奇偶校验矩阵及其产生方法、编码方法和纠错设备[发明专利]

[19]
中华人民共和国国家知识产权局
[12]发明专利申请公布说明书
[11]公开号CN 1983822A [43]公开日2007年6月20日
[21]申请号200610162962.2[22]申请日2006.11.29
[21]申请号200610162962.2
[30]优先权
[32]2005.12.15 [33]KR [31]10－2005－0124111
[71]申请人三星电子株式会社
地址韩国京畿道水原市灵通区梅滩洞416
[72]发明人黄盛熙 金炫廷 洪振硕 [74]专利代理机构北京铭硕知识产权代理有限公司代理人郭鸿禧 安宇宏
[51]Int.CI.H03M 13/00 (2006.01)H03M 13/11 (2006.01)H03M 13/15 (2006.01)
H04L 1/00 (2006.01)
权利要求书 4 页 说明书 9 页 附图 8 页
[54]发明名称
奇偶校验矩阵及其产生方法、编码方法和纠错设
备
[57]摘要
一种使得通过解码来进行编码成为可能的奇偶
校验矩阵、一种产生奇偶校验矩阵的方法、一种编
码方法和一种纠错设备，包括：定义M×N奇偶校验
矩阵H＝[H m |H p ]，产生M×M矩阵作为子矩阵H p ，其
中，所有的行向量线性无关，所有的行向量的集合
A 是不包括相互的交集的非空子集A 1，A 2，…，A k
(1≤k≤M)的并集，A 1是权为1的行向量的集合，子
集A i (2≤i≤k)是在没有包括在子集A 1，…，A i －1
的并集中的行向量之中，能够通过与所述并集中的
行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量
的集合。

200610162962.2权 利 要 求 书第1/4页 1、一种用于通过对数据进行解码来编码和纠错的奇偶校验矩阵，其中，所述奇偶校验矩阵是M×N矩阵H＝[H m|H p]，其中，H m是M×(N-M)子矩阵且H p是包括M个线性无关的行向量的M×M子矩阵，M个行向量的集合A 是不包括相互的交集的子集A1，A2，...，A k的并集且集合A是非空集，其中1≤k≤M，子集A1是集合A的行向量之中权为1的行向量的集合，子集A i是在没有包括在子集A1，...，A i-1的并集中的行向量之中，能够通过执行与子集A1，...，A i-1的并集中的行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量的集合，其中2≤i≤k。

2、如权利要求1所述的奇偶校验矩阵，其中，所述奇偶校验矩阵不包括四线循环。

3、如权利要求1所述的奇偶校验矩阵，其中，所述奇偶校验矩阵具有块结构M＝8*B，其中，B是大于1的整数，所述H p包括至少B个权为1的列向量。

4、如权利要求3所述的奇偶校验矩阵，其中，所述奇偶校验矩阵不包括四线循环。

5、一种产生用于通过对数据进行解码来编码和纠错的奇偶校验矩阵的方法，所述方法包括：
定义M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]；和
产生奇偶校验矩阵H的M×M子矩阵H p，所述H p包括M个线性无关的行向量，M个行向量的集合A是不包括相互的交集的子集A1，A2，...，A k的并集且集合A是非空集，其中1≤k≤M，子集A1是集合A的行向量之中权为1的行向量的集合，子集A i是在没有包括在子集A1，...，A i-1的并集中的行向量之中，能够通过执行与子集A1，...，A i-1的并集中的行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量的集合，其中2≤i≤k。

6、如权利要求5所述的方法，还包括以下步骤：从所述奇偶校验矩阵去除四线循环。

7、如权利要求5所述的方法，其中，所述定义M×N奇偶校验矩阵的步骤包括：定义具有块结构M＝8*B的奇偶校验矩阵，其中，B是大于1的整数；和
所述产生M×M子矩阵H p的步骤包括：在所述子矩阵H p中产生至少B 个权为1的列向量。

