常系数微分方程

小 结 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 二阶常系数线性齐次微分方程 特征方程 特征根
y p y q y 0
2 p q 0 。
通解形式
y C1e 1 x C2 e 2 x y e 1 x (C1 C2 x) y e x (C1 cos x C2 sin x)
(其中u x k Q( x))
例
解
求方程 y 2 y 3 y e x 的通解 。
f ( x) e x， 1，n 0 。 ( f ( x) e x Pn ( x) )
对应的齐次方程的特征方程为 特征根为 对应的齐次方程的通解为
2 2 3 0 ，
二、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程
y p y q y 0
的特征方程为 定理 1
(1)
2 p q 0 。
1) 特征方程有两个不同的 实根 1 2 ，则
y1 e 1x， y2 e 2 x
是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为
第十章
第四(二）、五节
二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数线性微分方程解的关系
y p y q y 0 (1) y p y q y f ( x) (2)
二阶常系数齐线性方程
二阶常系数非齐线性方程
特征方程
2 p q 0
特征根 1 , 2 通解 y C1 y1 C2 y2
1 2 (实根 ) 1 2 (实重根 ) 1, 2 i (共轭复根 )
练习
求下列微分方程的通解：
y 3 y 10 y 0 y 4 y 4 y 0 y 4 y 13 y 0
第十章第四节 P223习题10-4 1.(1)(4)
1 3， 2 1。
x
t 0
x0 ， 0。
dx dt
t 0
我们要找的规律是下列初值问题的解：
d2 x a2 x 0， d t2 dx x t 0 x0 ， dt
0。
t 0
特征方程
2 a 2 0 ，
特征根 所求通解为 由 x
dx 由 dt
t 0
1, 2 i a ，
d2 x a2 x 0， d t2 dx x t 0 x0 ， dt
是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解 定理 3
若特征方程有一对共轭复根： 1, 2 i ，
则原方程的通解可表示为
y e (C1 cos x C2 sin x) 。
x
二阶常系数线性齐微分方程 特征方程 特征根
y p y q y 0
2 p q 0 。
y e x u (x)
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p ) u ( 2 p q ) u Pn ( x) 。 (3)
(1) 若 不是特征根，则
2 p q 0，
由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有
其中 Qn ( x ) 是待定系数多项式，将 其分别带入 下三式中比较两端 x的同次幂系数即可确定 Qn ( x ).
u (2 p) u ( 2 p q ) u Pn ( x) 。
u (2 p )u Pn ( x) 。 u Pn ( x) 。
由初始条件 s 故所求特解为
t 0
4，
ds dt
2 得 C1 4 ， 2 2 ， C
t 0
s e t (4 2 t ) 。
例4
用手将上端固定，下端 悬挂着的质量为 m 的物体的弹簧从 静止状态 开始拉长， 当点 O 的位移为 x x0 时， 突然放手， 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹
(2)
代入方程 (2) ，得
e x (u 2 u 2 u pu pu qu ) e x Pn ( x)，
即
u (2 p ) u ( 2 p q ) u Pn ( x) 。 (3)
方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
0。
t 0
x C1 cos a t C2 sin a t 。
x0 ，得 C1 x0 ；
t 0
＝ aC1 sin a t aC2 cos a t ) t 0 C2 a 0 ，得 C2 0 。 ( 简谐振动
从而，所求运动规律为
k x x0 cos a t ， ( a )。 m
(下册)
授课教师： 李晓沛
1。常微分方程有关概念 2、线性微分方程解的结构
上节回顾
第十章 常微分方程初步
第四节 常系数线性微分方程
定义 形如
y ( n ) p1 y ( n 1) pn 1 y pn y 0
(1)
y ( n ) p1 y ( n 1) pn 1 y pn y f ( x) (2)
解
簧运动的规律（设弹簧质量不计 ）。 取 x 轴如如图所示。 由力学的虎克定理，有
O x
f k x 。 （ k为弹性系数 ）。
由牛顿第二定律，得 d2 x m 2 k x 。 dt
x
k 移项，并记 a ，则有 m d2 x a2 x 0， d t2
2
( a 0) 。
