2019年广西柳州市中考数学总复习提分专练3：三角形的综合问题

提分专练(三)
[三角形的综合问题]
1.[2018·桂林] 如图T3-1,在平面直角坐标系中,M ,N ,C 三点的坐标分别为,1,(3,1),(3,0),点A 为线段MN 上的一个动点,连
12接AC ,过点A 作AB ⊥AC 交y 轴于点B ,当点A 从M 运动到N 时,点B 随之运动,设点B 的坐标为(0,b ),则b 的取值范围是( )
图T3-1
A .-≤b ≤1
B .-≤b ≤1
C .-≤b ≤
D .-≤b ≤1
14549412942.如图T3-2,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B=45°,E 是AB 的中点,DE=DC ,∠EDC=90°,若AB=2,则AD 的长是 .
图T3-2
3.[2018·德州一模] 如图T3-3,双曲线y=(x>0)经过△OAB 的顶点A 和OB 的中点C ,AB ∥x 轴,点A 的坐标为(2,3),则△
k x OAC 的面积是 .
图T3-3
4.探究:如图T3-4①,△ABC 是等边三角形,AD 是BC 边上的高,以D 为中点作线段EF ,且EF 不与BC 边重合,以EF 为边
作等边三角形EFG,连接AG,GD,CF.
图T3-4
求证:△ADG∽△C DF;
应用:如图②,将线段EF绕点D逆时针旋转,当点F落在AD上时,延长CF交AG于点H,求∠AHF的度数.
5.[2018·遵义十一中模拟] 如图T3-5,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是AD上的点,且AE=EF=FD,连接BE,BF,它们分别与AO相交于点G,H.
图T3-5
(1)求EG∶BG的值;
(2)求证:AG=OG;
(3)设AG=a,GH=b,HO=c,求a∶b∶c的值.
6.[2014·来宾] 如图T3-6,AB为☉O的直径,BF切☉O于点B,AF交☉O于点D,点C在DF上,BC交☉O于点E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF于点G,连接AE.
图T3-6
(1)直接写出AE与BC的位置关系;
(2)求证:△BCG∽△ACE;
(3)若∠F=60°,GF=1,求☉O的半径长.
7.[2014·桂林] 如图T3-7,△ABC为圆O的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为☉O的直径,过C作CG⊥AD于E,交AB于F,交☉O于G.
图T3-7
(1)判断直线PA与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:AG 2=AF ·AB ;
(3)若☉O 的直径为10,AC=2,AB=4,求△AFG 的面积.
558.[2017·遵义] 如图T3-8,边长为2的正方形ABCD 中,P 是对角线AC 上的一个动点(点P 与A ,C 不重合),连接BP ,将2BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ.连接QP ,QP 与BC 交于点E.QP 的延长线与AD (或AD 的延长线)交于点F.
图T3-8
(1)连接CQ ,证明:CQ=AP ;
(2)设AP=x ,CE=y ,试写出y 关于x 的函数关系式,并求出当x
为何值时,CE=BC ;3
8(3)猜想PF 与EQ 的数量关系,并证明你的结论.
9.如图T3-9①,在四边形ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,CD 的中点.过点E 作AB 的垂线,过点F 作CD 的垂线,两垂线交于点G ,连接GA ,GB ,GC ,GD ,EF.若∠AGD=∠BGC.
图T3-9
(1)求证:AD=BC ;
(2)求证:△AGD ∽△EGF ;
(3)如图②,若AD ,BC
所在直线互相垂直,求的值.AD EF 参考答案
1.B [解析] 如图①,连接CN ,延长NM ,交y 轴于点D ,设AN=x ,则AD=3-x ,
∵点B 的坐标为(0,b ),∴DB=1+|b|,
∵N ,C 两点的坐标分别为(3,1),(3,0),
∴NC=1,AN ⊥NC ,∴∠ACN+∠CAN=90°,
∵AB ⊥AC ,∴∠BAD+∠CAN=90°,∴∠ACN=∠BAD ,
又∵∠BDA=∠CNA=90°,∴△BDA ∽△ANC ,
∴=,即=,|b|+1=-x 2+3x ,
AD CN BD AN 3-x 11+|b |x 解得|b|=-x 2+3x-1=-+≤,
(x -32)25454又∵当点A 与点N 重合时,点B 与点D 重合(如图②),此时b=1,
∴-≤b ≤1.故选B .