8、如权利要求7所述的方法，还包括以下步骤：从所述奇偶校验矩阵去除四线循环。

9、一种对N-M维数据消息向量进行编码的方法，所述编码的方法包括： 通过产生奇偶校验矩阵H的M×M子矩阵H p来产生M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]，所述H p包括M个线性无关的行向量，M个行向量的集合A 是不包括相互的交集的子集A1，A2，...，A k的并集且集合A是非空集，其中1≤k≤M，子集A1是集合A的行向量之中权为1的行向量的集合，子集A i是在没有包括在子集A1，...，A i-1的并集中的行向量之中，能够通过执行与子集A1，...，A i-1的并集中的行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量的集合，其中2≤i≤k；和
通过使用产生的奇偶校验矩阵进行解码，将具有M维的奇偶向量添加到消息向量来对所述消息向量进行编码。

10、如权利要求9所述的方法，其中，所述产生M×N奇偶校验矩阵的步骤包括：从所述奇偶校验矩阵去除四线循环。

11、如权利要求9所述的方法，其中，所述产生M×N奇偶校验矩阵的步骤包括：
定义具有块结构M＝8*B的奇偶校验矩阵，其中，B是大于1的整数；和 在所述子矩阵H p中产生至少B个权为1的列向量。

12、如权利要求11所述的方法，其中，所述产生M×N奇偶校验矩阵的步骤包括：从所述奇偶校验矩阵去除四线循环。

13、如权利要求9所述的方法，其中，所述对消息向量进行编码的步骤包括：使用擦除标记来标记所述奇偶向量，其中，通过使用擦除纠错来执行所述编码，并且所述解码是软迭代解码方法。

14、如权利要求13所述的方法，其中，所述使用擦除标记来标记奇偶向量的步骤包括：当解码时将全部奇偶向量设置为0。

15、如权利要求13所述的方法，其中，所述对消息向量进行编码的步骤还包括：将所述消息向量的0替换为-1。

16、一种对N-M维数据消息向量进行编码的方法，所述编码的方法包括： 通过产生奇偶校验矩阵H的M×M子矩阵H p来产生M×N奇偶校验矩
阵H＝[H m|H p]，所述H p包括M个线性无关的行向量，M个行向量的集合A 是不包括相互的交集的子集A1，A2，...，A k的并集且集合A是非空集，其中1≤k≤M，子集A1是集合A的行向量之中权为1的行向量的集合，子集A i是在没有包括在子集A1，...，A i-1的并集中的行向量之中，能够通过执行与子集A1，...，A i-1的并集中的行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量的集合，其中2≤i≤k；和
通过使用产生的奇偶校验矩阵进行软迭代解码，将全部奇偶向量设置为0，将消息向量的0替换为-1，并将具有M维的奇偶向量添加到消息向量来对所述消息向量进行编码。

17、如权利要求16所述的方法，其中，所述产生M×N奇偶校验矩阵的步骤包括：从所述奇偶校验矩阵去除四线循环。

18、如权利要求16所述的方法，其中，所述产生M×N奇偶校验矩阵的步骤包括：
定义具有块结构M＝8*B的奇偶校验矩阵，其中，B是大于1的整数；和 在所述子矩阵H p中产生至少B个权为1的列向量。

19、如权利要求18所述的方法，其中，所述产生M×N奇偶校验矩阵的步骤包括：从所述奇偶校验矩阵去除四线循环。

20、一种纠错设备，包括：
矩阵生成器，产生M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]，其中，H m是M×(N-M)子矩阵且H p是M×M子矩阵，所述H p包括M个线性无关的行向量，M个行向量的集合A是不包括相互的交集的子集A1，A2，...，A k的并集且集合A 是非空集，其中1≤k≤M，子集A1是集合A的行向量之中权为1的行向量的集合，子集A i是在没有包括在子集A1，...，A i-1的并集中的行向量之中，能够通过执行与子集A1，...，A i-1的并集中的行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量的集合，其中2≤i≤k；和
解码器，通过使用产生的奇偶校验矩阵进行解码，将具有M维的奇偶向量添加到N-M维消息向量来对所述消息向量进行编码，并对接收的码字向量进行解码。

