2021年陕西省高考数学教学质量检测测评试卷(理科)(五)

．
（Ⅰ）求 m，n 的值；
（Ⅱ）若三个实数 a，b，c，满足 a+b+c＝m．证明：（b+c）2+（a+2b+c）2+（a+b+2c）
2
≥
4
3
．
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2021 年陕西省高考数学教学质量检测测评试卷（理科）（五）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
＝10．
（Ⅰ）求 an 与 Sn；
（Ⅱ）设 bn＝log2（Sn+2）•an，数列{bn}的前 n 项和记为 Tn，求 Tn．
18．（12 分）已知如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AB＝PA＝2，PA⊥平面
ABCD，E 为 PC 上一点，且 PE＝2EC．
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2
2

2
2+
= 1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，上顶点为
1
．
2
A，若S△12 = 3，sin∠AF1F2 =
（Ⅰ）求 E 的标准方程；
（Ⅱ）若直线 l 交 E 于 P，Q 两点，设 PQ 中点为 M，Q 为坐标原点，|PQ|＝2|OM|，作 ON
⊥PQ，求证：|ON|为定值．
A，B 两点，M 为 AB 的中点，且直线 AB 与 E 的一条渐近线垂直，则 E 的离心率
为
．

15．（5 分）已知锐角△ABC 中，AB＝3，AC＝4，A = 3，延长 AB 到点 D，使 sin∠BCD =
39
，则 S△BCD＝
26
．

16．（5 分）如图所示的三棱锥 P﹣ABC，PA⊥平面 ABC，∠ABC = 2，若 PA＝a，AB＝c，
（Ⅰ）求证：PC⊥平面 BDE；
（Ⅱ）求二面角 A﹣BE﹣P 的平面角的余弦值．
19．（12 分）核酸检测也就是病毒 DNA 和 RNA 的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，
在临床上主要用于新型冠状乙肝，丙肝和艾滋病的病毒检测．通过核酸检测，可以检测
血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染．某研究机构为了提高检测效率
2021 年陕西省高考数学教学质量检测测评试卷（理科）（五）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1
1．（5 分）已知集合 A＝{x|lg（x+2）＜0}，集合 B＝{x|（ ）x≥1}，则 A∩B＝（ ）
2A．（﹣2，0]来自10°10°10°
10° + 10°
1
1
― 20° = 10° ― 10° ― 20° =
1 + 210°10°
1 + 20°
20°
1
1
- 20° = 20° ― 20° = 20° = ．

10 ― 10°
1
1 ― 2210°

C．
2

= （ ）

D． -

6．（5 分）已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜2），若 f（x）的图象过点

2
，0），相邻对称轴的距离为 ，则 f（x）的解析式可能为（ ）
2
3
（

A．f（x）＝﹣cos（2x + 6）

B．f（x）＝2sin（x + 3）
7
4．（5 分）已知点 P 为直线 l：y＝x+1 上一点，点 Q 为圆 C：（x﹣1）2+y2＝1 上一点，则|PQ|
的最小值为（ ）
A． 2 ― 1
B． 2
C．1
10° + 1
5．（5 分）设 sin20°＝m，cos20°＝n，化简1 ― 10° ―

A．


B． -
D．
2
―1

C．f（x）＝3cos（2x - 3）

D．f（x）＝4cos（x - 6）
7．（5 分）（x+y）2（x﹣2y）4 的展开式中 x2y4 的系数为（ ）
A．88
B．104
C．﹣40
D．﹣24
8．（5 分）已知菱形 ABCD 中，AC = 2 2，BD＝2，点 E 为 CD 上一点，且 CE＝2ED，则
平面交 B1C1 于点 P，则 PC1＝（ ）
A．2
B． 3
C． 2
D．1
11．（5 分）已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F（2，0），过点 F 的直线交 C 于 A，B
两点，△OAB 的重心为点 G，则点 G 到直线 3x﹣3y+1＝0 的距离的最小值为（ ）
A．2
B． 2
C．
降低检测成本，设计了如下试验，预备 12 份试验用血液标本，其中 2 份阳性，10 份阴性，
从标本中随机取出 n 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取一部分，
混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，
需对该组标本逐一检测．以此类推，直到确定所有样本的结果，若每次检测费用为 a 元，
有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵集合 A＝{x|lg（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1}，
1
集合 B＝{x|（ ）x≥1}＝{x|x≤0}，
2
∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜﹣1}＝（﹣2，﹣1）．
故选：B．
2．【解答】解：由 z•i＝x+i（x∈R），可得：z•i（﹣i）＝（x+i）（﹣i）
12．
（Ⅰ）求直线 l 的普通方程和 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，P 为曲线 C 上的动点，若△PAB 的面积最大值
为 S，求 S 的值．
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数 f（x）＝3|x﹣2|+|x﹣m|（x∈R），不等式 f（x）＜3 的解集为（1，n）
2
2
故选：A．

