【附2套中考卷】2020年中考-初中数学考试提分秘笈

2020年中考:初中数学考试提分秘笈
1.细心的发掘概念和公式
很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：
一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。

例如，在代数式的概念（用字母或数字表示的式子是代数式）中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。

二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。

这样就不能很好地将学到的知识点与解题联系起来。

三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。

记忆是理解的基础。

如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢？
我们的建议是：更细心一点（观察特例），更深入一点（了解它在题目中的常见考点），更熟练一点（无论它以什么面目出现，我们都能够应用自如）。

2.总结相似类型的题目
这个工作，不仅仅是老师的事，我们的同学要学会自己做。

当你会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，你才真正的掌握了这门学科的窍门，才能真正的做到“任它千变万化，我自岿然不动”。

这个问题如果解决不好，在进入初二、初三以后，同学们会发现，有一部分同学天天做题，可成绩不升反降。

其原因就是，他们天天都在做重复的工作，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。

久而久之，不会的题目还是不会，会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握，弄得一团糟。

我们的建议是：“总结归纳”是将题目越做越少的最好办法。

3.收集自己的典型错误和不会的题目
同学们最难面对的，就是自己的错误和困难。

但这恰恰又是最需要解决的问题。

同学们做题目，有两个重要的目的：
一是，将所学的知识点和技巧，在实际的题目中演练。

另外一个就是，找出自己的不足，然后弥补它。

这个不足，也包括两个方面，容易犯的错误和完全不会的内容。

但现实情况是，同学们只追求做题的数量，草草地应付作业了事，而不追求解决出现的问题，更谈不上收集错误。

我们之所以建议大家收集自己的典型错误和不会的题目，是因为，一旦你做了这件事，你就会发现：过去你认为自己有很多的小毛病，现在发现原来就是同一个问题在反复出现；过去你认为自己有很多问题都不懂，现在发现其实就是这几个关键点没有解决。

