10 ， b
2
2
6.
10
x
6
1 .
1.求椭圆标准方程的关键： 先定“位”，即确定焦点的位置； 再定“量”，即求 a、b 的大小 .
2.求椭圆标准方程的主要方法有：
①定义法：用定义寻找a,b,c的方程； ②待定系数法：设方程，代入计算出待定字 母的值.
课堂小结：
1.椭圆的定义 2.会由椭圆方程求a、b、c 3.求椭圆方程的两种方法： 定义法、待定系数法
x m
2 2
y m
2
2
1
（ 1 m 0)
练习： 2、填空：
x
2
已知椭圆的方程为： 25 ， 16 4 则a=_____ ，c=_______ ， 5 ，b=_______ 3 (3,0)、(-3,0) 焦距等 焦点坐标为：____________ 于______. 6
y
2
1
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是 (-4，0)、(4，0)，椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于10 ； （2）两个焦点的坐标分别是 (0 ， -2)、(0 ， 2)，并且椭圆经 过点 ( - 3 ，5 ) .
2 , 则 m 的值为
5或 3
x a
2 2
y b
2 2
1
(a
b 0)
x b
2 2
y a
2 2
1
(a
b 0)
例3：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点
距离之和是10的点的轨迹方程。 解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用 F1、
F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平 分线为y 轴建立直角坐标系。 ∵2a=10 2c=8 ∴a=5
2.1,1椭圆的定义与标准方程
♦再认识！
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
(2)当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为
y2 x 2 2 1 (a>b>0). 2 a b 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) a , 依题意,知 3 3 1, ⇒ 4 2 2 a b 1 2 b . 1 2 ( ) 5 2 1 2 a y2 x 2 1. 故所求椭圆的标准方程为 1 1 4 5
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) 3 x 2 y 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 1(6) 2 24 k 16 k m m 1
M xx x
O
M
O F2
x F1
x
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
y
设P (x, y)是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值 2a(2a>2c)
2.1.1椭圆的定义及标准方程的应用25
※高二文科班数学课堂学习单25※班级 姓名 小组2.1.1椭圆的定义及标准方程的应用一，学习目标:1、 熟练掌握椭圆的定义2、 正确利用焦三角形解题 二，自学导航：[ 1 ] 如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．再思考：若将“∠PF 1F 2＝120°”，改为“∠F 1PF 2＝60°”，其它条件不变，如何求解？ 在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系式： (1)由椭圆的定义可得|PF 1|，|PF 2|的关系式；(2)利用正余弦定理或勾股定理可得|PF 1|，|PF 2|的关系式，然后求解得|PF 1|，|PF 2|，有时也根据需要，把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|等看成一个整体来处理．2，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴的交点为A 1，A 2，P 是椭圆上任一点，F 是它的一个焦点，证明：以线段PF 为直径的圆与以线段A 1A 2为直径的圆相切．注意：判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系． 4，我生成的问题：三，我的收获：1，本节课的知识结构、学到的方法、易错点四，课堂检测：1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．82．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________．∠F 1PF 2的大小为________．3．若P 为椭圆x 29＋y 25＝1上任意一点，F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，求|PF 1|·|PF 2|的最大值．4．设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知△PF 1F 2为直角三角形，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． ,五，作业※高二文科班数学课堂学习单25※班级 姓名 小组2.1.1椭圆的定义及标准方程的应用一，学习目标: 3、 4、二，自学导航：[ 1 ] 如图所示，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． [解] 由已知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|， ① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|. ② ②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335. 即△PF 1F 2的面积是353.若将“∠PF 1F 2＝120°”，改为“∠F 1PF 2＝60°”，其它条件不变，如何求解？ 解：由已知a ＝2，b ＝3， ∴c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，∴4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°. ∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin 60°＝12×4×32＝ 3.[悟一法]在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系式：(1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的关系式；(2)利用正余弦定理或勾股定理可得|PF1|，|PF2|的关系式，然后求解得|PF1|，|PF2|，有时也根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理．2，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与x轴的交点为A1，A2，P是椭圆上任一点，F是它的一个焦点，证明：以线段PF为直径的圆与以线段A1A2为直径的圆相切．[巧思]判断两圆的位置关系，即判断两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系．若M为PF的中点，则圆心距为|OM|.[妙解]由椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)知，以线段A1A2为直径的圆为x2＋y2＝a2.设F1是椭圆的另外一个焦点，点M是线段PF的中点，则|MO|＝12|PF1|＝12(2a－|PF|)＝a－12|PF|.即以线段A1A2为直径的圆(圆心为O)与以线段PF为直径的圆(圆心为M)的圆心距等于两圆的半径之差，于是两圆相切．,4，我生成的问题：三，我的收获：1，本节课的知识结构2，本节课我学到的方法3，本节课的易错点四，课堂检测：3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：∵焦距为4，∴2c ＝4，c ＝2 ∴m －2－(10－m )＝c 2＝4 ∴2m －12＝4，m ＝8. 答案：D4．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________．∠F 1PF 2的大小为________．解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4知|PF 2|＝2， 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°. 答案：2 120°5．若P 为椭圆x 29＋y 25＝1上任意一点，F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则|PF 1|·|PF 2|的最大值为________．