机器人第五章
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q 1 J ln q 2 J an qn
v
的传递比；
v J l 1 J a1
Jl2 J a2
于是，手爪的线速度v 和角速度ω 可表示为各关节 速度 q i 的线性函数，
v J l1q1 J l 2 q2 J ln qn ; ω J a1q1 J a 2 q2 J an qn .
的轴 z i 作微分转动 d i ，相当于微分运动矢量
d
0 0 0 , δ 0 d i 0 1
( p ( p ( p
利用式(5.13)得出手爪相应的微分运动矢量为
xi (q ) 第i行第j列元素为 J ij (q ) q , i 1,2,,6; j 1,2,, n. j
表达了关节空间第j个关节速度对于操作空间第i方向的速度变换；
q R n ，雅可比矩阵 J (q )是从关节空间速度 q 向 对于关节变量
操作空间速度
x
映射的线性变换。
J 式中， li 和 J ai 分别表示关节i的单位关节速度引
起手爪的线速度和角速度。
第三节
2、矢量积的方法
Whitney基于运动坐标系的概念提出求机器人雅 可比的矢量积方法。如下图所示，末端手爪的线速 度v 和角速度 ω 与关节速度 q i 有关。
（1）对于移动关节i，则
z i v z i 0 qi , J i 0 ω
T
之间的关系
第三节
5.3 微分运动和广义速度
刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量 d 和微分转动矢量δ 。 前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者 由绕三坐标轴的微分转动组成，即
d d xi d yj d z k δ xi yj z k
d [d x , d y , d z ]T 或
（2）对于转动关节i，则
0 0 z i i p n z i (i0 R i p n ) v z i i p n qi , J i ω zi zi zi
第三节
3、微分变换法
对于转动关节i，连杆i相对连杆i-1绕坐标系{i}
n 2 n
2 0 T n1 Tnn1T ,,in1 T ii 1 TniT ,,0 T 1 Tn1T n n
T i (3)计算 J ( p ) 的各列元素，第i列 ji 由 n T 所决 T 定。根据公式(5.28)计算 jli 和 T J ai 。
第三节
图5-3
T
ji
和
i n
T dx T dy T dz T x T y T z n )x n)y n )z d i nz oz az
(5.26)
第三节
若关节i是移动关节，连杆i沿 z i 轴相对于 连杆i-1作微分移动 dd ，则相当于微分运动矢量
τ J T (q )F
⑸机器人的奇异形位
机器人的雅可比矩阵依赖于关节矢量q的形位，关 节空间的奇异形位定义为：机器人雅可比矩阵不是满秩 时的关节矢量q所构成的形位，即满足
Rank( J (q )) min( , n) 6
操作空间中的 x x(q ) 点，为工作空间的奇异点。在 奇异形位处，机器人丧失一个或多个自由度。 机器人的奇异形位分为两类： a.边界奇异形位。 b.内部奇异形位。
(5.1ห้องสมุดไป่ตู้)
上式可简写为:
T d RT T δ 0
RT S ( p ) d δ RT
(5.14)
式中，R是旋转矩阵，
nx R n y nz ox oy oz ax ay az
⑹ 雅可比逆矩阵是机器人操作空间速度向关节空间速
度的线性映射关系，即速度反解：
q J 1 (q )x
雅可比逆矩阵还可以描述操作空间向关节空间误差和 微分运动的分析。 对于机器人的奇异形位雅可比逆矩阵不存在，速
度反解不存在。在奇异点附近，关节速度可能趋近无
限大。
如图所示，为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以 1m/s的速度运动，求相应的关系速度 q 1 ,2 T
i
0 d 0 dd i ,δ 1
0 0 , 0
抓手相应的微分运动矢量为
T dx T nz d y oz T d z a z dd T 0 i x T y 0 T 0 z
求其雅可比矩阵。
平面2R机械手
解：对运动学方程两端分别对时间t求导，则得：
dx d 1 d 2 l1s1 l2 s12 l2 s12 dt dt dt dy d 1 d 2 l1c1 l2 c12 l2 c12 dt dt dt
dx d1 dt l1s1 l2 s12 l2 s12 dt dy l1c1 l2c12 l2c12 d 2 dt dt
(5.11)
x n ; T y n ;
T T
z n .
