期末复习(三) 平行四边形

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苏科版八年级数学下册期末复习专题练习《平行四边形》(含答案)

八年级数学期末复习专题练习《平行四边形》一．选择题（共4小题）1．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD 于M，N两点．若AM＝4，则线段ON的长为（）A．2B．C．2D．22．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．B．C．D．23．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是9，则AB的长是（）A．6B．3C．9D．4.54．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE ＝4，AF＝6，则AC的长为（）A．4B．6C．2D．二．填空题（共4小题）5．如图，已知在△ABC中，点D是边AC的中点，且DE∥BC．若DE＝BC，CE＝3，则AB＝．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E、F分别在线段AB、BC上，将△BEF 沿EF折叠，点B落在B′处．如图，当B′在AD上时，B′在AD上可移动的最大距离为；如图，当B′在矩形ABCD内部时，AB′的最小值为．7．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE ＝2．若∠EOF＝45°，则F点的坐标是．8．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝．三．解答题（共10小题）9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．10．如图，矩形ABCD中，点P在BC边上，PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，运用上述结论，求PE+PF的值．11．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．12．△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF．（1）说明：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形．13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝的图象经过点B，交AC于点E．已知菱形的边长为，AC＝4．（1）若OA＝4，求k的值；（2）连接OD，若AE＝AB，求OD的长．14．如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．（1）AM与BD的关系是：．（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，其它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求AB2+DM2的值．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0），D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．（1）点B的坐标；（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．17．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．18．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD上的动点，AF与DE交于点G，CE与BF 交于点H，连接GH．（1）当E，F分别运动到AB，CD的中点时，判断四边形EHFG的形状，并说明理由；（2）试探究：①当AE，CF满足什么条件时，一定有GH∥CD，且GH＝CD？②当AE，CF满足什么条件时，四边形EHFG是平行四边形？答案与解析一．选择题（共4小题）1．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD 于M，N两点．若AM＝4，则线段ON的长为（）A．2B．C．2D．2【分析】过M点作MH⊥AC，根据等腰直角三角形的性质求出HM长，再根据角平分线性质可得BM长，由此得到正方形的边长，求出OC和HC长，根据ON∥HM得到，从而可求ON长．【解答】解：过M点作MH⊥AC，∵∠HAM＝45°，∴AH＝HM＝AM＝4．∵CM平分∠ACB，HM⊥AC，MB⊥CB，∴BM＝HM＝4．∴正方形边长AB＝4+，∴正方形对角线AC＝4+8，OC＝AC＝2+4．∴HC＝AC﹣AH＝4+4．∵ON∥HM，∴．∴，解得ON＝2．故选：C．2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．B．C．D．2【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC ＝，CF＝3，则∠ACF＝90°，再利用勾股定理计算出AF＝2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．【解答】解：连接AC、CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC＝BC＝，CF＝CE＝3，∴∠ACF＝45°+45°＝90°，在Rt△ACF中，AF＝＝2，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝．故选：A．3．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是9，则AB的长是（）A．6B．3C．9D．4.5【分析】连接BD，得出△ABD是等边三角形，由于菱形的对角线互相垂直平分，所以PD＝BP，连接MD，由等边三角形的性质可知DM⊥AB，再根据∠ADM＝30°即可求出AB的长．【解答】解：如图所示，连接DP，则根据菱形的对角线互相垂直平分，可得PD＝BP，当点M，P，D三点共线时，BP+MP＝DP+MP＝DM＝9（最短），连接BD，根据∠BAD＝60°，可得△ABD是等边三角形，∵点M是AB的中点，∴DM⊥AB，∴∠ADM＝30°，∵AM＝＝3，∴AD＝2AM＝6，∴AB＝6，故选：A．4．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE ＝4，AF＝6，则AC的长为（）A．4B．6C．2D．【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE得出AF＝CE＝6，得出AE＝CE＝6，BC＝BE+CE＝10，由勾股定理求出AB的长，再由勾股定理求出AC即可．【解答】解：如图，连接AE，设EF与AC交点为O，∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝6，∴AE＝CE＝6，BC＝BE+CE＝4+6＝10，∴AB＝＝＝2，∴AC＝＝＝2，故选：C．二．填空题（共4小题）5．如图，已知在△ABC中，点D是边AC的中点，且DE∥BC．若DE＝BC，CE＝3，则AB＝6．【分析】延长ED交AB于F，根据三角形中位线定理得到DF＝BC，证明四边形FBCE 为平行四边形，根据平行四边形的性质计算即可．【解答】解：延长ED交AB于F，∵DE∥BC，点D是边AC的中点，∴点F是边AB的中点，∴DF＝BC，∵DE＝BC，∴EF＝BC，又EF∥BC，∴四边形FBCE为平行四边形，∴FB＝CE＝3，∴AB＝2FB＝6，故答案为：6．6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E、F分别在线段AB、BC上，将△BEF 沿EF折叠，点B落在B′处．如图，当B′在AD上时，B′在AD上可移动的最大距离为2；如图，当B′在矩形ABCD内部时，AB′的最小值为﹣5．【分析】根据翻折变换，当点F与点C重合时，点B′到达最左边，当点E与点A重合时，点B′到达最右边，所以点B′就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时AB′的长度，然后两数相减就是最大距离；点B′在AC上时AB′最小，利用勾股定理列式求出AC，然后根据AB′＝AC﹣B′C计算即可．【解答】解：如图1，当点F与点C重合时，根据翻折对称性可得B′C＝BC＝5，在Rt△B′CD中，B′C2＝B′D2+CD2，即52＝（5﹣AB′）2+32，解得AB′＝1，如图2，当点E与点A重合时，根据翻折对称性可得AB′＝AB＝3，∵3﹣1＝2，∴点B′在AD边上可移动的最大距离为2；如图3，B′在矩形ABCD内部时，AB′的最小值，由翻折的性质可得B′C＝BC＝5，由勾股定理得，AC＝＝＝，∴AB′＝AC﹣B′C＝﹣5．故答案为：2；﹣5．7．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE ＝2．若∠EOF＝45°，则F点的坐标是（4，）．【分析】延长BA使AD＝CE，连接EF，OD．由题意可证△OCE≌△OAD，可得∠EOC ＝∠AOD，OD＝OE，可证∠FOD＝∠EOF，即可证△EOF≌△DOF，可得EF＝FD，根据勾股定理可求AF的长，即可求点F的坐标．【解答】解：如图：延长BA使AD＝CE，连接EF，OD．∵四边形ABCO是正方形，点B（4，4）∴OC＝BC＝AB＝4＝OA∵OE＝2，OC＝4∴CE＝2∴BE＝2∵CE＝AD＝2，OA＝OC＝4，∠OCB＝∠OAD＝90°∴△OCE≌△OAD（SAS）∴∠EOC＝∠AOD，OD＝OE∵∠EOF＝45°，∠COA＝90°∴∠COE+∠AOF＝45°∴∠AOF+∠AOD＝45°∴∠FOD＝45°＝∠EOF，且OF＝OF，OD＝OE∴△EOF≌△DOF（SAS）∴EF＝FD在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2．∴（AF+2）2＝4+（4﹣AF）2．∴AF＝∴点F（4，）故答案为：（4，）8．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC＝4，BD＝8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF＝2．【分析】取BC的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴EG∥AC且EG＝AC＝×4＝2，FG∥BD且FG＝BD＝×8＝4，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝．故答案为：2三．解答题（共10小题）9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF＝BD，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD＝CD，根据菱形的判定得出即可；【解答】（1）证明：连接DF，∵E为AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS），∴EF＝BE，∵AE＝DE，∴四边形AFDB是平行四边形，∴BD＝AF，∵AD为中线，∴DC＝BD，∴AF＝DC；（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下：∵AF＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∵AD为中线，∴AD＝BC＝DC，∴平行四边形ADCF是菱形；10．如图，矩形ABCD中，点P在BC边上，PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，运用上述结论，求PE+PF的值．【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，可求得OB＝OC＝5，S△AOD＝S矩形ABCD＝12，然后由S△BOC＝S△BOP+S△COP＝OB（PE+PF）＝12，即可求得答案．【解答】解：连接OP，如图所示：∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∴OB＝OC＝AC，AC＝＝10，∴S△BOC＝S矩形ABCD＝12，OB＝OC＝5，∴S△BOC＝S△BOP+S△COP＝OB•PE+OC•PF＝OB（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝．11．将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若AB＝8，AD＝4，求四边形DHBG的面积．【分析】（1）由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），进而可得出∠ABD＝∠EBD，根据矩形的性质可得AB∥CD、DF∥BE，即四边形DHBG 是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD＝∠EBD，即可得出∠HDB＝∠HBD，由等角对等边可得出DH＝BH，由此即可证出▱DHBG是菱形；（2）设DH＝BH＝x，则AH＝8﹣x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积．【解答】解：（1）四边形DHBG是菱形．理由如下：∵四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，∴∠A＝∠E＝90°，AD＝ED，AB＝EB．在△DAB和△DEB中，，∴△DAB≌△DEB（SAS），∴∠ABD＝∠EBD．∵AB∥CD，DF∥BE，∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB＝∠EBD，∴∠HDB＝∠HBD，∴DH＝BH，∴▱DHBG是菱形．（2）由（1），设DH＝BH＝x，则AH＝8﹣x，在Rt△ADH中，AD2+AH2＝DH2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，即BH＝5，∴菱形DHBG的面积为HB•AD＝5×4＝20．12．△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF．（1）说明：OE＝OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF为正方形．【分析】（1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，所以得EO＝CO＝FO．（2）由（1）得出的EO＝CO＝FO，点O运动到AC的中点时，则由EO＝CO＝FO＝AO，所以这时四边形AECF是矩形．（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．【解答】（1）证明：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，即AC＝EF，∴四边形AECF是矩形；（3）解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC⊥x轴，垂足为A．反比例函数y＝的图象经过点B，交AC于点E．已知菱形的边长为，AC＝4．（1）若OA＝4，求k的值；（2）连接OD，若AE＝AB，求OD的长．【分析】（1）利用菱形的性质得出AH的长，再利用勾股定理得出BH的长，得出B点坐标即可得出答案；（2）首先表示出B，E两点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出D点坐标，再利用勾股定理得出DO的长．【解答】解：（1）连接BD交AC于点H，∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，∴BD⊥AC，AH＝2，∵对角线AC⊥x轴，∴BD∥x轴，∴B、D的纵坐标均为2，在Rt△ABH中，AH＝2，AB＝，∴BH＝，∵OA＝4，∴B点的坐标为：（，2），∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴k＝11；（2）设A点的坐标为（m，0），∵AE＝AB＝，CE＝，∴B，E两点的坐标分别为：（m+，2），（m，）．∵点B，E都在反比例函数y＝的图象上，∴（m+）×2＝m，∴m＝6，作DF⊥x轴，垂足为F，∴OF＝，DF＝2，D点的坐标为（，2），在Rt△OFD中，OD2＝OF2+DF2，∴OD＝．14．如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，连结AM、BD．（1）AM与BD的关系是：AM＝BD且AM⊥BD．（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，其它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC＝4，BC＝2，求AB2+DM2的值．【分析】（1）利用正方形的性质和已知条件证明△AMC≌△DBC，从而求出AM与BD 相等且垂直；（2）如果将正方形BCMN绕点C逆时针旋转锐角α，其它不变（1）中所得的结论任然成立，先求出∠ACM＝∠DCB，然后利用“边角边”证明△AMC和△DBC全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；（3）根据AM⊥BD，得相交的角为直角，由勾股定理计算可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ACDE和四边形BCMN都为正方形，∴AC＝DC，∠ACD＝∠BCD＝90°，BC＝CM，在△AMC和△DBC中，，∴△AMC≌△DBC（SAS）．∴AM＝BD，∠CAM＝∠CDB，延长AM交BD于F，∵∠AMC＝∠DMF，∴∠ACM＝∠DFM＝90°，∴AM⊥BD；故答案为：AM＝BD且AM⊥BD；（2）如果将正方形BCMN绕点C逆时针旋转锐角α，其它不变，（1）中所得的结论仍然成立，理由如下：在正方形ABCE和正方形BCMN中，AC＝CD，CM＝BC，∠ACD＝∠MCB ＝90°，∵∠ACM＝90°+∠MCD，∠DCB＝90°+∠MCD，∴∠ACM＝∠DCB，在△ACM和△DCB中，，∴△AMC≌△DBC（SAS）．∴AM＝BD，∠CAM＝∠CDB，∵∠AFC＝∠DFG，∴∠ACF＝∠DGF＝90°，∴AM⊥BD．（3）如图2，连接AD、BM，∵AC＝4，BC＝2，由勾股定理得：AD2＝42+42＝32，BM2＝22+22＝8，∵AM⊥BD，∴∠AGB＝∠DGM＝∠AGD＝∠BGM＝90°，∴AB2+DM2＝AG2+BG2+DG2+GM2，∵AD2+BM2＝AG2+DG2+BG2+MG2＝32+8＝40，∴AB2+DM2＝40．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A（﹣6，0），D（﹣7，3），点B、C在第二象限内．（1）点B的坐标（﹣3，1）；（2）将正方形ABCD以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE＝AF，AE＝BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标；（2）设反比例函数为y＝，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论．【解答】解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图1所示．∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠EAD+∠BAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF．在△ADE和△BAF中，有，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴DE＝AF，AE＝BF．∵点A（﹣6，0），D（﹣7，3），∴DE＝3，AE＝1，∴点B的坐标为（﹣6+3，0+1），即（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．（2）设反比例函数为y＝，由题意得：点B′坐标为（﹣3+t，1），点D′坐标为（﹣7+t，3），∵点B′和D′在该比例函数图象上，∴，解得：t＝9，k＝6，∴反比例函数解析式为y＝．（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：①当B′D′为对角线时，∵四边形B′PD′Q为平行四边形，∴，解得：，∴P（，0），Q（，4）；②当B′D′为边时．∵四边形PQB′D′为平行四边形，∴，解得：，∴P（7，0），Q（3，2）；∵四边形B′QPD′为平行四边形，∴，解得：．综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、Q的坐标为P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或（﹣7，0）、（﹣3，﹣2）．16．如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．【分析】（1）由ASA证明△OAD≌△OCB得出OD＝OB，得出四边形ABCD是平行四边形，在证出∠CBD＝∠CDB，得出BC＝DC，即可得出四边形ABCD是菱形；（2）由菱形的性质得出OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，由勾股定理得出BC ＝＝5，证出△BOC∽△BED，得出＝，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵O为△ABC边AC的中点，AD∥BC，∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCB，∠ADB＝∠CBD，在△OAD和△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝BD＝4，OC＝AC＝3，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝5，∵DE⊥BC，∴∠E＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠EBD，∴△BOC∽△BED，∴＝，即＝，∴DE＝．17．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足什么条件时，有EF⊥GH？请说明你的理由．【分析】当AB＝CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH，根据三角形的中位线定理即可证得EG＝GF＝FH＝EH，则四边形EFGH是菱形，利用菱形的性质即可证得．【解答】解：当AB＝CD时，有EF⊥GH，连接GE、GF、HF、EH．∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG＝AB，同理HF＝CD，FG＝CD，EH＝CD，又∵AB＝CD∴EG＝GF＝FH＝EH∴四边形EFGH是菱形．∴EF⊥GH．18．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD上的动点，AF与DE交于点G，CE与BF 交于点H，连接GH．（1）当E，F分别运动到AB，CD的中点时，判断四边形EHFG的形状，并说明理由；（2）试探究：①当AE，CF满足什么条件时，一定有GH∥CD，且GH＝CD？②当AE，CF满足什么条件时，四边形EHFG是平行四边形？【分析】（1）由在▱ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，易证得△AEG≌△FDG （AAS），可得EG＝DG，同理可证得EH＝CH，即可得GH是△ECD的中位线，继而推知四边形EHFG是平行四边形；（2）①由在▱ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，易证得△AEG≌△FDG（AAS），可得EG＝DG，同理可证得EH＝CH，即可得GH是△ECD的中位线，继而证得结论GH ∥CD，且GH＝CD；②通过证明两组对边分别平行，可得四边形EHFG是平行四边形．【解答】（1）证明：如图1，∵ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵E、F分别为AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴FC＝AE，∵FC∥AE，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF∥EC，且AF＝EC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠GFD，∵AE＝DF，在△AEG和△FDG中，，∴△AEG≌△FDG（AAS），∴EG＝DG，即点G是AF的中点．同理：点H是EC的中点．∴GF＝EH．∴四边形EHFG是平行四边形；（2）当AE＝CF＝AB时，一定有GH∥CD，且GH＝CD．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠GFD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝DF，在△AEG和△FDG中，，∴△AEG≌△FDG（AAS），∴EG＝DG，同理：EH＝CH，∴GH∥DC且GH＝DC．②AE＝CF时，四边形EHFG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AB＝CD，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．同理可得DE∥BF，∴四边形FGEH是平行四边形．。