我们的建议是：做题就像挖金矿，每一道错题都是一块金矿，只有发掘、冶炼，才会有收获。

4.就不懂的问题积极提问积极讨论
发现了不懂的问题，积极向他人请教。

这是很平常的道理。

但就是这一点，很多同学都做不到。

原因可能有两个方面：
一是，对该问题的重视不够，不求甚解。

二是，不好意思，怕问老师被训，问同学被同学瞧不起。

抱着这样的心态，学习任何东西都不可能学好。

“闭门造车”只会让你的问题越来越多。

知识本身是有连贯性的，前面的知识不清楚，学到后面时，会更难理解。

这些问题积累到一定程度，就会造成你对该学科慢慢失去兴趣。

讨论是一种非常好的学习方法。

一个比较难的题目，经过与同学讨论，你可能就会获得很好的灵感，从对方那里学到好的方法和技巧。

需要注意的是，讨论的对象最好是与自己水平相当的同学，这样有利于大家相互学习。

我们的建议是：“勤学”是基础，“好问”是关键。

5.注重实战经验的培养
考试本身就是一门学问。

有些同学平时成绩很好，上课老师一提问，什么都会，课下做题也都会。

可
一到考试，成绩就不理想。

出现这种情况，有两个主要原因：
一是，考试心态不好，容易紧张。

二是，考试时间紧，总是不能在规定的时间内完成。

心态不好，一方面要自己注意调整，但同时也需要经历大型考试来锻炼。

每次考试，大家都要寻找一种适合自己的调整方法，久而久之，逐步适应考试节奏。

做题速度慢的问题，需要同学们在平时的做题中解决。

自己平时做作业可以给自己限定时间，逐步提高效率。

另外，在实际考试中，也要考虑每部分的完成时间，避免出现不必要的慌乱。

我们的建议是：把“做作业”当成考试，把“考试”当成做作业。

但要强调的是，任何方法最重要的是有效，同学们在学习中千万要避免形式化，一定要追求实效。

2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A.40º
B.50º
C.60º
D.70º
2．安居物业管理公司对某小区一天的垃圾进行了分类统计，如图是分类情况的扇形统表，若一天产生的垃圾的为300kg ，估计该小区一个月（按30天计）产生的可回收垃圾重量约是（ ）
A.900kg
B.105kg
C.3150kg
D.5850kg
3．如图，两个小正方形的边长都是1，以A 为圆心，AD 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
4．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的内心，∠FOG ＝120”，绕点O 旋转∠FOG ，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD ＝OE ：②S △ODE ＝S △BDE ：③四边形ODBE 的面积始终等于833
；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
5．如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A ．a b <
B ．a b >-
C ．2a >-
D ．b a >
6．下列运算中，错误的是（ ）
A ．x y y x x y y x --=-++
B ．1a b a b
--=-+ C ．2a a =
D ．2(12)21-=- 7．下列计算正确的是（ ）
A ．224a a a +=
B ．()2326a a =
C ．()23533a a a -=-g
D ．623422a a a ÷= 8．若x ﹣2y+1＝0，则2x ÷4y ×8等于（ ）
A ．1
B ．4
C ．8
D ．﹣16
9．在算式2009201020112012⨯⨯⨯中，你估计哪一个因数值减小1导致乘积减小最大？( )
A ．2009
B ．2010
C ．2011
D ．2012
10．若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）
①方程23+20x x -=是倍根方程；②若(2)()0x mx n --=是倍根方程，则4n m =或n m =③若点()p q ，在双曲线2y x =
的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③
11．如图，以正五边形ABCDE 的顶点A 为圆心，AE 为半径作圆弧交BA 的延长线于点A '，再以点B 为圆心，BA '为半径作圆弧交CB 的延长线于B '，依次进行……得到螺旋线，再顺次连结EA '，AB '，BC '，CD '，DE '，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，且满足521S S -=，则43S S -的值为（ ）
A ．17
B ．15
C ．14
D ．13
12．如图，在⊙O 中，∠BOD ＝120°，则∠BCD 的度数是（ ）
A ．60°
B ．80°
C ．120°
D ．150°
二、填空题 13．如图，抛物线的顶点为P （－2，2）与y 轴交于点A （0，3），若平移该抛物线使其顶P 沿直线移动到点P (2,2)'-，点A 的对应点为A '，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 .
14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝15，E 是CD 上的点，将△ADE 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 边上点F 处，点P 是线段CB 延长线上的动点，连接PA ，若△PAF 是等腰三角形，则PB 的长为____．
15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=
35，则cosB 的值为_____. 16．若分式22
x x +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 17．已知反比例函数k 1y x
-=的图象在第二、四象限内，那么k 的取值范围是________． 18．如图，扇形纸扇完全打开后，∠BAC=120°，AB=AC=30厘米，则BC 的长为_____厘米．（结果保留π）
三、解答题
19．计算：6sin45°﹣18+|2﹣3 |+（22﹣3）0+（﹣1）2019
20．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 表示该产品每千克生产成本y 1（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系；线段CD 表示每千克的销售价y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义．
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．
（3）当0≤x≤90时，销售该产品获得的利润与产量的关系式是；当90≤x≤130时，销售该产品获得的利润与产量的关系式是；总之，当产量为 kg时，获得的利润最大，最大利润是．
21．小张在网上销售一种成本为20元/件的T恤衫，销售过程中的其他各种费用(不再含T恤衫成本)总计40(百元)，若销售价格为x(元/件)，销售量为y(百件)，当30≤x≤50时，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝30时，y＝5，有关销售量y(百件)与销售价格x(元/件)的相关信息如下：
销售量y(百件) y＝150 x
销售价格x(元/件) 30≤x≤5050≤x≤60
(1)请在表格中直接写出当30≤x≤50时，y与x的函数关系式；
(2)求销售这种T恤衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数关系式；
(3)销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
22．如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ= 43时,求QD的长(结果保留 )；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.
23．如图①，②分别是某款篮球架的实物图和示意图，已知支架AB的长为2.3m，支架AB与地面的夹角∠BAC＝70°，BE的长为1.5m，篮板部支架BD与水平支架BE的夹角为46°，BC、DE垂直于地面，求篮板顶端D到地面的距离．(结果保留一位小数，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04)
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=m
x
（m≠0）交于点A（2，-3）
和点B（n，2）；
（1）求直线与双曲线的表达式；
（2）点P是双曲线y=m
x
（m≠0）上的点，其横、纵坐标都是整数，过点P作x轴的垂线，交直线AB于
点Q，当点P位于点Q下方时，请直接写出点P的坐标．
25．如图直线y1=-x+4，y2=3
4
x+b都与双曲线y=
k
x
交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两
点
（1）求k的值；
（2）直接写出当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，求此时点P的坐标．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B D C C B A D D C 二、填空题
13．12。