542.　[解析] 延长DE 交CB 的延长线于点F ,如图,
2
2
∵AD ∥BC ,∴∠ADE=∠F ,
∵点E 是AB 的中点,
∴AE=BE=1,
在△ADE 和△BFE 中,
{∠ADE =∠F ,
∠AED =∠BEF ,
AE =BE ,
∴△ADE ≌△BFE (AAS),
∴AD=BF ,DE=EF ,
∵∠ABC=∠F+∠BEF=45°,DE=DC ,∠EDC=90°,
∴∠CE D=∠F+∠ECF=45°,CE=DE ,
2∴∠BEF=∠ECF ,∵∠F=∠F ,∴△BEF ∽△ECF ,
∴=,即=,
BF BE EF CE BF EF BE
CE ∴=,
AD
DE 12DE ∴AD=.
2
23.　[解析] ∵点A (2,3)在双曲线
y=(x>0)上,9
2k
x
∴k=2×3=6.
如图,过点C 作CN ⊥y 轴,垂足为N ,延长BA ,交y 轴于点M ,
∵AB ∥x 轴,∴BM ⊥y 轴,∴MB ∥CN ,
∴△OCN ∽△OBM ,
∵C 为OB
的中点,即=,OC OB 12
∴=2,
S △OCN
S △OBM 12∵A ,C 都在双曲线
y=上,6x ∴S △OCN =S △AOM =3,
由=,33+S △AOB 14得:S △AOB =9,
则△AOC
的面积=S △AOB =.1292故答案是:.
924.解:探究:证明:∵△EFG 是等边三角形,D 是EF 的中点,
∴GD ⊥EF.
∵AD ⊥BC ,∴∠ADF+∠ADG=∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠ADG=∠CDF.
∵△ABC 与△EFG 都是等边三角形,
∴△ABC ∽△GEF.∴=,即=,
AD GD CD FD AD CD GD DF ∴△ADG ∽△CDF.
应用:∵△ADG ∽△CDF ,∴∠GAD=∠FCD.
∵∠FDG=90°,∠AFH =∠CFD ,
∴∠GAD+∠AFH =∠FCD+∠CFD=90°,
∴∠AHF=90°.
5.解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD ∥BC ,∴△AEG ∽△CBG ,
∴==.
EG BG AE CB 13(2)证明:由(1),得==,
AG CG AE CB 13∴CG=3AG ,
即OG+OC=3AG.
又∵AO=OC ,∴OG+AO= 3AG ,
即OG+AG+OG=3AG ,∴AG=OG.
(3)∵AD ∥BC ,∴△AHF ∽△CHB ,
∴==,
AH CH AF CB 23∴=.
a +
b a +b +2
c 23又∵a=b+c ,∴b ∶c=3∶2,a ∶b=5∶3,
∴a ∶b ∶c=5∶3∶2.
6.[解析] (1)由AB 为☉O 的直径即可得到AE 与BC 垂直.
(2)易证∠CBF=∠BAE,再结合条件∠BAF=2∠CBF就可证得∠CBF=∠CAE,易证∠CGB=∠AEC,从而证得△BCG∽△ACE.
33
(3)由∠F=60°,GF=1可求出CG=;连接BD,容易证得∠DBC=∠CBF,根据角平分线的性质可得DC=CG=;设圆O
33
的半径为r,易证AC=AB,∠BAD=30°,从而得到AC=2r,AD=r,由DC=AC-AD=可求出☉O的半径长.
解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,
∴AE⊥BC.
(2)证明:∵BF与☉O相切,∴∠ABF=90°.
∴∠CBF=90°-∠ABE=∠BAE.
∵∠BAF=2∠CBF,∴∠BAF=2∠BAE,
∴∠BAE=∠CAE,∴∠CBF=∠CAE.
∵CG⊥BF,AE⊥BC,
∴∠CGB=∠AEC=90°.
∵∠CBF=∠CAE,∠CGB=∠AEC,
∴△BCG∽△ACE.
(3)连接BD,如图所示.
∵∠DAE=∠DBE,∠DAE=∠CBF,
∴∠DBE=∠CBF.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴BD ⊥AF.
∵∠DBC=∠CBF ,BD ⊥AF ,CG ⊥BF ,∴CD=CG.
∵∠F=60°,GF=1,∠CGF=90°,
∴tan F==CG=tan60°=.CG GF 3∴CD=.
3∵∠AFB=60°,∠ABF=90°,
∴∠BAF=30°.
∵∠ADB=90°,∠BAF=30°,∴AB=2BD.∵∠BAE=∠CAE ,∠AEB=∠AEC ,∴∠ABE=∠ACE.
∴AB=AC.
设☉O 的半径为r ,则AC=AB=2r ,BD=r.∵∠ADB=90°,∠BAD=30°,∴AD=r.3∴DC=AC-AD=2r-r=(2-)r=.333∴r=2+3.∴☉O 的半径长为2+3.
