2020年四川省广元市宝轮中学高三数学文测试题含解析

2020年四川省广元市宝轮中学高三数学文测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2
由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以我们可以在正方体中寻找此四面体．如图所示，
四面体ABCD满足题意，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，
由题意可知，正方体的棱长为1，所以外接球的半径为R=，
所以此四面体的外接球表面积S=4×π×()2=3π．
【思路点拨】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，所以此四面体一定可以放在棱长为1的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球表面积．
2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin （2θ+）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
参考答案：
A
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】根据定义求解sinθ和cosθ的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解出答案．
【解答】解：由题意，已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，
可知θ在第一或第三象限．
根据正余弦函数的定义：可得sinθ=，cosθ=±，
则sin（2θ+）
=sin2θcos+cos2θsin=sinθcosθ+==
故选：A．
3. 函数的零点所在的区间为（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
4. 在抛物线上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
解：两点坐标为，两点连线的斜率k=
对于，，
∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1
在抛物线上的切点为，切线方程为
直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即
解得a=4或0（0舍去），所以抛物线方程为顶点坐标为，故选A．
5. 若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则=（）
A. 3
B. 2
C.
D.
参考答案：
D
略
6.
参考答案：
A
略
7. 如左图所示，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可有
是右图中的
参考答案：
A
8. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．，则
B．，则
C．，则 D．，则
参考答案：
A
9. 甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为，则
A.，
B.，
C.，
D.，
参考答案：
C
10. 已知复数满足(为虚数单位），则复数（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
因为，所以 .
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数y＝f(x) (x∈R)满足f(－x＋2)＝f(－x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y＝f(x)与y＝log7x的交点的个数为________．
参考答案：
6
略
12. 已知函数的值域是，则常数，
．
参考答案：
13. （3分）（2014?嘉定区三模）= ．
参考答案：
考点：极限及其运算．
专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的求和公式可得1+2+3+…+n=，然后即可求出其极限值．解答：
=
=（+）=，故答案为：
点评：本题主要考察极限及其运算．解题的关键是要掌握极限的实则运算法则和常用求极限的技巧！
14. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数
参考答案：
，要使复数是纯虚数，则有且，解得.
15. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
参考答案：
16. 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b= ．参考答案：
ln2
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可
【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+1和y=ln（x+2）的切点分别为（x1，lnx1+1）、（x2，ln（x2+2））；
∵y=lnx+1，y=ln（x+2）
∴y′=，y′=，
∴k==，
∴x1﹣x2=2，
切线方程分别为y﹣（lnx1+1）=（x﹣x1），即为y=+lnx1，
或y﹣ln（x2+2）=（x﹣x2），即为y=++lnx1，
∴=0，
解得x1=2，
∴b=ln2
故答案为：ln2
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．17. 已知函数，其中，若过原点且斜率为k的直线与曲线
相切，则的值为▲ .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）
=3
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P1，P2分别为曲线C1、C2上的两个动点，求线段P1P2的最小值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）用x，y表示出cosα，sinα，根据cos2α+sin2α=1得出曲线C1的普通方
程，利用和角公式将ρsin（θ+）=3展开，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C2的直角坐标方程；
（2）求出P1到直线C2的距离d，利用三角函数的性质得出d的最小值即线段P1P2的最小值．
【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴cosα=，sinα=，
∵cos2α+sin2α=1，∴+=1．即曲线C1的普通方程为+=1．
∵曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，
∴ρsinθ+ρcosθ=6，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲线C2的直角坐标方程为x+y﹣6=0．
（2）设P1（2cosα，sinα），则P1到直线C2的距离
d==，
∴当sin（θ+φ）=1时，d取得最小值=3﹣．
∴线段P1P2的最小值为3﹣．
19. （本小题满分12分）已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26.{a n}的前n项和为S n.
(Ⅰ)求a n及S n；
(Ⅱ)令b n＝(n∈N＋)，求数列{b n}的前n项和T n.
参考答案：
解析(1)设等差数列{a n}的公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，
所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.
由于a n＝a1＋(n－1)d，S n＝，
所以a n＝2n＋1，S n＝n(n＋2)．----------------------------------------------6分
(2)因为a n＝2n＋1，
所以a－1＝4n(n＋1)，
因此b n＝＝.
故T n＝b1＋b2＋…＋b n
＝
＝＝，
所以数列{b n}的前n项和T n＝.--------------------------------------------------12分
20. 已知函数（其中，）.
（Ⅰ）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数在上的最大值和最小值；
（Ⅲ）当时，求证：对于任意大于1的正整数，都有.
参考答案：
解：（Ⅰ），
函数在上为增函数，对任意恒成立.对
任意恒成立，即对任意恒成立.时，，所求正实数的取值范围是.
（Ⅱ）当时，，当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增；
在区间有唯一的极小值点，也是最小值点，；
又.
在区间的最大值是.
综上所述：在区间的最大值是；最小值是0.
（Ⅲ）当时，，，故在上是增函数.
当时，令，则当时，.
，即.
，，
.
即对于任意大于1的正整数，都有.
略
21. 已知数列的前项和，数列满足
．
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的通项；
（Ⅲ）若，求数列的前项和．
参考答案：
（Ⅱ）∵
∴，
，
，………
略
22. （本小题满分12分）
已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C 上异于A，B的动点，△APB面积的最大值为2.
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD 为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
参考答案：
（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．
由题意知解得. ………2分
故椭圆的方程为. ………4分（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．
证明如下：由题意可知，，，直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为，圆的半径………6分
由得．
设点的坐标为，则
………8分
因为点坐标为，直线的斜率为，直线的方程为：
点到直线的距离
．………10分
所以．故以为直径的圆与直线相切．………12分。