人教版八年级下学期期末复习：《平行四边形》培优训练(附答案)

八年级下学期期末复习：《平行四边形》培优训练一．选择题1．在▱ABCD中，已知AB＝6，AD为▱ABCD的周长的，则AD＝（）A．4 B．6 C．8 D．102．在平行四边形ABCD中，AE与DE交于点E，若AE平分∠BAD，AE⊥DE，则（）A．∠ADE＝30°B．∠ADE＝45°C．∠ADC＝2∠ADE D．∠ADC＝3∠ADE 3．下列说法中能判定四边形是矩形的是（）A．有两个角为直角的四边形B．对角线互相平分的四边形C．对角线相等的四边形D．四个角都相等的四边形4．如图，菱形ABCD的面积为96，正方形AECF的面积为72，则菱形的边长为（）A．10 B．12 C．8 D．165．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（）A．26°B．38°C．42°D．52°6．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知AE＝12，则线段FG的长是（）A．2 B．4 C．5 D．67．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（）A．2cm B．4cm C． cm D．2cm8．将正方形ABCD与正方形BEFG如图摆放，点G恰好落在线段AE上．已知AB＝，AG＝1，连接CE，则CE长为（）A．B．C．D．3.59．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2 B．3 C．3或5 D．4或510．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB＝AE，过点A 作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G．点H在AD上，且EH∥AF．若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE＝OG；②EH＝BE；③AH＝2﹣2；④AG•AF＝2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E、F是三边的中点，则△DEF的周长是．12．如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为．13．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点F，交BC边于点E，已知AB＝6，AD＝8，则CE的长为．14．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF ＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是．15．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝9，直线MN平分平行四边形ABCD的面积，分别交边AD、BC于点M、N，若△BMN是以MN为腰的等腰三角形，则BN ＝．16．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，DE＝4BE，连接CE，过点E作EF⊥CE 交AB的延长线于点F，若AF＝8，则正方形ABCD的边长为．17．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长度为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC 于点E，连接EF．若四边形ABEF的周长为16，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是．18．如图，将边长为13的菱形ABCD沿AD方向平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为点G，GD的延长线交EF于点H，已知BD＝24，则GH＝．19．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD与于点M，过点D 作DN⊥AB于点N，在DB的延长线上取一点P，PM＝DN，若∠BDC＝70°，则∠PAB的度数为．20．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，DG⊥EF于点H，交BC于点G，点P 在线段BG上．若∠PEF＝45°，AE＝CG＝5，PG＝5，则EP＝．三．解答题21．如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、F 分别在线段BC 、AB 上，DC ＝BF ，以BF 为边在△ABC 外作等边三角形BEF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形．（2）△ABC 的边长是6，当点D 是BC 三等分点时，直接写出平行四边形CDEF 的面积．22．如图，正方形ABCD 边长为4，点O 在对角线DB 上运动（不与点B ，D 重合），连接OA ，作OP ⊥OA ，交直线BC 于点P ．（1）判断线段OA ，OP 的数量关系，并说明理由．（2）当OD ＝时，求CP 的长．（3）设线段DO ，OP ，PC ，CD 围成的图形面积为S 1，△AOD 的面积为S 2，求S 1﹣S 2的最值．23．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CE＝12，∠FCE＝60°，∠AFE＝90°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD 长为半径做弧，交EF于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．24．问题探究：如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF．线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线．（1）求证：△ABE≌△DAF．（2）判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．问题拓展：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G．若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为．25．老师布置了一个作业，如下：已知：如图1▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O求证：四边形AECF是菱形．某同学写出了如图2所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的，请你解答下列问题：（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；（2）请你给出本题的正确证明过程．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，AD＝AE且∠BAC＝∠DAE．（1）若ED平分∠AEC，求证：CE∥AD；（2）若∠BAC＝90°，且D在BC中点时，试判断四边形A DCE的形状，并说明你的理由．27．正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE．（1）如图1，连EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF的周长；（2）如图2，若AF＝AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上（不与端点重合），连AH．若∠EAH＝45°，求证：EC＝HG+FC．28．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∵AD＝（AB+BC+CD+AD），∴AD＝（2AD+12），解得：AD＝8，∴BC＝8；故选：C．2．解：∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，∴∠BAD+∠CDA＝180°，∵AE⊥DE，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠BAE+∠EDC＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠ADE＝∠EDC，即∠ADC＝2∠ADE，故选：C．3．解：A、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；B、对角线互相平分的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形，故错误；D、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；故选：D．4．解：连接EF、BE、DF．∵四边形AECF是正方形，∴∠AEC＝90°，∠AEF＝45°．又△ABE≌△CBE（SSS），∴∠AEB＝∠CEB＝（360°﹣90°）÷2＝135°．∴∠AEB+∠AEF＝180°，∴B、E、F三点共线．同理可证D、F、E三点共线，∴BD过点E、F．∵AC2＝72，∴AC＝12．又AC•BD＝96，∴BD＝16．则菱形的边长为＝10．故选：A．5．解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°．故选：D．6．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABF＝∠GDF，∠BAF＝∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴＝，∴FG＝AF，∵CG∥AB，AB＝2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AG＝AE＝6，∴FG＝AG＝2．故选：A．7．解：∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC＝×8＝4cm，BO＝OD，∴AO＝BO＝4cm，∴△ABO是等边三角形，∴AB＝AO＝4cm，故选：B．8．解：如图1所示，分别过点A、C作EB的垂线，交EB的延长线于点K、M，过点B作BH垂直AE，交AE于点H，设BH＝GH＝a，则有a2+（1+a）2＝（）2，解得a＝1，∴BG＝，AE＝3，∴AK＝EK＝，BK＝，∵∠AKB＝∠M＝90°，∠MBC＝∠BAK，BC＝AB，∴△ABK≌△BCM（AAS），∴CM＝，EM＝，∴CE＝故选：A．9．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．10．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OB，∴∠AOG＝∠BOE＝90°，∵AF⊥BE，∴∠FGB＝90°，∴∠OBE+∠BGF＝90°，∠FAO+∠AGO＝90°，∵∠AGO＝∠BGF，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，，∴△AGO≌△BEO（ASA），∴OE＝OG．②∵EH⊥AF，AF⊥BE，∴EH⊥BE，∴∠BEH＝90°，如图1，过E作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则MN⊥AD，MN⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠EAM＝45°，∴△ENC是等腰直角三角形，∴EN＝CN＝DM，∵AD＝BC，∴AM＝EM＝BN，∵∠NBE+∠BEN＝∠BEN+∠HEM＝90°，∴∠NBE＝∠HEM，∴△BNE≌△EMH（ASA），∴EH＝BE，故②正确；③如图2，Rt△ABC中，AB＝BC＝2，∴AC＝2，∴EC＝AC﹣AE＝2﹣2，∵AC＝AB＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∴∠EBC＝∠AEH，由②知：EH＝BE，∴△BCE≌△EAH（SAS），∴AH＝CE＝2﹣2；故③正确；④Rt△AME中，AE＝2，∠EAM＝45°，∴AM＝BN＝，∵∠NBE＝∠BAF，∠AFB＝∠ENB＝90°，∴△ABF∽△BEN，∴，∴AF•BE＝AF•AG＝AB•BN＝2，故④正确；本题正确的有：①②③④，4个，故选：D．二．填空题（共10小题）11．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵点D、E、F是三边的中点，∴DE＝AC，DF＝AB，EF＝BC，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝AC+AB+BC＝（AC+AB+BC）＝（3+4+5）＝6，故答案为：6．12．解：连接EG、FG，∵CE，BF分别是△ABC的高线，∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，∵G是BC的中点，∴EG＝FG＝BC＝5，∵D是EF的中点，∴ED＝EF＝3，GD⊥EF，由勾股定理得，DG＝＝4，故答案为：4．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠B＝∠ADC＝∠DCE＝90°，∴AC＝＝10，∵DE⊥AC，∴∠CFE＝90°，∵∠DCF＝∠ACD，∴△CDF∽△CAD，∴＝，∴CF＝＝＝3.6，∵∠ECF＝∠ACB，∴△CEF∽△CAB，∴＝，∴CE＝＝4.5；故答案为：4.5．14．