(5.12) 第二节
T 合并式(5.11)和式(5.12)，得出 D 与D 的关系为:
T d x n T x d y ox T d z a x T 0 x T y 0 T 0 z
(5.9)
微分运动矢量D 和广义速度V也是相对于某 坐标系而言的。
第二节
若相对基坐标系（或参考系）的微分运动为D（d 和 δ ）， 则相对坐标系{T }，
nx ox a x n o a T y y y nz oz a z 0 0 0 px p y n o a p R p (5.10) 0 0 0 1 0 0 0 1 pz 1
c12 ; c1 c12 . 1 2 l1s2 l 2 s2 l1s2
第一节
5.2 雅可比矩阵的构造法
• 1、概述 • 2、矢量积的方法 • 3、微分变换法
1、概述
雅可比矩阵 既可当成是从关节空间向操作 J (p ) 空间的速度传递的线性关系，也可看成是微分运
动转换的线性关系，即
3、雅可比矩阵的性质与应用
⑴关节空间速度向操作空间速度的线性变换；
x J (q )q ,
⑵关节空间微分运动向操作空间微分运动 的线性变换；
dx J (q)dq
⑶关节空间与操作空间误差的分析和综合； ⑷
J T (q ) 称为机器人的力雅可比矩阵
，表示在静力平衡
状态下，操作空间的力向关节空间力的线性映射关系；
V J (q )q
D J (q )dq
其中:q是关节空间位移矢量
q 是关节速度矢量
x 是操作速度矢量
J ( p ) 是依赖于q
(5.19) (5.20)
的雅可比矩阵
第三节
对于n个关节的机器人，其雅可比
阶矩阵。其中前3行代表对手爪线速度
J (p )
是6×n
后3行代表对手爪的角速度ω的传递比。另一方面， 每一列代表相应的关节速度 q i 对于手爪线速度和角 速度的传递比。因此，可将雅可比矩阵分块，即
解：
J 1 (q ) x. q
对于平面2R机械手，逆雅可比可由上例中的J（q） 的表达式求得：
1 J (q ) l1l2 s2
1
l2c12 l c l c 1 1 2 12
l1s1 l2 s12 l2 s12
T 于是得到与末端速度 x [1,0] 相应的关节速度 反解为：
用矢量的方式表达
操作臂的运动方程为：
x x (q )
x J (q )q ,
两边对时间t求导：
式中，x 称为末端在操作空间的广义速度，简称操作速度；
q 称为关节速度；
J (q ) 是6×n 的偏导数矩阵，称为操作臂的雅可比矩阵。
l1s1 l2 s12 J (q ) l1c1 l2 c12
l2 s12 l2c12
2、雅可比矩阵的物理解释
l1s1 l2 s12 J (q ) l1c1 l2 c12 l2 s12 l2c12
第i行表达了关节空间各速度对于操作空间第i方向的速度变换；
第j列表达了关节空间第j个关节速度对于操作空间各方向速度变换；
T
的微分运动
T
T
D（
T
d 和
）为:
d x d n ( p ) n n (( p ) d ); T d y d n ( p ) o o (( p ) d ); T d z d n ( p ) a a (( p ) d ).
第五章 机器人的雅可比
主 页
5.1 雅可比矩阵的概述
1、雅可比矩阵的定义
操作臂的雅可比矩阵 定义为它的操作速度与
关节速度的线性变换，可以看成是从关节空间向 操作空间运动速度的传动比。
第一节
先看一个例子
平面2R机械手的运动学方程为：
x l1c1 l2 c12 y l1 s1 l2 s12
第三节
上面求雅可比
i 1 i
T
J (p )
的方法是构造性的，只要
知道各连杆变换 T ，就可自动生成雅可比，而不 需求导和解方程等手续。自动生成步骤为：
0 1 n1 (1)计算各连杆变换 1 T ,2 T ,,n T
。
(2)计算各连杆至末端连杆的变换（见下图）：
n 1 n
T n1T , n
(5.6) (5.7)
或 δ [ x , y , z ]T
将两者合并为6维列矢量D，称为刚体或坐标 系的微分运动矢量：
d D (5.8) δ 相应地，刚体或坐标系的广义速度V 是由线速度v 和角速度ω 组成的6维列矢量：
v 1 V lim ω t 0 t d δ
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
(p n ) x ( p o ) x (p a )x nx ox ax
(p n ) y ( p o ) y (p a ) y ny oy ay
( p n ) z d x ( p o ) z d y ( p a ) y d z nz x oz y oz z
（4.27）
第三节
由此得出雅可比矩阵
J (p )
的第i列为
nz T J li oz (移动关节i ); a z （4.28） 0 0 (转动关节i ). T J ai 0
( p n ) z T J li ( p o ) z (转动关节i ), ( p a ) z nz TJ ai oz (转动关节i ), a z
v
的传递比；
v J l 1 J a1
Jl2 J a2
于是，手爪的线速度v 和角速度ω 可表示为各关节 速度 q i 的线性函数，
v J l1q1 J l 2 q2 J ln qn ; ω J a1q1 J a 2 q2 J an qn .
