高中数学 直线方程及两直线的位置关系知识梳理 北师大版必修2

高中数学 直线方程及两直线的位置关系知识梳理 北师大
版必修2
一、基础知识梳理
知识点1：直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的 所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，
范围为
（2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的 为该直线的斜率，即k=t a n α注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当α=900时， k 不存在）
（3）过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：
k=t a n 1
212x x y y --=α（当x 1＝x 2时，k 不存在，此时直线的倾斜角为900）. 知识点2：直线的方程
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

二、易错知识梳理
1、忽视截距为零
【易错题1】求经过点（2,1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
2、忽视与x 轴平行的情况
【易错题2】已知直线过（1,2）、（2，b ），求直线方程.
3、忽视斜率不存在的情况
【易错题3】已知直线l 过点P （1,2）且与以A(-2,-3)、B （3,0）为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.
三、考点类型剖析
题型一 斜率与倾斜角的关系
例1、 已知过点Ｐ（１－ａ，１＋ａ）和Ｑ（３，２ａ） 的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围为
归纳小结：任意一条直线都有唯一确定倾斜角，但斜率未必都存在. )
000,180⎡∂∈⎣，k R ∈，
)000,90⎡∂∈⎣，(0,)k ∈+∞；00(90,180)∂∈(,0)k ∈-∞. 题型二 三点共线问题
例2、 求证A （1,5），B （0,2），C （2,8）三点共线.
变式训练：（浙江高考）已知a>0，若平面内三点A （1,-a ），B （2, 2a ），C （3, 3a ）共线，则a=
题型三 待定系数法求直线方程
例3、 过点P(1,3)的直线分别与两坐标轴交于A,B 两点，若P 为中点，求直线的方程.
变式训练：一条直线过点A （-2,3），并且与两坐标轴围成三角形的面积为1，求此直线方程. 题型四 直线方程的应用问题
例4、如右图所示一条光线从点A （3,2）发出，经x 轴反射，通过B(-1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程. 264
y
A B 0
134-1-21
2
3
5
变式训练1：已知直线120mx ny ++=在x 轴，y 轴截距分别为-3和-4，求m,n 的值.
变式训练2：已知点A(2,5)与点B(4，-7)，试在y 轴上求一点P,使得PA PB +的值最小.
四、知能达标训练
基础训练
1、过点P (－2, m )和Q (m , 4)的直线斜率等于1，那么m 的值等于 （ ）
A 、1或3
B 、4
C 、1
D 、1或4
2、在直角坐标系中，直线y= -3x+1的倾斜角为（ ）
A 、0120
B 、-030
C 、060
D 、- 060
3、过点(-3, 0)和点(-4,3)的倾斜角是（ ）
A 、030
B 、0150
C 、060
D 、0120
4、如图，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别是k 1、k 2、k 3，则有（ ）
A 、k 1<k 2<k 3
B 、k 3<k 1<k 2
C 、k 3<k 2<k 1
D 、k 1<k 3<k 2
5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）
A ．045,1
B ．0135,1-
C ．090，不存在
D ．0180，不存在
3、过两点（-1，1）和（3，9）的直线，在x 轴上的截距是（ ）
A 、32-
B 、23
- C 、25 D 、2 3、过点(5,2),且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ）
A 、2x+y-12=0
B 、2x+y-12=0 或2x-5y=0
C 、x-2y-1=0
D 、x+2y-9=0或2x-5y=0
7、若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（ ）
A 、ab>0，bc>0
B 、ab>0，bc<0
C 、 ab<0，bc>0
D 、 ab<0，bc<0
8、把直线l 的一般式260x y -+=化为斜截式，求出直线l 的斜率以及与两坐标轴的截距. 综合训练
1．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ）
A ．(0,0)
B ．(0,1)
C ．(3,1)
D ．(2,1) 2．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的
斜率k 的取值范围是（ ）
A ．34k ≥
B ．324k ≤≤
C ．324
k k ≥≤或 D ．2k ≤ 3．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为___________________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为___________________;若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为________________;
5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ）
A ．045,1
B ．0
135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在 6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ）
A ．0≠m
B ．23-≠m
C ．1≠m
D ．1≠m ，2
3-≠m ，0≠m 7、已知ABC ∆的三个顶点是A （3，-4），B （0，3），C （-6，0），求它的三条边所在的直线方程。

8、设直线l 的方程为(1)20a x y a +++-=()a R ∈，（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
体验高考
1、（2006 北京，11）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b
+的值等于_______ 2、（2008浙江，11）直线210x y -+=关于直线x=1对称的直线方程为（ ）
.210A x y +-= .210B x y +-= .230C x y +-= .230D x y +-=
3、（2008全国II,11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为740x y --=和20x y +-=， 原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）
A.3
B.2
C. 13-
D. 12
- 五、规律方法提炼
1、斜率的求法一般有两种方式
（1）已知倾斜角∂,利用tan k =∂；（2）已知直线上两点，利用211221
()y y k x x x x -=≠- 2、求直线的一般方法
（1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性；
（2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程；
3、与直线方程有关的最值问题的求解策略：
○
1首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○
2然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. 两直线的位置关系
一、 基础知识梳理
知识点1：两条直线平行
（1）两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+ 12()b b ≠，若12//l l ，则12k k =.特别地，当12,l l 斜率都不存在时，两直线也平行.
（2）已知直线12l l ，的方程为1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若12//l l ，则有12210A B A B -=，且1221B C B C ≠或1221A C B C ≠
知识点2：两直线垂直
（1）如果两直线12,l l 的斜率都存在，分别为12,k k ，则12l l ⊥⇔
（2）已知直线12l l ，的方程为1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，若12l l ⊥，则有12120A A B B +=，反之亦然。