解：①∵F是BC的中点，∴BF＝FC，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，∴∠AFB＝∠BAF，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，∴∠BAF＝∠DAF，∴2∠BAF＝∠BAD，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAF＝2∠C故①正确；②延长EF，交AB延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠MBF＝∠C，∵F为BC中点，∴BF＝CF，在△MBF和△ECF中，，∴△MBF≌△ECF（ASA），∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠BAE＝90°，∵FM＝EF，∴EF＝AF，故②正确；③∵EF＝FM，∴S△AEF ＝S△A FM，∴S△ABF ＜S△AEF，故③错误；④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，∴∠EFA＝180°﹣2x，∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠CEF＝90°﹣x，∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确，故答案为：①②④．15．解：如图，过点C作CE⊥AD于E，过点N作NF⊥AD于F，过点B作BG⊥AD，与DA的延长线交于点G．∵直线MN平分平行四边形ABCD的面积，∴AM＝CN，设AM＝CN＝x，则EF＝x，BN＝9﹣x∵∠ABC＝45°，AB＝4，∴GB＝GA＝4，DE＝4，∴MF＝5﹣2x，在Rt△BGM中，BM2＝42+（4+x）2，在Rt△NFM中，MN2＝42+（5﹣2x）2，∵△BMN是以MN为腰的等腰三角形，∴①当MN＝MB时，易证Rt△MFN≌Rt△MGB（HL），MF＝MG，即5﹣2x＝x+4，解得x＝，即CN＝，∴BN＝BC﹣CN＝9﹣＝②当MN＝BN时，MN2＝BN2，∴42+（5﹣2x ）2＝（9﹣x ）2，解得x 1＝4，x 2＝﹣（不符合题意，舍去），MN 2＝42+（5﹣2x ）2＝16+（5﹣2×4）2＝25，∴MN ＝5，∴BN ＝5故答案为或5．16．解：如图所示：过点E 作EM ⊥BC ，EN ⊥AB ，分别交BC 、AB 于M 、N 两点，且EF 与BC 相交于点H ．∵EF ⊥CE ，∠ABC ＝90°，∠ABC +∠HBF ＝180°，∴∠CEH ＝∠FBH ＝90°，又∵∠EHC ＝∠BHF ，∴△ECH ∽△BFH （AA ），∴∠ECH ＝∠BFH ，∵EM ⊥BC ，EN ⊥AB ，四边形ABCD 是正方形，∴四边形ENBM 是正方形，∴EM ＝EN ，∠EMC ＝∠ENF ＝90°，在△EMC 和△ENF 中∴△EMC ≌△ENF （AAS ）∴CM ＝FN ，∵EM ∥DC ，∴△BEM ∽△BDC ，∴．又∵DE＝4BE，∴＝，同理可得：，设BN＝a，则AB＝5a，CM＝AN＝NF＝4a，∵AF＝8，AF＝AN+FN，∴8a＝8解得：a＝1，∴AB＝5．故答案为：5．17．解：由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，则∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，∴∠2＝∠BEA，∴∠1＝∠BEA＝30°，∴BA＝BE，∴AF＝BE，∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，而AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；∴BF⊥AE，AG＝EG，∵四边形ABEF的周长为16，∴AF＝BF＝AB＝4，在Rt△ABG中，∠1＝30°，∴BG＝AB＝2，AG＝BG＝2，∴AE＝2AG＝4，∴菱形ABEF的面积＝BF×AE＝×4×4＝8；故答案为：8．18．解：连接DE，连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD和四边形DCEF是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝B D＝12，AC⊥BD，AB∥CD∥EF，AB＝AD＝CD＝DF＝CE＝13，AD∥CE，∴OA＝＝＝5，∠GAD＝∠F，四边形ACED是平行四边形，∴DE＝AC＝2OA＝10，在△ADG和△FDH中，，∴△ADG≌△FDH（ASA），∴DG＝DH，∵EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，∴DE＝DG＝DH，∴GH＝2DE＝20，故答案为：20．19．解：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD，∵BD＝CD，∴BD＝BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴∠AMB＝∠DNB＝90°，在△ABM与△DBN中，∴△ABM≌△DBN（AAS），∴AM＝DN，∵PM＝DN，∴△AMP是等腰直角三角形，∴∠MAP＝∠APM＝45°，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB＝70°，∴∠PAB＝∠ABD﹣∠P＝25°，故答案为：25°20．解：过点F作FM⊥AB于点M，连接PF、PM，如图所示：则FM＝AD，AM＝DF，∠FME＝∠MFD＝90°，∵DG⊥EF，∴∠MFE＝∠CDG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝DC＝AD，∴FM＝DC，在△MFE和△CDG中，，∴△MFE≌△CDG（ASA），∴ME＝CG＝5，∴AM＝DF＝10，∵CG＝PG＝5，∴CP＝10，∴AM＝CP，∴BM＝BP，∴△BPM是等腰直角三角形，∴∠BMP＝45°，∴∠PMF＝45°，∵∠PEF＝45°＝∠PMF，∴E、M、P、F四点共圆，∴∠EPF＝∠FME＝90°，∴△PEF是等腰直角三角形，∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠BPE+∠CPF＝90°，∴∠BEP＝∠CPF，在△BPE和△CFP中，，∴△BPE≌△CFP（AAS），∴BE＝CP＝10，∴AB＝AE+BE＝15，∴BP＝5，在Rt△BPE中，由勾股定理得：EP＝＝＝5；故答案为：5．三．解答题（共8小题）21．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵∠EFB＝60°，∴∠ABC＝∠EFB，∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行），∵DC＝EF，∴四边形EFCD是平行四边形；（2）解：过E作EH⊥BC交CB的延长线于H，∵△ABC和△BEF是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBF＝60°，∴∠EBH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴EH＝BE＝BF＝CD，∵点D是BC三等分点，∴当CD＝BC＝2时，平行四边形CDEF的面积＝2×＝2，当CD＝BC＝4时，平行四边形CDEF的面积＝4×2＝8，综上所述，平行四边形CDEF的面积为2或8．22．解：（1）OA＝OP，理由是：如图1，过O作OG⊥AB于G，过O作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC，∴OG＝OH，∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，∴四边形OGBH是正方形，∴BG＝BH，∠GOH＝90°，∵∠AOP＝∠GOH＝90°，∴∠AOG＝∠POH，∴△AGO≌△PHO（ASA），∴OA＝OP；（2）如图2，过O作OQ⊥CD于Q，过O作OH⊥BC于H，连接OC，∴∠OQD＝90°，∵∠ODQ＝45°，∴△ODQ是等腰直角三角形，∵OD＝，∴OQ＝DQ＝1，∵AD＝CD，∠ADO＝∠CDO，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴AO＝OC＝OP，∵OH⊥PC，∴PH＝CH＝OQ＝1，∴PC＝2；（3）如图3，连接OC，过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，设OH＝x，则DH＝x，CH＝OG＝4﹣x，PC＝2x，由（2）知：△AOD≌△COD，∴S△AOD ＝S△COD，∴S1﹣S2＝S1﹣S△COD＝S△POC＝＝＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝2时，S1﹣S2有最大值是4．23．证明：（1）∵由已知得：AC＝CD，AB＝DB，由已知尺规作图痕迹得：BC是∠FCE的角平分线，∴∠ACB＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB，又∵AC＝CD，AB＝DB，∴AC＝CD＝DB＝BA，∴四边形ACDB是菱形，∵∠ACD与△FCE中的∠FCE重合，它的对角∠ABD顶点在EF上，∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形（2）过点A作AG⊥CE于G∵四边形ACDB是菱形∴AB＝AC，AB∥CD∴∠FAB＝∠FCE＝60°∴∠E＝∠FBA＝30°∴CE＝2CF AB＝2AF∵CE＝12∴CF＝6，CA＝4在Rt△ACG中，可得AG＝，∴菱形ACDB的面积＝CD▪AG＝4×＝24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝DA，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）；（2）解：BF＝2GH；理由如下：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠DAF+∠BAG＝∠BAD＝90°，∴∠ABE+∠BAG＝90°，∴∠BGF＝∠ABE+∠BAG＝90°，在Rt△BFG中，GH是边BF的中线，∴BF＝2GH；问题拓展：解：∵tan ∠ABE ＝＝＝，tan ∠DAF ＝＝＝，∴∠ABE ＝∠DAF ， ∵∠DAF +∠BAG ＝∠BAD ＝90°，∴∠ABE +∠BAG ＝90°，∴∠AGB ＝90°，∴∠BGF ＝90°，在Rt △BFG 中，GH 是边BF 的中线，∴BF ＝2GH ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，BC ＝AD ＝6，CD ＝AB ＝4，∴CF ＝CD ﹣DF ＝1，∴BF ＝＝＝，∴GH ＝BF ＝；故答案为：． 25．解：（1）能；该同学错在AC 和EF 并不是互相平分的，EF 垂直平分AC ，但未证明AC 垂直平分EF ，需要通过证明得出；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠FAC ＝∠ECA ．∵EF 是AC 的垂直平分线，∴OA ＝OC ．∵在△AOF 与△COE 中，∴△AOF ≌△COE （ASA ）．∴EO ＝FO ．∴AC 垂直平分EF ．∴EF 与AC 互相垂直平分．∴四边形AECF是菱形．26．解：（1）证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED．又∵ED平分∠AEC，∴∠DEC＝∠AED．∴∠ADE＝∠DEC．∴CE∥AD；（2）四边形ADCE是正方形，理由如下：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°．又∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠DAE＝180°．∴AE∥CD．又∵∠BAC＝90°且D是BC的中点，∴AD＝CD．∴AE＝AD．∴AE＝CD∴四边形ADCE是平行四边形．∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是正方形．27．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AC＝AB＝4，∵4AF＝3AC＝12，∴AF＝3，∴CF＝AC﹣AF＝，∵EF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CF＝，CE＝CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE＝＝2，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝2++3＝2+4；（2）证明：延长GF交BC于M，连接AG，如图2所示：则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，∴CM＝CG，CG＝CF，∴BM＝DG，∵AF＝AB，∴AF＝AD，在Rt△AFG和Rt△ADG中，，∴Rt△AFG≌Rt△ADG（HL），∴FG＝DG，∴BM＝FG，∵∠BAC＝∠EAH＝45°，∴∠BAE＝∠FAH，∵FG⊥AC，∴∠AF H＝90°，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（ASA），∴BE＝FH，∵BM＝BE+EM，FG＝FH+HG，∴EM＝HG，∵EC＝EM+CM，CM＝CG＝CF，∴EC＝HG+FC．28．解：延长AH、BC相交于点M，∵▱ABCD∴CD＝AB＝4，CD∥AB∵CH＝2∴DH＝CD＝2∵CD∥AB∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA∴△MCH∽△MBA∴∴＝∴MH＝AH，BM＝2BC∵△ABO为等边三角形∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4∴∠DO H＝∠AOB＝60°∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD∴△DOH是等边三角形∴OH＝OD＝DH＝2∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10 ∵OD＝OE＝2∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2∴点E是OA的中点∵△ABO为等边三角形∴BE⊥OA，∠ABE＝30°∴BE＝AE＝2在Rt△BEM中，∠BEM＝90°∴BE2+EM2＝BM2∴（2）2+102＝BM2∴BM＝4∴BC＝2（2）∵△ABO为等边三角形∴AB＝OB由（1）知，AE＝OE＝OD∵BD＝OB+OD∴BD＝AB+AE。

