高考数学 冲刺60天解题策略 专题一 函数测试卷

函数测试卷
一．选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设,),()(,)()(),()(,sin )(/1/12/010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ 则=)(2009x f ( ) A. x sin
B. x sin -
C. x cos
D. x cos -
2．如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 例如[]3.273=，[]0.60=. 那么“[][]x y =”是“1x y -<”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 3. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，,1
3
2)2(,0)1(+-=
>m m f f 则m 的取值范围是（ ）
A ．)23,(-∞
B ．)2
3,1(- C ．)2
3,1()1,( -∞
D ．),2
3()1,(+∞--∞
4．已知|log |)(3x x f =，则下列不等式成立的是 （ ）
A ．)2()21(f f >
B ．)3()3
1
(f f >
C ．)3
1()41(f f >
D ．)3()2(f f >
5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于
4
π
的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
6．若函数2()||(0)f x ax b x c a =++≠的定义域R 分成了四个单调区间，则实数c b a ,,满足 ( ) A.0,042>>-a ac b B.042
>-ac b C.02>-
a b D.02<-a
b 7． 若函数42
()f x ax bx c =++满足(1)2,f '= 则(1)f '-=（
）
A. 1-
B. 2-
C. 2
D.0
8. 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当
[0,]2
x π
∈时，
()sin f x x =，则5()3
f π
的值为（ ）
A.12-
B. 12 D. 9. 定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当[]5,3∈x 时， 42)(--=x x f ，则（ ）
A. ⎪⎭⎫ ⎝
⎛6sin πf ＜⎪⎭⎫ ⎝⎛
6cos πf B. )1(sin f ＞)1(cos f
C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos πf ＜⎪⎭
⎫
⎝⎛32sin πf D. )2(cos f ＞)2(sin f
10．已知函数()||,()x
x a f x e a R e
=+∈在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ． [0,1]a ∈
B ．(1,0]a ∈- C. [1,1]a ∈- D.
(,1][1,)a ∈-∞-+∞
二．填空题 本大题共5小题，每小题5分,共25分.
11．若函数432()2f x x ax x =-+-有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是 12．定义在R 上的函数⎩
⎨
⎧≤<-≤<-=-=+)10(1)
01(1)(),()1()(x x x f x f x f x f 且满足，则
(3)f = ．
13. 已知)(344)99(2R x x x x f ∈++=+，那么函数)(x f 的最小值为__ __ 14．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数
()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是 ．
15．已知函数31(0)()12(0)3
x e x x f x x x x ⎧+-<⎪
=⎨-+≥⎪⎩，则下列说法①()f x
在)+∞上是减函数；
②()f x 的最大
值是2；③方程()0f x =有2
个实数根；④()f x 在R 上恒成立.正确的命题是 （写出所有正确命题的序号）
三．解答题 本大题共75分.其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤
16．（本小题满分12分）设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈均有
()(3)0f x f x ++=，
且当11x -<≤时，()23f x x =-，求当24x <≤时，()f x 的解析式． 17.(本小题满分12分） 设()nx mx x x f ++=
23
3
1. （1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式；
（2）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -）
18. （本小题满分12分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13
万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量. （Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？
（Ⅱ）年销售量关于x 的函数为)3
52(32402
++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？
19. （本小题满分12分）已知定义在正实数集上的函数2
1()22
f x x ax =
+，2()3ln g x a x b =+，其中
0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．
（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()(0)f x g x x ≥>.
20．（本题满分13分)已知函数()2f x x x =- （1）画出函数的图像，写出()f x 的单调区间； （2）设0a >，求()f x 在[0,]a 上的最大值 21．（本题14分）设()2ln p x
f x px x =--.
（Ⅰ）若)(x f 在其定义域内为单调递增函数，求实数p 的取值范围；
（Ⅱ）设2()e x
g x =
，且0>p ，若在],1[e 上至少存在一点0x ，使得)()(00x g x f >成立，
求实数p 的取值范围.
1．C 解：0()s i n
,f x x =1()c o s f x x =，/21()()sin f x f x x ==-，/32()()cos f x f x x ==-，/43()()sin f x f x x ==，/54()()cos f x f x x ==，函数值呈周期T=4出现，20091()()cos f x f x x ∴==，
故选C.
2. A 易知充分性成立，举反例： 1.1,0.9x y ==知必要性不成立.
3. B 利用()f x 是奇函数，且周期为3，所以(2)(1)(1)f f f =-=-，解不等式即可.
4.C 由|log |)(3x x f =知，11
()(2),()(3)23
f f f f ==，(2)(3)f f <，又知()f x 在(0,1)上单减，
故选C.
5. D 2038tan
14
y x π
'<=-<=，(x ⇒∈⋃，故知无整数点. 6.C 因为2()||(0)f x ax b x c a =++≠是偶函数，所以由对称性知()f x 在(0,)x ∈+∞上有两个单调区间，由2()(0,0)f x ax bx c a x =++≠> 知，需对称轴02b
x a
=->. 7．B 由题易知导函数是奇函数.
8.C 55(
)(2)()()3333f f f f πππππ=-=-== 9. D [1,1],4[3,5]x x ∈-+∈,则()(4)2f x f x x =+=-，判断自变量距离y 轴远近即可. 10．C 令x t e =，则,[1,]a y t t e t
=+
∈，若0a >，则a u t t =+为双勾函数，且[1,]t e ∈时，0u >，
故只需u 在[1,]t e ∈1，故01a <<；若0a <，因为a
y t t
=+，在
[1,]t e ∈上单增，故需a
u t t
=+在[1,]t e ∈上恒大于0，则只需101a u =+>，因此，10a -<<.
若0a =，y t =，在[1,]t e ∈上单增.所以[1,1]a ∈-.
11. 提示:322
()432(432)f x x ax x x x ax '=-+=-+,易知极值点只有0x =,只需
24320x ax -+>恒大于,其方程判别式小于零即可.
12. 提示:易知函数周期为2,(3)(1)1f f ==-.
13．提示:由f(x 的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到， y=f(x
与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的。

