四川省遂宁市安居场镇镇中学高二数学文上学期期末试卷含解析

四川省遂宁市安居场镇镇中学高二数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′（x）g（x）﹣f
（x）g′（x）＜0且f(－2)=0，则不等式的解集为（）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
参考答案：
A
【考点】函数的单调性与导数的关系；奇偶性与单调性的综合．
【分析】构造函数h（x）=，由已知可得x＜0时，h′（x）＜0，从而可得函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又由已知可得函数h（x）为奇函数，故可得h（0）=g（﹣2）=g（2）=0，且在（0，+∞）单调递减，可求得答案．
【解答】解：∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）g（﹣x）=g（x）
∵当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＜0
当x＜0时，，
令h（x）=，则h（x）在（﹣∞，0）上单调递减
∵h（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）g（x）=﹣h（x）
∴h（x）为奇函数，
根据奇函数的性质可得函数h（x）在（0，+∞）单调递减，且h（0）=0
∵f（﹣2）=﹣f（2）=0，∴h（﹣2）=﹣h（2）=0
h（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）
故选A．
2. 已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣1，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2n B．a n=2n﹣1 C．a n=2n﹣1 D．a n=2n﹣1﹣1
参考答案：
C
【考点】数列递推式．
【分析】利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵S n=2a n﹣1，∴n=1时，a1=S1=2a1﹣1，解得a1=1．
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），
∴a n=2a n﹣1．
∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为1．
∴a n=2n﹣1．
故选：C．
3.
参考答案：
B
4. 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1中，模与向量的模相等的向量有（）A．7个B．3个C．5个D．6个
参考答案：
A
【考点】共线向量与共面向量．
【分析】利用相等向量与相反向量的模相等及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，模与向量的模相等的向量有以下7个：，，，，，，，
故选：A．
5. 已知等比数列的前项和为，前项和为，则它的公比（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
略
6. 函数的图像关于直线对称的充要条件是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
A
略
7. 在△ABC中，A：B：C=4：1：1，则a：b：c=（）
A．：1：1 B．2：1：1 C．：1：2 D．3：1：1
参考答案：
A
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】通过三角形的角的比，求出三个角的大小，利用正弦定理求出a、b、c的比即可【解答】解：∵A+B+C=π，A：B：C=4：1：1，
∴A=120°，B=C=30°，由正弦定理可知：a：b：c=sinA：sinB：sinC==：1：1．
故选：A．
【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的内角和，基本知识的考查．
8. 函数, 已知在时取得极值, 则
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
参考答案：
A
略
9. 某选手的一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.15、0.35、0.2、0.1，则此选手在一次射击中不超过7环的概率为（）
A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.9
参考答案：
A
10. 过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，
则P到圆心的距离最大即可，
由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，
由，解得，即D （﹣4，﹣2），
此时|OD|=，|OA|=1，
则
，即sin =， 此时cosα=1﹣2sin 2=1﹣2（
）2=1﹣
=
，
故选：C
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点坐标在x 轴上，离心率为
，b=2，则双曲线的标准方程
是
▲
.
参考答案：
12. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体外接球的体积为 .
参考答案：
13. 已知中，，，的面积为，若线段的延长线上存在点
，使，则 ．
参考答案：
14. 设正数数列{a n }的前n 项之和是
，数列{b n }前n 项之积是
，且
，则数列
中最
接近108的项是第 项．
参考答案：
10 略 15.
中，三边长分别为
，则。

参考答案：
16. 圆上动点到直线距离的最小值为_______．
参考答案： 略
17. 已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在抛物线上，且
，则△PKF的面积为________.
参考答案：
8
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）已知函数．
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，试比较与的大小；
（3）求证：（）．
参考答案：
解：（1）当时，，定义域是，
，令，得或．…2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减．……………4分的极大值是，极小值是．
当时，；当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分（2）当时，，定义域为．
令，
，
在上是增函
数．………………………7分
①当时，，即；
②当时，，即；
③当时，，即．………………………9分
（3）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，．……………12分
，
．……………………………………14分
(法二)当时，．
，，即时命题成立．………………………………10分
设当时，命题成立，即．
时，．
根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立．………………………………14分
（法三）如图，根据定积分的定义，
得．……11分
，
．………………………12分
，
又，，
．
．………………………14分
【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识．
略19. 已知双曲线C：经过点，且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线C于A、B两点，求点P到直线AB距离的最大值.
参考答案：
（1）（2）
【分析】
（1）将的坐标代入双曲线的方程，再由点到直线的距离公式，可得，解得，进而得到双曲线的方程；
（2）设，，直线的方程为，将代入中，整理得，根据可得的关系，从而将点到直线距离表示成关于的函数，再求最值。

【详解】（1）∵双曲线过点，∴.
不妨设为右焦点，则到渐近线的距离，
∴，，
∴所求双曲线的方程为.
（2）设，，直线的方程为.
将代入中，整理得.
∴①，②，
∵，∴，
∴，
∴.③将①②代入③，得，
∴而，∴，
从而直线的方程为.
将代入中，
判别式恒成立，
∴即为所求直线，该直线过定点，
当时，点到直线距离取最大值.
【点睛】本题考查双曲线方程、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量数量积的应用。

20. （12分）求证:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.
参考答案：
证法1：∵a4+b4+c4-（a2b2+b2c2+c2a2）=[(a4-2a2b2+b4)+( b4-2a2b2+c4)+( c4-2c2a2+a4)] =[(a2-b2)2+（b2-c2）2+(c2-a2)2] ≥0，∴a4+b4+c4≥a2b2+ b2c2+ c2a2（12分）。

证法2：不妨设a2≥b2≥c2,则由排序原理顺序和≥乱序和，得
a2×a2+b2×b2+c2×c2≥a2b2+ b2c2+c2a2，即a4+b4+c4≥a2b2+ b2c2+c2a2，当且仅当a2= b2= c2时，等号成立（12分）.
略
21. 已知双曲线C：与直线:x + y = 1相交于两个不同的点A、B.
(1) 求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2) 设直线与y轴交点为P，且，求的值
参考答案：（1）由曲线C与直线相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的解，消去y并整理得：
得且双曲线的离心率
∵∴
即离心率e的取值范围为.
（2）设
∵,∴，得
由于是方程①的两个根，∴
即，得，
解得
略
22. （12分）已知单调递增的等比数列{aB nB}满足：aB2B＋aB3B＋aB4B＝28，且aB3B＋2是aB2B，aB4B的等差中项．
（1）求数列{aB nB}的通项公式；
（2）若，SB nB＝bB1B＋bB2B＋…＋bB nB，求使SB nB＋n·2P n＋1P＞50成立的正整数n的最小值．
参考答案：
(1)设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q．
依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，
可得a3＝8，∴a2＋a4＝
20，…………………………2分
所以…………………………4分
又∵数列{a n}单调递增，所以q＝2，a1＝2，
∴数列{a n}的通项公式为a n＝
2n．…………………………6分
(2)因为,
所以S n＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)，
2S n＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1]，
两式相减，得
S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1．…………………………10分要使S n＋n·2n＋1＞50，即2n＋1－2＞50，即2n＋1>52．
易知：当n≤4时，2n＋1≤25＝32＜52；当n≥5时，2n＋1≥26＝64＞52．故使
S n＋n·2n＋1＞50成立的正整数n的最小值为5．…………………………12分。