解析：由题意知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，于是|PF 1|＋|PF 2|＝6，|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9∴当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝3时，|PF 1|·|PF 2|取最大值9. 答案：9[通一类]3．设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知△PF 1F 2为直角三角形，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． 解：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5. 根据直角位置不同，分两种情况：①若∠PF 2F 1＝90°，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＝|PF 2|2＋20|PF 1|＋|PF 2|＝6，∴有⎩⎨⎧|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72. ②若∠F 1PF 2＝90°，则⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2 ∴|PF 1||PF 2|＝2. 综上所述，|PF 1||PF 2|的值为72或2.,五，作业一、选择题1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23， ∴c ＝ 3.又2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝2 3.∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：B2．设集合A ＝{1，2，3，4}，m ，n ∈A ，则方程x 2m ＋y 2n ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的个数是( )A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个解析：由题意知m >n . 当m ＝2时，n ＝1当m ＝3时，n ＝1，2 当m ＝4时，n ＝1，2，3 ∴共有6个． 答案：A3．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的焦距为6，则m 的值为( )A ．7B ．7或25C ．25D.7或5解析：①设a 2＝16，b 2＝m ，∴c 2＝16－m ，∴16－m ＝9，∴m ＝7；②设a 2＝m ，b 2＝16，则c 2＝m －16，∴m －16＝9，∴m ＝25.答案：B4．已知圆x 2＋y 2＝1，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为P ′，则PP ′的中点M 的轨迹方程是( )A ．4x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 214＝1C.x 24＋y 2＝1D ．x 2＋y 24＝1解析：设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x ＝x 02，y ＝y 0.∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 20＋y 20＝1.①将x 0＝2x ，y 0＝y 代入方程①，得4x 2＋y 2＝1. 答案：A 二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________． 解析：由椭圆方程x 225＋y 29＝1知，a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，即点A (－4，0)和C (4，0)是椭圆的焦点．又点B 在椭圆上，∴|BA |＋|BC |＝2a ＝10，且|AC |＝8.于是，在△ABC 中，由正弦定理，得sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝54.答案：546．椭圆的两焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3， 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝17．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于________．解析：如图，设椭圆的右焦点为F 2，则由|MF 1|＋|MF 2|＝10，知|MF 2|＝10－2＝8.又因为点O 为F 1F 2的中点，点N 为MF 1的中点， 所以|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：48．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________．解析：由椭圆的方程可知F 1的坐标为(－3，0)， 设P (－3，y )，把P (－3，y )代入椭圆的方程中，得|y |＝12，即|PF 1|＝12.根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 故|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.答案：72三、解答题9.如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程，并判断此曲线的类型．解：设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.该曲线表示椭圆．10．在直线l ：x －y ＋9＝0上取一点P ，过点P 以椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为焦点作椭圆．(1)P 点在何处时，所求椭圆长轴最短； (2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F 1(－3，0)、F 2(3，0)．设点F 1(－3，0)关于直线l 的对称点F ′1的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0＋3＝－1，x 0－32－y2＋9＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－9，y 0＝6， ∴F ′1(－9，6)． 则过F ′1和F 2的直线方程为y －6－6＝x ＋93＋9， 整理得x ＋2y －3＝0联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x －y ＋9＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝4， 即P 点坐标为(－5，4)(2)由(1)知2a ＝|F ′1F |＝180，∴a 2＝45. ∵c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝36. ∴所求椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.。
原创3：2.1.1 椭圆及其标准方程
【规律方法】 1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭 圆的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c， a＞0，c＞0，且 a、c 为常数． 当 a＞c 时，集合 P 为椭圆上点的集合； 当 a＝c 时，集合 P 为线段上点的集合； 当 a＜c 时，集合 P 为空集． 因此，只有|F1F2|＜2a 时，动点 M 的轨迹才是椭圆．
解得nm＝＝1511，5
故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
题目类型三、求与椭圆有关的轨迹方程 例 3、已知圆 x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴 作垂线段 PP′，垂足为 P′，点 M 在 PP′上，并且P→M＝ 2M→P′，求点 M 的轨迹． 【思路探究】 设动点Mx，y，Px0，y0 → 找M，P的关系 → 用点M坐标表示点P坐标 → 代入圆方程 → 得点M轨迹
第二章 圆锥曲线与方程
§2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
知识点一、椭圆的定义 【问题导思】 1．给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出 椭圆吗？ 【提示】 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画 出椭圆的关键． 2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足 的几何条件吗？ 【提示】 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离 之和始终等于绳长．
3．椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a＞ |F1F2|?
