第六课时 正弦函数的图像与性质

2
2
3
5

1
3

.6

. . . . . . . . . . . . . . 6 0
7
4
6
3
3 20 22
x
2
12
12
2



2
52O1源自6323
6
7 6
4 3
11 6
-1
3
5
2
3
用几何方法作正弦函数 y sin x(x [0,2 ])
的图象
（1）作直角坐标系，在直角坐标系的y轴左侧画单位圆， 圆心在x轴上．
–
sin(
10
)>0
(2) cos( 23 ) -
5
cos( 17 )
4
解： cos( 23 )=cos 23 =cos 3
5
5
5
cos( 17 )=cos 17
4
4

=cos 4
0 3
45
cos 3 <cos
5
4
又 y=cosx 在 [0, ]上是减函数

2x
2k


4
2
k



x k

3
8
8
2k 2 x 2k 3
2
4
2
k 3 x k 7
8
8
所以：单调增区间为 单调减区间为
[k , k 3 ]
8
8
[k 3 , k 7 ]
8
8
例3 判断下列函数的奇偶性：
正弦函数 y sin x(x R)的图象叫正弦曲线
三、五点作图法
五点法作函数 y sin x(x [0,2 ]) 的简图
.y
1
· · . -2
-
o
-1
. . · · · ·x
.
2
3
4
坐标依次为：
（0，0）、（ ，1）、（ ，0）、（ ，-1）、（3 ，0）
2
2
2
作正弦函数 y sin x(x R) 的图象
y 1
· · -2
-
o
· · · ·x

2
3
4
-1
因为终边相同的角的三角函数值相等，所以y=sinx的图象在……，
4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
2
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间：
(1) y=2sin(-x )
解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
2
+2k,
2
+2k],kZ
上单调递减
函数在
[
2
+2k,
3 2
+2k],kZ上单调递增

(2) y=3sin(2x- 4 )
解：2k
当 z∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)时，y＝2sinz 为增函数， ∴原函数的单调递增区间应满足：
x－π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，即 x∈2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)， 故函数 y＝2sinx－3π的单调递增区间为：2kπ－π6，2kπ＋56π(k∈Z)．
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2

3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x

2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[

2 +2k,

2
+2其k值],k从-Z1增至1
减区间为
[
2
+2k,
3+2其k值],k从Z1减至-1
正弦函数的图象与性质
X
新课讲解
一. 描点法
(1) 列表 y sin x, x 0,2
x
0

6

3
2 5
236
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y0
1 2
3 2
1
3 2
1 2
0

1 2

3 2
1

3 2

1 2
0
(2) 描点 y
1-
(3) 连线
-
0


2
1 -
(1) y sin 3 x ， x R
奇函数
(2) y sin x cos x，x R
偶函数
(3) y 1 sin x， x R
既不是奇函数，也不是偶函数.
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性应用 例4 求下列函数的单调区间：
(1) y=1-sinx (2) y=sin3x
一个x，都有
，则称f(x)为这一定
义域内的奇函数。
奇函数的图象关于原点对称。
注意：
（1）对于定义域的任意一个x，-x 也要有意义，所以判断一个函数的 奇偶性的时候，一定要先判断它的 定义域是否关于原点对称。
（2）若f(x)是奇函数且x=0在定义域 内，则有f(0)=0.
三、正弦函数的单调性
正弦函数的单调性
3
即： cos 5
– cos

4
<0
从而
cos( 23 ) -
5
cos( 17 ) <0
4
重点题型一 求正弦型复合函数的单调区间 【例 6】 求函数 y＝2sin x－π3 的单调区间． 思维启迪：令 z＝x－π3，借助 y＝2sinz 的单调性求解．
解析：令 z＝x－π3，则 y＝2sinz.∵z＝x－π3是增函数， ∴y＝2sinz 的单调递增(减)区间即为原函数的单调递增(减)区间．
3 2
2
x
二、几何法(三角函数线平移法)
1、一三次角函函数数、的二几次何函表数示、---反-三比角例函函数数线、
指数函数、对数函数、三角函数等；
y
MP---正弦线
p
o
M
OM---余弦线
x
在直角坐标系中如何作点（

，
sin

）？
33
y
P
C(

,

sin
)
33
x
MO

y

y=sinx x∈[0，2π]
（2）把单位圆分成12等份。过单位圆上的各分点作x轴 的垂线，可以得到对应于各角的正弦线；
（3）找横坐标：把x轴上从0到2这一段分成12等份；
（4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可作出相应12 个点；
（5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接 起来，即得到 y sin x(x [0,2 ])的图象。
四、例 题
例1、画出函数 y 1 sin x, x [0,2 ]的简图。
解：按五个关键点列表：
x
0

2

y
1
2
1
y 2
1.
.
.
.
.
o

2
3 2
2
0
1
x
二、正弦余弦函数图象的奇偶性：
-4 -3
-2
y
1
-
o
-1

2
3
4
5 6 x
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例例15 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：
(1)
sin(


18
)
–
sin(

10
)

解：
2 10 18 2
又
y=sinx
在[

2
,

2
]上是增函数
sin( ) < sin( )
10
18
即：sin(
18
)