21、如权利要求20所述的纠错设备，还包括：解码器输入处理器，将所述消息向量的0替换为-1，将具有替换的0的奇偶向量输出到所述解码器，其中，所述奇偶向量被全部设置为0且所述解码器是软迭代解码器。

22、如权利要求20所述的纠错设备，其中，所述奇偶校验矩阵不包括四线循环。

23、如权利要求20所述的纠错设备，其中，所述奇偶校验矩阵具有块结构M＝8*B，其中，B是大于1的整数，所述H p包括至少B个权为1的列向量。

24、如权利要求23所述的纠错设备，其中，所述奇偶校验矩阵不包括四线循环。

25、一种纠错设备，包括：
矩阵生成器，产生M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]，其中，H m是M×(N-M)子矩阵且H p是M×M子矩阵，所述H p包括M个线性无关的行向量，M个行向量的集合A是不包括相互的交集的子集A1，A2，...，A k的并集且集合A 是非空集，其中1≤k≤M，子集A1是集合A的行向量之中权为1的行向量的集合，子集A i是在没有包括在子集A1，...，A i-1的并集中的行向量之中，能够通过执行与子集A1，...，A i-1的并集中的行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量的集合，其中2≤i≤k；
解码器，通过使用产生的奇偶校验矩阵进行软迭代解码，将具有M维且全部设置为0的奇偶向量添加到N-M维消息向量来对所述消息向量进行编码，并对接收的码字向量进行解码；和
解码器输入处理器，将所述消息向量的0替换为-1，并将具有替换的0的奇偶向量输出到所述解码器。

26、如权利要求25所述的纠错设备，其中，所述奇偶校验矩阵不包括四线循环。

27、如权利要求25所述的纠错设备，其中，所述奇偶校验矩阵具有块结构M＝8*B，其中，B是大于1的整数，所述H p包括至少B个权为1的列向量。

28、如权利要求27所述的纠错设备，其中，所述奇偶校验矩阵不包括四线循环。

200610162962.2说 明 书第1/9页奇偶校验矩阵及其产生方法、编码方法和纠错设备
本申请要求于2005年12月15日提交到韩国知识产权局的第
10-2005-0124111号韩国专利申请的利益，其公开包含于此，以资参考。

技术领域
本发明的各方面涉及一种奇偶校验矩阵、一种产生奇偶校验矩阵的方法、一种编码方法以及一种纠错设备，所述奇偶校验矩阵、产生奇偶校验矩阵的方法、编码方法以及纠错设备都用于纠错。

背景技术
根据高密度的信息存储介质以及数据传输，当通过有线、无线和/或光学通信装置传输数据时，每单位时间播放的数据或传输量在通信信道中增加。

因此，当信道情况恶化时，可能发生很多错误。

例如，因为在高密度光学存储介质中可存储更多的数据，所以由于灰尘、划伤或指纹等可能发生更多错误。

此外，因为在有线/无线通信中每单位时间的数据传输量随着高密度数据而增加，所以在相同时间期间中关于通信失败而接收的数据中包含的错误量相对增加。

根据高密度数据，需要具有高纠错能力的纠错方法或纠错码。

在诸如R e e d-S o l o m o n(R S)码的软迭代解码方法中不使用输入比特的硬值(h a r d v a l u e，如0或1)来执行纠错，所述软迭代解码方法作为纠错码和诸如t u r b o码解码或低密度奇偶校验(L D P C)解码的方法，用于通过参考输入比特的软值(soft value，如0.2或0.9)重复纠正来执行纠错。

