人教A版必修四高二上学期12月月考理科数.docx

2015-2016学年湖北省黄陂一中高二上学期12月月考理科
数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x +4≤0”的否定为（ B ）
A ．∀x ∈R ，x 2﹣2x +4≥0
B ．∃x ∈R ，x 2
﹣2x +4＞0
C ．∀x ∉R ，x 2﹣2x +4≤0
D ．∃x ∉R ，x 2
﹣2x +4＞0
2．双曲线2
2
1y x m
-=的离心率大于2的必要不充分条件是（ A ） A ．1
2
m >
B ．1<m <2
C ．m ＞1
D ．0<m <1
3. 双曲线22
1x my -=的一个焦点坐标为(5,0)，则双曲线的渐近线方程为（ C ）
A ．14y x =±
B ．1
2
y x =± C ．2y x =± D ．4y x =± 4.已知抛物线2
4y x =的准线与双曲线22
21(0)x y a a
-=> 交于A ，B 两点，点F 为抛物线
的焦点，若△FAB 为直角三角形，则a 的值为（ D ） A ．5
B ．3
C ．
33
D ．
55
5. 若2
3
1()n
x
x -
的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是( B ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
6. 5个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有1人，则不同的站法数有( C ) A ．18 B ．26 C ．36 D ．48
7. 如图用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢．现将半径为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ C ）
A ．
212+ B ．51
2
+ C ．312+ D ．512-
8.如图，四面体ABCD 中，点E 是CD 的中点，记AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r
，则
BE u u u r
=（ B ）
A ．1122a b c -+r r r
B ．1122a b c -++r r r
C ．1122a b c -+r r r
D ．1122
a b c -++r r r
9．如图，F 1，F 2是双曲线22
221x y C a b
-=：(a
＞
0，
b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C
的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率
为（ A ）
A ．13
B ．15
C ．2
D ．3
10.如图11
121321
222331
32
33a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，三行三列的方阵中有9个数ij a (i =1，2，3；j =1，2，3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ D ） A ．
37 B ．4
7
C ．
114 D ．13
14
11. 已知平面上的曲线C 及点P ，在C 上任取一点Q ，定义线段PQ 长度的最小值为点P 到曲
线C 的距离，记作d (P ，C)．若曲线C 1表示直线x =12-
，曲线C 2表示射线y =0(x ≥1
2
)，则点集{P|d (P ，C 1)=d (P ，C 2)}所表示的图形是（ A ）
12．在平面直角坐标系中，A(﹣1，0)，B(1，0)，若曲线C 上存在一点P ，使∠APB 为钝角，
则称曲线上有钝点，下列曲线中“有钝点的曲线”是（ C )
①x 2
=4y ； ②22
132
x y +=； ③x 2﹣y 2=1； ④(x ﹣2)2+(y ﹣2)2=4； ⑤3x +4y =4． A.①②④ B.①②⑤ C.①④⑤ D.①③④
二、填空题（每小题5分，共20分）
A B C D
第7题图 第8题图 第9题图
13．已知9()a x x -的展开式中x 3
的系数为94
，则常数a 的值为________．1
4
14. 过点(22,3)的双曲线C 的渐近线方程为3
2
y x =±
,P 为双曲线C 右支上一点，F 为双曲线C 的左焦点，点A(0,3),则|PA|+|PF|的最小值为_________. 8
15.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个“渐升数”是_________ 1359 16. 已知曲线22||||
1x x y y C a b
-=：
，给出以下结论： ①垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点
②直线y =kx +m (k ，m ∈R)与曲线C 最多有三个交点 ③曲线C 关于直线y =﹣x 对称
④若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)为曲线C 上任意两点，则有12
12
0y y x x ->-
写出正确结论的序号 ． ①②④ 三．解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分10分)已知命题p ：点M(1，3)不在圆(x +m )2
+(y ﹣m )2
=16的内部，
命题q ：“曲线22
12128：+=+x y C m m 表示焦点在x 轴上的椭圆”，
命题s ：“曲线22
211
：+=---x y C m t m t 表示双曲线”． （1）若“p 且q ”是真命题，求m 的取值范围；