【提示】 只有当 2a＞|F1F2|时，动点 M 的轨迹才是椭 圆；当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2；当 2a＜|F1F2|时 满足条件的点不存在．
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准 方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
课时作业10：2.1.1 椭圆及其标准方程
§2.1 椭 圆2．1.1 椭圆及其标准方程一、选择题1．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( )A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y 21＝1 D ．以上都不对考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 D解析 因为椭圆的焦点位置不确定，故椭圆的标准方程为x 236＋y 235＝1或y 236＋x 235＝1. 2．已知椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k 的值为( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 5考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案 B解析 原方程可化简为x 2＋y 25k ＝1， 由c 2＝5k－1＝4，得k ＝1.3．椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D.32考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 如图，F 2为椭圆的右焦点，连接MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4.4．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是() A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 B解析 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，不妨设|PF 1|>|PF 2|，∵|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．5．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系是( )A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距答案 B解析 曲线x 225＋y 29＝1焦点在x 轴上． 对于曲线x 29－k ＋y 225－k＝1， ∵0<k <9，∴25－k >9－k >0，∴焦点在y 轴上，故两者的焦点不同．∵25－9＝(25－k )－(9－k )＝16＝c 2，∴2c ＝8，则两者焦距相等．故选B.6．方程x 24＋m ＋y 22－m＝1表示椭圆的必要不充分条件是( ) A ．m ∈(－1,2)B ．m ∈(－4,2)C ．m ∈(－4，－1)∪(－1,2)D ．m ∈(－1，＋∞)考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案 B解析 方程x 24＋m ＋y 22－m＝1表示椭圆的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋m >0，2－m >0，4＋m ≠2－m ，即m ∈(－4，－1)∪(－1,2)．由题意可得，所求m 的取值范围包含集合(－4，－1)∪(－1,2)．观察选项，故选B.7．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.233 B.263 C.33D. 3 考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 C解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→，由|MF 1|＋|MF 2|＝4，①又|MF 1|2＋|MF 2|2＝(23)2＝12，②由①与②可得|MF 1|·|MF 2|＝2，设M 到x 轴的距离为h ，则|MF 1|·|MF 2|＝|F 1F 2|h ，h ＝223＝33. 二、填空题8．若椭圆的两个焦点为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长等于20，该椭圆的标准方程为________________．考点 椭圆的标准方程题点 定义法求椭圆的标准方程答案 x 225＋y 216＝1 解析 如图，∵△ABF 2的周长等于20，∴4a ＝20，即a ＝5，又c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1. 9．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝_________________. 考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案 4或8解析 (1)当焦点在x 轴上时，10－m －(m －2)＝4，解得m ＝4.(2)当焦点在y 轴上时，m －2－(10－m )＝4，解得m ＝8，∴m ＝4或8.10．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是____________． 考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆方程中的参数(或其取值范围)答案 (8,25)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0，m ＋9＞0，m ＋9＞25－m ，解得8<m <25.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________. 考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题答案 54解析 由题意知，|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10.故sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54. 三、解答题12．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0.而F 1A →＝(－4＋c,3)，F 2A →＝(－4－c,3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5.∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2| ＝(－4＋5)2＋32＋(－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.13．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，①若|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值；②求|PF 1|·|PF 2|的最大值．考点 椭圆的定义题点 焦点三角形中的问题解 (1)由题意，得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1.又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)①由|PF 1|－|PF 2|＝1，又由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. ②∵a ＝2,4＝|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号，∴|PF 1|·|PF 2|≤4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取等号，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为4.四、探究与拓展14．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段考点 椭圆的定义题点 由椭圆的定义确定轨迹答案 D解析 ∵a ＞0，a ＋9a ≥2 a ·9a ＝6，当且仅当a ＝9a，即a ＝3时取等号， ∴当a ＝3时，|PF 1|＋|PF 2|＝6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是线段F 1F 2；当a >0且a ≠3时，|PF 1|＋|PF 2|>6＝|F 1F 2|，点P 的轨迹是椭圆．15．在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变，求曲线E 的方程．考点 椭圆的定义题点 由椭圆的定义确定轨迹解 如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中，|BC |＝|AC |2＋|AB |2＝322， ∵|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋322＝22，且|P A |＋|PB |＞|AB |， ∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.。
2.1.1椭圆及其标准方程(第一课时)
如果把细绳的两端的距离拉大，那是否还能画出椭圆？
结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是 椭圆 （3）当2a<2c时， 无轨迹 ； ；
（2）当2a=2c时，轨迹是以F1、 F2为端点的线段
；
二、基础知识讲解
1.椭圆定义：
平面上到两个定点的距离的
如图：
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
可得 | PF1 || PF2 | a, | OF1 || OF2 | c, | PO |
令b | PO | a c
2 2
a c
2
2
那么①式
x a
2 2
y b
2 2
1
(a>b>0)
2.椭圆的标准方程 y
M
焦点F1 ( c,0), F2 (c,0)
建立直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。
则椭圆就是集合P={M||MF1|+ |MF2|=2a}
如何化简?
( x c ) y 2a
2 2 2 2 2
( x c) y
2 2
2
你能在图中找出 2 2 怎样判断a, b, c大小关系？ 整理得a cx a ( x c ) y 表示a，c， a 2 2 2 2， 2 c 2 4 2 2 2 2 2 2 两边平方得： 2a cx c x a x 2a cx a c a y a 的线段吗？2 2 y 整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a -c )
8. P是椭圆 x
2
y
2
4
3
1上的点，F1和F2是焦点，则
人教版高中数学高二选修1-1 椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10， 所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6． 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |． 又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。
2.1.1椭圆及其标准方程
x2 2 1 2 a b
2
y2 x 2 ＋ ＝1. 169 144
类型二
椭圆的定义及其应用
【典例】(2015·济宁高二检测)如图所示,已知椭圆的方程为
x 2 y2 ＋ ＝1， 求△ 4 PF 3 1F2的面积.
若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,
【解题探究】本题中求△PF1F2的面积需要用哪个公式?椭圆可以提供 哪些条件?如何求解本题? 提示:求△PF1F2的面积需要用
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos120°,
a 2 b2＝ 4 3
=1,|F1F2|=2c=2.
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|= .
【解析】由已知得a=2,b= 所以c=
3
,
在△PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos120°, 即4=|PF1|2+|PF2|2+|PF1|·|PF2|.
a 2 b2＝ 4 3
=1,|F1F2|=2c=2.
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4,
提示:当距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹就是线段F1F2;当距离之和
小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (2)确定椭圆的方程需要知道哪些量? 提示:a,b的值及焦点所在的位置.