输入的比特的软值可以用输入的硬值的概率来表示。

诸如R S码或L D P C码的线性分组码包括奇偶校验矩阵H，该奇偶校验矩阵H关于给定的码字向量C满足H C T＝0。

此外，在给定的H中存在生成矩阵G，满足m*G＝C。

这里，m和C分别表示消息向量和码字向量。

也就是说，在线性分组码中，通过使用生成矩阵G将消息向量转换为码字向量来进行编码并且使用奇偶校验矩阵H对接收的码字向量进行解码，可以获得消息向量m。

因此，必须构造用于编码和解码的单独的附加硬件，以将消息向量应用
于光学存储介质或实际系统(即，有线/无线通信系统、计算机系统等)。

在第5,771,244号美国专利中公开了一种通过使用单个R S解码器来执行R S编码和R S解码以减少硬件负荷的方法。

单个R S解码器可执行编码的原因如下。

R S解码器通过使用奇偶校验矩阵H的接收的码字向量的代数方法来搜索并纠正码字向量的值和错误位置，通过在编码期间预先获得错误位置使用擦除纠错方法来执行纠正。

通过添加附加信息(即，奇偶校验)，消息向量变为码字向量。

这里，添加奇偶校验的部分被预先认为是错误，消息向量被确定，并且码字向量被输入到R S解码器。

然后，R S解码器通过关于接收的码字向量的擦除纠错来执行编码，以产生关于消息向量的实际的奇偶向量。

然而，这种方法存在一个问题，即，这种方法不能被应用于通过诸如t u r b o码或LDPC码的迭代来执行解码的系统。

发明内容
本发明的各方面提供了一种使得通过解码来进行编码成为可能的奇偶校验矩阵、一种产生奇偶校验矩阵的方法、一种编码方法和一种纠错设备。

根据本发明的一方面，提供了一种用于纠错的奇偶校验矩阵，其中，所述奇偶校验矩阵是M×N矩阵H＝[H m|H p]，其中，H m是M×(N-M)子矩阵且H p是M×M子矩阵；H p子矩阵的所有行向量线性无关，所有行向量的集合A 是不包括相互的交集的子集A1，A2，...，A k(1≤k≤M)的并集且集合A是非空集，子集A1是集合A的元素之中权为1的行向量的集合，子集A i(2≤i≤k)是在没有包括在子集A1，...，A i-1的并集中的行向量之中，能够通过执行与子集A1，...，A i-1的并集中的行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量的集合。

所述奇偶校验矩阵不包括四线循环。

根据本发明的另一方面，提供了一种产生用于纠错的奇偶校验矩阵的方法，包括：定义M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]；和产生M×M矩阵作为子矩阵H p，其中，所有的行向量线性无关，所有的行向量的集合A是不包括相互的交集的子集A1，A2，...，A k(1≤k≤M)的并集且集合A是非空集，子集A1是集合A的元素之中权为1的行向量的集合，子集A i(2≤i≤k)是在没有包括在子集A1，...，A i-1的并集中的行向量之中，能够通过执行与子集A1，...，A i-1的并集中的行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量的集合。

根据本发明的另一方面，提供了一种用于N-M维消息向量的编码方法，包括：产生M×N奇偶校验矩阵；和通过使用产生的奇偶校验矩阵进行解码，获得将被添加到消息向量的M维奇偶向量。

获得奇偶向量的步骤还可包括：通过使用设置为0的奇偶向量以及消息向量的输入来执行软迭代解码，对奇偶向量进行纠错。

根据本发明的另一方面，提供了一种纠错设备，包括：矩阵生成器，产生M×N奇偶校验矩阵；和解码器，通过使用产生的奇偶校验矩阵进行解码，获得将被添加到N-M维消息向量的M维奇偶向量，来对N-M维消息向量进行编码，并且对接收的码字向量进行解码。

所述纠错设备还可包括：解码器输入处理器，在编码期间将具有将输入的消息向量中的0替换为-1的结果的码字向量和设置为0的奇偶向量输出到所述解码器，其中，所述解码器是软迭代解码器。

