分段函数的几种常见题型及解法之欧阳家百创编

分段函数的几种常见题型及解
法
欧阳家百（2021.03.07）
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：
1．求分段函数的定义域和值域
例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x
x x +∈-⎧⎪=-∈⎨⎪∈+∞⎩
的定
义域、值域.
【解析】
作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为[1,)-+∞, 值域为(1,3]-.
2．求分段函数的函数值
例2．（05年浙江理）已知函数
2
|1|2,(||1)
()1
,(||1)1x x f x x x
--≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩求
12[()]
f f .
【解析】
因为
311
222
()|1|2f =--=-, 所以
3
1222
3214
[()]()1()
13f f f =-=
=+-. 3．求分段函数的最值
例3．求函数43(0)
()3(01)
5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪
=+<≤⎨⎪-+>⎩
的最大值.
【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时,
max ()(1)4
f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =.
4．求分段函数的解析式
例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ）
【解析】
当[2,0]x ∈-时,
121y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位,
再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式为1
1
22(2)111y x x =-+-=-, 所以()22([1,0])f x x x =+∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式
2(2)1124
y x x =-+-=-, 所以1
2()2([0,2])f x x x =+∈, 综上可得
222(10)()2(02)x
x x f x x +-≤≤⎧=⎨+<≤⎩, 故选A .
5．作分段函数的图像 例
5．函数
|ln |
|1|x y e x =--的图像大致是（ ） 6．求分段函数得反函数
例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时,
()31x f x =-, 设()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式.
【解析】
设0x <, 则0x ->, 所以
()31x
f x --=-, 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以
()()f x f x -=-, 且(0)0f =, 所以()13x f x -=-, 因此
31(0)
()0(0)
13(0)x x x f x x x -⎧->⎪==⎨⎪-<⎩
, 从而可得
33log (1)(0)()0(0)
log (1)(0)
x x g x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩
.
7．判断分段函数的奇偶性
例7．判断函数2
2
(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩的奇偶性.
【解析】
当0x >时, 0x -<,
22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时,
(0)(0)0
f f -==, 当
x <,
x ->,
22()()(1)(1)()
f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有
()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数.
8．判断分段函数的单调性
例8．判断函数3
2
(0)()(0)x x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩的单调性.
【解析】 显然
()f x 连续. 当0x ≥时, '2()311f x x =+≥恒成立, 所以()f x 是
单调递增函数, 当0x <时, '
()20f x x =->恒成立, ()f x 也是单调递
增函数, 所以()f x 在R 上是单调递增函数; 或画图易知()f x 在R 上是单调递增函数.
例9．写出函数()|12||2|f x x x =++-的单调减区间.
【解析】
121231()()3(2)
31(2)x x f x x x x x -+≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪-≥⎩
, 画图
易知单调减区间为
12(,]
-∞-.
9．解分段函数的方程
例10．（01年上海）设函数812(,1]()log (1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨
∈+∞⎩, 则满足
方程
1
()4f x =
的x 的值为
【解析】 若
14
2x -=
, 则2
22x --=, 得2(,1]x =∉-∞, 所以2x =（舍去）, 若
1814
log x =
, 则14
81x =, 解得3(1,)x =∈+∞, 所以3x =即为所求.
10．解分段函数的不等式
例11．设函数
1
221(0)()(0)x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩, 若
0()1
f x >, 则0x 得取值范围是（ ）
【解析1】
首先画出()y f x =和1y =的大致图像, 易知
0()1
f x >时, 所对应的0
x 的取值范围
是(,1)(1,)-∞-⋃+∞.
【解析2】
因为0()1f x >, 当00x ≤时, 0
211x
-->, 解得01x <-, 当00x >时
,
x
x
y
12
01
x >, 解得01x >, 综上0x 的取值范围是(,1)(1,)-∞-⋃+∞. 故选D.
例12
．设函数
2
(1)(1)()4(1)x x f x x ⎧+<⎪=⎨
-≥⎪⎩, 则使得()1f x ≥的自变量
x 的取值范围为（ ）
A ．(,2][0,10]-∞-⋃ B. (,2][0,1]-∞-⋃ C. (,2][1,10]-∞-⋃ D. [2,0][1,10]-⋃ 【解析】
当1x <时, 2
()1(1)120f x x x x ≥⇔+≥⇔≤-≥或, 所以
21x x ≤-≤<或0, 当1x ≥时,
()141310f x x ≥⇔≥⇔≤⇔≤,
所以110x ≤≤, 综上所述, 2x ≤-或010x ≤≤, 故选A 项.
【点评：】
以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显.。