2019_2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.2.1倍角公式学案新人教B版必修4

3．2.1 倍角公式
1.了解二倍角公式的推导过程．
2.理解两角和的正弦、余弦、正切公式与二倍
角的正弦、余弦、正切公式的关系．
3．掌握公式的正用、逆用与变形的应用．
[学生用书P66])
二倍角公式
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)6α是3α的倍角，3α是3α
2
的倍角．( )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．已知sin α＝35，cos α＝4
5，则sin 2α等于( )
A ．7
5 B ．12
5
C ．1225
D ．2425
答案：D
3．计算sin 2 π8－cos 2 π
8
的值是( )
A ．12
B ．－12
C ．
22
D ．－
22
答案：D
4．已知tan α＝4
3，则tan 2α＝________．
答案：－24
7
给角求值[学生用书P67]
求下列各式的值； (1)sin π12cos π
12；
(2)1－2sin 2
750°； (3)2tan 150°
1－tan 2
150°
. 【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sin
π62＝1
4.
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°) ＝cos 60°＝1
2.
(3)原式＝tan(2×150°) ＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.
应用二倍角公式求值的策略
(1)求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． (2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝1
2sin 2α，cos α
＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2
α
＝tan 2α.
求下列各式的值．
(1)cos π5cos 2π5
；
(2)1sin 10°－3
cos 10°. 解：(1)原式＝2sin π5cos π5cos
2π5
2sin
π5
＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝12sin
4π52sin
π5
＝1
4
. (2)原式＝cos 10°－3sin 10°
sin 10°cos 10°
＝2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°
＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）
2sin 10°cos 10°
＝4sin 20°
sin 20°
＝4.
给值(式)求值[学生用书P67]
已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π4＋x 的值．
【解】 因为x ∈(0，π4)，所以π4－x ∈(0，π
4)，
又因为sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－x ＝513，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12
13
，
又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π2－2x
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169
.
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝5
13，
所以原式＝
120
169
5
13
＝
24
13
.
三角函数求值问题的一般思路
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x＝cos⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
2
－2x＝cos
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
2
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－x
＝2cos2
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－x－1＝1－2sin2
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－x；
②cos 2x＝sin⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
2
－2x＝sin
⎣⎢
⎡
⎦⎥
⎤
2
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－x
＝2sin
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－x cos
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
4
－x.
1.已知x∈⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
π
2
，0，cos x＝
4
5
，则tan 2x＝( ) A．
7
24
B．－
7
24
C．
24
7
D．－
24
7
解析：选D.由cos x＝
4
5
，x∈⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
π
2
，0，
得sin x＝－
3
5
，
所以tan x＝－
3
4
，
所以tan 2x＝
2tan x
1－tan2x
＝
2×
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
3
4
1－
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
3
4
2
＝－
24
7
，故选D.
2．已知cos α＝－
3
4
，sin β＝
2
3
，α是第三象限角，β∈⎝
⎛
⎭⎪
⎫
π
2
，π.
(1)求sin 2α的值；
(2)求cos(2α＋β)的值．
解：(1)因为α是第三象限角，cos α＝－3
4，
所以sin α＝－1－cos 2
α＝－
74
， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34＝378. (2)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2
β＝－53
， cos 2α＝2cos 2
α－1＝2×
916－1＝18
， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×2
3＝－5＋6724.
倍角公式与三角函数性质的综合应用[学生用书P68]
已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2
x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4.
(1)若tan α＝2，求f (α)； (2)若x ∈⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．
【解】 (1)f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝
1－cos 2x 2＋1
2
sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝
2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2
α＝4
5
， cos 2α＝cos 2
α－sin 2
αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2
α1＋tan 2
α＝－3
5. 所以f (α)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝3
5
.
(2)由(1)，得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋1
2
＝
22sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.
由x ∈⎣⎢
⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－22，1，
从而f (x )＝
22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
0，1＋22.
有关三角函数性质的探索是高考的热点，一般的思想方法是借助和差角公式、倍角公式等将其化成以正弦型或余弦型函数为主体，在本题中要注意角范围的约束对值域的影响．
已知函数f (x )＝1－2sin 2
(x ＋π8)＋2sin(x ＋π8)cos(x ＋π8
)．
求：(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间．
解：(1)因为f (x )＝cos(2x ＋π4)＋sin(2x ＋π
4)
＝2sin(2x ＋π4＋π4)＝2sin(2x ＋π
2)
＝2cos 2x ，
所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
(2)由(1)得，当2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )， 即k π－π
2≤x ≤k π(k ∈Z )时，
函数f (x )＝2cos 2x 是增函数．
所以f (x )的单调递增区间是[k π－π
2，k π](k ∈Z )．
当2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤k π＋π
2(k ∈Z )时，
函数f (x )＝2cos 2x 是减函数．
所以f (x )的单调递减区间是[k π，k π＋π
2
](k ∈Z )．
1．公式正用
从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的.
2．公式逆用
意向转换，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现，应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝1
2sin 2α，
cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2
α＝cos 2α，2tan α1－tan 2
α
＝tan 2α. 3．公式的变形应用
公式之间有着密切的联系，这要求我们思考时因势利导，融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有1±sin 2α＝sin 2
α＋cos 2
α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2
，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2
α＝1－cos 2α2
.
公式的逆用、变形应用十分重要，特别是1＋cos 2α＝2cos 2
α，1－cos 2α＝2sin 2
α，形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”．
1．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期是( ) A ．2π B ．4π C ．π
4
D ．π2
解析：选D.y ＝sin 2x cos 2x ＝1
2sin 4x ，
所以T ＝2π4＝π
2.