（2）若⌝s 是⌝q 的必要不充分条件，求t 的取值范围． 解：（1）若p 为真：(1+m )2
+(3﹣m )2
≥16,解得m ≤﹣1或m ≥3，
若q 为真：则228
280
m m m ⎧>+⎨+>⎩解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4
若“p 且q ”是真命题，则13
424m m m m ≤-≥⎧⎨-<<->⎩
或或,解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4；…（5
分）
（2）若s 为真，则(m ﹣t )(m ﹣t ﹣1)＜0，即t ＜m ＜t +1，
若⌝s 是⌝q 的必要不充分条件，则q 是s 的必要不充分条件，
则可得{m |t ＜m ＜t +1}{m |﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4}，即4
12t t ≥-⎧⎨+≤-⎩
或t ≥4
解得﹣4≤t ≤﹣3或t ≥4．
18．(本小题满分12分)有5个不同的球，5个不同的盒子，现要把球全部放入盒内． （1）共有几种放法？
（2）恰有一个盒子不放球，共有几种放法？(结果用数字表示) （3）恰有两个盒子不放球，共有几种放法？(结果用数字表示) 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有5种独立的放法，由分步乘法计数原
理，放法共有55
=3125种； …（4分） （2）有2
4
55C A =1200种；…（8分）
（3）5个球分为3组有两种分法，（2，2，1），（3，1，1），
所以恰有两个盒子不放球的不同放法是2231
3
5352522
22
()C C C C A A A +=1500种．…（12分） 19．(本小题满分12分)已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视
图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（1）求证：BN ⊥平面C 1B 1N ；
（2）设θ为直线C 1N 与平面CNB 1所成的角，求sin θ的值； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上求一点P ，使MP ∥平面CNB 1，求
BP
PC
的值． （1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．…（2分）
以B 为坐标原点，分别以BA ，BB 1，BC 所在直线别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则N （4，4，0），B 1（0，8，0），C 1（0，8，4），C （0，0，4）
∵1BN NB ⋅u u u r u u u u r =(4，4，0)•(﹣4，4，0)=﹣16+16=0 11BN BC ⋅u u u r u u u u r =(4，4，0)•(0，0，4)=0
∴BN ⊥NB 1，BN ⊥B 1C 1且NB 1与B 1C 1相交于B 1， ∴BN ⊥平面C 1B 1N ； …（4分）
（2）设2n u u r
=（x ，y ，z ）为平面NCB 1的一个法向量，
则 2200n CN n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r
u u r u u u r
⇒0
0x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩
，取2n u u r =(1,1,2)，1(4,4,4)C N =--u u u u r ，则2sin 3θ=；…（8分）
（3）∵M （2，0，0）．设P （0，0，a ）
为BC 上一点，则MP u u u r
=(-2，0，a )
∵MP ‖平面CNB 1，∴
2MP n ⊥u u u r u u r ⇒
2(2,0,)(1,1,2)220
MP n a a ⋅=-⋅=-+=u u u r u u r
，∴1a =．
又PM ⊄平面CNB 1，∴MP ‖平面CNB 1，∴当PB=1时，MP ‖平面CNB 1 ， ∴
1
3
BP PC =…（12分）
20．(本小题满分12分)已知关于x 的一次函数y =ax +b ，
（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y =ax +b 是增函数的概率；
（2）实数a ，b 满足条件111110a b a b -≤≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪+-≤⎩
求函数y =ax +b 的图象经过二、三、四象限的概率．
解：（1）由已知a ≠0，集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，所有事件有5×3=15个，设A 事件为：函数y =ax +b 是增函数的3×3=9个，由古典概型的概率公式得到，93
()155
P A ==；…（6分） （2）线性约束条件所表示的区域面积S=
7
2
，要使函数y =ax +b 的图象经过二、三、四象限，则实数a ，b 必须满足条件101010a b a b -≤≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪+-≤⎩
，如图阴影部分，其面积为S 1=1，所求的概率为
P=
12
7
S S =．…（12分） 21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：22
143
+=x y ，过点P(4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．
