二次型的应用

二次型的应用
在数学的学习和应用中,二次型的理论是十分重要的.它不仅是代数中的重要理论,更是连接代数与几何的有力桥梁事实上,二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题.学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解,也可以对几何有更为形象的认识.
因此,掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的.
应用一 二次型理论在二次曲面分类上的应用
1. 应用实例
例1 判别方程124322=++z xy x 所代表的二次曲面的类型.
解 方程左边为一三元二次型,不妨设22(,,)342f x y z x xy z =++,则f 的矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=200002023A
易求得A 的特征值为1,2,4321-===λλλ.
由（8）式知所求曲面的标准方程为
()
()
11
21212
12
21
2
21
=-+
z
y x 因此,该曲面是单叶双曲面,如图1.
图1 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形
例2 判别方程0122222=-+-++y x yz xz xy 所代表的二次曲面的类型.
解 记 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110A
,0B ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,x U y z ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
则原方程可写为
10
T T U AU B U +-=
A 的特征值及对应的标准正交特征向量分别为：
21=λ
,)11,1,1T Q =
；)(12二重-=λ
,)2
1,1,0T Q =-
,)31,1,2T
Q =-
令
(
)123,,0
Q Q Q Q ⎫⎪⎪⎪
==⎪⎪ 则有
)1,1,2(--=diag AQ Q T ,(0,2,0)T B Q d =-
作正交变换U QV =,其中111(,,)T V x y z =,则（9）式化为
(2,1,1)10T V diag V dV --+-=
即
01221212121=----y z y x
配方,得
0)1(2212121=-+-z y x
作平移变换12x x =,112+=y y ,12z z =,得
02222222=--z y x
这就是原曲面方程的标准方程,它表示一个顶点在原点,旋转轴为x 轴的圆锥面,如图
2.
图2 二次曲面变换前（左图）、后（右图）的图形
应用二 二次型理论在多元函数极值问题中的应用
应用实例
例1 求函数32(,)31512f x y x xy x y =+--的极值 解 (,)f x y 的几何描述如图3.
图3 的几何图形),(y x f
(,)f x y 在2R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00y
f
x f
即
⎩⎨
⎧=-=-+0
1260
153322xy y x 得到四个驻点：（2,1）,（-2,-1）,（2,1）,（-1,-2） .
进一步计算得
x y
f
y y x f x x f 6,6,62222
2=∂∂=∂∂∂=∂∂
即
63()36x y H X y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
矩阵()1262,1612H ⎛⎫
= ⎪⎝⎭是正定矩阵,故（2,1）是极小值点,此时极值为-28；
矩阵126(2,1)612H --⎛⎫--= ⎪--⎝⎭是负定矩阵,故（-2,-1）是极大值点,此时极值为
28；
矩阵612(1,2)126H ⎛⎫= ⎪⎝⎭,612(1,2)126H --⎛⎫
--= ⎪--⎝⎭都是不定矩阵,故（1,2）,
（-1,-2）都不是极值点.
例2 求函数222(,,)23264f x y z x y z x z y =+++-+的极值.
解 (,,)f x y z 在3R 上有定义,且有连续的一阶、二阶偏导数.求解方程组
000f
x f
y f z
⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩ 即
220440660x y z +=⎧⎪
+=⎨⎪-=⎩
得到驻点为（-1,-1,1）. 进一步计算得
22222,0,0f f f
x x y x z
∂∂∂===∂∂∂∂∂
22220,4,0f f f
y x y y z ∂∂∂===∂∂∂∂∂ 22220,0,6f f f
z x z y z
∂∂∂===∂∂∂∂∂ 即
200()040006H X ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
而()H X 是正定的,所以(,,)f x y z 在（-1,-1,1）点取得极小值,此时极值为-6.
(,,)f x y z 的几何描述如图4.
图4 ),,(z y x f 的三维切面图
应用三 半正定二次型在不等式证明中的应用举例
该方法证明不等式的基本思路是：首先构造二次型,然后利用二次型半正定性的定义或等价条件.判断二次型(矩阵)为半正定,从而得到不等式[7].
例１ 设,a b R ∈,试证222a b ab +≥.
证 要证明的不等式可写成2220a b ab +-≥,所以只需证矩阵
1111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
半正定.
由于A 的一阶、二阶主子式分别10>,0A =,所以A 半正定,从而二次
型
()22(,),2a f a b a b A a b ab b ⎛⎫
==+- ⎪⎝⎭
半正定.(,)f a b 的几何描述如图5.