平行四边形教案最新3篇

平行四边形教案最新3篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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3平行四边形的判定(1)

1、探索平行四边形三个性质定理的逆命题是否成立.
2、理解平行四边形的三个判定，会运用. 3、提高自己探究能力和逻辑思维能力.
积极参加课堂活动、积极思考、大胆展示！
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
判断分别满足下列条件的四边形是不是平行四边形，如果是，请用平行四边形的定义给予证明，如果不是，请说明理由. ① A D C AB=DC AD=BC B ② A D ③ B
活动规则：各小组讨论完成，三分钟后，派代表把答案统一写在后面黑板上，正确可以得三分！
2、如图，点A、B、C是某一平行四边形的三个顶点，第四个 (6，2)或 (-4，2)或 (4，-2) 顶点D的坐标可能是__________________________ y A
B
C
x
（每个小正方形的边长为1）
2、平行四边形的性质: ① 平行四边形的两组对边分别相等. ② 平行四边形的两组对角分别相等. ③ 平行四边形的对角线互相平分. 3、你能写出它们的逆命题吗？两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ① ______________________________________
② ______________________________________ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ③ ______________________________________ 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
B
∵AB∥DC AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形
经过刚才的探究，我们现在有几种证明一个四边形是平行四边形的方法？ 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (平行四边形的判定1) 几何语言 A D B ∵AB=DC AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形

