2018年高考数学 第四章 三角函数与解三角形 专题17 解三角形考场高招大全

专题十七 解三角形
考点37 正弦定理与余弦定理
考场高招1 应用正、余弦定理的解题技巧 1.解读高招
2.典例指引
1(1)△ABC 的三个内角A ,B ,C 对边的长分别为a ,b ,c ,若a sin A sin B+b cos 2
A=a ,则等于( )
A.2
B.2
C.
D.
(2)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,已知a 2
-c 2
=b ,且sin(A-C )=2cos A sin C ,则b 等于( ) A.6
B.4
C.2
D.1
(3)已知△ABC 的三边a ,b ,c 成等比数列,a ,b ,c 所对的角依次为A ,B ,C ,则sin B+cos B 的取值范围是( ) A.
B.
C.(1,
] D.
(4)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a sin B
=b cos A.若a=4,则△ABC 周长的最大值为
(2)(角化边)由题意,得sin A cos C-cos A sin C=2cos A sin C ,即sin A cos C=3cos A sin C ,
由正、余弦定理,得a ·=3c ·,
整理得2(a 2
-c 2
)=b 2
. ① 又a 2
-c 2
=b ,
②
联立①②得b=2,故选C . (3)设y=sin B+cos B=
sin
.
∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2
=ac ,∴cos B=
,
∴0<B<<sin ≤1,1<sin ,故选C .
(4)由正弦定理,可将a sin B=b cos A 化为sin A sin B=sin B cos A.
∵在△ABC 中,sin B>0, ∴sin A=
cos A ,即tan A=
.
∵0<A<π,∴A=.
由余弦定理,得a 2
=16=b 2
+c 2
-2bc cos A=(b+c )2
-3bc ≥(b+c )2
-3
,则(b+c )2
≤64,即b+c ≤8(当且仅当
b=c=4时等号成立),所以△ABC 的周长=a+b+c=4+b+c ≤12,即最大值为12.
【答案】 (1)D (2)C (3)C (4)12 3.亲临考场
1.(2016天津,理3)在△ABC 中,若,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】 A 由余弦定理得13=9+AC 2
+3AC ⇒AC=1.故选A .
2.(2016课标Ⅱ,理13)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .
【答案】
21
13
【解析】因为cos A=,cos C=,且A ,C 为△ABC 的内角,所以
sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C )]=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以
b=.
3.(2015广东,理11)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a=
,sin B=,C=,则b= .
考点38 解三角形及其应用
考场高招2 判断三角形形状问题的规律
1.解读高招
2.典例指引
2(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状是() A.直角三角形 B.等腰非等边三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若=2c,则△ABC的形状是()
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
(2)∵
=2c ,
∴由正弦定理可得=2sin C ,
而
≥2
=2,
当且仅当sin A=sin B 时取等号.∴2sin C ≥2,即sin C ≥1. 又sin C ≤1,故可得sin C=1,∴∠C=90°.
又∵sin A=sin B ,∴A=B ,故三角形为等腰直角三角形,故选C. 【答案】 (1)C (2)C 3.亲临考场
1.在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2
A
2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2
A ，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】sin B ·sin C ＝1＋cos A
2
，
∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，
∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ， 又sin 2
B ＋sin 2
C ＝sin 2
A ，∴b 2
＋c 2
＝a 2， 综上，△ABC 为等腰直角三角形．
2.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．不确定
考场高招3 解三角形应用题的规律 1.解读高招
2.典例指引
3(1)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC 等于( ) A.240(
-1) m B.180(-1) m C.120(-1) m D.30(+1) m
(2)(2016广东佛山一模)如图,为了测量河对岸A ,B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A ,B ;找到一个点D ,从D 点可以观察到点A ,C ;找到一个点E ,从E 点可以观察到点B ,C ;并测量得到:CD=2,CE=2
,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A ,B 两点之间的距离
为.
(2)依题意知,在△ACD中,∠A=30°,
由正弦定理得AC==2,在△BCE中,∠CBE=45°,
由正弦定理得BC==3.
∵在△ABC中,由余弦定理得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC cos∠ACB=10,∴AB=.
3.亲临考场
1.(2017浙江,11)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6= .
【答案】
【解析】将正六边形分割为6个等边三角形,则S6=6×.
2.(2015湖北,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.
【答案】100
考场高招4 三角形与不等式相结合解题的规律
1.解读高招
≥2
2.典例指引
4(1)(2017广东湛江调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2b,△ABC的面积记作S,则下列结论一定成立的是()
A.B>30°
B.A=2B
C.c<b
D.S≤b2
(2)(2017广西南宁、梧州摸底联考)已知△ABC中,角B, C,A成等差数列,且△ABC的面积为 ,则AB边的最小值是.
(3)在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD长为6,则当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为.
【解析】 (1)由a=2b,得sin A=2sin B≤1,则sin B≤,
∵B不是最大角,∴B≤30°,故A错;sin A=2sin B与A=2B没有关系,故B错;若a=4,b=2,c=5,符合a=2b,但c>b,所以C错;三角形面积S=ab sin C=b2sin C≤b2,故选D.
(2)∵B,C,A成等差数列,∴A+B=3C.
又∵A+B+C=π,∴C=,
由S△ABC=ab sin C=1+,得ab=2(2+).
∵c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab,a2+b2≥2ab,
∴c2≥(2-)ab=4,解得c≥2,∴c的最小值为2.
(3)根据题意,可设AB=AC=2x,则AD=x(2<x<6),
由余弦定理,得cos A=,
∴sin A=,
∴S△ABC=AB·AC sin A=×4x2
=2≤24,
当x2=20,即x=2时等号成立,所以当△ABC的面积取得最大值时,AB的长为4.
【答案】(1)D(2)2(3)4
3.亲临考场
1.(2015课标Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,
BC=2,则AB的取值范围是.
【答案】()
2.(2014课标Ⅰ,理16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边, a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为
【答案】。