的轴 z i 作微分转动 d i ，相当于微分运动矢量
d
0 0 0 , δ 0 d i 0 1
( p ( p ( p
利用式(5.13)得出手爪相应的微分运动矢量为
xi (q ) 第i行第j列元素为 J ij (q ) q , i 1,2,,6; j 1,2,, n. j
表达了关节空间第j个关节速度对于操作空间第i方向的速度变换；
q R n ，雅可比矩阵 J (q )是从关节空间速度 q 向 对于关节变量
操作空间速度
x
映射的线性变换。
J 式中， li 和 J ai 分别表示关节i的单位关节速度引
起手爪的线速度和角速度。
第三节
2、矢量积的方法
Whitney基于运动坐标系的概念提出求机器人雅 可比的矢量积方法。如下图所示，末端手爪的线速 度v 和角速度 ω 与关节速度 q i 有关。
（1）对于移动关节i，则
z i v z i 0 qi , J i 0 ω
T
之间的关系
第三节
5.3 微分运动和广义速度
刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量 d 和微分转动矢量δ 。 前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者 由绕三坐标轴的微分转动组成，即
d d xi d yj d z k δ xi yj z k
d [d x , d y , d z ]T 或
（2）对于转动关节i，则
0 0 z i i p n z i (i0 R i p n ) v z i i p n qi , J i ω zi zi zi
第三节
3、微分变换法
对于转动关节i，连杆i相对连杆i-1绕坐标系{i}
n 2 n
2 0 T n1 Tnn1T ,,in1 T ii 1 TniT ,,0 T 1 Tn1T n n
T i (3)计算 J ( p ) 的各列元素，第i列 ji 由 n T 所决 T 定。根据公式(5.28)计算 jli 和 T J ai 。
第三节
图5-3
T
ji
和
i n
T dx T dy T dz T x T y T z n )x n)y n )z d i nz oz az
(5.26)
第三节
若关节i是移动关节，连杆i沿 z i 轴相对于 连杆i-1作微分移动 dd ，则相当于微分运动矢量
τ J T (q )F
⑸机器人的奇异形位
机器人的雅可比矩阵依赖于关节矢量q的形位，关 节空间的奇异形位定义为：机器人雅可比矩阵不是满秩 时的关节矢量q所构成的形位，即满足
Rank( J (q )) min( , n) 6
操作空间中的 x x(q ) 点，为工作空间的奇异点。在 奇异形位处，机器人丧失一个或多个自由度。 机器人的奇异形位分为两类： a.边界奇异形位。 b.内部奇异形位。
(5.1ห้องสมุดไป่ตู้)
上式可简写为:
T d RT T δ 0
RT S ( p ) d δ RT
(5.14)
式中，R是旋转矩阵，
nx R n y nz ox oy oz ax ay az
⑹ 雅可比逆矩阵是机器人操作空间速度向关节空间速
度的线性映射关系，即速度反解：
q J 1 (q )x
雅可比逆矩阵还可以描述操作空间向关节空间误差和 微分运动的分析。 对于机器人的奇异形位雅可比逆矩阵不存在，速
度反解不存在。在奇异点附近，关节速度可能趋近无
限大。
如图所示，为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以 1m/s的速度运动，求相应的关系速度 q 1 ,2 T
i
0 d 0 dd i ,δ 1
0 0 , 0
抓手相应的微分运动矢量为
T dx T nz d y oz T d z a z dd T 0 i x T y 0 T 0 z
求其雅可比矩阵。
平面2R机械手
解：对运动学方程两端分别对时间t求导，则得：
dx d 1 d 2 l1s1 l2 s12 l2 s12 dt dt dt dy d 1 d 2 l1c1 l2 c12 l2 c12 dt dt dt
dx d1 dt l1s1 l2 s12 l2 s12 dt dy l1c1 l2c12 l2c12 d 2 dt dt
(5.11)
x n ; T y n ;
T T
z n .