人教版八年级数学下册期末复习课件：平行四边形 (共47张PPT)

论的个数是
()
• A．2
• B．3
• C．4
• D．5
7．如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥
AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为
(D )
A．54
B．45
C．53
D．65
8．如图，ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长
∠CBF，∴BF平分∠ABC．
• (3)解：△BEF是等腰三角形．理由如下：过点F作FG⊥BE于点G.∵AD∥BC，FG⊥BE，
BE⊥AD，∴FG∥AD∥BC．∵F为CD的中点，
∴EG＝BG，∴EF＝BF，∴△BEF是等腰三
• ★集训2 特殊平行四边形的性质与判定的相关计算与证明
• 7．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相A 交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是 ()
D．4 个
(B )
• 二、填空题(每小题5分，共20分)
• 9．已知一个菱形的两条对角线的长分别为 5210和24，则这个菱形的周长为______.
• 10．【湖北武汉中考】以正方形ABCD的边 A30D°或作15等0°边△ADE，则∠BEC的度数是 _______________.
• 11．如图，矩形ABCD的对角2线0 BD的中点为 O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知 AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为 ______.
• 4．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、
DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相41交于点Q.若S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为______cm2.

三角形、平行四边形和梯形的整理与复习

1、三角形的基本特征
根据以下问题整理三角形的知识点 (1)、什么是三角形？三角形有几个顶点？几个角？
几条边？ (2)、三角形三条边的关系是怎样的？ (3)、三角形的内角和是多少度？ (4)、三角形按角可以怎么分类？按边的长短呢？ (5)、三角形具有什么特性？
1、三条线段首尾相接围成的图形叫三角形。三角形有3个顶点、 3个角、3条边。三角形有三条高，每条底对应一条高。直角三角形的两条直角边互为底和高。
(6)、如果三角形的一个内角等于另外两个内角的和，那么这个三角
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束感谢各位批评指导！
谢谢！
让我们共同进步
2、填空
(1)、一个三角形的3个不顶能点(
)在同一条直线上。(能或不能)
(2)、一个三角形的11 两条边的长度分别是5厘米和7厘米，第三条3 边最厘米，最长不能多于( )厘米。(去整厘米数)。
17 19
(3)、等腰三角形的两条边分别是7厘米70°和5厘米。这个等腰三角形10的0° (4)、等腰三角形的顶角是40°，它的一个底等边角是( )；如果底角是 (5)、等腰三角形的一个底角和顶角度数相等，它是一个直(角 )三角
2、三角形的任意两边之和大于第三条边。两边之差＜第三条边＜两边之和
3、任意一个三角形的内角和是180°。未知角的度数=180°－两个已知角的度数
锐角三角形
4、三角形直角三角形
锐角直角钝角三角形三角形三角形
（按角分）钝角三角形
角
等腰
三角形(按边)：等腰三角形、等边三角形。三三等边形形
角
2、平行四边形和梯形的特征
平行四边形：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。平行四边形的两组对边分别平行且相等，两组对角相等，邻角的和是180°。正方形和长方形一种特殊的平行四边形。平行四边形有无数条高。平行四边形具有不稳定性。

特殊的平行四边形期末复习

二、性质：
项目四边形对边角对角线对称性
平行且相等
平行四边形
对角相等邻角互补
互相平分
中心对称图形
平行且相等
矩形
四个角都是直角对角相等邻角互补四个角
相等且互相平分互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
中心对称图形轴对称图形中心对称图形轴对称图形中心对称图形
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形
F
（2）△ABC增加一个条件
时，
D E A
四边形AEFD是矩形；△ABC增加
一个条件
时，四边形AEFD是菱形。
B C
（3）当△ABC满足什么条件时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在？
3、△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC, ，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． (1)求证：EO=FO (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．
A D
A、 4 3cm
4 2cm B、
30° 6 30°
2X
3
E
6
C、3 3cm
D、8cm
B
X
F
C
3、现将这张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，得到的是（B ）
A、平行四边形
C、矩形
B、菱形
D、正方形 D
A
O
C
B
若展开后的菱形纸片ABCD中，两条对角线AC= 4 3，BD= 4 。（1）求菱形ABCD的面积； 1 4 34 8 3 2 D （2）求菱形ABCD的高；
A

《平行四边形》期末复习 —初中数学课件PPT

∴△ODE≌△FCE（AAS）．（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC． ∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形．在矩形ABCD中，OC＝OD，∴ ODFC是菱形．
6.如图M-55-10，四边形ABCD是正方形，E,F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE,AF,EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC=8，DE=3，求△AEF的面积.
21.如图M-55-22，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上
一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不
一定正确的是
（ B）
A．△AFD≌△DCE
B．AF= AD
C．AB=AF
D．BE=AD-DF
22.如图M-55-23，在△ABC中，CD⊥AB于
点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE= AD，CF= BC. ∴AE=CF. ∴四边形AFCE是平行四边形.
综合提升
20.如图M-55-21，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为（ D ） A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.2
14.如图M-55-16，在△ABC中，已知AB=8， ∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE 的长为____2____.
15. 已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个菱形的边长为____5______cm. 16. 如图M-55-17，矩形ABCD的对角线AC=8 cm，∠AOD=120°，则AB的长为_____4_____cm.

浙教版2021-2022学年八年级数学下册期末复习卷(3)及答案

浙教版2021-2022学年八年级数学下册期末复习卷(3) 1．已知2<m<3，化简：√4−4m+m2−√m2−6m+9．2．先化简，再求值：2a−1−1a−1，其中a= √2+1．3．已知，求的值.4．如图，某农户准备围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，养鸡场靠墙AB（AB=18米），另三边利用现有的34米长的篱笆围成，若要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？晓华的解题过程如下：解：设与墙垂直的一边长为x米，则与墙平行的一边长为(38－2x)米．依题意，得x(38－2x)=120，整理，得x2－19x+60=0，解得x1=15，x2=4．当x=15时，38－2x=8；当x=4时，38－2x=30．答：这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是15米、8米或4米、30米．请问晓华的解题过程正确吗？如果不正确，请你给出正确的解题过程．5．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=5厘米，AB=5 √5厘米，点P从点A出发沿AC边以2厘米/秒的速度向终点C匀速移动，同时，点Q从点C出发沿CB边以1厘米/秒的速度向终点B匀速移动，P、Q两点运动几秒时，P、Q两点间的距离是2 √10厘米？6．已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方7．程x²-mx+ m2-14=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少?7．经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是吨.（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？8．已知a=√6+√2，b=√6−√2，求a2b−ab2的值.9．已知实数a满足a+b﹣4＜0，b＝√(−3)2，当2≤x≤4时，一次函数y＝ax+1（a≠0）的最大值与最小值之差是6，求a的值.10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．若设每件衬衫降价x元，解答下列问题：（1）当每件衬衫降价5元，则每件利润元，平均每天可售出件．（2）若平均每天获利为y元，请求出y与x的函数关系式.（3）若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？11．某校举行了“风雨百年路，青春心向党”知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，8分及以上为优秀）进行整理和分析如下：七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，8，7，5，5，9，10，9，7，5，8，7，7，7，9，8，10，7八年级20名学生的测试成绩如下：两个年级分析数据如表：根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）如果八年级参加测试有500名学生，估计成绩为优秀的学生人数有多少人？（3）根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生测试成绩较好？请说理由．12．为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表（不完整）．各组参加人数情况统计表：各组参加人数情况的扇形统计图：根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求a和m的值；（2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如表所示：求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．13．如图，在▱ABCD中，点E是边AB的中点，连结DE并延长，交CB延长线于点F，且DE平分∠ADC.（1）求证：△ADE≌△BFE.（2）若BF=5，EF=5√3，求△FCD的面积.14．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点Q，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形：（2）若AB⊥AC，AB=3，BC=5，求BD的长．15．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE 至点G，使AE＝GE，连接CG，CF.（1）求证：△AOE≌△COF；（2）只需添加一个条件，即▲ ，可使四边形CGEF为矩形，请加以证明.16．已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC,DF⊥AC，点E,F是垂足．（1）联结DE,FB，求证：四边形DFBE是平行四边形；（2）如果AF=EF=2，求矩形ABCD的面积．17．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，∠AFC＝90°．（1）求证：DF＝12（BC﹣AC）；（2）若∠CAF＝∠ACB，求证：∠CAF＝60°．18．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC=30°，D为AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE，AC相交于F.连接DC，AE.（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由．（2）若AB＝16，AC＝12，求四边形ADCE的面积．（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．19．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C，D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上，如图1．①证明：∠DAH=∠DCH②猜想线段CG与EF的数量关系并说明理由（2）取DF中点M，连结MG，若MG=4，正方形边长为6，求BE的长20．已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF.（1）根据题意补全图形，并证明：MB＝ME；（2）若AM＝√2，求CF的长；（3）用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系，并证明.21．如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE= 1n AD（n为大于2的整数），连接BE，BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG。