在下面的描述中将部分地阐明本发明另外的方面和/或优点，通过描述，其部分地会变得清楚，或者通过实施本发明可以了解。

附图说明
通过下面结合附图对实施例进行的描述，本发明的这些和/或其他方面和优点将会变得清楚和更易于理解，其中：
图1是根据本发明实施例的M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]的子矩阵H p； 图2是根据本发明另一实施例的M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]的子矩阵H p；
图3A是根据本发明另一实施例的M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]的子矩阵H p；
图3B根据本发明另一实施例的M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]的子矩阵H p；
图4A是示出根据本发明实施例的图1中的子矩阵H p的奇偶校验节点和比特节点之间的连接的示图；
图4B是示出根据本发明另一实施例的图2中的子矩阵H p的奇偶校验节点和比特节点之间的连接的示图；
图5是示出根据本发明实施例的通过解码的编码方法的流程图； 图6是根据本发明实施例的纠错设备的结构示图；和
图7A至图7D是解释根据本发明实施例的编码处理的示图。

具体实施方式
现在对本发明实施例进行详细的描述，其示例表示在附图中，其中，相同的标号始终表示相同的部件。

下面通过参照附图对实施例进行描述以解释本发明。

编码通常分为系统编码和非系统编码。

在系统编码中，原始值被保留在消息向量中，码字通过添加奇偶向量而被产生。

也就是说，与使用系统编码方法编码的码字的消息向量相应的部分具有与原始消息向量相同的值。

另一方面，在非系统编码中，消息向量的值被改变为其他值。

根据本发明的一方面，使得通过解码来执行系统编码成为可能的奇偶校验矩阵被如下定义。

奇偶校验矩阵被定义为M×N矩阵H，所述矩阵H在生长因子G F(2)的向量空间中具有M个线性无关的行。

此外，所述矩阵H的M×M子矩阵H p 被定义为具有如下结构。

定义1：假设M个行向量的集合为A。

定义2：假设向量的每个元素中非零元素的数量为权(即，向量V＝(1，0，0，0，1，0，0)的权为2)。

定义3：假设在集合A的元素中具有权1的元素的集合为A1。

集合A的子集A1是非空集。

如果集合A和集合A1的差集B1＝A-A1是非空集，则集合B1包括具有向量的集合B1的子集A2，并且子集A2是非空集。

如果权为1的向量可以关于集合B1的元素向量v通过v与A1的向量的线性组合来获得，则向量v是A2的元素。

如果差集B2＝A-(A1∪A2)是非空集，则集合B2包括具有向量的集合B2的子集A3，并且A3是非空集。

如果权为1的向量可以关于集合B2的元素向量v通过v与A1∪A2的向量的线性组合来获得，则向量v是A3的元素。

通过使用上述规则，变量k使得差集B k＝A-(A1∪A2∪...∪A k)变为空集(即，A＝(A1∪A2∪...∪A k))并且k等于或大于1且等于或小于M。

H p的M个行向量线性无关。

概括如下，奇偶校验矩阵被定义为具有M×N矩阵H＝[H m|H p]的结构。

在M×N矩阵H＝[H m|H p]的M×M子矩阵H p中，所有的行向量线性无关，所有的行向量的集合A是不包括相互的交集的子集A1，A2，...，A k(1≤k≤M)的并集，并且所述集合A是非空集，子集A1是集合A的元素之中权为1的行向量的集合，子集A i(2≤i≤k)是在没有包括在子集A1，...，A i-1的并集中的行向量之中，能够通过与子集A1，...，A i-1的并集中的行向量的线性组合而得到权为1的行向量的行向量的集合。