2.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=10,则动点M的轨
迹是
2020高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程(1)(含解析)
课时作业10 椭圆及其标准方程（1）知识点一椭圆的定义及简单应用1。
已知在平面直角坐标系中，点A（－3,0),B（3,0)，点P为一动点，且｜PA|＋|PB|＝2a(a≥0）,给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆,且焦距为3；③当a＝4时,点P的轨迹是椭圆，且焦距为6;④当a＝3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是（）A．①②B．①③C．②③D．②④答案B解析当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在,①正确;当a＝4时,2a＝8>｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB|＝6,②错误，③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB,④错误．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案D解析由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝10.若|PF1｜＝3，则｜PF2|＝7.3．设F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为（)A．16 B．18 C．20 D．不确定答案B解析∵a＝5,b＝3，∴c＝4又｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝10，｜F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为｜PF1|＋|PF2|＋|F1F2｜＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B。
知识点二求椭圆的标准方程4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1）a＝5，c＝2;(2）经过P1(错误!,1)，P2（－错误!,－错误!)两点;（3）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点,且经过点M(2,6)．解（1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。
(2)解法一：①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0）．由已知，得错误!⇒错误!即所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1。
【重点推荐】2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程作业1 北师大版选修1-1
2.1.1 椭圆及其标准方程[基础达标]1.椭圆2x 2＋y 2＝8的焦点坐标是( ) A ．(±2，0) B ．(0，±2) C ．(±23，0) D ．(0，±23)解析：选B.椭圆标准方程为x 24＋y 28＝1，∴椭圆焦点在y 轴上，且c 2＝8－4＝4， ∴焦点坐标为(0，±2)．2.椭圆x 225＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(3，0)，那么m 的值为( )A ．－16B ．－4C ．16D ．4解析：选C.焦点在x 轴且c ＝3，由25＝m ＋9，∴m ＝16.3.已知方程x 2k ＋1＋y23－k＝1(k∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3 解析：选B.由题意知k ＋1>3－k >0，∴1<k <3.4.过点(－3，2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )A.x 215＋y 210＝1B.x 2225＋y 2100＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 2100＋y 2225＝1 解析：选A.c 2＝9－4＝5，由题意可设所求椭圆方程为x 2b 2＋5＋y 2b 2＝1，代入(－3，2)得9b 2＋5＋4b 2＝1，∴b 2＝10，椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 5.如图，椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．8B ．2C ．4 D.32解析：选C.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，又|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8，由于N 为MF 1的中点，ON 为中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.6.已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由题意得：|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>|F 1F 2|＝2， ∴动点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，轨迹方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．解析：由于|AB |＋|F 2A |＋|F 2B |＝4a ＝20，∴|AB |＝20－(|F 2A |＋|F 2B |)＝20－12＝8. 答案：88.若方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：由方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，5－k >0，k －2≠5－k ，解得2<k <5且k ≠72.即当2<k <72或72<k <5时，方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆．答案：(2，72)∪(72，5)9.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，(1)PF 1⊥PF 2，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． (2)当∠F 1PF 2为钝角时，|PF 2|的取值范围．解：(1)∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.∴⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝6. ∵∠F 1PF 2为钝角，∴cos ∠F 1PF 2<0.又∵cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－202r 1r 2<0，∴r 21＋r 22<20，∴r 1r 2>8，∴(6－r 2)r 2>8，∴2<r 2<4.即|PF 2|的取值范围是(2，4)．10.(1)等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为42，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过A ，B 两点，求该椭圆的标准方程．(2)在△ABC 中， ∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别是a ，b ，c ，且|BC |＝2，求满足b ，a ，c 成等差数列且c >a >b 的顶点A 的轨迹．解：(1)如图，设椭圆的方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)，有|AM |＋|AC |＝2a ，|BM |＋|BC |＝2a ， 两式相加，得8＋42＝4a ，∴a ＝2＋2，|AM |＝2a －|AC |＝4＋22－4＝2 2.在直角三角形AMC 中，∵|MC |2＝|AM |2＋|AC |2＝8＋16＝24， ∴c 2＝6，b 2＝4 2. 故所求椭圆的标准方程为x 26＋42＋y 242＝1.(2)由已知条件可得b ＋c ＝2a ，则|AC |＋|AB |＝2|BC |＝4>|BC |，结合椭圆的定义知点A 在以B ，C 为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点O ，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，则m ＝2，n 2＝22－12＝3，从而椭圆方程为x 24＋y 23＝1.又c >a >b 且A 是△ABC 的顶点，结合图形，易知x >0，y ≠0.故顶点A 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1的右半部分(x >0，y ≠0)．[能力提升]1.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：选A.由题意Q 坐标为(－x ，y )(x >0，y >0)，设A (x 0，0)，B (0，y 0)， 由BP →＝2PA →得(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2xy －y 0＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x . 由OQ →·AB →＝1得(－x ，y )·(－x 0，y 0)＝1，∴x 0x ＋y 0y ＝1，把⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x 代入上述得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．2.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0， ∴π4<α<π2. 答案：(π4，π2)3.已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积；(2)求|PF 1|·|PF 2|的最大值．解：(1)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >0，n >0)． 根据椭圆的定义，得m ＋n ＝20. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝20.∵|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是100.4．(2014·玉溪一中高二期末)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|＝d .(1)证明：d ，b ，a 成等比数列；(2)若M 的坐标为()2，1，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的椭圆中，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．解：(1)证明：由条件知M 点的坐标为()c ，y 0，其中|y 0|＝d ，∴c 2a 2＋d 2b2＝1，d ＝b ·1－c 2a 2＝b 2a ，∴d b ＝ba，即d ，b ，a 成等比数列． (2)由条件知c ＝2，d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a ·1a 2＝b 2＋2，∴⎩⎨⎧a ＝2b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(3)设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当l ⊥x 轴时，A (－2，－1)、B (－2，1)，所以OA →·OB →≠0. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－42k21＋2k 2，x 1·x 2＝4k 2－41＋2k2，由OA →·OB →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， x 1·x 2＋k 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(1＋k 2)x 1·x 2＋2k 2(x 1＋x 2)＋2k 2＝0，代入得（1＋k 2）（4k 2－4）1＋2k 2－42k 2·2k 21＋2k2＋2k 2＝0，解得k ＝± 2. 所以直线l 的方程为y ＝±2(x ＋2)．。
