2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第17课__函数模型及其应用

____第17课__函数模型及其应用____
1. 能根据实际问题建立合理的函数模型．
2. 初步运用函数思想，理解和处理现实生活中的简单问题.
1. 阅读：必修1第98～100页．
2. 解悟：①读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要关系；②建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；③求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；④检验：对结果进行验证或评估，对错误加以调整，最后将结果应用于现实，做出解释或验证．
3. 践习：在教材空白处，完成第100页练习第3题.
基础诊断
1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是__y ＝2x (x ∈N *)__．
2. 某人若以每股17.25元购进股票一万股，一年后以每股18.96元抛售，假定手续费为交易额的0.3%.该年银行月复利率为0.8%，按月计算．为获取最大利润，此人应将钱__存入银行__. (填“购买股票”或“存入银行”)
解析：买股票获得的利润为18.96×10 000×(1－0.3%)－17.25×10 000＝16 531.2(元)；存入银行获得的利润为(17.25×10 000)×(1＋0.8%)12－(17.25×10 000)＝17 308.42(元)．因为16 531.2<17 308.42，所以存入银行获取最大利润．
3. 司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__5__h ，才能开车. (精确到1 h )
解析：设x h 后，驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09 mg /mL ，则0.3×(1－25%)x ≤0.09，即⎝⎛⎭⎫34x
≤0.3.令x ＝1，2，3，4，可得⎝⎛⎭⎫34x
>0.3.当x ＝5时，⎝⎛⎭⎫345
<0.3，故至少经过5 h ，才能开车．
4. 在某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间x
8 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费
用与仓储费用之和最小，每批应生产产品__80__件．
解析：由题意得，生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x·x 8＝800＋x 2
8，
所以平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)＝800＋
x 2
8x ＝800x ＋x
8(x 为正整数)．由基
本不等式得800x ＋x
8≥2
800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x
8
，即x ＝80时，f(x)取得最小值，故每批应生产产品80件．
范例导航
考向❶ 分段函数型应用问题
例1 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资金额x 成正比，其关系如图1；B 产品的利润y 与投资金额x 的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资金额单位：万元).
图1 图2
(1) 分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；
(2) 已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部资金投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？
②如果你是企业老板，怎样分配这18万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
解析：(1) 设A 产品的利润为f(x)＝k 1x ，B 产品的利润为g(x)＝k 2x. 由图可知，f(1)＝0.25，即0.25＝k 1，即k 1＝1
4，
所以f(x)＝1
4
x.
g(4)＝4，即2k 2＝4，解得k 2＝2， 所以g(x)＝2x.
故A ，B 两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式分别为f(x)＝1
4x ，g(x)＝2x.
(2) ①由题意得，18÷2＝9(万元)，所以总利润为14×9＋29＝33
4(万元)．
故平均投入生产两种产品，可获得利润33
4
万元．
②设对B 产品投资x 万元，则对A 产品投资(18－x)万元，记企业获得的利润为y 万元， 所以y ＝1
4(18－x)＋2x(0≤x ≤18)．
设x ＝t ，则x ＝t 2(0≤t ≤32)， 所以y ＝14(18－t 2)＋2t ＝－14(t －4)2＋17
2，
当t ＝4，即x ＝16时，y 取最大值17
2
.
故当对A 产品投资2万元，B 产品投资16万元时，该企业可获得最大利润，最大利润为17
2
万元．
如图，△OAB 是边长为2的正三角形．记△OAB 位于直线x ＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，则函数f(t)的解析式为
__f(t)＝
⎨2
t 2
， 0<t ≤1，2
解析：由题意可知△OAB 为正三角形，则∠BOA ＝∠OAB ＝60°.
当0<t ≤1时，f(t)＝12×3t ×t ＝32t 2；当1<t ≤2时，f(x)＝3－1
2×(2－t)×3(2－t)＝
－
32t 2＋23t －3；当t>2时，f(t)＝12×2×2×3
2＝ 3. 综上所述，函数f(t)的解析式为
f(t)＝⎩⎨⎧32
t 2
， 0<t ≤1，－32
t 2
＋23t －3， 1<t ≤2，
3， t>2.
考向❷ 导数型应用问题
例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式：y ＝
a
x －3
＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可销售该商品11千克．
(1) 求a 的值；
(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，从而使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解析：(1) 由题意得，当x ＝5时，y ＝11，
所以a 5－3
＋10×(5－6)2＝11，解得a ＝2.