6．【解答】解：因为 f（x）的相邻对称轴的距离为 ，
2
所以 f（x）的周期 T =
2

= π，所以 ω＝2．
2
，0），
3
又图象过点（
所以 2 ×
2
3
+ φ＝kπ，k∈Z，即 φ＝kπ -

因为|φ|＜2，所以 φ =
4
，k∈Z，
3

- 3，



所以函数 f（x）＝Asin（2x - 3）＝﹣Asin（﹣2x + 3）＝﹣Acos（2x + 6），
|1 × 1 ― 1 × 0 + 1|
12 + ( ― 1)2
∴|PQ|的最小值为 2 ― 1．
故选：A．
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= 2，
5．【解答】解：因为 sin20°＝m，cos20°＝n，
1+
1
10° + 1
=
所 以 1 ― 10° ―
1 ― 2210° 1 ―
10°
8．【解答】解：设 AC 与 BD 交于点 O，以 O 为坐标原点，AC，BD 所在的直线分别为 x，y
轴建立平面直角坐标系如图所示，
则点A( 2，0)，B（0，1），E( ―
→
∴EA = (
2
2
， ― )，
3
3
→
2 5
4 2 2
， )，EB = ( ， )，
3
3
3 3
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则cos∠AEB =
2
D．2 2
2
12．（5 分）已知函数 f（x）满足 f（1+x）＝f（1﹣x），且 x∈[1，e2]时，f（x）＝lnx，若 x∈[2
﹣e2，e2]时，方程 f（x）＝k（x﹣2）有三个不同的根，则 k 的取值范围为（ ）
2 1
A．（ 2， ]


1
B．（﹣∞， ）

C．
（ -
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
B．（﹣2，﹣1）
C．
（﹣1，0]
D．（﹣1，0）
2．（5 分）若复数 z 满足|z﹣i|＝1，z•i＝x+i（x∈R），则 z 在复平面内对应的点为（ ）
A．（1，1）
B．（1，﹣1）
C．
（1，i）
D．（1，﹣i）
3．（5 分）《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之．”“河图”“洛书”历来被认为
→
→
→
→
⋅
2
=
||||
2 3
=
3
，
3
故选：D．
―
9．【解答】解：x＞0 时，﹣x＜0，则f( - x) = ― = ― = ― ()，且 f（0）＝0，
∴f（x）是 R 上的奇函数，
x≥0 时，f（x）＝xex，f（x）是指数级的增长，
∴f（x）的部分图象大致为 C．
果，
三个数字之和为 15 的所有可能结果有：
（1，5，9），（1，6，8），（2，4，9），（2，5，8），（2，6，7），
（3，4，8），（3，5，7），（4，5，6），共 8 种情况，
则所求概率P =
8
84
=
2
．
21
故选：B．
4．【解答】解：圆 C 的圆心坐标为（1，0），半径为 1，
圆心到直线 l：y＝x+1 的距离 d =
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2
1
， - 2]


D．（ -
1
，+∞）

{
2x + y ≥ 3，
13 ．（5 分）若变量 x ，y 满足约束条件 ― ≤ 0， 则 z ＝x ﹣2y+5 的最小值为
+ ≤ 4，
14．（5 分）已知双曲线 E：
2
2

2
2―
．
= 1（a＞0，b＞0），M（1，8），过点 M 的直线交 E 于
是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头．如图“洛书”中 9 个数字排列巧妙，“戴九履一，
左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央．”横纵斜方向上的 3 个数字之和均为 15，
从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 个数，三个数字之和为 15 的概率为（ ）
1
A．
21
2
B．
21
1
C．
4
D．
21
故选：C．
10．【解答】解：连接 AB1，交 BA1 于 E，取 B1C1 的中点为 P，因为 E 是 AB1D 的中点，所
以 EP∥AC1，
所以 PC1＝1．
故选：D．

11．【解答】解：由已知可得， = 2，则 p＝4，
2
∴抛物线方程为 y2＝8x，
结合选项可知只有选项 A 可能．
故选：A．
7．【解答】解：∵（x+y）2（x﹣2y）4＝（x2+2xy+y2）（C04•x4﹣2C14•x3y+4C24•x2y2﹣8C34•xy3+16
C44•y4 ），
故它的展开式中 x2y4 的系数为 16C44 ― 2×8C34 + 4C24 = ― 24，
故选：D．
∠AEB 的余弦值为（ ）
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2 5
A．
5
B．
1
5
C．
2
5
， ≥ 0，

9．（5 分）函数 f（x） =
， ＜0 的部分图象大致为（ ）

D．
3
3
{
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）已知如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，过 A1B 且与 AC1 平行的
21．（12 分）已知函数f(x) =
1 2
+ ― 22，a∈R．
2
（Ⅰ）当 a＝1 时，求 f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线；
（Ⅱ）求函数 f（x）的单调区间；
1
（Ⅲ）判断函数 f（x）在区间(0， 2 +3 ― 8)上的单调性．
2
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（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
，化为：z＝1﹣xi，
∵|z﹣i|＝1，∴|1﹣（x+1）i|＝1，
∴ 12 + [ ― ( + 1)]2 = 1，
解得 x＝﹣1，
∴z＝1+i，
∴z 在复平面内对应的点为（1，1），
故选：A．
3．【解答】解：从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 个数，共有C39 = 84种等可能的结
PB＝10，BC＝2 7，当 ac 取最大值时，点 A 到平面 PBC 的距离为 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共 60 分．
17．（12 分）已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1，a3，a2+10 成等差数列，S3﹣a2
第一题计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修 4-4：坐标
系与参数方程]
{
x = 1 - t
22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： = 1 + （t 为参数），以坐标原点
为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ2（3+sin2θ）＝
记检测的总费用为 X 元．
（Ⅰ）当 n＝3 时，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）（ⅰ）比较 n＝3 与 n＝4 两种方案哪一个更好，说明理由；
（ⅱ）试猜想 100 份标本中有 2 份阳性，98 份阴性时，n＝5 和 n＝10 两种方案哪一个更
好（只需给出结论不必证明）．
20．（12 分）已知椭圆 E：