此外，理想情况是奇偶校验矩阵不包括四线循环。

当包括四线循环时，奇偶校验矩阵的性能显著降低。

图1是根据本发明实施例的M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]的子矩阵H p。

参照图1，M是8，R i(i＝1，2，...，8)表示第i行向量。

此外，k是8，A i具有关于每个i的一个行向量且A i与{R i}相同。

图2是根据本发明另一实施例的M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]的子矩阵H p。

参照图2，M是8，R i(i＝1，2，...，8)表示第i行向量。

此外，k是4，A1＝{R1，R5}，A2＝{R2，R6}，A3＝{R3，R7}，A4＝{R4，R8}。

图3A是根据本发明另一实施例的M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]的子矩阵H p。

图3B根据本发明另一实施例的M×N奇偶校验矩阵H＝[H m|H p]的子矩阵H p。

参照图3A和图3B，M是8*B且B是大于1的整数。

也就是说，图1和图2的子矩阵H p被扩展为图3A和图3B的子矩阵H p，图3A和图3B的子矩阵H p分别表示当奇偶校验矩阵H由块结构构成时满足根据本发明一方面的定义的H的子矩阵H p。

B R i(i＝1，2，...，8)是B×8*B。

例如，B R1是具有第一B个H的行向量的B×8*B(P0000000)。

P(301，351)是B×B单位
矩阵I或者通过对B×B单位矩阵I进行行移的B×B单位矩阵I的置换矩阵。

理想情况是，在通过对B×B单位矩阵I进行行移而获得的P(301，351)的围长(矩阵H中的最短循环长度)大于6。

也就是说，理想情况是确定移动值以便不具有四线循环。

此外，在图3A和图3B中0表示B×B零矩阵。

如图1和图2所示，H包括至少一个具有权为1的列向量。

当存在权为1的列时，奇偶校验矩阵的性能由于奇偶校验矩阵特性而或多或少地降低。

当H p结构被设计具有如图3A和图3B所示的B×B块结构时，至少B个权为1的列被包括在内。

因为理想情况是将权为1的列的数量最小化，所以必要的条件是P a(302，352)包括具有权为1或权为2的列的B×B矩阵，并且P b(303，353)也包括满足图1或图2中特性的B×B矩阵。

当P b是B×B单位矩阵I的置换矩阵时，在图3A中，A i＝{v|v＝B R i的行向量}，其中k＝8且i＝1，2，...，8，并且存在B个权为1的列向量。

在图3B 中，k＝4，A1＝{v|v＝BR1或BR5的行向量}，A2＝{v|v＝BR2或BR6的行向量}，A3＝{v|v＝B R3或B R7的行向量}，A4＝{v|v＝B R4或B R8的行向量}，并且还存在2*B个权为1的列向量。

另一方面，当P b具有与图1相同的结构时，k＝7+B，A i＝{v|v＝B R i的行向量}，其中i＝1，2，...，7，A i+7＝{v|v＝BR8的第i行向量}，其中i＝1，2，...，B，并且在图3A中还存在一个权为1的列向量。

在图3B中，k＝3+B，A1＝{v| v＝B R1或B R5的行向量}，A2＝{v|v＝B R2或B R6的行向量}，A3＝{v|v＝B R3或BR7的行向量}，A3+i＝{v|v＝BR4或BR8的第i行向量}，其中i＝1，2，...，B，并且还存在2个权为1的列向量。

