【学海导航】湖南省2020届高中数学第2轮总复习 专题2第7讲 三角函数模型与解三角形的实际应用课件

解析：1因为四边形ABCD内接于圆，
所以ABC ADC 180.
连接AC，由余弦定理，
AC2 42 62 2 4 6 cosABC，
AC2 42 22 2 2 4cosADC.
又cosABC cosADC，所以cosABC 1 .
因为ABC (0，180)，故ABC 60.
专题二 三角变换与平面向量、 复数
三角函数是描述周期现象的数学模型．高考 中，单摆、弹簧振子、圆上一点的运动、以 及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期性现 象是新的命题背景． 1．新教材中增设了三角函数模型的简单应用，且 在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题 专门作为参考案例(在原来的教材中只有阅读材料)， 教材中有几处涉及三角函数在物理学科中的应用，
2
S四边形 ABCD
1 2
4 6 sin60
1 2
2 4 sin120
8 3(万平方米)．
在ABC中，由余弦定理， AC2 AB2 BC2 2AB BC cosABC 16 36 2 4 6 1 28，所以AC 2 7.
2 由正弦定理 a b 2R，
sinA sinB 所以2R AC 2 7 4 21，
所以x2 y2 xy 2xy xy xy，所以xy 28，
当且仅当x y时取等号．
所以S四边形 APCD 2
3
3 xy 2 4
3
3 28 9， 4
所以最大面积为9 3万平方米．
【点评】本题主要考查三角形基础知识，以 及学生的识图能力和综合运用三角知识解决 实际问题的能力．
备选题
那么的最小正整数值是多少？
解析：1由图可知A 300.
设t1
1 900
，t2
1 180
,
则周期T
2t2
t1
2( 1 180
1) 900
1, 75
所以 2 150 .
T
又当t 1 时，I 0，即sin(150 1 ) 0，
180
180
而 | | ,所以 .
2
6
故所求的解析式为I 300sin(150 t ).
如图所示，某动物园要为刚入园的小老
虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动
室，已知已有两面墙的角为60°(即∠C=60°)．现 有可供建造第三面墙的材料6米(两面墙的长均大于 6米)，为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的
三角形露天活动室尽可能大，记∠ABC= ，问当
为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最 大？
如用函数y Asin(wx )的物理意义刻画简谐振动、
交流电等，说明三角函数是描述周期变化现象的重 要函数模型．显示重视三角函数实际应用的意图．
2．融入三角形之中的实际问题也常出现． 这种题型既能考查解三角形的知识与方法， 又能考查运用三角公式进行恒等变换的技 能，故近年来备受命题者的青睐，主要解 法是充分利用三角形的内角和定理、正(余) 弦定理、面积公式等，并结合三角公式进 行三角变换，从而获解．
6 3(1 cos 2 3 sin2 )
2
2
6 3 [1 sin(2 )],
建筑用地区域近似地为半径 是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原 棚户建筑用地，测量可知边界AB AD 4万米， BC 6万米，CD 2万米．
1请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆
面的半径R的值；
2 因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，
而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造 建筑用地的利用率，请在弧上设计一点P；使得 棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并 求最大值．
6
2依题意，周期T 1 ，即 2 1 ( 0)，
150 150 所以 300 942. 又 N*，故的最小正整数值是943.
【点评】本题解答的切入点是将图形语言转 化为符号语言．其中，读图、识图、用图 是数形结合的有效途径．
二、解三角形的应用 例2如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东 方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地 等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏 西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏
一、三角函数图象的应用
例1已知电流I与时间t的关系式为I Asin(t )．
1下图是I Asin(t )(A 0， 0，| | )
2 在一个周期内的图象，根据图中数据求
I Asin(t )的解析式；
2如果t在任意一段 1 秒的时间内，电流
150
I Asin(t )都能取得最大值和最小值，
解析：在ABC中，AC
sin
AB
sin
BC
sin(
)
,
3
3
化简得AC 4 3 sin , BC 4 3 sin( )，
3
所以SABC
1 2
AC BC sin
3
12 3 sin sin( )
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12 3 sin (1 sin 3 cos )
2
2
6 3(sin2 3 sin cos )
东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos的值．
解析：如题图所示，在ABC中，AB 40， AC 20，BAC 120，由余弦定理知， BC2 AB2 AC2 2AB AC cos120 2800，
得BC 20 7. 由正弦定理 AB BC ,
sin ACB sin BAC 得sin ACB AB sin BAC 21 . 由BAC 120B，C则ACB为锐角7，
sinABC 3 3
2 所以R 2 21 (万米)．
3
2
因为S四边形 APCD
S ADC
S
，
APC
又S ADC
1 2
AD CD sin120
2
3.
设AP x，CP y，
则S APC
1 2
xy sin60
3 xy. 4
又由余弦定理AC2 x2 y2 2xy cos60
x2 y2 xy 28，
cos ACB 2 7 . 由 ACB 30，
则cos
7 cos( ACB
30)
cosACB cos30 sin ACB sin 30
21 . 14
【点评】本题是解斜三角形的应用题，考查 了正、余弦定理以及两角和余弦公式的应用， 考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．
例3长沙市某棚户区改造建筑 用地平面示意图如图所示． 经规划调研确定，棚改规划