14．6或9或12.5．
15．3 5
16．x＞0
17．k＜1
18．20π
三、解答题
19．2﹣3．
【解析】
【分析】
结合绝对值，二次根式，指数幂和三角函数值计算，计算结果，即可。

【详解】
解：原式＝6×﹣3+2﹣+1﹣1
＝2﹣．
【点睛】
考查二次根式化简，考查正弦三角函数计算，考查指数幂计算，难度中等。

20．（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）y＝﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）w＝﹣0.4（x﹣75）2+2250；w＝﹣0.6（x﹣65）2+2535，75，2250．
【解析】
【分析】
（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．
【详解】
解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，
∵y＝k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），
∴111
609042b k b =⎧⎨+=⎩， ∴解得：11
k 0.2b 60=-⎧⎨=⎩， ∴这个一次函数的表达式为；y ＝﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）设y 2与x 之间的函数关系式为y ＝k 2x+b 2，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴222b 120130k b 42=⎧⎨+=⎩
， 解得：22
k 0.6b 120=-⎧⎨=⎩， ∴这个一次函数的表达式为y 2＝﹣0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，
当0≤x≤90时，W ＝x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]＝﹣0.4（x ﹣75）2+2250，
∴当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W ＝x[（﹣0.6x+120）﹣42]＝﹣0.6（x ﹣65）2+2535，
由﹣0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
∴当x ＝90时，W ＝﹣0.6（90﹣65）2+2535＝2160，
因此当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250．
故答案为：w ＝﹣0.4（x ﹣75）2+2250；w ＝﹣0.6（x ﹣65）2+2535，75，2250．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．
21．(1)y ＝﹣
110x+8；(2)见解析；(3)销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元． 【解析】
【分析】
（1）把x ＝50代入y ＝150x
得y ＝3，设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx+b ，把x ＝30，y ＝5；x ＝50，y ＝3，代入解方程组即可得到结论；
（2）根据x 的范围分类讨论，由“总利润＝单件利润×销售量”可得函数解析式；
（3）结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．
【详解】
(1)把x ＝50代入y ＝150x
得y ＝3， 设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx+b ，
∵当x ＝30时，y ＝5，当x ＝50时，y ＝3，
∴530350k b k b =+⎧⎨=+⎩
，
解得：
1
k
10
b8
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣
1
10
x+8；
故答案为：y＝﹣
1
10
x+8；
(2)当30≤x≤60时，w＝(x﹣20)(﹣0.1x+8)﹣40＝﹣0.1x2+10x﹣200；
当60＜x≤80时，w＝(x﹣20)• 150
x
﹣40＝﹣
3000
x
+110；
(3)当30≤x≤60时，w＝﹣0.1x2+10x﹣200＝﹣0.1(x﹣50)2+50，∴当x＝50时，w取得最大值50(百元)；
当60＜x≤80时，w＝﹣3000
x
+110，
∵﹣3000＜0，
∴w随x的增大而增大，当x＝60时，w最大＝60(百元)，
答：销售价格定为60元/件时，获得的利润最大，最大利润是60百元．
【点睛】
本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
22．（1）详见解析；（2）14
3
π；（3）4<OC<8.
【解析】
【分析】
（1）连接OQ，由切线性质得∠APO=∠BQ O=90°，由直角三角形判定HL得Rt△APO≌Rt△BQO，再由全等三角形性质即可得证.
（2）由（1）中全等三角形性质得∠AOP=∠BOQ，从而可得P、O、Q三点共线，在Rt△BOQ中，根据余弦
定义可得cosB=QB
OB
，由特殊角的三角函数值可得∠B=30°，∠BOQ=60° ，根据直角三角形的性质得
OQ=4，结合题意可得∠QOD度数，由弧长公式即可求得答案.
