《数值分析》课件 12微分方程数值解

k
fi
fi-1
fi-2
fi-3
…
0
1
1
3
-1
2
2
2
23
- 16
12
12
5 12
3
55
- 59
37
-9
24
24
24
24
Bk
1 2 5 12 3 8
251 720
… … … … … … …
常用的是 k = 3 的4阶亚当姆斯显式公式
yi +1
=
yi
+
h 24 (55 fi
- 59 fi-1
+ 37 fi-2
yi+1
=
yi
+h
1
0[ fi
+ t(
fi
-
fi-1 )]dt
=
yi
+
h 2
(3
f
i
-
fi-1 )
Ri
=h
1 d 2 f ( x , y( x ))
0
dx2
1 t h(t + 1)h dt 2!
=
5 12
h3
y(i
)
§4 Multistep Method
注：一般有 Ri = Bk hk+2 y(k+2) (i )，其中Bk 与yi+1 计算公式中 fi , …, fi-k 各项的系数均可查表得到 。
同的计算公式。
§4 Multistep Method
亚当姆斯显式公式 /* Adams explicit formulae */
利用k+1 个节点上的被积函数值 fi , fi-1, ... , fi-k 构造 k 阶牛顿 后插多项式 Nk ( xi + th) , t [0, 1], 有
xi+1 f (x, y(x))dx = xi
h
- h2
y(4) ( )
h
12
=
y( x + h) - 2 y( x) + h2
y( x - h) + O(h2 )
y( x) = y( x + h) - y( x - h) + O(h2 ) 2h
yi+1 - 2 yi + yi-1 h2
=
f
(xi ,
yi ,
yi+1 - yi-1 2h
)
y0 = a , yN = b
ym ( x) = fm ( x, y1( x), ... , ym ( x))
初值 y1( x0 ) = y10 , y2 ( x0 ) = y20 , ... , ym ( x0 ) = ym0
将问题记作向量形式，令：
y
=
y1 ...
ym
,
f
=
f1 ...
fm
,
y0
=
y10 ...
§6 边值问题的数值解 /* Boundary-Value Problems */
2 阶常微分方程边值问题
y = f ( x, y, y) x (a, b)
y(a)
=
a
,
y(b) = b
➢ 打靶法 /* shooting method */
每计算一个(s)
都必须解一个ODE.
先猜测一个初始斜率
➢ 有限差分法 /* finite difference method */
将求解区间[a, b] 等分为N 份，取节点 xi = a + ih (i = 0, …, N )，在每一个节点处将 y 和 y 离散化。
泰勒展开
y( x) =
y( x + h) - y( x) h
y( x) - y( x - h)
i = 1, ..., N - 1
y
y (a) = s，通过解初值
(s0 )
问题
y = f ( x, y, y)
y(a) = a
y(a) = s
y(b) = (s)
斜率 = s0 y( x)
b (s1 )
找出s*使得(s*) = b，即把问 斜率 = s1
题转化为求方程 (s) - b = 0
的根。
0
a
b
x
§6 Boundary -Value Problems
- 9 fi-3 )
§5 微分方程组与高阶方程 /* Systems of Differential
Equations and Higher-Order Equations */
➢ 一阶微分方程组 IVP的一般形式为：
y1( x) = f1( x, y1( x), ... , ym ( x)) ... ... ...
ym0
y( x) = f ( x, y)
y( x0 ) =
y0
前述所有公式皆 适用于向量形式。
➢ 高阶微分方程
§5 Systems of DE’s and Higher-Order Equations
y ( n ) = f ( x , y , y, ... , y ( n-1) ) y( x 0 ) = a 0 , y( x 0 ) = a1 , ... , y ( n-1) ( x 0 ) = a n-1
➢ 基于数值积分的构造法
将 y = f ( x, y) 在 [ xi , xi+1] 上积分，得到
y( xi+1) - y( xi ) =
xi+1 f ( x, y( x))dx
xi
只过要yi近+1 =似y地i +算Ik出近右似边y(x的i+1积) 。分而I选k 用不xxii+1同f (近x,似y(式x))Idkx，，可则得可到通不
§4 线性多步法 /* Multistep M当ethbo-1d0*/时，为隐式公 用 y(x若i+1干)。节其点通处式的可y写及为式y’：;值b-1的=0f线则j =为性f显组( x式j合, 公y来j )式近。似
yi+1 =a0 yi +a1 yi-1 + ...+ak yi-k + h(b-1 fi+1 + b0 fi + b1 fi-1 + ...+ bk fi-k )
化作一阶微分方程组求解。
引入新变量 y1 = y, y2 = y, ... , yn = y(n-1)
y1 = y2
...
yn-1 = yn yn = f ( x, y1, ... , yn )
初值条件为： y1( x0 ) = a0 y2 ( x0 ) = a1 ... yn ( x0 ) = an-1
1
0 Nk (xi + th)hdt +
1
0 Rk (xi + th)hdt
1
yi+1 = yi + h 0 Nk (xi + th)dt /* 显式计算公式 *N/ ewton
局部截断误差为： Ri
=
y( xi+1 ) -
yi பைடு நூலகம்1
=
h
1
0 Rk ( xi
插值余项
+ th)dt
例：k=1 时有 N1( xi + t h) = fi + t fi = fi + t( fi - fi-1 )