椭圆及其标准方程练习题及答案
椭圆及其标准方程练习题一、课前练习：1．判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。
（1） （2） （3）2．求适合下列条件的椭圆标准方程：两个焦点的坐标分别为（- 4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10。
3．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数m 的取值范围是 。
二、典例：例1：已知椭圆两个焦点的坐标分别是（- 2，0），（2，0），并且经过点（25，- 23），求它的标准方程。
变式练习1：与椭圆x 2+4y 2=16有相同焦点，且过点（5，-6），的椭圆方程是 。
14322=+y x 1422=+y x 1422=+y x 221||12x y m +=-y例2：如图，在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？例3：如图，设A 、B 的坐标分别为（- 5，0），（5，0），直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为 -94，求点M 的轨迹方程。
变式练习2：已知定圆x 2+y 2-6x -55=0，动圆M 和已知圆内切且过点P （-3，0），求圆心M 的轨迹及其方程。
三、巩固练习：1．椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点F 1的弦，则△F 2CD 的周长为 。
1．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么-------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件191622=+y x2．椭圆5x 2 - ky 2=5的一个焦点是（0，2），那么k 等于-------------------------------------------------------（ ）A ．- 1B ．1C ．5D ．- 54．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为-----------------------------------（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）5．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段6．椭圆和具有-----------------------------------------------------------------（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴7．已知：△ABC 的一边长BC =6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程。
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案
►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。
2.2.1椭圆及其标准方程(人教A版选修2-1)
x y 1 25 16
y x 1 25 16
1.已知定点 F1,F2,且|F1F2|=8,动点 P 满足|PF1|+|PF2|=8,则动点 P 的轨迹是( ). A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 答案:D 解析:由于|PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以动点 P 的轨迹不是椭圆,而是线 段 F1F2.
答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
2013-11-25
x y 1 例2.已知椭圆的方程为： 25 16 ，则 5 4 3 a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标
(3,0)、(-3,0) 6 为：____________焦距等于______
2 (0,-1)、(0,1) ___________焦距等于__________;曲线上一点P到焦 点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于 2 5 3 2 52 _________，则△F1PF2的周长为___________ y F2
2
2
P
O
2013-11-25
x F1
x y (3) 2 2 1 k 10 x 2 k y 2
a 2
2
b
2
y x 8 m 4且m b 0 1 或 1 a 2 a
2
8 m
2
2
4m
b
2
拓展：方程Ax By C表示椭圆，
2 2
(5) x 4 则＿＿＿＿ y A、B、C同号，且A B 1
2 2
提高:
2 y2 x 1、已知椭圆的方程为： 1, 16 m2 焦点在x轴上，则m的范围（ ） A： m4且m0 -4 B:4m4且m0 C:m4或m4 D:0 m 4
椭圆的标准方程与性质(有答案)
椭圆的标准方程与性质1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：2.2第1课时 椭圆及其标准方程一、选择题1．平面上到点A (－5,0)、B (5,0)距离之和为10的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．轨迹不存在 2．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( )A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )3．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95 B ．3 C.977 D.944．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点P 的纵坐标是( )A ．±34B ．±22C ．±32D ．±345．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.32 B.3 C.72D ．4 6．(09·陕西理)“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是( )A ．5B ．3或8C ．3或5D ．208．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2的周长是( )A ．2B ．4 C.2 D ．2 29．已知椭圆的方程为x 216＋y 2m 2＝1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是( )A ．－4≤m ≤4B ．－4<m <4且m ≠0C ．m >4或m <－4D ．0<m <410．若△ABC 的两个顶点坐标为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 二、填空题11．如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝______.12．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12) 2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________．13．(08·浙江)已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.14．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.三、解答题15．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． (2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)，B (12，3)16．已知椭圆的中心在原点，且经过点P (3,0)，a ＝3b ，求椭圆的标准方程．17．已知m 为常数且m >0，求证：不论b 为怎样的正实数，椭圆x 2b 2＋m ＋y 2b 2＝1的焦点不变．18．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝12，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P (x 0，y 0)(y 0>0)的椭圆方程．2.2第2课时 椭圆的简单几何性质一、选择题1．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( )A ．相等的短轴长B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．相等的长轴长2．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( ) A.14 B.12 C.22 D.323．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.154．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝45．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( ) A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]6．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有( )A ．等长的长轴B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．等长的短轴7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为( ) A.22 B.32 C.53 D.638．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x 24＋y 26＝1B.x 26＋y 24＝1C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1 9．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0)具有( )A ．相同的长轴B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的离心率 二、填空题11．(2009·广东理)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．12．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．13．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点到两焦点的距离分别为d 1、d 2，焦距为2c ，若d 1、2c 、d 2成等差数列，则椭圆的离心率为________．14．经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．三、解答题15．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．16．已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．17．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.求椭圆的方程．2.2第1课时 椭圆及其标准方程一、选择题 1．[答案] C[解析] 两定点距离等于定常数10，所以轨迹为线段． 2．[答案] D[解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1∵a <b <0∴－a >－b >0，∴y 2－a ＋x 2－b ＝1，焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a∴焦点坐标为(0，±b －a ) 3．[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7. ∵△PF 1F 2为直角三角形．∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(P 点不可能是直角顶点)设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.4．[答案] C[解析] 设F 1(－3,0)∴P 点横坐标为3代入x 212＋y 23＝1得y 23＝1－34＝14，y 2＝34，∴y ＝±325．[答案] C[解析] 如图所示，由x 24＋y 2＝1知，F 1、F 2的坐标分别为(－3，0)、(3，0)，即P 点的横坐标为x p＝－3，代入椭圆方程得y p ＝12，∴|PF 1|＝12，∵|PF 1|＋|PF 2|＝4.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72.6． [答案] C[解析] 方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆⇔1n >1m>0⇔m >n >0.故选C. 7．[答案] C[解析] 2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝12或4－m ＝12，∴m ＝5或m ＝3且同时都大于0，故答案为C. 8．[答案] B[解析] ∵|AF 1|＋|AF 2|＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2，∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4， 即|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4. 9．[答案] B[解析] 因为焦点在x 轴上，故m 2<16且m 2≠0，解得－4<m <4且m ≠0. 10．[答案] D[解析] 顶点C 满足|CA |＋|CB |＝10>|AB |，由椭圆定义知2a ＝10,2c ＝8 所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9， 故椭圆方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．二、填空题 11．[答案] 2 3[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，则c 2＝4⇒c ＝2 ∴P ＝(1，3)代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，求出b 2＝2 3. 12． [答案] x 2＋43y 2＝1[解析] 如图所示，由题意知，|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2，∴|P A |＋|PF |＝2，且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 234＝1，即x 2＋43y 2＝1.13． [答案] 8[解析] (|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|) ＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，∴|AB |＝8. 14．[答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.三、解答题15．[解析] (1)由于椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1故所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设所求椭圆的方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0)．∵椭圆过A (0,2)，B (12，3)，∴⎩⎨⎧0m ＋4n ＝1，14m ＋3n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4.∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.16． [解析] 当焦点在x 轴上时，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知9a 2＋0b 2＝1，又a ＝3b ，代入得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆的方程为x 29＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，设其方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆过点P (3,0)，知0a 2＋9b 2＝1，又a ＝3b ，联立解得a 2＝81，b 2＝9，故椭圆的方程为y 281＋x 29＝1.故椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1或x 29＋y 2＝1.17． [解析] ∵m >0，b 2＋m >b 2，∴焦点在x 轴上，由(b 2＋m )－b 2＝m ，得椭圆的焦点坐标为(±m ，0)，由m 为常数，得椭圆的焦点不变．18． [解析] 以线段MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴，建立坐标系． 设M (－c,0)，N (c,0)，c >0， 又P (x 0，y 0)，y 0>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0－c＝－2，y 0x 0＋c ＝12，cy 0＝1⇒⎩⎨⎧x 0＝53c ，y 0＝43c ，⇒P (523，23)．设椭圆方程为x 2b 2＋34＋y 2b 2＝1，又P 在椭圆上，故b 2(523)2＋(b 2＋34)(23)2＝b 2(b 2＋34)，整理得3b 4－8b 2－3＝0⇒b 2＝3. 所以所求椭圆方程为x 2154＋y 23＝1.2.2第2课时 椭圆的简单几何性质一、选择题 1． [答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即 C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1.因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22＝e 2，故离心率相等，选C. 2．[答案] D[解析] △ABF 1为等边三角形， ∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2 ∴e ＝c a＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 3． [答案] B[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a ，b ，c 的方程式，消去b 得到关于e 的方程，由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0(两边都除以a 2)⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B.4．[答案] A[解析] 椭圆的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，短轴的一个端点为(1,0)，于是△F 1BF 2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋y 2＝1.5．[答案] C[解析] 由题意知a ＝10，b ＝8，设椭圆上的点M (x 0，y 0)，由椭圆的范围知，|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20.又因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64(1－x 20100)＝64－1624x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 2＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，所以8≤d ≤10. 6． [答案] B[解析] 依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝2(25－k )－(9－k )＝8，故答案为B. 7．[答案] A[解析] 由题意知b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.8．[答案] C[解析] ∵长轴长2a ＝12，∴a ＝6，又e ＝13∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，∵焦点不定，∴方程为x236＋y232＝1或x232＋y236＝1.9． [答案] C[解析]∵点(3,2)在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴由椭圆的对称性知，点(－3,2)、(3，－2)、(－3，－2)都在椭圆上，故选C.10． [答案] D[解析]椭圆x2a2＋y2b2＝1和x2a2＋y2b2＝k(k>0)中，不妨设a>b，椭圆x2a2＋y2b2＝1的离心率e1＝a2－b2a，椭圆x2 a2k ＋y2b2k＝1(k>0)的离心率e2＝k a2－b2ka＝a2－b2a.二、填空题11． [答案]x236＋y29＝1[解析]设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＝12ca＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a＝6c＝33，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9，∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.12． [答案]2120°[解析]依题知a＝3，b＝2，c＝7，由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6，∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2. 又|PF1|＝4，|PF2|＝2，|F1F2|＝27.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－12，∴∠F1PF2＝120°.13． [答案]12[解析]由题意得4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝ca＝12.14． [答案]2b2a[解析]∵垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，由⎩⎪⎨⎪⎧x＝±cx2a2＋y2b2＝1，得y2＝b4a2，∴|y|＝b2a，故弦长为2b2a.三、解答题15． [解析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1， ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0， ∴m >m m ＋3. 即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1， ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12)． 16． [解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，可设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的对称性知，|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，因此△B 1FB 2为等腰直角三角形，于是|OB 2|＝|OF |，即b ＝c .又|F A |＝10－5即a －c ＝10－5，且a 2＋b 2＝c 2.将以上三式联立，得方程组，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c a －c ＝10－5a 2＝b 2＋c 2解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10b ＝5 所求椭圆方程是x 210＋y 25＝1. 17． [解析] 由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b . 由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.。
数学：2.1.1《椭圆及其标准方程》(二)
∵ AB AC BC 16 , ∴ BA CA 10 .