编码时间与k成比例。

此外，当权为1的列向量的数量增加时，奇偶校验矩阵的纠错性能变差。

如上所述，因为可控制k和权为1的列向量的数量，所以理想的情况是，在块结构中考虑H的性能和编码时间来选择合适的结构。

图4A是示出根据本发明实施例的图1中的子矩阵H p的奇偶校验节点401和比特节点402之间的连接的示图。

图4B是示出根据本发明实施例的图2中的子矩阵H p的奇偶校验节点451和比特节点452之间的连接的示图。

图5是示出根据本发明实施例的通过解码的编码方法的流程图。

参照图5，在操作S502，产生满足M×N矩阵H＝[H m|H p]的上述定义的奇偶校验矩阵。

然后，通过使用产生的奇偶校验矩阵进行解码，将消息向量编码为码字向量。

在操作S504中，可使用软迭代解码作为解码方法，在这种情况下，通过将全部奇偶部分设置为0来执行软迭代解码方法。

因为可通过解码结果获得奇偶部分的值，所以通过解码来进行编码是可能的。

然而，如下所述，可通过除了软迭代解码以外的解码来进行编码。

将更详细地描述使用解码的编码方法。

为了使用一个解码器来执行编码，接收用于确定是否已选择编码或解码的信息。

当选择编码时，通过使用代数方法或软迭代解码方法来获得奇偶向量P(x)。

假设奇偶校验矩阵是H＝[H m|H p]。

这里，H m是M×(N-M)子矩阵。

当关于给定的N-M维消息向量M(x)的M维奇偶向量是P(x)＝(P1，P2，...P M)时，码字向量C(x)＝(M(x)，P(x))必须满足HC T＝H m M T+H p P T＝0(M维零向量)。

也就是说，在生长因子G F(2)上，H的所有行向量与C T的矩阵积必须是零。

因此，
当获得关于给定的M(x)的满足H C T＝0的M维奇偶向量时，表示编码可通过解码来进行。

首先，将解释使用代数方法的解码处理。

首先，假设P0(x)＝(x1，x2，...x M)。

(x1，x2，...x M)这些值是预定的任意值。

这里，C0(x)＝(M(x)，P0(x))。

当使用代数方法时，M(x)可以通过k步解码被编码为C(x)。

操作1：通过集合A1执行解码。

包括集合A1中的行向量的H的行向量与C0T的矩阵积必须是零。

此外，因为集合A1中的行向量的权是1，所以与行向量中的值为1的元素相应的奇偶向量P0(x)的元素x i1通过使用线性方程获得唯一解P i1。

结果，P0(x)通过集合A1被解码为P1(x)＝(x1，...，P i1，...x M)。

假设C1(x)＝(M(x)，P1(x))。

操作2：使用操作1的解码结果通过集合A2执行解码。

包括集合A2中的行向量的H的行向量与C1T的矩阵积必须是零。

此外，因为集合A2中的行向量可通过与集合A1中的行向量的线性组合产生权为1的行向量，所以与行向量中的值为1的元素相应的奇偶向量P1(x)的元素x i2通过线性方程具有唯一解P i2。

结果，P1(x)通过集合A2被解码为P2(x)＝(x1，...，P i1，...，P i2，...，x M)。

假设C2(x)＝(M(x)，P2(x))。

操作k：使用操作(k-1)的解码结果通过集合A k执行解码。

包括集合A k中的行向量的H的行向量与C k-1T的矩阵积必须是零。

此外，因为集合A k中的行向量可通过与A1+A2+...+A k-1中的行向量的线性组合产生权为1的行向量，所以与行向量中的值为1的元素相应的奇偶向量P k-1(x)的元素x i k通过线性方程具有唯一解P i k。

结果，P k-1(x)通过集合A k被解码为P(x)＝(P1，P2，...，P M)。

当C(x)＝(M(x)，P(x))时，C(x)被编码为M(x)的码字。

其次，将解释通过使用像“M I N”近似(和积的近似与和积)的对数似然比(LLR)的软迭代解码的编码方法。

在这种情况下，当M(x)被转换为M′(x)＝2*M(x)-1，并且C′(x)＝(M′(x)，P′(x))
通过设置P′(x)＝0被输入到迭代解码器时，满足HC T＝0的C(x)＝(M(x)，P(x))通过至多k次迭代被解码。

这里，因为通过使用擦除纠错来执行编码，所以P′(x)被设置为0，以用于擦除标记。

因为M′(x)不包含任何错误，所以元素的值是1或-1，且P′(x)是全0，因为软迭代解码特性，所以通过第一纠正来纠正与集合A1中的行向量的元素是1的位置相应的P(x)的元素值。

当第一纠正的结果是C1(x)时，当H C1T＝0时。