2．cos
4
π8－sin 4π
8
等于( ) A ．0 B ．
2
2 C ．1 D ．－
22
解析：选B.cos 4
π4－sin 4π8
＝⎝
⎛
⎭⎪⎫cos
2
π8＋sin 2π8⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 2π8－sin 2π8 ＝cos π4＝2
2
.
3．若tan α＝1
2
，则tan 2α＝________．
解析：tan 2α＝2tan α
1－tan 2
α＝2×12
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＝43. 答案：43
4．若α为锐角，且sin 2α＝6
5sin α，则cos 2α＝________， tan α＝________．
解析：由sin 2α＝6
5sin α可得，
2sin αcos α＝6
5sin α，
又因为α为锐角，
所以cos α＝35，sin α＝4
5，
则cos 2α＝2cos 2
α－1＝－725，tan α＝sin αcos α＝43
. 答案：－725 4
3
, [学生用书P131(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2x 的值为( )
A ．19
25 B ．1625 C ．1425
D ．725
解析：选D.因为sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－x ＝35，
所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x
＝1－2sin 2
⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－x ＝725.
2．若tan θ＋1
tan θ
＝4，则sin 2θ＝( ) A ．15
B ．14
C ．13
D ．12
解析：选D.由tan θ＋1
tan θ
＝4，
得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2
θ＋cos 2
θsin θcos θ＝4， 即
1
1
2
sin 2θ＝4， 所以sin 2θ＝1
2
，故选D.
3．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．1
6 B ．13 C ．12
D ．23
解析：选A.cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝12(1－sin 2α)＝1
6
. 4．化简tan 14°1－tan 2
14°·cos 28°的结果为( ) A ．sin 28°2
B ．sin 28°
C ．2sin 28°
D ．sin 14°cos 28°
解析：选A.tan 14°1－tan 214°·cos 28°＝12×2tan 14°1－tan 2
14°·cos 28°＝1
2tan 28°·cos 28°＝sin 28°
2
，故选A.
5．若1＋sin αcos α－cos 2
αcos 2α＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝( )
A ．－7
17
B ．717
C ．512
D ．－512
解析：选A.因为1＋sin αcos α－cos 2
α
cos 2α
＝2，
所以sin 2
α＋sin αcos αcos 2α－sin 2
α＝2，即sin αcos α－sin α＝tan α1－tan α＝2， 所以tan α＝2
3
，
所以tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝2×23
1－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫232＝12
5， 所以tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－2α＝tan π4－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－
1251＋
125＝－717， 故选A.
6．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2
α
1＋cos 2α＝________．
解析：sin 2α－cos 2
α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2
α
1＋2cos 2
α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2
α＝tan α－12＝－5
6. 答案：－5
6
7.
1－2sin 20°cos 20°
2cos 210°－1－cos 2
160°－1
＝________． 解析：1－2sin 20°cos 20°
2cos 210°－1－cos 2
160°－1
＝（cos 20°－sin 20°）2
cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.
答案：1
8．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________．
解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1
3
，
得cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6＋α＝79
，
即cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3＋2α＝79
，
所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－79.
答案：－7
9
9．已知π2＜α＜π，cos α＝－4
5.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
解：(1)因为cos α＝－45，π2
＜α＜π， 所以sin α＝35
， 所以tan α＝sin αcos α＝－34
. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－2425
. cos 2α＝2cos 2α－1＝725
， 所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725
. 10．(1)化简：sin 2x 2cos x ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋tan x tan x 2. (2)求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A
＝tan 4A . 解：(1)sin 2x 2cos x ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋tan x tan x 2 ＝sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋sin x sin x 2cos x cos x 2 ＝sin 2x 2cos x ·cos x cos x 2＋sin x sin x 2cos x cos x 2
＝
sin 2x 2cos x ·cos x 2cos x cos x 2
＝tan x . (2)证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2sin
2A 2cos 2A 2
＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边． 所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A
＝tan 4A . [B 能力提升] 11．已知tan x ＝2，则tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4等于( ) A ．43
B ．－43
C ．34
D ．－34
解析：选C.tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－cos 2x sin 2x ＝－1tan 2x ＝－1－tan 2
x 2tan x ＝4－12×2＝34
. 12．已知角α，β均为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝13
，则β＝________．
解析：由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin 2α)＝sin αcos α，即2sin 2α＝sin αcos α.
因为α为锐角，
所以sin α≠0，
所以2sin α＝cos α，即tan α＝12
. 法一：由tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α
＝tan β－121＋12
tan β ＝13， 得tan β＝1.
因为β为锐角，
所以β＝π4
. 法二：tan β＝tan(β－α＋α)＝tan （β－α）＋tan α1－tan （β－α）tan α＝13＋121－13×12
＝1，因为β为锐角，
所以β＝π4
. 答案：π4
13．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．
解：原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1
＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭
⎪⎫3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝cos 20°sin 20°·cos 10°·2(32sin 20°－12cos 20°cos 20°
) ＝2cos 10°·sin （－10°）sin 20°＝－sin 20°sin 20°
＝－1. 14．(选做题)已知sin x 2－2cos x 2
＝0. (1)求tan x 的值； (2)求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）的值． 解：(1)由sin x 2－2cos x 2 ＝0，知cos x 2
≠0， 所以tan x 2
＝2， 所以tan x ＝2tan x
21－tan 2 x 2
＝2×21－22＝－43. (2)由第一问知tan x ＝－43
， 所以cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin （π＋x ）＝cos 2x －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x （－sin x ） ＝cos 2x －sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x
＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22
（cos x －sin x ）sin x ＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24
.。