从数学分析、线性代数到泛函分析
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f ( x) lim ( f , ek )ek
n k 1 n
我们需要考虑函数项级数是否收敛问题，如收敛，在什么意义下收敛。
***************************************************** 泛函分析中要研究 （1）空间的概念； （2）距离，长度，内积； （3）收敛性（强，弱，一致收敛） 。 这是泛函分析研究的一些重点。 *************************************************
4
在本题中 1 2 3 1 ， 4 3 ， 线性变换 A 分解成 4 个投影变换（算子）的线性组合。
**************************************************** 数学处理问题的原则是把复杂问题简单化。 把复杂问题转化为已知的我简单的问题来处理。 （划归） 泛函分析，我们要研究的对象是函数、运算。 微分、积分运算，它们作用的对象是函数。 **************************************************** 微分、积分运算与 R n 空间中的线性变换 A 相同的是：线性运算，不同的是微积分把一个函数映射成另 一个函数， A 把一个 n 维向量变成 n 维向量。 函数不能用有限个数刻画，可能可以用无穷个数来刻画。 我们希望通过“类比联想”把有限维空间处理问题的这种方式推广到更一般的空间（无穷维空间） 这就要研究一下问题 无穷维空间的几何结构，特别是： （1） 坐标系 (e1 , e2 ,, en ,)? （2） 正交性 (ei e j , i j )? （3） 元素能不能分解？
即： （1）函数空间建立了一个正交坐标系； (2)每一个函数和一组（可数的）数一一对应
f ( x ) ( f , ek )ek
k 1
对照： x R , x ( x, ek )ek
n k 1
n
二者之间的区别是什么？
R n 是有限维空间而函数空间是无限维的。
无穷维求和是一个极限过程
A 是从 R 4 到 R 4 的对称矩阵，
0 1 1 1 1 0 1 1 A 1 1 0 1 ， T : x Ax ， Ax y 1 1 1 0
（有什么特点？） （1） T 是线性变换 （2）特征值是实的； （3）属于不同特征值的特诊向量互相正交； （4）可以化为对角矩阵
4
x (a1, a2 , a3 , a4 ) a11 a2 2 a33 a4 4
其中 a1 ( x, 1 ), a2 ( x, 2 ), a3 ( x, 3 ), a4 ( x, 4 ) 是 x 在 1 , 2 , 3 , 4 下的投影，于是
在这组标准正交基下，矩阵 A 成为对角矩阵。对称矩阵正交相似于一个对角矩阵做法： （i） | E A | 0 解 3,1是特征值 （ii） 1 是三重特征值，求其基础解系如下：
1 (
1 1 1 1 1 3 1 1 2 , , 0, 0) ， 2 ( , , , , ) , , 0) ， 3 ( 2 2 2 2 2 2 6 6 6
第一节 从数学分析、线性代数到泛函分析
一、 泛函分析的研究对象 1、 函数→映射 函数 x R f ( x) R 进一步：从一个空间 X 到 Y 的映射。 2、 运算（算子） 微分、积分都是运算，特别的都是线性运算
' sin x sin x cos x cos x
f ( x) (a0 , a1, b1,, an , bn ,) f
f ( x )dx ， ak
1
f ( x) cos kxdx ， bk
1
f ( x)sin kxdx ，
由这无穷多个数确定。
令
1 1 1 1 1 1 1 , e1 = cos x, e2 sin x, e3 cos 2 x, e4 sin 2 x,, e2 k 1 cos kx, e2 k 2 (a0 , a1 , b1 ,, an , bn ,) 为函数 f 在坐标系 e0 , e1, e2 , 下的坐标。 e0
对于 n 维欧几里得空间也有类似的结果
a (a1, a2 ,, an ) a1 e1 an en a (a1, e1 )e1 (an , en )en
把一个向量做了分解（投影） ，把复杂的问题简单化
例 2：线性变换 T （如何分解） T 变换对应矩阵 A
在函数空间 L ( , ) 上定义内积为：
2
(f , g)
对于函数 f ，我们有
f ( x) g ( x)dx
f ( x) a0e0 +a1e1 b1e2 ak e2k 1 bk e2k
其中： a0 ( f , e0 ), a1 ( f , e1 ), b1 ( f , e2 ),, ak ( f , e2k 1 ), bk ( f , e2k ),
其中 P1, P2 , P3 , P4 是 A 在 1, 2 , 3 , 4 上的投影算子
函数可以用无穷多个数形成的数组来刻画。
例 3：Fourier 级数
a0 f ( x) ak cos kx bk sin kx 2 k 1 k 1
a 1 其中 0 2 2
a1 (a, i) 是 a 在 i 上的投影； a2 (a, j) 是 a 在 j 上的投影； a3 (a, k ) 是 a 在 k 上的投影
a a1i a2 j a3 k = (a, i)i (a, j) j (a, k )k