337.解:(1)直线PA 与☉O 相切,理由如下:∵CG ⊥AD ,
∴AC=AG ,
∴∠ACG=∠AGC.
∵∠B=∠AGC ,∠PAC=∠B ,
∴∠PAC=∠ACG ,∴PA ∥CE.
∵CG ⊥AD ,∴PA ⊥AD ,
∴直线PA 与☉O 相切.
(2)证明:连接BG ,
∵∠ABG=∠ACG ,∠ACG=∠AGC ,
∴∠ABG=∠AGC.
∵∠FAG=∠BAG ,
∴△ABG ∽△AGF ,
∴=,∴AG 2=AF ·AB.
AB AG AG AF (3)连接DG.
∵AD 是☉O 的直径,∴∠AGD=90°.
∵∠ADG=∠ACG=∠AGE ,∠AEG=90°,
∴△ADG ∽△AGE ,∴=.
AD AG AG AE 由AG=AC=2,AD=10,得AE=2.5根据勾股定理,得EG==4.
AG 2-AE 2由AG 2=AF ·AB ,得AF=,
5再根据勾股定理,得EF==1,
AF 2-AE 2
∴FG=EG-EF=3,
∴S △AFG =FG ·AE=3.
128.解:(1)证明:如图,∵四边形ABCD 是正方形,
∴AB=BC ,∠ABC=90°.
∵BP=BQ ,∠PBQ=90°,
∴∠ABP=∠CBQ ,
∴△ABP ≌△CBQ ,
∴CQ=AP.
(2)∵正方形的边长为2,∴AC=4.
2∵△ABP ≌△CBQ ,
∴∠BAP=∠BCQ=45°,PC=4-x.
又∠ACB=45°,∴∠PCQ=90°.
∵CQ=AP=x ,则
在Rt △PCQ 中,PQ===.
PC 2+CQ 2(4-x )2+x 22x 2-8x +16在Rt △PBQ 中,PB=·=.2
22x 2-8x +16x 2-4x +8∵∠BPE=∠BCP=45°,∠PBE=∠CBP ,
∴△PBE ∽△CBP ,∴=,
PB BE CB
PB
即=,
x 2-4x +822-y 22x 2-4x +8∴y=-x 2+x.
2
42当CE=BC 时,CE=
3
8324当y=,2+x ,即x 2-4x=-3,解得x 1=1,x 2=3.
32432
4242∴当x 为1或3
时,CE=BC.3
8(3)PF 与EQ 的数量关系为PF=EQ.
证明如下:
如图①,当F 在边AD 上时,过P 作PG ⊥FQ ,交AB 于G ,连接FG ,则∠GPF=90°,∵∠BPQ=45°,∴∠GPB=45°,
∴∠GPB=∠PQB=45°,
∵PB=BQ ,∠ABP=∠CBQ ,∴△PGB ≌△QEB ,
∴EQ=PG ,
∵∠BAD=90°,∴F ,A ,G ,P 四点共圆,
∴∠FGP=∠FAP=45°,
∴△FPG 是等腰直角三角形,
∴PF=PG ,
∴PF=EQ.
当F 在AD 的延长线上时,如图②,同理可得:PF=PG=EQ.
9.解:(1)证明:∵GE 是AB 的垂直平分线,∴GA=GB.同理GD=GC.
在△AGD 和△BGC 中,
∵GA=GB ,∠AGD=∠BGC ,GD=GC ,∴△AGD ≌△BGC ,∴AD=BC.(2)证明:∵∠AGD=∠BGC ,
∴∠AGB=∠DGC.
在△AGB 和△DGC
中,∵=,∠AGB=∠DGC ,GA GD GB GC ∴△AGB ∽△DGC ,
∴=,∠GAE=∠GDC.
AG DG EG FG 又∵GE ⊥AB ,GF ⊥CD ,
∴∠AGE=∠DGF ,∴∠AGD=∠EGF.
又∵=,∴△AGD ∽△EGF.
AG GE GD GF (3)如图,延长AD 交GB 于点M ,交BC 的延长线于点H ,则AH ⊥BH.由△AGD ≌△BGC ,
知∠GAD=∠GBC.在△GAM 和△HBM 中,∵∠GAD=∠GBC ,∠GMA=∠HMB ,∴∠AGB=∠AHB=90°,
∴∠AGE=∠AGB=45°,∴=.
12AG
EG 2又∵△AGD ∽△EGF ,∴==.AD EF AG
EG 2。