x2 y2 ∴由椭圆定义及标准方程知识可知 1 25 16 又∵A、B、C 三点不共线，∴ y 0 .
x2 y2 1( y 0) ∴所求的点的轨迹方程为 25 16
课堂练习:
x2 y2 1.如图，F1，F2 分别为椭圆 2 2 1 a b 的左、 右焦点， P 在椭圆上， 点 △POF2 是面积为 3 的正三角形， 则 b 2 的值是____________.
x2 y 2 1.已知椭圆方程为 + = 1，则这个椭圆的焦距为（ ） 23 32 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 5 2.F1、F2是定点，且 F1 F2 = 6，动点M 满足 MF1 + MF2 = 6， 则点M 的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 x2 y2 3.已知椭圆 + = 1上一点P到椭圆一个焦点的距离 25 16 为3，则P到另一焦点的距离为（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)7
例 4:如图,设点 A、 的坐标分别为 ( 5, 0), (5, 0) , B 直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 4 ，求点 M 的轨迹方程. 9 分析:把题目条件直接用 x 、y 表示出来, x 、y 之间的 关系式就显示出来了.
这种求轨迹的方法──直译法
思维挑战题: 已知圆 B: ( x 1)2 y 2 16 及点 A(1,0) ,C 为 圆 B 上任一点,求 AC 的垂直平分线与线段 BC 的交 2 2 点 P 的轨迹方程. x y
2答案
例 1⑵求经过点 ( 2, 3) 且与椭圆 9 x 2 4 y 2 36 有共 同的焦点的椭圆的标准方程.
2.1.1椭圆及其标准方程
aM
bc
a F1 o
F2
x
焦点在 x 轴上
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
y
F2
a
ca M
ob
x
F1
焦点在 y 轴上
x2 y2 b2 a2 1
a b 0
二.类比探究 形成概念
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
二.类比探究 形成概念
1. 椭圆的定义 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
(1) F1F2 0, 轨迹为圆.
M
(2)2a F1F2 , 轨迹为椭圆. M
F1
F1
y
M (x,y)
F1 (-c,0) O F2 (c,0) x
(1)建系: 以线段F1F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系. 因为椭圆的焦距为2c(c>0)，则F1(-c,0)、F2(c,0).
(2)设点: 设M(x,y)是椭圆上任一点， 则 MF1 MF2 2a(a 0).
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2
P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
椭圆及其标准方程
要点 1
椭圆的定义 (大于
平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 等于常数 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 点． 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距．
叫做椭圆的焦
要点 2
椭圆的标准方程
(1)这里的“标准”指的是中心在 原点 ，对称轴为 坐标轴． x2 y2 (2)焦点在 x 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)；焦点在 y y2 x2 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．为了计算上的方便，有时将 方程写为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)标准方程中的两个参数 a 和 b， 确定了椭圆的形状和大小， 是椭圆的定形条件．
(4)椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就在x 轴 上；如果 y2 的分母大，则焦点就在 y 轴 上． (5)椭圆的方程中，a、b、c 三者之间 a 最大，且满足
a2＝b2＋c2 .