（1）求⋅u u u r u u u r
OA OB 的取值范围；
（2）若B 点关于x 轴的对称点为E 点，探索直线AE 与x 轴的相交点是否为定点． 解：（1）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k （x ﹣4）， 代入椭圆方程，消去y 得(3+4k 2
)x 2
﹣32k 2
x +64k 2
﹣12=0． 由∆=(﹣32k 2)2
﹣4(3+4k 2
)(64k 2﹣12)＞0，得-12＜k ＜1
2
． 设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=2
2
3234k k +，x 1x 2=22641234k k -+①，
∴⋅u u u r u u u r OA OB =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2﹣4k 2(x 1+x 2)+16k 2
=25﹣2
8734k +， ∵﹣12＜k ＜12， ∴25﹣28734k +∈[﹣4，134)，∴⋅u u u r u u u r OA OB 的取值范围是[﹣4，134
)；…
（6分）
（2）直线与x 轴相交于定点(1，0)．∵B ，E 关于x 轴对称，∴点E 的坐标为(x 2，﹣y 2)， 直线AE 的方程为y ﹣y 1=
12
12
y y x x +-(x ﹣x 1)，又y 1=k (x 1﹣4)，y 2=k (x 2﹣4)，令y =0，得
x =
12211212121224()
18
x y x y x x x x y y x x +-+==++-．∴直线与x 轴相交于定点(1，0)．…（12分）
22. (本小题满分12分)已知动圆P 过定点A(－3，0)，且与圆B ：(x －3)2＋y 2＝64相切，
点P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上(不在x 轴上)的动点，过点A 作OQ 的平行线交曲线C 于M ，N 两点. (1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在常数λ，使→
AM •→
AN =λ→OQ 2
总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由； (3)求△MNQ 的面积S 的最大值。

解：(1)点P 到两定点A(－3，0)和B(3，0)距离之和等于定圆半径，即|PA|+|PB|=8
∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4的椭圆，其方程为22
1167
x y +=…（3分）
(2)设:OQ x my =，112233(,),(,),(,)M x y N x y Q x y
→
AM •→
AN =1212(3)(3)x x y y +++=2
12(1)m y y +=2249(1)
716
m m +-+
联立方程组221167x my
x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去x 得2
2
112716y m =+，3y 为其一根 222222
3332112(1)||(1)716
m OQ x y m y m +=+=+=
+u u u r ，故49112λ-=，716λ=- ∴存在符合条件的常数λ，7
16
λ=-
…（7分） （3）因为Q 不在x 轴上，故可设直线MN:x =my -3
联立方程组2231167
x my x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去x 得22
(716)42490m y my +--=，
由于//MN OQ ，所以121213
||||||22
MNQ MON S S S OA y y y y ===
-=-V V =22222235613281328
27
927m +167(m +1)+9711
m m m m +⋅+⋅=⋅==≤++
+
当且仅当2
2
7
m =
时取等号，故所求最大值为27…（12分） 参考答案
一、BACD BCCB ADAC
二、13.
1
4
14.8 15.1359 16. ①②④ 三、17.（1）若p 为真：(1+m )2
+(3﹣m )2
≥16,解得m ≤﹣1或m ≥3，
若q 为真：则228
280
m m m ⎧>+⎨+>⎩解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4
若“p 且q ”是真命题，则13
424m m m m ≤-≥⎧⎨-<<->⎩
或或,解得﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4；…（5
分）
（2）若s 为真，则(m ﹣t )(m ﹣t ﹣1)＜0，即t ＜m ＜t +1，
若⌝s 是⌝q 的必要不充分条件，则q 是s 的必要不充分条件，
则可得{m |t ＜m ＜t +1}{m |﹣4＜m ＜﹣2或m ＞4}，即4
12t t ≥-⎧⎨+≤-⎩
或t ≥4
解得﹣4≤t ≤﹣3或t ≥4． …（10分）
18.（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有5种独立的放法，由分步乘法计数原
理，放法共有55
=3125种； …（4分） （2）有2
4
55C A =1200种；…（8分）
（3）5个球分为3组有两种分法，（2，2，1），（3，1，1），
所以恰有两个盒子不放球的不同放法是2231
3
5352522
22
()C C C C A A A +=1500种．…（12分） 19. （1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直． …（2分）