图5 ),(b a f 的几何图形
例2 已知ABC ∆的三边分别为,,a b c ,面积为S ,试证222a b c ++≥. 证 利用余弦定理及面积公式,将问题转化为
2222(,)2cos sin f a b a b a b ab C C =+++--
22222(cos )a b ab C C =+-
22224sin()
6
a b ab C π
=+-+
其矩阵为
22sin()6
2sin()26C A C ππ⎛⎫
-+ ⎪= ⎪ ⎪-+ ⎪⎝⎭
由于A 的一阶、二阶主子式分别
20>, 2266
4[1sin ()]4cos ()0A C C ππ
=-+=+≥,
所以A 半正定,从而二次型(,)f a b 半正定,即结论成立.
例3（Cauchy 不等式） 设,(1,2,,)i i a b i n = 为任意实数,则
))(()(1
2
1
2
2
1
∑∑∑===≤n
i i n
i i n
i i i b a b a
证 记2
21
2
211
2
1
1
2
1
2
2121)()(2)()(),(x b x x b a x a x b x a x x f n
i i n
i i i n
i i n
i i i ∑∑∑∑====++=+=
因为对于任意1x ,2x ,都有0),(21≥x x f ,故关于1x ,2x 的二次型),(21x x f 是半正定的.
因此,该二次型矩阵的行列式大于或等于0,即
01
21
112≥∑∑∑∑====n
i i n
i i
i n
i i
i n
i i
b
b a b
a a
故得))(()(121
2
2
1
∑∑∑===≤n
i i n i i n i i i b a b a .
例4 证明21
1
2)(∑∑==≥n
i i n
i i x x n .
证 记22121
1
(,,,)()n n
T n i i i i f x x x n x x X AX ===-=∑∑ ,其中
12(,,,)T n X x x x = ,11111
11
11n n A n ---⎛⎫
⎪
---
⎪
= ⎪
⎪
---⎝⎭
经过初等变换得：
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--n n A 00000110~ , 于是A 的特征值为1
0,,,n n n -
,于是A 为半正定矩阵,即二次型是半正定的,从而得
12(,,,)0n f x x x ≥ ,即
21
1
2
)(∑∑==≥n
i i n
i i x x n
应用四 二次型在统计中的应用
4.1 关于统计距离
许多统计问题都涉及到样本点距某中心的距离,在大多数情况下,通常的欧氏距离是不能令人信服的[8].
考察p 维变量12(,,,)T n X x x x = 对应p 维空间的点),,,(21p x x x M ,假设M 的位置可以变化,为了体现各个变量在变差大小上的不同以及有时存在的相关性,需要建立统计距离.
定义 4.1 设p p B ⨯为正定矩阵,称1
2
(0,)()T
d M X BX =为一种距离,对于不同的B 的选择,可得到不同的统计距离.如回归诊断中使用较多的Mahalanabis 距离,Cook 距离等.
为考虑问题的方便,考察2(0,)T d M X BX =,而T X BX 为正定矩阵B 的二次型.
4.2 二次型在求自由度中的应用
在统计学中,自由度是指总体参数估计量中变量值独立自由变化的个数.它产生于利用样本量估计参数的时候.实际上自由度也是对随机变量的二次型（也可以称为二次统计量）而言的.∑j
i j i ij x x ,α的秩的大小反映了n 个变量中能自由变动的无约束变
量的多少,因此我们所说的自由度就是二次型的秩[9].
例1 求统计量∑=-n
i i x x 12)(的自由度.
解
∑∑==-=-n
i i n i i x n x x x 1
2
21
2
)(
2
11
2
1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==n i i n
i i x n x
∑∑==-+-=n i j i n
i i x x n x n 1
12)1
()11(
AX
X T
其中)(2
1n x x x X =,⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---
------
=n n n
n n n n n n
A 11111111111
1
我们可以通过矩阵的初等变换求得A 的秩为1-n ,所以统计量∑=-n
i i x x 1
2)(的自
由度为1-n .
应用五 二次型理论在耦合谐振子问题中的应用
在量子力学、固体物理、量子光学、分子光谱等领域,经常遇到一系列的耦合谐振子问题,因此,研究耦合谐振子的解也就显得尤为重要,解决此类问题的关键是使体系的哈密顿量退耦,可以利用二次型理论构造一幺正交变换矩阵精确求解质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的能谱[10].
质量和频率均不相同的双膜双耦合谐振子体系的哈密顿量为
21212
2
2212112221212
222p p x x m x m m p m p H γλωω+++++=
式中λ和γ分别为坐标耦合强度和动力耦合强度,上式的哈密顿量就是一个二次型.
H 的矩阵为
122112
121
20
212
002002200
2m A m m m γγωλλω⎛⎫ ⎪
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎪⎝
⎭ 关于H ,详细的分析和讨论请参阅参考文献[10].。