记拉长后，突然放手的时刻为 t 0 ，则有初始条件： 初始位移 初始速度
y e x (C1 cos 2 x C2 sin 2 x) 。
例3
d2 s ds 求方程 2 s 0 满足初始条件的解： 2 dt dt
s
t 0
4，
ds dt
2 。
t 0
解
特征方程
2 2 1 0 ，
特征根
所求通解为
1 2 1，
s e t (C1 C2 t ) 。
由多项式求导的特点可设
u ( x) x Qn ( x) x (b0 x n b1 x n 1 bn 1 x bn ) ，
故当 f ( x) e x Pn ( x) 中的 是方程 (2) 的单特征根时， 方程 (2) 有下列形式的特解:
y* x e x Qn ( x) 。
通解形式
y C1e 1 x C2 e 2 x y e 1 x (C1 C2 x) y e x (C1 cos x C2 sin x)
1 2 (实根 ) 1 2 (实重根 )
1, 2 i (共轭复根 )
例1
解
求方程 y 2 y 3 y 0 的通解。
特征方程
2 p q 0 ；
特征根
1 ，2 。
单根 二重根 一对共轭复根
假设方程
y p y q y e x Pn ( x)
y e x u ( x) ， 则 有下列形式的特解： y e x u e x u ， y 2 e x u 2 e x u e x u ，
y e x u (x)
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p ) u ( 2 p q ) u Pn ( x) 。 (3)
(3) 若 是二重特征根，则
2 p q 0，
p 且 ＝ ，即 2 p＝0 。此时，方程 (3) 为 2 u Pn ( x) 。
定理 2 当特征方程有重实根 1 时，方程 ( 1 ) 的通解为
y C1e 1x C2 xe 1x e 1 x (C1 C2 x)。
3) 特征方程有一对共轭复根：
1 i ，2 i ，则
y1 e x cos x ，
y2 e x sin x
u ( x) Qn ( x) b0 x n b1 x n 1 bn 1 x bn ，
故当 f ( x) e x Pn ( x) 中的 不是方程 (2) 的特征根时， 方程 (2) 有下列形式的特解:
y* e x Qn ( x) 。
y e x u (x)
特征方程
2 2 3 0 ，
特征根
所求通解为
1 1， 2 3， ＝－
y C1e x C2 e3x 。
例2
解
求方程 y 2 y 5 y 0 的通解。
特征方程
2 2 5 0 ，
特征根
所求通解为
1 1 2 i ， 2 1 2 i ，
y C1 y1 C2 y2 C1e 1x C2 e 2 x .
y p y q y 0
(1)
p 2 4q 0 ，
2) 特征方程有 实重根 1 2 ，则
p p 2 4q p ， 2 2
p 21 0
由求根公式
1, 2
此时，y1 e 1x，xe1x 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解。
(1)
的特征方程。它的根称为特征根
二阶常系数齐次线性微分方程
y p y q y 0
假设方程 (1)有形如 y e
x
(1)
的解，则代入方程后， 得
2 e x pe x qe x 0
即
2 p q 0
2
也就是说 是方程x px q 0的根。
由多项式求导的特点可设
u ( x) x 2 Qn ( x) x 2 (b0 x n b1 x n 1 bn 1 x bn ) ，
故当 f ( x) e x Pn ( x) 中的 是方程 (2) 的二重特征根时， 方程 (2) 有下列形式的特解:
y* x 2 e x Qn ( x) 。
的方程，分别称为 n 阶常系数线性齐次微分方程和n 阶常系 其中 p1 , , pn 为(实)常数。 数线性非齐次微分方程，
特征方程与特征根
定义
n p1 n 1 pn 1 pn 0
(3)
称为
y
(n)
p1 y
( n 1)
pn 1 y pn y 0
特解 y *
通解 y C1 y1 C2 y2 y *
我们只讨论函数 f ( x ) 的简单情形下，(2) 的特解。
f ( x) e x Pn ( x) 的情形
y p y q y f ( x) (2) y p y q y 0 。 (1)
其中 Pn ( x) a0 x n a1 x n 1 an 1 x an 。 方程 (2) 对应的齐次方程 (1) 的特征方程及特征根为
定理 4
当二阶常系数线性非齐次方程 y p y q y f ( x) ( 2) 它有下列形式的特解： 的右端为 f ( x) e x Pn ( x) 时，
y* x k e x Qn ( x) ，
其中： 当 不是特征根时，取 k＝0 ； 当 是单特征根时，取 k＝1 ； 当 是二重特征根时，取 k＝2 。
y p y q y e x Pn ( x) (2) u (2 p ) u ( 2 p q ) u Pn ( x) 。 (3)
(2) 若 是单特征根，则
Hale Waihona Puke Baidu
2 p q 0，
p 而 ，即 2 p 0 。此时，方程 (3) 为 2 u (2 p )u Pn ( x) 。