以B 为坐标原点，分别以BA ，BB 1，BC 所在直线别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则N （4，4，0），B 1（0，8，0），C 1（0，8，4），C （0，0，4）
∵1BN NB ⋅u u u r u u u u r =(4，4，0)•(﹣4，4，0)=﹣16+16=0 11BN BC ⋅u u u r u u u u r =(4，4，0)•(0，0，4)=0
∴BN ⊥NB 1，BN ⊥B 1C 1且NB 1与B 1C 1相交于B 1， ∴BN ⊥平面C 1B 1N ； …（4分）
（2）设2n u u r
=（x ，y ，z ）为平面NCB 1的一个法向量，
则 2200n CN n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ⇒00x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩ 取2n u u r =(1,1,2)，1(4,4,4)C N =--u u u u r
则2
sin 3
θ=
；…（8分） （3）∵M （2，0，0）．设P （0，0，a ）为BC 上一点，则MP u u u r
=(-2，0，a )
∵MP ‖平面CNB 1，
∴2MP n ⊥u u u r u u r ⇒2(2,0,)(1,1,2)220MP n a a ⋅=-⋅=-+=u u u r u u r
∴1a =．
又PM ⊄平面CNB 1，∴MP ‖平面CNB 1， ∴当PB=1时，MP ‖平面CNB 1 ∴
1
3
BP PC =…（12分）
20.（1）由已知a ≠0，集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，0，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，
所有事件有5×3=15个，设A 事件为：函数y =ax +b 是增函数的3×3=9个，由古典概型的概
率公式得到，93
()155
P A =
=；…（6分） （2）线性约束条件所表示的区域面积S=7
2
，
要使函数y =ax +b 的图象经过二、三、四象限，则实数a ，b 必须满足条件101010a b a b -≤≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪+-≤⎩
，
如图阴影部分，
其面积为S 1=1，所求的概率为P=
12
7
S S =．…（12分） 21.（1）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k （x ﹣4）， 代入椭圆方程，消去y 得(3+4k 2
)x 2
﹣32k 2
x +64k 2
﹣12=0． 由∆=(﹣32k 2)2
﹣4(3+4k 2
)(64k 2﹣12)＞0，得-12＜k ＜1
2
． 设A(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1+x 2=2
2
3234k k
+，x 1x 2=22641234k k -+①， ∴⋅u u u r u u u r OA OB =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2﹣4k 2(x 1+x 2)+16k 2
=25﹣
2
87
34k
+， ∵﹣
12＜k ＜12， ∴25﹣28734k +∈[﹣4，134)， ∴⋅u u u r u u u r OA OB 的取值范围是[﹣4，13
4
)；…（6分）
（2）直线与x 轴相交于定点(1，0)．
∵B ，E 关于x 轴对称， ∴点E 的坐标为(x 2，﹣y 2)， 直线AE 的方程为y ﹣y 1=
12
12
y y x x +-(x ﹣x 1)，
又y 1=k (x 1﹣4)，y 2=k (x 2﹣4)， 令y =0，得x =
12211212121224()
18
x y x y x x x x y y x x +-+==++-．
∴直线与x 轴相交于定点(1，0)．…（12分）
22.(1)点P 到两定点A(－3，0)和B(3，0)距离之和等于定圆半径，即|PA|+|PB|=8
∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4的椭圆，其方程为22
1167
x y +=…（3分）
(2)设:OQ x my =，112233(,),(,),(,)M x y N x y Q x y
→
AM •→
AN =1212(3)(3)x x y y +++=2
12(1)m y y +=2249(1)
716
m m +-+
联立方程组221167x my
x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去x 得2
2
112716y m =+，3y 为其一根 222222
3332112(1)||(1)716
m OQ x y m y m +=+=+=
+u u u r ，故49112λ-=，716λ=- ∴存在符合条件的常数λ，7
16
λ=-
…（7分） （3）因为Q 不在x 轴上，故可设直线MN:x =my -3
联立方程组2231167
x my x y =-⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去x 得22
(716)42490m y my +--=，
由于//MN OQ ，所以121213
||||||22
MNQ MON S S S OA y y y y ===
-=-V V =22222235613281328
27
927m +167(m +1)+9711
m m m m +⋅+⋅=⋅==≤++
+
当且仅当2
2
7
m =
时取等号，故所求最大值为27…（12分）。