其中 U (1 , 2 , 3 , 4 ) 注 1 在新的坐标系 (1 , 2 , 3 , 4 ) 下，线性变换 T 有最简单的标准型。 注 2 在每一个特征子空间上，进一步在每个坐标系生成的一维子空间上，
A 作用的形式最简单（放大、缩小特征值的倍数）
在空间 R 构造一组新的正交基 1, 2 , 3 , 4 ，则 x R4
当 3 时，可得 4 ( 2 , 2 , 2 , 2 )
(1 , 2 , 3 , 4 ) 成为 R
4
1
1
1 1
中的一组标准正交基。
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3
1 0 A A1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0 0 ' 0 U AU A 1 0 1 0 ， 0 3 0
x (a1, a2 ,, an ,) a1e1 anen
其中 a1 ( x, e1 ), a2 ( x, e2 ), a3 ( x, e3 ),
无穷维空间线性算子结构： （1）线性算子性质（有没有对称算子？） （2）线性算子 T 能不能分解？
T 1P 1 2 P 2 3 P 3 4 P 4 ? （无穷维）
Ax A(a11 a2 2 a33 a4 4 ) a1 A1 a2 A2 a3 A3 a4 A4
a11 a2 2 a33 3a4 4 y (a1 , a2 , a3 , 3a4 )
矩阵 A 确定了一组正交基 1 , 2 , 3 , 4 对于任何 x R ，只要知道 x 在 1, 2 , 3 , 4 上的投影 (a1, a2 , a3 , a4 ) ，则 A 作用方式一目了然。即： A 在 1 , 2 , 3 , 4 上的投影算子，则 P 1, P 2, P 3, P 4是 A P 1P 2 P 3 3P 4 1P 1 2 P 2 3 P 3 4 P 4
实际上运算也是一种映射： X Y
一、 泛函分析的研究方法 笛卡尔坐标系的建立，创立了解析几何，把代数问题几何化，把几何问题代数 化。 方程变成图形 空间中的元素 函数 x f ( x) 运算 X Y 矩阵（线性运算） A
nn
x2 y 2 a2
1. 建立一个新的空间框架
X n维 Yn维
一、 实例（感悟数学）
例 1： R3 坐标系： i (1,0,0), j=（0,1,0）， k =（ 0,0,1 ） ,
a R3 ， a (a1, a2 , a3 )
可以定义内积： a b (a, b) a1b1 a2b2 a3b3 | a || b | cos
2. 在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题（把分析中的问题 结合几，研究的是：从 n 维空间到 m 维空间的线性运算。 在泛函分析（线性泛函分析）中，研究的是：从无穷维空间到无穷维 空间的线性运算 （1） 相同：线性空间 （2） 不同：无穷维 （3） 有什么新问题？无穷维空间的性质；收敛性的问题
n k 1 n
我们需要考虑函数项级数是否收敛问题，如收敛，在什么意义下收敛。
***************************************************** 泛函分析中要研究 （1）空间的概念； （2）距离，长度，内积； （3）收敛性（强，弱，一致收敛） 。 这是泛函分析研究的一些重点。 *************************************************
4
在本题中 1 2 3 1 ， 4 3 ， 线性变换 A 分解成 4 个投影变换（算子）的线性组合。
**************************************************** 数学处理问题的原则是把复杂问题简单化。 把复杂问题转化为已知的我简单的问题来处理。 （划归） 泛函分析，我们要研究的对象是函数、运算。 微分、积分运算，它们作用的对象是函数。 **************************************************** 微分、积分运算与 R n 空间中的线性变换 A 相同的是：线性运算，不同的是微积分把一个函数映射成另 一个函数， A 把一个 n 维向量变成 n 维向量。 函数不能用有限个数刻画，可能可以用无穷个数来刻画。 我们希望通过“类比联想”把有限维空间处理问题的这种方式推广到更一般的空间（无穷维空间） 这就要研究一下问题 无穷维空间的几何结构，特别是： （1） 坐标系 (e1 , e2 ,, en ,)? （2） 正交性 (ei e j , i j )? （3） 元素能不能分解？
即： （1）函数空间建立了一个正交坐标系； (2)每一个函数和一组（可数的）数一一对应
f ( x ) ( f , ek )ek
k 1
对照： x R , x ( x, ek )ek
n k 1
n
二者之间的区别是什么？
R n 是有限维空间而函数空间是无限维的。
无穷维求和是一个极限过程
A 是从 R 4 到 R 4 的对称矩阵，
0 1 1 1 1 0 1 1 A 1 1 0 1 ， T : x Ax ， Ax y 1 1 1 0
（有什么特点？） （1） T 是线性变换 （2）特征值是实的； （3）属于不同特征值的特诊向量互相正交； （4）可以化为对角矩阵
4
x (a1, a2 , a3 , a4 ) a11 a2 2 a33 a4 4
其中 a1 ( x, 1 ), a2 ( x, 2 ), a3 ( x, 3 ), a4 ( x, 4 ) 是 x 在 1 , 2 , 3 , 4 下的投影，于是