故a 的值为2.
(2) 设商场每日销售该商品所获得的利润为W(x)，
则
W(x)＝
(x －3)⎣⎡⎦
⎤2x －3＋10（x －6）2
＝2＋10(x －3)(x －6)2，
所以W′(x)＝10×[(x －6)2＋2(x －6)(x －3)] ＝30(x －6)(x －4)．
于是，当x 变化时，W(x)，W′(x)的变化情况如下表：
由上表可知，当x ＝4时，函数W(x)在区间(3，6)上取得极大值也是最大值，
所以当x ＝4时，W(x)max ＝42，故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大为42元．
古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与
高的平方成正比，现将一圆柱形木头锯成一横梁(长度不变)，当高与宽的比值为时，横梁的强度最大．
解析：设直径为d ，矩形横断面的宽为x ，高为y ，由题意知，当xy 2取最大值时，横梁的强度最大．因为y 2＝d 2－x 2，所以xy 2＝x(d 2－x 2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d 2－x 2)(0<x<d)，则f′(x)＝d 2－x 2＋(－2x 2)＝d 2－3x 2，令f′(x)＝0，解得x ＝33d 或x ＝－33d(舍去)．当0<x<3
3
d ，f′(x)>0；当
33d<x<d 时，f′(x)<0.故当x ＝33d 时，f(x)取极大值，也是最大值，此时y ＝6
3
d 时，所以y
x
＝ 2.
考向❸ 三角型应用问题
例3 现有一个以OA ，OB 为半径的扇形池塘，在OA ，OB 上分别取点C ，D 作DE ∥OA ，CF ∥OB 交弧AB 于点E ，F ，且BD ＝AC.现用渔网沿着DE ，EO ，OF ，FC 将池塘分成如图所示的三种养殖区域．若OA ＝1km ，∠AOB ＝π
2
，∠EOF ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2. (1) 求区域Ⅱ的总面积；
(2) 若养殖区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的每平方千米的年收入分别为15万元、20万元、10万元．记年总收入为y 万元，试问当θ为多少时，年总收入最大？
解析：(1) 因为∠AOB ＝π
2，∠EOF ＝θ，OA ＝OB ，BD ＝AC ，所以OD ＝OC ，所以
Rt △ODE ≌Rt △OCF ，
所以∠EOD ＝∠FOC ＝π4－θ
2
，
所以S △EOD ＝S △FOC ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ2cos (π4－θ2)＝14sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ，则S Ⅱ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝12cos θ⎝
⎛⎭⎫0<θ<π
2.
(2) S Ⅰ＝12θ，S Ⅲ＝π4－12θ－1
2
cos θ，
则年总收入＝152θ＋10cos θ＋5π2－5θ－5cos θ＝52θ＋5cos θ＋5π
2⎝⎛⎭⎫0<θ<π2， 所以y′＝52－5sin θ，令y′＝0，得θ＝π
6，
所以当0<θ<π
6时，y′>0；
当π6<θ<π
2
时，y ′<0， 故当θ＝π
6
时，年总收入最大．
自测反馈
1. 某卡车在一时间段里的速度v(km /h )与耗油量θ(kg /h )之间有近似的函数关系式：θ＝0.002 5v 2－0.175v ＋4.27，则当车速为__35__km /h 时卡车的耗油量最少．
解析：由题意得，θ＝0.002 5v 2－0.175v ＋4.27＝0.002 5(v －35)2＋1.207 5，所以当v ＝35km /h 时，卡车的耗油量最少．
2. 若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x 与y 的函数关系是__y ＝0.957__6x 100
__．
解析：设经过一年剩下原来质量的a%，则y ＝⎝⎛⎭⎫a 100x
，由题意可知⎝⎛⎭
⎫a 100100
＝0.957 6，所以a 100
＝0.957 61100，所以y ＝(0.95761100)x ＝0.957 6x 100
.
3. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x ，y 应为__15，12__.
解析：由直角三角形相似得24－y 24－8＝x 20，则x ＝54(24－y)，所以矩形的面积＝[5
4(24－y)]×y
＝－5
4(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，矩形的面积最大，此时x ＝15.
1. 分段函数主要是每一段自变量所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
2. 利用函数模型解决实际问题的方法步骤(四步法)：审题、建模、求模、还原.
3. 你还有哪些体悟，写下来：。