人教版八年级数学下册期末复习资料《平行四边形》复习题

八年级数学期末复习资料《平行四边形》期末复习题一、知识点：1. 平行四边形的性质：边：_________________ 角：________________ 对角线：_____________2. 平行四边形的判定：边：___________________________ ___________________________ ___________________________ 角：____________________________ 对角线：______________________3. 三角形中位线定理二、巩固练习1.在□ABCD 中，∠A =70°，AD=3cm,CD=2BC,则∠B =______，□ABCD 的周长是_________2. 已知□ABCD 的周长是36，其中AB 长8，则CD=________,AD=________ 3、已知O 是□ABCD 的对角线的交点，AC=10cm ，BD=18cm ，AD=12cm ，则 △BOC 的周长是。

4．平行四边形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若△BOC 的周长比△AOB 的周长大2cm ，则CD ＝ cm 。

5．如右图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点．若OE=3 cm ，则AB 的长为 ______ 6. 如右图，D 、E 、F 分别为△ABC 各边的中点，则图中的平行四边形有个7、在△ABC 中，AB=6cm ，AC=8cm ，BC=12cm ，D 、E 、F分别是各边中点，则△DEF 的周长= 8.已知：在ABCD 中，∠A 的角平分线交CD 于E ，若DE ：EC=3：1，AB 的长为8，则BC 的长为_________9．关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（）。

三角形、平行四边形和梯形整理和复习

梯形
只有一组对边平行的四边形叫做梯形
上底
在梯形里，互相平行的一组对边
腰
腰
叫做梯形的底，不平行的一组对
高
边叫做腰
从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高
下底
谢谢！
你能画出65°的角吗？
65°
65°
结束
垂直和平行
两直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条支线的交点叫做垂足。
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
1
2
3
4
平行线的画法
继续
三角形
由三条线段围成的图形叫做三角形。
整理和复习
三角形、平行四边形和梯形
直线、线段和射线
直线无限长
直线上两点间的一段叫做线段。线段有两个端点，线段是直线的一部分。
把线段的一端无限延长，就得到一条一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
边
顶点边
测量角的大小要用量角器，角的计量单位是“度”，用符号 “°”表示
三角形的高
从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
底高
平行四边形
两组对边分别平行的叫做平行四边形。
平行四边形容易变形。
高
高
底
底
从平行四边形的一条边上到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。
围成三角形的每条线段叫做三角形
边
的边，每条线段的交点叫做三角形的

平行四边形复习课

达
标
测
评
1、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？
2、□ABCD的对角线相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？为什么？
3、如图,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.
例6：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
例7：已知：如图，分别以△ABC的三边为其中一边，在BC的同侧作三个等边三角形：△ABD、△BCE、△ACF。求证：AE、DF互相平分。
例3：如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别是E、F，四边形AECF是平行四边形吗？为什么？
例4：如图，在□ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，点G、H分别在AB、CD上，且AG=CH，AC与GH相交于点O，
试说明：（1）EG∥FH，（2）GH、EF互相平分。
例5：如图，在平行四边形ABCD中，点E在AC上，AE=2EC，点F在AB上，BF=2AF，如果△BEF的面积为2cm2，求平行四边形ABCD的面积。
②2组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③2组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
二、举例：
例1：如图，□ABCD中，E、F分别是BC和AD边上的点，且BE=DF，请说明AE与CF的关系，并说明理由。

新浙教版平行四边形期末复习小片叔叔

3、如图， ABCD的对角线AC、BD长度之和为 7 20cm,若△OAD的周长为17cm，则AD=____cm
D
C
O B
平行四边形的对角线互相平分
A
请你挑一挑
在四边形ABCD中,若分别给出六个条件:①AB∥CD ②AD=BC ③OA=OC ④AD∥ BC ⑤AB=CD ⑥OB=OD. 现在,以其中的两个为一组,能直接确定四边形ABCD为平行四边形的条件是 _________ (只填序号)
E
3x
E 2x D
x 3x
2x
3x
B C
B
C
拓展提高
如图，已知AB＝AC，B是AD的中点， E是AB的中点．求证：CD＝2CE．
C
A
E
B
DFΒιβλιοθήκη 初露锋芒如图，Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，已知点A（0，2），点B（3，0），则以点O,A,B为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点 C 的坐标 y 为_________________。
浙教版初中数学八年级(下)
平行四边形期末复习
小片叔叔精品课件
请你填一填
1、已知 ABCD,若AB=15㎝, BC=10cm 则AD= 10 ㎝.周长= 50 cm. D 平行四边形的两组对边分别相等
C B
2、已知 ABCD, ∠A=50度, A 则∠C= 50 度. ∠B= 130 度.
平行四边形的对角相等、邻角互补
F E
3
B D C
小试牛刀
如图，AD、BC垂直相交于点O，AB∥CD， BC=8，AD=6，求AB+CD的长?
D O B A C
链接中考
□ABCD的周长为32cm, ∠ABC的角平分

三年级四边形知识点归纳总结

三年级四边形知识点归纳总结在三年级数学学习中，四边形是一个重要的知识点。

掌握好四边形的性质和分类，对于学生的几何思维能力和解题能力有很大的帮助。

本文将对三年级四边形的知识点进行归纳总结。

一、四边形的定义四边形是由四条线段组成的图形，它的四条边两两相连，围成一个封闭的区域。

二、四边形的分类1. 矩形矩形是一种特殊的四边形，它的四个内角都是直角（90度）。

矩形的特点是对角线相等且互相平分。

2. 正方形正方形也是一种特殊的四边形，它的四个内角都是直角（90度），并且四条边的长度相等。

3. 长方形长方形也是一种特殊的四边形，它的四个内角都是直角（90度），但是它的对边长度不一定相等。

4. 平行四边形平行四边形是指四边形的对边是平行的。

它的相邻两边相等，相邻两角互补。

5. 梯形梯形是指四边形有两条平行边的四边形。

梯形的特点是两条底边平行，两条斜边不平行。

6. 三角形如果将一个四边形的一条边延长，使其和另一条边相交，形成一个三角形，则这个四边形是一个三角形。

三、四边形的性质1. 对角线性质一个四边形的两条对角线将这个四边形分成4个三角形。

对角线的性质是互相垂直且互相平分。

2. 内角和性质一个四边形的四个内角的和等于360度。

3. 边的关系平行四边形的相邻两边相等。

长方形的对边相等。

正方形的对边和对角线都相等。

四、解题技巧1. 判断四边形的类型通过观察四边形的边长和角度，可以判断出它的类型。

例如，如果四边形的对边长度相等，则可以判断它是一个长方形。

2. 运用四边形的性质解题在解题过程中，可以利用四边形的性质来推导和解决问题。

例如，利用平行四边形的对边平行性质，可以计算出未知边长。

3. 利用图形画出四边形通过画图，对于一些复杂的题目可以更加清晰地理解和解决。

通过掌握上述四边形的知识点，并灵活运用解题技巧，三年级的学生可以更好地理解和应用这一知识点。

同时，老师和家长也可以根据这些知识点，设计出更有针对性的教学活动和练习题，帮助学生更好地掌握四边形的概念和解题方法。

浙教版八年级(下)数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编(3)(含详解)