(5.12) 第二节
T 合并式(5.11)和式(5.12)，得出 D 与D 的关系为:
T d x n T x d y ox T d z a x T 0 x T y 0 T 0 z
(5.9)
微分运动矢量D 和广义速度V也是相对于某 坐标系而言的。
第二节
若相对基坐标系（或参考系）的微分运动为D（d 和 δ ）， 则相对坐标系{T }，
nx ox a x n o a T y y y nz oz a z 0 0 0 px p y n o a p R p (5.10) 0 0 0 1 0 0 0 1 pz 1
c12 ; c1 c12 . 1 2 l1s2 l 2 s2 l1s2
第一节
5.2 雅可比矩阵的构造法
• 1、概述 • 2、矢量积的方法 • 3、微分变换法
1、概述
雅可比矩阵 既可当成是从关节空间向操作 J (p ) 空间的速度传递的线性关系，也可看成是微分运
动转换的线性关系，即
3、雅可比矩阵的性质与应用
⑴关节空间速度向操作空间速度的线性变换；
x J (q )q ,
⑵关节空间微分运动向操作空间微分运动 的线性变换；
dx J (q)dq
⑶关节空间与操作空间误差的分析和综合； ⑷
J T (q ) 称为机器人的力雅可比矩阵
，表示在静力平衡
状态下，操作空间的力向关节空间力的线性映射关系；
V J (q )q
D J (q )dq
其中:q是关节空间位移矢量
q 是关节速度矢量
x 是操作速度矢量
J ( p ) 是依赖于q
(5.19) (5.20)
的雅可比矩阵
第三节
对于n个关节的机器人，其雅可比
阶矩阵。其中前3行代表对手爪线速度
J (p )
是6×n
后3行代表对手爪的角速度ω的传递比。另一方面， 每一列代表相应的关节速度 q i 对于手爪线速度和角 速度的传递比。因此，可将雅可比矩阵分块，即
解：
J 1 (q ) x. q
对于平面2R机械手，逆雅可比可由上例中的J（q） 的表达式求得：
1 J (q ) l1l2 s2
1
l2c12 l c l c 1 1 2 12
l1s1 l2 s12 l2 s12
T 于是得到与末端速度 x [1,0] 相应的关节速度 反解为：
用矢量的方式表达
操作臂的运动方程为：
x x (q )
x J (q )q ,
两边对时间t求导：
式中，x 称为末端在操作空间的广义速度，简称操作速度；
q 称为关节速度；
J (q ) 是6×n 的偏导数矩阵，称为操作臂的雅可比矩阵。
l1s1 l2 s12 J (q ) l1c1 l2 c12
l2 s12 l2c12
2、雅可比矩阵的物理解释
l1s1 l2 s12 J (q ) l1c1 l2 c12 l2 s12 l2c12
第i行表达了关节空间各速度对于操作空间第i方向的速度变换；
第j列表达了关节空间第j个关节速度对于操作空间各方向速度变换；
T
的微分运动
T
T
D（
T
d 和
）为:
d x d n ( p ) n n (( p ) d ); T d y d n ( p ) o o (( p ) d ); T d z d n ( p ) a a (( p ) d ).
第五章 机器人的雅可比
主 页
5.1 雅可比矩阵的概述
1、雅可比矩阵的定义
操作臂的雅可比矩阵 定义为它的操作速度与
关节速度的线性变换，可以看成是从关节空间向 操作空间运动速度的传动比。
第一节
先看一个例子
平面2R机械手的运动学方程为：
x l1c1 l2 c12 y l1 s1 l2 s12
第三节
上面求雅可比
i 1 i
T
J (p )
的方法是构造性的，只要
知道各连杆变换 T ，就可自动生成雅可比，而不 需求导和解方程等手续。自动生成步骤为：
0 1 n1 (1)计算各连杆变换 1 T ,2 T ,,n T
。
(2)计算各连杆至末端连杆的变换（见下图）：
n 1 n
T n1T , n
(5.6) (5.7)
或 δ [ x , y , z ]T
将两者合并为6维列矢量D，称为刚体或坐标 系的微分运动矢量：
d D (5.8) δ 相应地，刚体或坐标系的广义速度V 是由线速度v 和角速度ω 组成的6维列矢量：
v 1 V lim ω t 0 t d δ
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
(p n ) x ( p o ) x (p a )x nx ox ax
(p n ) y ( p o ) y (p a ) y ny oy ay
( p n ) z d x ( p o ) z d y ( p a ) y d z nz x oz y oz z
（4.27）
第三节
由此得出雅可比矩阵
J (p )
的第i列为
nz T J li oz (移动关节i ); a z （4.28） 0 0 (转动关节i ). T J ai 0
( p n ) z T J li ( p o ) z (转动关节i ), ( p a ) z nz TJ ai oz (转动关节i ), a z