湖北省孝感市湖北随州广水城郊文华中学2019年高二数学文月考试题含解析

湖北省孝感市湖北随州广水城郊文华中学2019年高二
数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列能判定向量，垂直的是( )
A.·=0
B.=(1，0，3) ，=(0，2，0)
C.=λ
D.+=－
参考答案：
B
2. 集合M＝{1,2，(m2－2m－5)＋(m2＋5m＋6)i}，N＝{3,10}，且M∩N≠?，则实数m的值为．
A．－2 B．－2或4 C．－2或－3 D．－2或5 （）
参考答案：
C
略
3. 从10个学生中挑选若干人组成一组，如果必含其中某人的组合数等于必不含某人的组合数，则这样的一个组合的人数有（）
A．4个B．5个C．6个D．7个
参考答案：
B
略
4. 下面几种推理过程是演绎推理的是（）
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则．
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．
C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．
D．在数列中，由此归纳出的通项公式．
参考答案：
A
5. 若直线经过两点，则直线斜率为（）
A. B.1 C. D．－
参考答案：
A
6. 某四棱锥的三视图如图(1)所示，该四棱锥的体积为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
7. 下列函数中，在区间上为增函数的是（）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
A
考点：函数的单调性．
8. 的图像与直线相切，则的值为（）．
A． B． C． D．1
参考答案：
B
略
9. 椭圆的左、右焦点分别是F1（- c,0）, F2(c,0 )，过点的直线与椭圆交于A , B两点，且，则此椭圆的离心率为（）
A B C D
参考答案：
C
10. 已知数列{a n}，如果a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1，…，是首项为1，公比为的等比数列，则a n=（）
A．（1﹣）B．（1﹣）C．（1﹣）D．（1﹣）参考答案：
A
【考点】等比数列的性质．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】因为数列a1，（a2﹣a1），（a3﹣a2），…，（a n﹣a n﹣1），…，此数列是首项为
1，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式可得数列{a n}的通项．
【解答】解：由题意a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）
=
故选：A．
【点评】考查学生对等比数列性质的掌握能力，属于基础题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是．
参考答案：
3πa2
【考点】球内接多面体．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积．
【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且
PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，
长为，所以这个球面的面积．
故答案为：3πa2
【点评】本题是基础题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在．
12. 数列的第一项为1，并且对n∈N,n≥2都有：前n项之积为n2，则此数列的通项公式为____________
参考答案：
an=
略
13. 已知函数f（x）=mlnx+nx（m、，n∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线
方程为x﹣2y﹣2=0．（1）m+n=；（2）若x＞1时，f（x）+＜0恒成立，则实数k的取值范围是．
参考答案：
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：求出原函数的导函数，由f′（1）=得到m+n的值；利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0求得m，n的值，得到函数f（x）的解析式，代入f（x）+＜0并整理，构造函数g（x）=（x＞1），利用导数求得g（x）＞得答案．解答：解：由f（x）=mlnx+nx（m、，n∈R），
得，∴f′（1）=m+n，
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0，
∴m+n=；
由f′（1）=，f（1）=n，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣n=（x﹣1），
即x﹣2y+2n﹣1=0．
∴2n﹣1=﹣2，解得n=﹣．
∴m=1．
则f（x）=lnx﹣，
f（x）+＜0等价于lnx﹣+，
即，
令g（x）=（x＞1），
g′（x）=x﹣lnx﹣1，
再令h（x）=x﹣lnx﹣1，，当x＞1时h′（x）＞0，
h（x）为增函数，又h（1）=0，
∴当x＞1时，g′（x）＞0，
即g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=．
则k．
故答案为：；（﹣∞，]．
点评：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中高档题．
14. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，AE⊥PB，AF⊥PC，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________
参考答案：
略
15. 正项数列{a n}的前n项和为S n，且（），设，则数列{c n}的前2016项的和为．
参考答案：
,,
∴当时, ,解得.
当时, ,
可化为: ,
,
∴数列是等差数列,公差为1,首项为1.
，
.
,
则数列的前2016项的和
.