浙教版八年级（下）数学期末特殊平行四边形压轴题专项汇编（3）（含详解）1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形ABCD的外角∠DCG的平分线CF于点F．（1）如图2，取AB的中点H，连接HE，求证：AE＝EF．（2）如图3，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变结论“AE＝EF”仍然成立吗？如果正确，写出证明过程：如果不正确，请说明理由．2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．3．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF 是准矩形；（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC=2MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．4．如图，以△ABC的各边为边长，在边BC的同侧分别作正方形ABDI，正方形BCFE，正方形ACHG，连接AD，DE，EG．（1）求证：△BDE≌△BAC；（2）①设∠BAC＝α，请用含α的代数式表示∠EDA，∠DAG；②求证：四边形ADEG是平行四边形；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？请说明理由．5．已知：如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．（1）若点G在点B的右边．试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．6．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．7．已知：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在矩形ABCD 的边AB、BC、DA上．（1）如图1，四边形EFGH 为正方形，AE ＝2，求GC 的长．（2）如图2，四边形EFGH 为菱形，设BF ＝x ，△GFC 的面积为S ，且S 与x 满足函数关系S ＝621x ．在自变量x 的取值范围内，是否存在x ，使菱形EFGH 的面积最大？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由．8．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∠CAB 的平分线分别交BD 、BC 于E 、F ，作BH ⊥AF 于点H ，分别交AC 、CD 于点G 、P ，连接GE 、GF ．（1）求证：△OAE ≌△OBG ．（2）试问：四边形BFGE 是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由．9．已知，如图，O 为正方形对角线的交点，BE 平分∠DBC ，交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使CF ＝CE ，连接DF ，交BE 的延长线于点G ，连接OG ．（1）求证：△BCE ≌△DCF ．（2）判断OG与BF有什么关系，证明你的结论．（3）若DF2＝8﹣42，求正方形ABCD的面积？10．如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请求出线段CM与BN的数量关系．参考答案与解析1．（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB ＝90°，∠2+∠AEB ＝90° ∴∠1＝∠2，∵BH ＝BE ，∠BHE ＝45°，且∠FCG ＝45°， ∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，AH ＝CE ，在△AHE 和△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF AHE CEAH 21， ∴△AHE ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ；（2）解：AE ＝EF 成立，理由如下：如图2，延长BA 到M ，使AM ＝CE ， ∵∠AEF ＝90°， ∴∠FEG +∠AEB ＝90°． ∵∠BAE +∠AEB ＝90°， ∴∠BAE ＝∠FEG ， ∴∠MAE ＝∠CEF ． ∵AB ＝BC ， ∴AB +AM ＝BC +CE ，即BM ＝BE ． ∴∠M ＝45°， ∴∠M ＝∠FCE ．在△AME 与△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ECF M CEAM CEF MAE ， ∴△AME ≌△ECF （ASA ）， ∴AE ＝EF ．2．（1）证明：能．理由如下：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t ， ∴DF ＝2t ，又∵AE ＝2t ， ∴AE ＝DF ，∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ， ∴AE ∥DF ，又∵AE ＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60﹣4t ＝2t ，解得t ＝10．∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形．（2）①当∠DEF ＝90°时，由（1）知四边形AEFD 为平行四边形， ∴EF ∥AD ，∴∠ADE ＝∠DEF ＝90°， ∵∠A ＝60°， ∴∠AED ＝30°， ∴AD=21AE ＝t ，又AD ＝60﹣4t ，即60﹣4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF ＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt △AED 中∠A ＝60°，则∠ADE ＝30°， ∴AD ＝2AE ，即60﹣4t ＝4t ，解得t=215． ③若∠EFD ＝90°，则E 与B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t=215或12秒时，△DEF 为直角三角形．3．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴∠EAF +∠EBC ＝90°， ∵BE ⊥CF ，∴∠EBC +∠BCF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠BCF ， ∴△ABE ≌△BCF ， ∴BE ＝CF ，∴四边形BCEF 是准矩形；（2）解：连接AN 、DN ，过点C 作CE ∥BD ，过点B 作BE ∥DC ，则四边形BECD 为平行四边形，连接DE ，则D 、N 、E 三点共线，过点B 作BF ⊥CE 于F ，过点D 作DG ⊥EC 交EC 延长线于点G ，如图2所示： ∵四边形BECD 为平行四边形， ∴BE ＝DC ，BE ∥DC ，ED ＝2DN ， ∴∠BEF ＝∠DCG ，在△BEF 和△DCG 中，⎪⎩=DC BE ∴△BEF ≌△DCG （AAS ）， ∴BF ＝DG ，EF ＝CG ，在Rt △BFC 中，BC 2＝BF 2+FC 2＝BF 2+（EC ﹣EF ）2，在Rt △DEG 中，DE 2＝DG 2+EG 2＝DG 2+（EC +CG ）2＝BF 2+（EC +EF ）2， ∴BC 2+DE 2＝2BF 2+2EC 2+2EF 2＝2（BF 2+EF 2）+2EC 2＝2BE 2+2EC 2＝2BD 2+2CD 2， ∴BC 2+4DN 2＝2BD 2+2CD 2，∴DN 2=41（2BD 2+2CD 2﹣BC 2）同理：AN 2=41（2AB 2+2AC 2﹣BC 2），MN 2=41(2AN 2+2DN 2﹣AD 2)=41(BD 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2)=41（AC 2+CD 221-BC 2+AB 2+AC 221-BC 2﹣AD 2）21=AC 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），∵AC 2=MN ，∴MN 221=AC 2， ∴MN 2＝MN 2+41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2），即：41（AB 2+CD 2﹣BC 2﹣AD 2）＝0，∴AB 2+CD 2＝BC 2+AD 2．4．（1）证明：∵四边形ABDI 、四边形BCFE 、四边形ACHG 都是正方形， ∴AC ＝AG ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠GAC ＝∠EBC ＝∠DBA ＝90°． ∴∠ABC ＝∠EBD （同为∠EBA 的余角）．在△BDE 和△BAC 中，⎪BE⎩=BC∴△BDE≌△BAC（SAS），（2）①解：∵△BDE≌△BAC，∠ADB＝45°，∴∠EDA＝α﹣45°，∵∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣α＝225°﹣α，②证明：∵△BDE≌△BAC，∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（3）解：结论：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．理由：由①知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，=AB．∴AD2又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，=AB．∴AC2=AB时，四边形ADEG是正方形．∴当∠BAC＝135°且AC25．解：（1）EH﹣BG的值是定值，∵EH⊥AB，∴∠GHE＝90°，∴∠GEH+∠EGH＝90°，又∠AGD+∠EGH＝90°，∴∠GEH＝∠AGD，∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，∴∠DAG＝90°，DG＝GE，∴∠DAG＝∠GHE，在△DAG和△GHE中，⎪DG⎩=GE∴△DAG≌△GHE（AAS）；∴AG＝EH，又AG＝AB+BG，AB＝4，∴EH＝AB+BG，∴EH﹣BG＝AB＝4；（2）（I）当点G在点B的左侧时，如图1，同（1）可证得：△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴BH＝AG＝EH，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（II）如图2，当点G在点B的右侧时，由△DAG≌△GHE．∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴AG＝BH，又EH＝AG，∴EH＝HB，又∠GHE＝90°，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°；（III）当点G与点B重合时，如图3，同理△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB，∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45°综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°．6．解：（1）∵MN∥BC，∴∠3＝∠2，又∵CF平分∠GCO，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴FO＝CO，同理：EO＝CO，∴EO＝FO．（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF 是平行四边形，由（1）可知，FO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝EO ＝FO ，∴AO +CO ＝EO +FO ，即AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形．（3）当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．∵由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，∵MN ∥BC ，∴∠AOE ＝∠ACB∵∠ACB ＝90°，∴∠AOE ＝90°，∴AC ⊥EF ，∴四边形AECF 是正方形．7．解：（1）如图1，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ．由矩形ABCD 可知：∠A ＝∠B ＝90°，由正方形EFGH 可知：∠HEF ＝90°，EH ＝EF ，∴∠1+∠2＝90°，又∠1+∠3＝90°，∴∠3＝∠2，∴△AEH ≌△BFE ．∴BF ＝AE ＝2，同理可证：△MGF ≌△BFE ，∴GM ＝BF ＝2，FM ＝BE ＝8﹣2＝6，∴CM ＝BC ﹣BF ﹣FM ＝12﹣2﹣6＝4，在Rt △CMG 中，由勾股定理得：CG=524222=+；（2）如图2，过点G 作GM ⊥BC ，垂足为M ，连接HF ，由矩形ABCD 得：AD ∥BC ，∴∠AHF ＝∠HFM ，由菱形EFGH 得：EH ∥FG ，EH ＝FG ，∴∠EHF ＝∠HFM ，∴∠AHE ＝∠GFM ，又∠A ＝∠M ＝90°，EH ＝FG ，∴△MGF ≌△AEH ，∴GM ＝AE ，又 BF ＝x ，∴S △GFC 21=FC•GM 21=（12﹣x ）•GM ＝621-x ， ∴GM ＝1，∴AE ＝GM ＝1，BE ＝8﹣1＝7，∵H 在边AD 上，∴菱形边长EH 的最大值14511222=+=，即EH ＝EF 145=，此时BF ＝x ()6496181452==--=， ∴0≤x ≤64，∵EH ＝EF ，由勾股定理得：AH 2222248171x x EH +=-+=-=，∴S 菱形EFGH ＝BM •AB ﹣2⨯⨯217x ﹣2248121x +⨯⨯⨯=8（x +FM ）﹣7x ﹣FM ＝x +7248x +， ∴当x 最大时，菱形EFGH 的面积最大，即当x ＝64时，菱形EFGH 的面积最大．8．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOG ＝90°．∵BH ⊥AF ，∴∠AHG ＝∠AHB ＝90°，∴∠GAH +∠AGH ＝90°＝∠OBG +∠AGH ，∴∠GAH ＝∠OBG ，即∠OAE ＝∠OBG ．在△OAE 与△OBG 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BOG AOE OBOA OBG OAE ， ∴△OAE ≌△OBG （ASA ）；（2）解：四边形BFGE 为菱形；理由如下：在△AHG 与△AHB 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠AHB AHG AHAH BAH GAH ， ∴△AHG ≌△AHB （ASA ），∴GH ＝BH ，∴AF 是线段BG 的垂直平分线，∴EG ＝EB ，FG ＝FB ．∵∠BEF ＝∠BAE +∠ABE ＝67.5°，∠BFE ＝90°﹣∠BAF ＝67.5°， ∴∠BEF ＝∠BFE ，∴EB ＝FB ，∴EG ＝EB ＝FB ＝FG ，∴四边形BFGE 是菱形；9．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°，在△BCE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CF CE DCF BCE DC BC ，∴△BCE ≌△DCF （SAS ）；（2）OG ∥BF 且OG=21BF ，理由：如图，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠CDB ＝∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠2＝∠3=21∠CBD ＝22.5°，由（1）知，△BCE ≌△DCF ，∴∠CDF ＝∠3＝22.5°，∴∠BDF ＝∠CDB +∠CDF ＝67.5°，∴∠F ＝180°﹣∠CBD ﹣∠BDF ＝67.5°＝∠BDF ，∴BD ＝BF ，而BE 是∠CBD 的平分线，∴DG ＝GF ，∵O 为正方形ABCD 的中心，∴DO ＝OB ，∴OG 是△DBF 的中位线，∴OG ∥BF 且OG=21BF ；（3）设BC ＝x ，则DC ＝x ，BD=2x ，由（2）知△BGD ≌△BGF ， ∴BF ＝BD ，∴CF ＝（2-1）x ，∵DF 2＝DC 2+CF 2，∴x 2+[（2-1）x ]2＝8﹣42，解得x 2＝2，∴正方形ABCD 的面积是2．10．解：（1）AG ＝EC ，AG ⊥EC ，理由为：∵正方形BEFG ，正方形ABCD ，∴GB ＝BE ，∠ABG ＝90°，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，在△ABG 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BC BA EBC ABC BE BG ，∴△ABG ≌△BEC （SAS ），∴CE ＝AG ，∠BCE ＝∠BAG ，延长CE 交AG 于点M ，∴∠BEC ＝∠AEM ，∴∠ABC ＝∠AME ＝90°，∴AG ＝EC ，AG ⊥EC ；（2）∠EMB 的度数不发生变化，∠EMB 的度数为45°理由为：过B 作BP ⊥EC ，BH ⊥AM ，在△ABG 和△CEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=EB BG EBC ABG BC AB ，∴△ABG ≌△CEB （SAS ），∴S △ABG ＝S △EBC ，AG ＝EC ，∴21EC •BP=21AG •BH ， ∴BP ＝BH ，∴MB 为∠EMG 的平分线，∵∠AMC ＝∠ABC ＝90°，∴∠EMB=21∠EMG=21×90°＝45°；（3）CM=2BN ，理由为：在NA 上截取NQ ＝NB ，连接BQ ， ∴△BNQ 为等腰直角三角形，即BQ=2BN ，∵∠AMN ＝45°，∠N ＝90°，∴△AMN 为等腰直角三角形，即AN ＝MN ，∴MN ﹣BN ＝AN ﹣NQ ，即AQ ＝BM ，∵∠MBC +∠ABN ＝90°，∠BAN +∠ABN ＝90°，∴∠MBC ＝∠BAN ，在△ABQ 和△BCM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BCAB MBC BAN BMAQ ，∴△ABQ ≌△BCM （SAS ），∴CM ＝BQ ，则CM=2BN ．故答案为：CM=2BN。