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小 于|F1F2|”的常数，其他条件不变点的轨迹是什么？
解析
设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)，
椭圆经过 P1，P2 点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程，
6m＋n＝1 有 3m＋2n＝1
① ②
1 1 x2 y2 解得 m＝ ，n＝ ，∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1 9 3 9 3
探究 3
方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示椭圆：若
m<n，则焦点在 x 轴上；若 n<m，则焦点在 y 轴上。 思考题 3 求经过两点 A(3， 3)，B(2,3)的椭圆标准方程．
2.1.1 椭圆及其标准方程
2.1.1椭圆及其标准方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.若动点M到两个定点F1,F2的距离之和为定值m,则点M的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.以上都可能|MF1|+|MF2|=m,∴当m>|F1F2|时,点M的轨迹为椭圆;当m=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当m<|F1F2|时,点M的轨迹不存在.2.椭圆的焦点坐标是A.(±4,0)B.(0,±4)C.(±3,0)D.(0,±3)3.已知椭圆上的点到该椭圆一个焦点的距离为是的中点为坐标原点那么线段的长是A.2 B.4 C.8 D焦点在 上的椭圆则 的 值 是4.若方-A.-9<m<25B.8<m<25C.16<m<25D.m>8解得8<m<25.,得--5.已知椭圆的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项.该椭圆的方 是()AC6.已知椭圆为椭圆上一动点为椭圆的左焦点则线段的中点的轨迹是A.圆B.椭圆C.线段D.直线|PF1|+|PO|所以点P 的轨迹是椭圆.7.已知椭圆的焦点为点在椭圆上若则∠F1PF2=.|PF1|+|PF2|=6,且|PF1|=4,知|PF2|=2.在△PF1F2中,cos∠F1PF2-故∠F1PF2=120°.120°8.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点为椭圆上一点且若△PF1F2的面积为9,则b=.,有解得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3.9.求适合下列条件的椭圆的标准方 :(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6,求椭圆的方 ;(2)椭圆的焦点为F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是椭圆上的一个点,求椭圆的方 .设椭圆方程为则由题意,a=3,c=2,得b2=5.故椭圆方程为(2)因为焦点为F1(0,-5),F2(0,5),所以可设椭圆方程为2a-所以a=故椭圆方程为10.已知点A(0和圆点在圆上 动点在 上且求动点的轨迹方|PM|=|PA|,|PM|+|PO1|=4,所以|PO1|+|PA|=4,又因为|O1A|=所以点P的轨迹是以A,O1为焦点的椭圆,所以c所以动点P的轨迹方程为x2二、能力提升1.椭圆mx2+ny2+mn=0(m<n<0)的焦点坐标是()A.(0,--C.(0,----∵m<n<0,∴0<-n<-m.∴焦点在y轴上,且c----2.已知椭圆的焦点为点在该椭圆上且则点到 的距离为AM(x0,y0),由F1(得由得又解得y0=即点M到x轴的距离为故选C.3.设F1,F2是椭圆的两个焦点是椭圆上的点且则△PF1F2的面积等于()A.5B.4C.3D.14.若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点点为椭圆上的任意一点则的最大值为B.3C.6D.8F(-1,0),设点P(x0,y0),则-≤x0≤2).-当x0=2时取得最大值为6.5.设P为椭圆上的任意一点分别为其上、下焦点则·|PF2|的最大值是.a=3,|PF1|+|PF2|=2a=6,则|PF1|·|PF2|≤当且仅当|PF1|=|PF2|=3时等号成立.故|PF1|·|PF2|的最大值为9.★6.已知P是椭圆上的一动点是椭圆的左、右焦点延长到点使得则动点的轨迹方 是,依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数,且a>0).又|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a.由题意知a=2,b--∴|QF1|=4,F1(-1,0).∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,∴动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.x+1)2+y2=167.求符合下列条件的椭圆的标准方 :(1)过点和的椭圆(2)过点(-3,2),且与有相同焦点的椭圆设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆过点和解得∴所求椭圆的标准方程为x2(2)∵在椭圆中,可知a=3,b=2,且焦点在x轴上,∴c2=9-4=5.∴设所求椭圆方程为-∵点(-3,2)在所求椭圆上,-∴a2=15或a2=3(舍去).∴所求椭圆方程为★8.已知动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为(1)求动圆的圆心C的轨迹方 ;(2)若轨迹C上的两点P,Q满足求的值如图,设动圆C的半径为R,则|CC1|=|CC2|=①+②得,|CC1|+|CC2|=由椭圆的定义知圆心C的轨迹是以C1,C2为焦点,长轴长为的椭圆,其轨迹方程为(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则--由可得--所以x1=5x2,y1=5y2由P,Q是椭圆C上的两点,得-由得y2=3.将y2=3代入③,得y1=-3,将y2=3代入,得x2=0,所以x1=0,所以P(0,-3),Q(0,3),即|PQ|=6.。
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一、课前练习：
1.判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。
（1）
14
3
2
2
=+
y
x
（2）142
2=+y
x （3）14
2
2
=+
y
x
2.求适合下列条件的椭圆标准方程：两个焦点的坐标分别为)0,4(),0,4(-，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10。
3.方程
2
2
1||1
2
x
y
m +
=-表示焦点在y 轴的椭圆时，实数m 的取值范围是____________
二、典例：
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,2
2⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，求它的标准方程．
变式练习1：与椭圆x 2+4y 2=16有相同焦点,且过点()6,5-的椭圆方程是 . 例2 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
例3如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线A M ，BM 相交于点M ，且它们的
斜率之积为49
-
，求点M 的轨迹方程．
变式练习2：已知定圆x 2+y 2-6x -55=0，动圆M 和已知圆内切且过点P (-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程． 三、巩固练习：
1.平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹
是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么
（ ）
A ．甲是乙成立的充分不必要条件
B ．甲是乙成立的必要不充分条件
C ．甲是乙成立的充要条件
D ．甲是乙成立的非充分非必要条件
2.椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于（ ）
A. 1-
B. 1
C. 5
D. 3.椭圆
19
16
2
2
=+
y
x
的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则
CD F 2∆的周长为
4.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为
（ D ）
A ．（0，+∞）
B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1） 5．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件
)
0(921>+
=+a a
a PF PF ，则点P 的轨迹
是
（ A ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在
D ．椭圆或线段 6．椭圆
12
22
2=+
b
y a
x 和
k
b
y a
x =+
2
22
2()0>k 具有
（ A ）
A ．相同的离心率
B ．相同的焦点
C ．相同的顶点
D ．相同的长、短轴
7.已知：△ABC 的一边长BC =6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程． 答案：
课前练习：1.（1）（0,1），（0，-1）焦距：2。
（2）0,022⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
：。
（3）((
0,,0,，焦距： 2.
2
2
125
9
x
y
+
= 3. (1,3)(3,1)m ∈--
变式练习1：
+
20
2
x
18
2
=y。
变式练习2：
巩固练习：1.B 2. A 3. 164);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c 4.D 5.A 6.A
7. 以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116
y
25
x
2
2
=+。
若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，
其方程为：
25
y
16
x
2
2
=+。