（3）由直角三角形性质可得△APO的外心是OA的中点，结合题意可得OC取值范围. 【详解】
（1）证明：连接OQ.
∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90∘， 在Rt △APO 和Rt △BQO 中，
OP OQ
OA OB =⎧⎨
=⎩
， ∴Rt △APO ≌Rt △BQO ， ∴AP=BQ.
（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ， ∴∠AOP=∠BOQ ， ∴P 、O 、Q 三点共线， ∵在Rt △BOQ 中,cosB=
433
82
QB OB ==
， ∴∠B=30∘,∠BOQ= 60° ， ∴OQ=
1
2
OB=4， ∵∠COD=90°，
∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°， ∴优弧QD 的长=
210414
1803
ππ⋅⋅=，
（3）解：设点M 为Rt △APO 的外心，则M 为OA 的中点， ∵OA=8， ∴OM=4，
∴当△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OM ＜OC ， ∴OC 的取值范围为4＜OC ＜8． 【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理HL 证出Rt △APO ≌Rt △BQO ；（2）通过解直角三角形求出圆的半径；（3）牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键． 23．篮板顶端D 到地面的距离约为3.7m ． 【解析】 【分析】
延长AC 、DE 交于点F ，则四边形BCFE 为矩形，根据sin ∠BAC ＝BC
AB ，求EF,根据tan ∠DBE ＝DE BE
，求DE,再求DF 即可. 【详解】
解：延长AC 、DE 交于点F ， 则四边形BCFE 为矩形， ∴BC ＝EF ，
在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝
BC
AB
，
∴BC ＝AB•sin∠BAC ＝2.3×0.94＝2.162， ∴EF ＝2.162，
在Rt △DBE 中，tan ∠DBE ＝DE
BE
，
∴DE ＝BE•tan∠DBE ＝1.5×1.04＝1.56， ∴DF ＝DE+EF ＝2.162+1.56≈3.7(m) 答：篮板顶端D 到地面的距离约为3.7m ．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握正切、正弦的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24．(1) 反比例函数的解析式为y=-6
x
，一次函数的解析式为y=-x-1．(2) （-6，1）或（1，-6）． 【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法即可解决问题．
(2)由题意点P 在点B 的左侧或在y 轴的右侧点A 的左侧，再根据点P 的横坐标与纵坐标为整数，即可确定点P 坐标． 【详解】 (1)双曲线y=m
x
(m≠0)经过点A(2，-3)， ∴m=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-6x
， ∵B(n ，2)在y=-6
x
上， ∴n=-3， ∴B(-3，2)， 则有：{2k b 3
3k b 2+=--+=，
解得：{
k 1
b 1=-=-，
∴一次函数的解析式为y=-x-1；
(2)由题意点P 在点B 的左侧或在y 轴的右侧点A 的左侧，
∵点P的横坐标与纵坐标为整数，
∴满足条件点点P坐标为(-6，1)或(1，-6)．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
25．（1）k=3；（2）x＞1；（3）P（-2
3
，0）或（
5
3
，0）．
【解析】【分析】
（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可求得k的值；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则CP=1
3
BC=
7
3
，或BP=CP=
1
3
BC=
7
3
，
即可得到OP=3-7
3
=
2
3
，或OP=4-
7
3
=
5
3
，进而得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）把A（1，m）代入y1=-x+4，可得m=-1+4=3，∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=k
x
，可得k=1×3=3，
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式3
4
x+b＞
k
x
的解集为：x＞1；
（3）y1=-x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=3
4
x+b，可得3=
3
4
×1+b，
∴b=9
4
，
∴y2=3
4
x+
9
4
，
令y=0，则x=-3，即C（-3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：2两部分，
∴CP=1
3
BC=
7
3
，或BP=
1
3
BC=
7
3
，