由
221
434()22y x x x =++=++立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2．
14. 提示:数形结合法便可.
15. 提示:研究函数31
2(0)3
y x x x =-+≥的单调性和最值易知，①④对②错；当0x <，函数
1x y e x =+-没有零点，易求31
20(0)3
y x x x =-+=≥有两个根，故③对.
三、解答题：（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）解 由()(3)0f x f x ++=有(3)()f x f x +=-， 当11x -<≤时，(3)()23f x f x x +=-=-+.
设3x t +=，则由11x -<≤得24t <≤，又3x t =-，于是()2(3)329f t t t =--+=-+， 故当24x <≤时，()29f x x =-+．-- ------------ ------------ ------------ ------------ ------------ ----------12分 .17.解：（1）已知()nx mx x x f ++=
23
3
1，()n mx x x f ++=∴22' 又()()()322322'-+-+=--=n x m x x x f x g 在2-=x 处取极值， 则()()()3022222'=⇒=-+-=-m m g ，又在2-=x 处取最小值-5. 则()()()25342222
=⇒-=-+⨯-+-=-n n g
()x x x x f 233
123
++=
∴
（2）要使()nx mx x x f ++=
23
3
1单调递减，则()022'<++=∴n mx x x f 又递减区间长度是正整数，所以()022'=++=n mx x x f 两根设做a ，b 。

即有： b-a 为区间长度。

又()()+∈-=-=
-+=
-N n m n m n m ab b a a b ,2444222
又b-a 为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，5,3==n m 符合。

18．（本小题满分12分）解 （I ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）；出厂价为13×（1+0.7x ）；
年销售量为5000×（1+0.4x ）.因此本年度的利润为
[13(10.7)10(1)]5000(10.4)(30.9)5000(10.4)=⨯+-⨯+⨯⨯+=-⨯⨯+y x x x x x
)10(15000150018002<<++-=x x x ----5分
（Ⅱ）本年度的利润为
)55.48.49.0(3240)3
5
2(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f
则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2
'
--=+-⨯=x x x x x f 由,39
5,0)('==
=x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('
x f x f x >∈时，是增函数；
当)(,0)()1,9
5
('
x f x f x <∈时，是减函数. ∴当95=
x 时，20000)9
5
()(=f x f 取极大值万元， 因为f （x ）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值． 即当9
5
=
x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．----12分
19．（本小题满分12分）解（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．
()2f x x a '=+∵，2
3()a g x x
'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=． 即22
0002
00123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，，由200
32a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有2222215
23ln 3ln 22b a a a a a a a =
+-=-． 令22
5()3ln (0)2
h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是
当(13ln )0t t ->，即13
0t e <<时，()0h t '>；中学学科网 当(13ln )0t t -<，即13
t e >时，()0h t '<．
故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在1
3e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，
∞的最大值为12
333
2
h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设2
21()()()23ln (0)2
F x f x g x x ax a x b x =-=
+-->，
此时, 2max ()()2f x f a a a ==-;
----------------------7分
②当12a <≤时, ()f x 在[0,1]上是增函数,在[1,]a 上是减函数.此时, max ()(1)1f x f ==---9
③当2a >时,令()(1)0f a f -=,则1a =
当21a <≤, ()(1)f a f ≤,此时, ()f x 在[0,]a 上, max ()(1)1f x f ==
当1a >,()(1)f a f >,此时, ()f x 在[0,]a 上, 2max ()()2f x f a a a ==-. ----------------------12分
综上, 当01a <≤时, 2max ()()2f x f a a a ==-
当11a <≤, max ()(1)1f x f ==
当
1a >,
2max ()()2f x f a a a ==-
-------------------------13分 21．（本小题满分14分）
解 （I ）由 x x p px x f ln 2)(--= 得2
22'
22)(x
p x px x x p p x f +-=-+=--- ------------ 3分
要使)(x f 在其定义域),0(+∞内为单调增函数，只需0)(≥'x f ，即022≥+-p x px
在),0(+∞内恒成立，从而1≥p ------7分
（II ）解法1：x
e
x g 2)(=在],1[e 上是减函数，所以2)()]([min ==e g x g ，e g x g 2)1()]([max ==，即]2,2[)(e x g ∈.当10<<p 时，由],1[e x ∈得01
≥-x
x ，
故2ln 21
ln 2)1()(<--<--=x x
x x x x p x f ，不合题意. ----- ------------
----------- ---------10分
① 当1≥p 时，由（I ）知)(x f 在],1[e 连续递增，20)1(<=f ，又)(x g 在],1[e 上是减函数，
∴原命题等价于max min [()][()]2f x g x >=,],1[e x ∈，
----------- ------------
----------------11分。