在这组标准正交基下，矩阵 A 成为对角矩阵。对称矩阵正交相似于一个对角矩阵做法： （i） | E A | 0 解 3,1是特征值 （ii） 1 是三重特征值，求其基础解系如下：
1 (
1 1 1 1 1 3 1 1 2 , , 0, 0) ， 2 ( , , , , ) , , 0) ， 3 ( 2 2 2 2 2 2 6 6 6
第一节 从数学分析、线性代数到泛函分析
一、 泛函分析的研究对象 1、 函数→映射 函数 x R f ( x) R 进一步：从一个空间 X 到 Y 的映射。 2、 运算（算子） 微分、积分都是运算，特别的都是线性运算
' sin x sin x cos x cos x
f ( x) (a0 , a1, b1,, an , bn ,) f
f ( x )dx ， ak
1
f ( x) cos kxdx ， bk
1
f ( x)sin kxdx ，
由这无穷多个数确定。
令
1 1 1 1 1 1 1 , e1 = cos x, e2 sin x, e3 cos 2 x, e4 sin 2 x,, e2 k 1 cos kx, e2 k 2 (a0 , a1 , b1 ,, an , bn ,) 为函数 f 在坐标系 e0 , e1, e2 , 下的坐标。 e0
对于 n 维欧几里得空间也有类似的结果
a (a1, a2 ,, an ) a1 e1 an en a (a1, e1 )e1 (an , en )en
把一个向量做了分解（投影） ，把复杂的问题简单化
例 2：线性变换 T （如何分解） T 变换对应矩阵 A
在函数空间 L ( , ) 上定义内积为：
2
(f , g)
对于函数 f ，我们有
f ( x) g ( x)dx
f ( x) a0e0 +a1e1 b1e2 ak e2k 1 bk e2k
其中： a0 ( f , e0 ), a1 ( f , e1 ), b1 ( f , e2 ),, ak ( f , e2k 1 ), bk ( f , e2k ),
其中 P1, P2 , P3 , P4 是 A 在 1, 2 , 3 , 4 上的投影算子
函数可以用无穷多个数形成的数组来刻画。
例 3：Fourier 级数
a0 f ( x) ak cos kx bk sin kx 2 k 1 k 1
a 1 其中 0 2 2
a1 (a, i) 是 a 在 i 上的投影； a2 (a, j) 是 a 在 j 上的投影； a3 (a, k ) 是 a 在 k 上的投影
a a1i a2 j a3 k = (a, i)i (a, j) j (a, k )k
其中 U (1 , 2 , 3 , 4 ) 注 1 在新的坐标系 (1 , 2 , 3 , 4 ) 下，线性变换 T 有最简单的标准型。 注 2 在每一个特征子空间上，进一步在每个坐标系生成的一维子空间上，
A 作用的形式最简单（放大、缩小特征值的倍数）
在空间 R 构造一组新的正交基 1, 2 , 3 , 4 ，则 x R4
当 3 时，可得 4 ( 2 , 2 , 2 , 2 )
(1 , 2 , 3 , 4 ) 成为 R
4
1
1
1 1
中的一组标准正交基。
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3
1 0 A A1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0 0 ' 0 U AU A 1 0 1 0 ， 0 3 0
x (a1, a2 ,, an ,) a1e1 anen
其中 a1 ( x, e1 ), a2 ( x, e2 ), a3 ( x, e3 ),
无穷维空间线性算子结构： （1）线性算子性质（有没有对称算子？） （2）线性算子 T 能不能分解？
T 1P 1 2 P 2 3 P 3 4 P 4 ? （无穷维）
Ax A(a11 a2 2 a33 a4 4 ) a1 A1 a2 A2 a3 A3 a4 A4
a11 a2 2 a33 3a4 4 y (a1 , a2 , a3 , 3a4 )
矩阵 A 确定了一组正交基 1 , 2 , 3 , 4 对于任何 x R ，只要知道 x 在 1, 2 , 3 , 4 上的投影 (a1, a2 , a3 , a4 ) ，则 A 作用方式一目了然。即： A 在 1 , 2 , 3 , 4 上的投影算子，则 P 1, P 2, P 3, P 4是 A P 1P 2 P 3 3P 4 1P 1 2 P 2 3 P 3 4 P 4
实际上运算也是一种映射： X Y
一、 泛函分析的研究方法 笛卡尔坐标系的建立，创立了解析几何，把代数问题几何化，把几何问题代数 化。 方程变成图形 空间中的元素 函数 x f ( x) 运算 X Y 矩阵（线性运算） A
nn
x2 y 2 a2
1. 建立一个新的空间框架
X n维 Yn维
一、 实例（感悟数学）
例 1： R3 坐标系： i (1,0,0), j=（0,1,0）， k =（ 0,0,1 ） ,
a R3 ， a (a1, a2 , a3 )
可以定义内积： a b (a, b) a1b1 a2b2 a3b3 | a || b | cos
2. 在新的空间框架下，研究解决分析、代数、几何中的问题（把分析中的问题 结合几，研究的是：从 n 维空间到 m 维空间的线性运算。 在泛函分析（线性泛函分析）中，研究的是：从无穷维空间到无穷维 空间的线性运算 （1） 相同：线性空间 （2） 不同：无穷维 （3） 有什么新问题？无穷维空间的性质；收敛性的问题