特别地，当一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，两直线垂直.
知识点3：两直线的交点
设两直线分别为1110A x B y C ++=,2220A x B y C ++=,两直线的交点坐标即是方程组11122200
A x
B y
C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立.
知识点3：几种距离
（1） 两点间的距离
平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式12PP =
特别地，原点（0,0）与任一点P （x,y
）的距离OP =
（2） 点到直线的距离
点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d= .
（3） 两平行线间的距离
两条平行线1122:0,0l Ax By C l A x By C ++=++=间的距离d= 知识点4：直线系方程
（1）过点P （00,x y ）的直线系方程为00y-y =k(x-x )
（2）和已知直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程为'0Ax By C ++=（'C C ≠）
（3）和已知直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程为：'0Bx Ay C -+=
（4）经过两相交直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=（这个直线系中不包括直线2220A x B y C ++=）. 知识点5：对称问题
（1）中心对称
①若点11M(x ,y )及N(x,y)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得11
22x a x y b y =-⎧⎨=-⎩
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用1//l l ，由点斜式得到所求直线方程。

（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点111222(,),(,)P x y P x y 关于直线l ：Ax+By+C=0对称，则线段12P P 的中点在对称轴l 上，而且连接12P P 的直线垂直于对称轴l 上，由方程组
12121212()()022()()
x x y y A B C A y y B x x ++⎧++=⎪⎨⎪-=-⎩ 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标22(,)x y （其中120,A x x ≠≠）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

二、 易错知识梳理
1、 在直线一般式中忽视,A B 不同时为零
【易错题1】已知直线12:(1)52,:(1)(21)4l m x y m l m x m y ++=+++=（m R ∈），问m 为何值时，12//l l ？
2、 运用两平行直线的距离公式时，忽视x,y 的系数分别相等.
【易错题2】已知两平行直线12:3450,:68150l x y l x y ++=+-=，求与12,l l 距离相等的直线方程.
三、 考题类型剖析
题型一 求两直线交点
例1、 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求其交点的坐标：
（1）12:0,:33100;l x y l x y -=+-=
（2）12:340,:620;l x y l x y -+=-=
（3）12:3450,:68100l x y l x y +-=+-=.
题型二 与平行有关的问题
例2、求过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程．
变式训练1：已知直线l 与直线 l ：2350x y +-=平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线l 的方程.
变式训练2：求直线1:12
l y x =-关于点(2,3)对称的直线方程 题型三 与垂直有关的问题
例3、求过点(2,1)A ，且与直线0102=-+y x 垂直的直线l 的方程.
变式训练：当a 为何值时，直线1:(2)(1)10l a x a y ++--=与直线2:(1)(23)20l a x a y -+++=互相垂直？
题型四 距离问题
例4、 已知A （-1,2），B （2），在x 轴上求一点P ，使PA PB =,并求PA 的值. 例5、 正方形的中心为M(-1,0),一条边所在的直线方程为350x y +-=，试求其他三边所
在的直线方程.
例6、 求与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线方程.
四、 知能达标训练
基础训练
1、已知两点A （-2，0），B （0，4），则线段AB 的垂直平分线方程是（ ）
A 、2x+y=0
B 、2x-y+4=0
C 、x+2y-3=0
D 、x-2y+5=0
2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是（ ）
A 、 m=1
B 、m=±1
C 、⎩⎨
⎧-≠=11n m D 、⎩⎨⎧-≠-=11n m 或⎩
⎨⎧≠=11n m 3、两条直线21,240y kx k x y =+++-=的交点在第四象限，则k 的取值范围是（ ）
A 、（-6，2）
B 、（16-，0）
C 、11(,)26--
D 、1(,)2
+∞ 4、已知直线ax －y ＋2a ＝0与直线(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则a 等于（ ）
A 、1
B 、0
C 、1或0
D 、1或－1
5、已知点(,0)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（ ）
.2B 1C 1D +
6、已知两直线212:60,:(2)320l x m y l m x my m ++=-++=，当m 为何值时，1l 、2l ：
（1）相交 （2）平行 （3）重合？
综合训练
1、已知定点A （0,1），点B 在直线0x y +=上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是______
2、求直线211160x y ++=关于点P （0，1）的对称直线方程.
3、直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P （4,3）到直线l
的距离为l 的方程.
4、已知定点A （-1，3），B （4，2），在x 轴上求点C ，使AC ⊥BC.
5、设有三条直线123:44,:0,:234l x y l mx y l x my +=+=-=，m 为何值时，以上三条直线不能够乘三角形？
体验高考
1、（2010安徽）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0
2、（2009安徽）直线l 过点(-1,2),且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为（ ）
.3210A x y +-= .3270B x y ++= .2350C x y -+= .2380D x y -+=
3、（2008四川）将直线y=3x 绕原点逆时针旋转0
90，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ） 11.33A y x =-+ 1.13B y x =-+ .33C y x =- 1.13
D y x =+ 4、（2008全国II ）原点到直线x+2y-5=0的距离为（ ）
A ．1
C.2
D.
五、规律方法提炼
1、判断两直线垂直的方法有两种：一是12120A A B B +=；二是12.1k k =-，使用12.1k k =-时需讨论斜率是否存在，而使用12120A A B B +=九避免讨论.
2、求两平行线间的距离有两种方法：一是转化为点到线的距离；二是利用两平行线间的距
离公式d =x,y 系数相等.。