考研数学(数学一)模拟试卷282(题后含答案及解析)

考研数学（数学一）模拟试卷282(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)=则f(x)在x=0处( )．
A．极限不存在
B．极限存在但不连续
C．连续但不可导
D．可导
正确答案：C
解析：即f(x)在x=0处不可导，故选(C)．
2．设g(x)=∫0xf(u)du，其中f(x)=，则g(x)在区间(0，2)内( )．
A．无界
B．递减
C．不连续
D．连续
正确答案：D
解析：由题设，当0≤x＜1时，f(x)=1/2(x2+1)，则从而g(x)在点x=1也是连续的．综上，g(x)在区间(0，2)内连续，选(D)．
3．设直线L：及平面π：4x-2y+x-6=0，则直线L( )．
A．平行于平面π
B．在平面π上
C．垂直于平面π
D．与平面π斜交
正确答案：C
解析：直线L的方向向量为s={1，3，2}×{2，-1，-10}={-28，14，-7}，因为s／／n，所以直线L与平面π垂直，正确答案为(C)．
4．设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．
A．f(x0，y)在y=y0处导数为零
B．f(x0，y)在y=y0处导数大于零
C．f(x0，y)在y=y0处导数小于零
D．f(x0，y)在y=y0处导数不存在
正确答案：A
解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有fx’(x0，y0)=0，fy’(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)．
5．设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )．
A．矩阵A不可逆
B．矩阵A的迹为零
C．特征值-1，1对应的特征值向量正交
D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量
正确答案：C
解析：由λ1=-1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)．
6．设矩阵，则A与B( )．
A．合同，且相似
B．合同，但不相似
C．不合同，但相似
D．既不合同，也不相似
正确答案：B
解析：，则A=C+3E，由｜λE-C｜=0得C的特征值为λ1=-3。

λ1=-3，λ2=λ3=0，则A的特征值为0，3，3，B的特征值为1，1，0，显然A与B不相似，A与B的正、负惯性指数均为2，0，即A与B合同．故应选(B)．
7．设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，随机变量y服从正态分布N(μ2，σ22)，且P{｜X-μ1，σ12P{｜Y-μ2｜＜1}，则必有( )．A．σ1＜σ2
B．σ1＞σ2
C．μ1＜μ2
D．μ1＞μ2
正确答案：A
解析：
8．对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)．E(Y)，则( )．
A．D(XY)=D(X)．D(Y)
B．D(X+Y)=D(X)+D(Y)
C．X和Y独立
D．X和Y不独立
正确答案：B
解析：因为D(X+Y)=E[X+Y-E(X+Y)]2=E[X-E(x)+Y-E(y)]2 =E[X-E(x)]2+E[Y-E(y)]2+2E[(X-E(x))(Y-E(y))]=D(x)+D(y)+2[E(XY)-E(x)E(y)]=D( x)+D(y)．故应选(B)．
填空题
9．=_________．
正确答案：
解析：由题设，
10．设曲线f(x)=x’’在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(ξn，0)，则=_________．
正确答案：e-1
解析：由题设f(x)=xn，则f’(x)=nxn-1，因而f’(1)=n，则点(1，1)处的切线方程为y-1=n(x-1)，该切线与x轴的交点为因此
11．设f(x，y，z)=ezyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f_’(0，1，-1)=_________．
正确答案：1
解析：设F(x，y，z)=x+y+z+xyz，则又fx’=exyz2+exy*2z*zx’，故fx’(0，1，-1)=1．
12．微分方程满足y｜x=1=1的特解为y=_________．
正确答案：
解析：
13．设R3中的向量ξ在基a1=(1，-2，1)T，a2=(0，1，1)T，a3=(3，2，1)T下的坐标为(x1，x2，x3)T，它在基β1，β2，β3下的坐标为(y1，y2，y3)T，且y1=x1-x2-x3，y2=-x1+x2，y3=x1+2x3，则由基β1、β2、β3到基a1、a2、a3的过渡矩阵P=_________．
正确答案：
解析：∵(a1，a2，a3)=(β1，β2，β3)P，(a1，a2，a3)T=P(x1，x2，x3)T 又y1=x1-x2-x3，y2=-x1+x2，y3=x1+2x3
14．在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(a，0．22)，若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{｜-a｜＜0．1}≥0．95，n的最小值应小于自然数_________．
正确答案：最小值应不小于16
解析：由题设，Xn为样本均值，对其作线性变换，即令则由中心极限定理知Z～N(0，1)，因此其中φ为标准正态分布，即有，从而因此n的最小值应不小于16．
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．求极限，其中n是给定的自然数．
正确答案：
16．计算
正确答案：
17．计算，Ω是球面x2+y2+z2=4与抛物面x2+y2=3z所围形成．
正确答案：凡积分域是由抛物面与其它曲面所围成之形体，一般用柱坐标计算为宜．在柱坐标系下，球面与抛物面的交线为故
18．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且，f+’+(a)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(a)＜0．
正确答案：因为，所以存在δ＞0，当0＜x-a＜δ时，有。

于是存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0；由微分中值定理，存在ξ1∈(α，c)，ξ2∈(c，b)，使得再由微分中值定理及f(x)的二阶可导性，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得
19．设z=f(u，v，x)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)，求复合函数z=f(φ(x，y)，ψ(y)，x)的偏导数
正确答案：由复合函数求导法，得
20．设齐次线性方程组，其中a≠0，b≠0，n≥2，试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、无穷多组解?在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．
正确答案：由题设，方程组的系数矩阵为A=则｜A｜=当a≠b且a+(n-1)b ≠0，即a≠(1-n)b时，方程组仅有零解．当a=b时，对A可作初等行变换化为阶梯形则不难求得原方程组的基础解系为因此方程组的全部解是x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1，其中k1，k2，…，kn-1为任意常数．当a=(1-n)b时，同样对A 作初等行变换化为阶梯形则可得此时基础解系为，从而原方程组的全部解是k ξ，其中k为任意常数．
21．设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化
成．f=y22+2y32，P是三阶正交矩阵，试求常数a、β．
正确答案：变换前后二次型的矩阵分别为二次型可以写成f=xTAx和f=yTBy，由于PTAP=B，P为正交矩阵，故p-1AP=B，因此｜λE-A｜=｜λE-B｜，即λ3-3λ3+(2-a2-β2)λ+(a-β)2=λ3-3λ2+2λ，比较系数得a=β=0．
22．一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)，已知X和Y的联合分布函数为F(x，y)= (Ⅰ)X和Y是否独立? (Ⅱ)求两个部件的寿命都超过100小时的概率a．
正确答案：由题设条件知X和Y的分布函数分别为(Ⅰ)由上式知F(x，Y)=FX(x)FY(y)，故X和Y相互独立，(II)a=P{X＞0．1，Y＞0．1}=P{X＞0．1}P{Y ＞0．1} =(1-P{x≤0．1})(1-P{Y≤0．1})=[1-FX(0．1)][1-FY(0．1)]=e-0.1．
23．一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0．9777(φ(2)=0．977，其中(x)是标准正态分布函数)
正确答案：由题设，设Xi(i=1，2，…，n)是装运的第i箱的重量(单位：千克)，n是所求箱数，由已知条件X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量，设n箱的总重量为Tn，则Tn=X1+X2+…+Xn．又由题设，E(Xi)=50，D(Xi)=25，i：1，2，…，n，从而E(Tn)=n．50=50n，D(Tn)=25n(单位皆为千克)，由中心极限定理，知Tn近似服从参数为50n，25n的正态分布，即N(50n，25n)，由条件。