∴OP=3-7
3
=
2
3
，或OP=4-
7
3
=
5
3
，
∴P（-2
3
，0）或（
5
3
，0）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
2．顺次连接菱形ABCD 各边中点所得到的四边形一定是（ ） A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.对角线互相垂直的四边形
3．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 均在边AB 上，且∠DCE=45°，若AD=1，BE=3，则DE 的长为( )
A.3
B.4
C.
D.
4．下列计算正确的是（ ）
A. B.
C.
D.
5．周末，小明带200元去图书大厦，下表记录了他全天的所有支出，其中小零食支出的金额不小心被涂黑了，如果每包小零食的售价为15元， 支 出 早餐 购买书籍 公交车票 小零食
金额(元)
20
140
5
那么小明可能剩下多少元？( ) A.5 B.10
C.15
D.30
6．如图，将
O 沿弦MN 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点A 劣弧MN 上一点，则MAN ∠的度数为（ ）
A ．150︒
B ．135︒
C ．120︒
D ．105︒
7．如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，90ACO ADB ∠=∠=︒，反比例函数k
y x
=
在第一象
限的图象经过点B ，则OAC ∆和BAD ∆的面积之差OAC BAD S S ∆∆-为( )
A ．2k
B ．6k
C ．
k 2
1 D ．k
8．在平面直角坐标系中，若点P （m ﹣1，m+2）在第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜﹣2
B ．m ＞1
C ．m ＞﹣2
D ．﹣2＜m ＜1
9．计算（2+1）2019•（2﹣1）2018的结果是（ ） A ．2 +1
B ．2﹣1
C ．2
D ．1
10．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，且交AB 于点E ，∠A ＝60°，∠BDC ＝86°，则∠BDE 的度数为( )
A ．26°
B ．30°
C ．34°
D ．52°
11．从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，随机抽取一个数，记为a ，若a 使关于x 的不等式组551
4
x x x a +<+⎧⎨->-⎩的解集为x ＞1，且使关于x 的分式方程6
2
ax x --＝2的解为非负数，那么取到满足条件的a 值的概率为（ ） A ．
17
B ．27
C ．37
D ．47
12．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表： 年龄 12 12 14 15 16 人数
1
2
2
3
1
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．15，14 B ．15，13
C ．14，14
D ．13，14
二、填空题 13．计算：(
12
)－1
－9＝_______. 14．二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣5的最小值是______．
15．一次数学活动课上．小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于_____．
16．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴相交于点A、B，若其对称轴为直线x=2，则OB–OA的值为_______．
17．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别为边AD、CD上一点，将正方形分别沿BE、BF折叠，点A的对应点M恰好落在BF上，点C的对应点N给好落在BE上，则图中阴影部分的面积为__________；
18．小明有5根小棒，长度分别为3cm，4cm，5cm，6cm，7cm，现从中任选3根小棒，怡好能搭成三角形的概率是______
三、解答题
19．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）根据题意补全图形．
（2）如果AF＝1，求CF的长．
20．如图．在平行四边形ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N．
（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF＝5，EM＝3，求AN的长．
21．已知：在△ABC中，AB＝AC，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙0与AC边相切于点E，交BC于点F，FG⊥AC于点G．
（1）如图l，求证：GE＝GF；
（2）如图2，连接DE，∠GFC＝2∠AED，求证：△ABC为等边三角形；
（3）如图3，在（2）的条件下，点H、K、P分别在AB、BC、AC上，AK、BP分别交CH于点M、N，AH＝
BK，∠PNC﹣1
2
∠BAK＝60°，CN＝6，CM＝43，求BC的长．