16. 抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，其中恰有一个点数为2的概率为．
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计．
【分析】求出所有的基本事件个数和符合要求的事件个数，代入古典概型的概率公式即可．
【解答】解：抛掷两颗质量均匀的骰子各一次共有6×6=36个基本事件，其中恰有一个点数为2的事件共有10个，
分别是（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），
∴恰有一个点数为2的概率P==．
故答案为．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．
17. 已知A、B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC
体积的最大值为，则球O的表面积为．
参考答案：
100π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱
锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．
【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积
最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB==，
故R=5，则球O的表面积为4πR2=100π，
故答案为：100π．
【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b﹣5，c=，且4sin2﹣cos2C=．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】解三角形；二倍角的余弦；余弦定理．
【分析】（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式
，再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC 的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）∵A+B+C=180°，
∴=90°﹣，
由得：，
∴，
整理得：4cos2C﹣4cosC+1=0，
解得：，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，
∴7=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab?ab=6，
∴．
19. （12分）已知函数f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，写出函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，求实数a的值；
（Ⅲ）若对任意的实数x∈[0，3]，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：
【考点】分段函数的应用；3D：函数的单调性及单调区间．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|=4|x﹣1|，即可写出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（﹣1）=f（1）?3|1﹣a|+|a﹣1|=3|﹣1﹣a|+|﹣a﹣1|，即可求实数a的值；
（Ⅲ）对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立?对任意的实数x∈，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0，分类讨论求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=3|x﹣a|+|ax﹣1|=4|x﹣1|，函数f（x）的减区间为（﹣∞，1），增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）若函数f（x）为偶函数，一定有f（﹣1）=f（1）?3|1﹣a|+|a﹣1|=3|﹣1﹣a|+|﹣a﹣1|，解得a=0，经检验符合题意．
（Ⅲ）对任意的实数x∈，不等式f（x）≥3x|x﹣a|恒成立?对任意的实数x∈，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0，
①当0≤x≤1时，（3﹣3x）|x﹣a|+|ax﹣1|≥0恒成立，a∈R
②当x∈（1，3]时，原不等式等价于|ax﹣1|≥|（3x﹣3）|x﹣a|
令g（x）=|（3x﹣3）（x﹣a）|，h（x）=|ax﹣1|
当a＞1时，0＜≤1，由ax﹣1=（3x﹣3）（a﹣x），即3x2﹣（2a+3）x﹣1+3a=0，△=（2a+3）2﹣
12（﹣1+3a）=0，a=（另一根舍去），∴a＞；
a=1时，不满足h（3）＞g（3）；
0＜a＜1时，＞1，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即﹣3a﹣1≥6（3﹣a），解得a≥，舍去；
a≤0，要使h（x）≥g（x），只要h（3）≥g（3），即3a﹣1≥6（3﹣a），解得a≥，舍去；
综上所述a＞．
【点评】本题考查函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
20. 每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差
下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：
（1）请根据统计的最后三组数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）若100颗小麦种子的发芽率为n颗，则记为n%的发芽率，当发芽率为n%时，平均每亩地的收益为10n元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为9℃，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.
附：在线性回归方程中，.
参考答案：
（1）（2）见解析（3）7950万元
【分析】
（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出的值，最后求出关于的线性回归方程；
（2）根据线回归方程，分别计算当时，当时，它们的估计值，然后判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；
（3）当时，根据线性回归方程计算出的值，然后计算出发芽率以及收益.
【详解】数据处理；.
（1）
此时：，，，，
∴，∴.
（2）当时：，符合，
当时：，符合，
前两组数据均符合题意，该回归直线方程可靠.
（3）当时，.
发芽率，∴.
收益：（万亩）（万元）.
种植小麦收益为7950万元.
【点睛】本题考查了求线性回归方程，以及用数据检验线性回归方程是否可靠，考查了应用线性回归方程估计收益问题，考查了数学应用能力.
21. （本小题满分14分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处, 小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.
（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P(A);
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球,记X为落入A袋中小球的个数,试求X=3的概率和X的数学期望EX.
参考答案：
解: （Ⅰ）解法一：记小球落入袋中的概率，则，
由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋，所以
.
解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入袋.
(4)
（Ⅱ）由题意，所以有
， (8)
(10)
略
22. （本题满分8分）已知函数.
(I)求的最小正周期； (II) 求的单调递增区间；参考答案：。