22．2019年1月有300名教师参加了“新技术支持未来教育”培训活动，会议就“面向未来的教育”和“家庭教育”这两个问题随机调查了60位教师，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．关于“家庭教育”问题发言次数的频数分布直方图如下（数据分成6组：0≤x＜4，4≤x＜8，8≤x＜12，12≤x＜16，16≤x＜20，20≤x≤24）：
b．关于“家庭教育”问题发言次数在8≤x＜12这一组的是：
8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 10 11
11 11 11
c．“面向未来的教育”和“家庭教育”这两问题发言次数的平均数、众数、中位数如下：
问题平均数中位数众数
面向未来的学校教育11 10 9
家庭教育12 m 10
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______；
（2）在此次采访中，参会教师更感兴趣的问题是______（填“面向未来的教育”或“家庭教育”），理由是______；
（3）假设所有参会教师都接受调查，估计在“家庭教育”这个问题上发言次数超过8次的参会教师有
______位．
23．如图，四边形ABCD 是矩形
（1）尺规作图：在图8中，求作AB 的中点E （保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CE ，DE,若2,3AB AD ==, 求证：CE 平分∠BED
24．计算：()()02
8+32tan 451π---︒+-
25．某校计划购进甲、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表：
规格
线下
线上
单价(元/个)
运费(元/个) 单价(元/个) 运费(元/个) 甲 240 0 210 20 乙
300
250
30
(1)如果在线下购买甲、乙两种书架共30个，花费8280元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？ (2)如果在线上购买甲、乙两种书架共30个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍，请求出花费最少的购买方案及花费．
【参考答案】*** 一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C C A C C D A A B
A
二、填空题 13．－1 14．-6 15．75 16．4 17．436- 18．
3
5
. 三、解答题
19．（1）如图所示，见解析；（2）CF＝2．
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可；
（2）过点D作DG∥BF，交AC于点G，根据三角形中位线定理即可得出结论．
【详解】
（1）如图，
（2）作DH∥AC交BF于H，如图，
∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∴△EDH≌△EAF，
∴DH＝AF＝1，
∵点D为BC的中点，DH∥CF，
∴DH为△BCF的中位线，
∴CF＝2DH＝2．
【点睛】
本题考查的是作图-复杂作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
20．（1）详见解析；（2）34
【解析】
【分析】
（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；
（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝3，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝22
即可解
AF FN
决问题.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形；
（2）∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM＝BN，
∵CD＝AB，CD∥AB，
∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，
∵∠CEM＝∠AFN＝90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN＝EM＝3，
在Rt△AFN中，AN＝2222
+=+=．
5334
AF FN
【点睛】
本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（1）见解析；（2）见解析；（3）BC＝10.
【解析】
【分析】
（1）由切线的定义得到直角条件，由半径相等可证OFGE为正方形；
（2）由圆周角定理可得直角条件，由2倍角关系可得60°条件，从而证明等边三角形；
（3）结合（2）的结论和条件中角的关系，需要设置角参数，标识图形从而发现BC＝BR，用勾股定理建立方程关系，求解方程即可．
【详解】
解：（1）如图1，连接OE和OF
∵AC是⊙O的切线
∴OE⊥AC，
∴∠OEG＝90°
∵FG⊥AC，
∴∠FGE＝90°
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB
∴∠OFB＝∠ACB，
∴OF∥AC
∴∠OFG+∠FGE＝180°，
∴∠OFG＝90°
∴∠OFG＝∠FGE＝∠OEG＝90°
∴四边形OFGE为矩形
∵O F＝OE，
∴四边形OFGE为正方形
∴GE＝GF
（2）如图2，连接OE，BE
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BED＝90°
∴∠OED+∠OEB＝90°
∵∠OEG＝90°，
∴∠AED+∠OED＝90°
∵∠OEG＝90°，
∴∠AED+∠OED＝90°
∴∠OEB＝∠AED
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB
∴∠OBE＝∠AED
∴∠AOE＝2∠OEB＝2∠AED
∵∠GFC＝2∠AED
∴∠AOE＝∠GFC
∵∠C+∠GFC＝90°，∠A+∠AOE＝90°
∴∠C＝∠A
∴BA＝BC，
∵AB＝AC
∴AB＝AC＝BC
∴△ABC为等边三角形
（3）∵△ABC为等边三角形
∴∠CAH＝∠ABK＝60°
∵AH＝BK，AC＝AB，
∴△CAH≌△ABK（SAS）
∴∠ACH＝∠BAK
∵∠KMC＝∠KAC+∠ACM
∴∠KMC＝∠KAC+∠BAK＝60°
过点C作CQ⊥AK，垂足为Q，过点B作BT⊥CH，垂足为T
∴∠AQC＝∠CTB＝90°
∵∠QAC＝∠BAC﹣∠BAK＝60°，∠TCB＝∠ACB﹣∠ACH＝60°﹣∠ACH ∴∠QAC＝∠TCB，
∵AC＝BC
∴△AQC≌△CTB（AAS）
在Rt△MQC中，
∵CM＝43，∠QMC＝60°，sin∠QMC＝QC CM
∴QC＝6
设∠BAK＝2α＝∠ACH
∵∠PNC﹣1
2
∠BAK＝60°，
∴∠PNC＝60°+α＝∠BNH
∴∠BCH＝∠ACB﹣∠ACH＝60°﹣2α
延长NH到点R，使RT＝TN，连接BR
∴BT使RN的垂直平分线
∴BR＝BN
∴∠BNR＝∠BRN＝60°+α
∴∠CBR＝180°﹣∠BCR﹣∠CRB＝60°+α∴∠CBR＝∠CRB＝60°+α
∴BC＝RC
设TN＝RT＝a，
∵CN＝6
∴CT＝a+6，CR＝CB＝2a+6
∵CQ＝BT＝6
在Rt△BTC中
BT2+TC2＝BC2
∴62+（a+6）2＝（2a+6）2
∴a1＝﹣6（舍），a2＝2
∴TN＝2
∴BC＝10
本题考查了圆的基本性质和定理，等边三角形的性质，矩形和正方形的性质与判定，综合度较高，对图形的性质考查比较全面．
22．（1）11；（2）家庭教育问题，理由见解析；（3）210位.
【解析】
【分析】
（1）根据频数（率）分布直方图中数据即可得到结论；
（2）根据表中数据即可得到结论；
（3）所有参会教师人数×在“家庭教育”这个问题上发言次数超过8次的参会教师占在“家庭教育”这个问题上发言的参会教师的人数即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意可知关于“家庭教育”问题发言次数的中位数落在8≤x＜12这一组，
∴m=11，
故答案为：11；
（2）在此次采访中，参会教师更感兴趣的问题是家庭教育问题，
理由：“家庭教育”的平均数、众数、中位数都高于“面向未来的教育”的平均数、众数、中位数；
故答案为：家庭教育，家庭教育”的平均数、众数、中位数都高于“面向未来的教育”的平均数、众数、中位数；
（3）300×42
60
=210位，
答：发言次数超过8次的参会教师有210位．
【点睛】
本题考查了频数（率）分布直方图，正确的理解题意是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）作AB的垂直平分线即可得到AB的中点E，E点即为所求;(2)先利用勾股定理求出DE=2，再利用平行线的性质可得出结果.
【详解】
如图，四边形ABCD是矩形
了
（1）正确作出AB的垂直平分线
下结论：点E为所求
（2）∵E是AB的中点
∴AE=1
1 2
AB=
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°
AB=CD=2
∴222
DE AD AE
=+=
∴DE=DC
∴∠DEC=∠DCE
∵AB∥CD
∴∠CEB=∠DCE
∴∠CEB=∠DEC
∴CE平分∠BED
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
24．22
【解析】
【分析】
原式利用算术平方根的意义，零指数、负整数指数幂法则以及特殊角三角函数值进行化简、计算即可得到结果.
【详解】
原式=22+1-2+1=22
【点睛】
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
25．（1）甲种书架购买了12个，乙种书架购买了18个．(2) 当线上购买7个甲种书架、23个乙种书架时总花费最少，最少费用为8050元．
【解析】
【分析】
（1）设线下购买甲种书架x个，购买乙种书架y个，根据在线下购买甲、乙两种书架30个共花费8280元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设线上购买总花费为w元，购买甲种书架m个，则购买乙种书架（30-m）个，根据总价=单价×数量可得出w关于m的函数关系式，由购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3倍可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质结合m为整数即可解决最值问题．
【详解】
（1）设线下购买甲种书架x个，购买乙种书架y个，
依题意，得：
30 2403008280 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，。