期末难点特训(三)与平行四边形有关的压轴题-【微专题】八年级数学下册常考点微专题提分精练

八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题1. （1）问题背景：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，BE ＝DF ，M 为AF 的中点，求证：①∠BAE ＝∠DAF ；②AE ＝2DM ．（2）变式关联：如图2，点E 在正方形ABCD 内，点F 在直线BC 的上方，BE ＝DF ，BE ⊥DF ，M 为AF 的中点，求证：①CE ⊥CF ；②AE ＝2DM ．（3）拓展应用：如图3，正方形ABCD 的边长为2，E 在线段BC 上，F 在线段BD 上，BE ＝DF ，直接写出()2AE AF +的最小值．2. 已知：正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，连接CE ，作EF CE ⊥交AB 于点F ．（1）如图（1），求证：CE EF =；（2）如图（2），作EM BD ⊥交AD 于点M ，连接BM ，求证：BM =；（3）如图（3），延长CE 交DA 于点N ，若BE =6AN =，则CE =_________．3. 已知，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，6AB =，E 、F 分别为AD 、CD 上一点．（1）如图1，若60EBF ∠=︒，求证：AE DF =；（2）如图2，E 为AD 中点，1DF =，线段EG 交BC 于G ，FH 交AB 于H ，60EOF ∠=︒，若BH x =，CG y =．①求y 与x 之间的函数关系式；②若6x y +=，则HF =______．4. （1）问题背景：如图1，E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，过点C 作CB CD ⊥交AB 的延长线于F 求证：CE CF =；（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB 、EF 交于M ，请探究DM 、BM 与BF 之间的数量关系，并证明你的结论．（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB 和CE 交于点N ，连接CM 并延长交AB 于点P ，已知DE =，15DME ∠=︒，直接写出PB 的长________．5. 正方形ABCD 的边长为4．（1）如图1，点E 在AB 上，连接DE ，作AF D E ⊥于点F ，CG DE ⊥于点G ．①求证：DF CG =；②如图2，对角线AC ，BD 交于点O ，连接OF ，若3AE =，求OF 的长；（2）如图3，点K 在CB 的延长线上，2BK =，点N 在BC 的延长线上，4CN =，点P 在BC 上，连接AP ，在AP 的右侧作PQ AP ⊥，PQ AP =，连接KQ ．点P 从点B 沿BN 方向运动，当点P 运动到BC 中点时，设KQ 的中点为1M ，当点P 运动到N 点时，设KQ 的中点为2M ，直接写出12M M 的长为________．6. 如图，已知四边形ABCD ，∠A ＝∠C ＝90°，BD 是四边形ABCD 的对角线，O 是BD 的中点，BF 是∠ABE 的角平分线交AD 于点F ，DE 是∠ADC 的角平分线交BC 于点E ，连接FO 并延长交DE 于点G ．（1）求∠ABC +∠ADC 的度数；（2）求证：FO ＝OG ；（3）当BC ＝CD ，∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°时，求证：DM ＝2AB7. 如图，已知在ABC 和ADE 中，AB AC =．（1）如图1，若90BAC ∠=︒，=90DAE ∠︒，AD AE =，4AC =，3CE =，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，若60BAC DAB ∠=∠=︒，AD AB =，E 、F 分别为BC AB 、边上的动点，CF 与AE 相交于点M ，BCF CAE ≌，连接DM ，点N 是DM 的中点，证明：2AM CM AN +=；（3）在（2）的条件下，G 是AC 的中点，1AC =，连接GE ，H 是ABC 所在平面内一点，连接HE HG 、，HGE 和CGE 关于直线GE 成轴对称图形，连接HD ，求HD 的最小值．8. 在□ABCD 中，对角线AC AB =，且AC AB ⊥，E 为CD 边上一动点，连接BE 交AC 于点F ，M 为线段BE 上一动点，连接AM ．（1）如图1，若8AB =，2CF =，M 为BF 的中点，求AM 的长；（2）如图2，若M 在线段BF 上，45AME ∠=︒，作CN AM ∥交BE 于点N ，连接AN ，求证：AN AB =；（3）如图3，若M 在线段EF 上，将△ABM 沿着AM 翻折至同一平面内，得到AB M ' ，点B 的对应点为点B '．当30ABE ∠=︒，90BMB '∠=︒时，请直接写出B M EM AM'-的值．9. 在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为BC 、CD 边上的点，连接AC 、AF 、EF ．（1）如图1，EF 与AC 交于点G ，若CE CF =，5AF =，6EF =，求AG 的长；（2）如图2，若60ABC ∠=︒，DAF EFC ∠=∠，求证：BE CF =；（3）如图3，在（2）的条件下，将BEF △沿BF 翻折至同一平面内，得到BE F ' ，连接CE '与BF 交于点O ，记CEF △、CE F ' 、BCF △的面积分别为1S 、2S 、3S ，当O 为BF 中点时，请直接写出3213S S S -的值．10. 在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ．（1）如图1，点F 为DE 的中点，连接AF ，若BE AE =，求FAD ∠的度数；（2）如图2，BEM △是等边三角形，连接DM ，H 为DM 的中点，连接AH ，猜想线段AH 与AE 之间的数量关系，并证明．（3）在（2）的条件下，N 为AD 的中点，连接AM ，以AM 为边作等边 AMP ，连接PN ，若AD =PN 的最小值．11. 问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相交于点G ，,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==，求DE 的长．12. 矩形ABCD 中，将矩形沿AE 、AG 翻折，点B 的对应点为点F ，点D 的对应点为点Q ，A 、F 、Q 三点在同一直线上．（1）如图1，求EAG ∠的度数；（2）如图2，当AB BC =时，连接BD ，交AE 、AG 于点M 、N ，若3BM =，4DN =，求MN 的长度；（3）如图3，当8AB =，9AD =时，连接EG ，45GEC ∠=︒，求BE 的长．13. 如图，正方形ABCD 中，6AB =，点E 在CD 边上运动（不与点C 、D 重合）．过点B 作AE 的平行线交DC 的延长线于点F ，过点D 作AE 的垂线DN 分别交于AE ，BF 于点M 、N ．（1）求证：四边形ABFE 是平行四边形；（2）若13DE DC =，求线段MN 的长；（3）点E 在CD 边上运动过程中，CND ∠的大小是否改变？若不变，求出该值，若改变请说明理由．14. （1）如图1，在正方形ABCD 中，AE ，DF 相交于点O 且AE ⊥DF ．则AE 和DF 的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是边AD ，BC ，CD 上的点，BG ⊥EF ，垂足为H ．求证：EF ＝BG ．（3）如图3，在正方形ABCD中，E，F，M分别是边AD，BC，AB上的点，AE ＝2，BF＝4，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度．15. 已知：在边长为6的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一点，且BP ．将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与直线BC交于点E，另一条直角边与射线BA交于点F（点F不与点B重合），将三角板绕点P旋转．（1）如图，当点E、F在线段BC、AB上时，求证：PE＝PF；（2）当∠FPB＝60°时，求△BEP的面积；（3）当△BEP为等腰三角形时，直接写出线段BF的长．16. 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D 不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．=-．（1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：CF BC CD（2）如图②和③，当点D在线段BC的延长线上或反向延长线上时，其它条件不变，请判断CF、BC、CD三条线段之间的关系，并证明之；（3）如图③，若连接正方形ADEF对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．17. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB 于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连结BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连结BP，作∠BPQ=60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．18. 在菱形ABCD中，∠BAD=60°．（1）如图1，点E为线段AB的中点，连接DE，CE，若AB=4，求线段EC的长；（2）如图2，M为线段AC上一点（M不与A，C重合），以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC 的中点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ．八下期末难点特训（三）与平行四边形有关的压轴题【1题答案】【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析；（3）8【解析】【分析】（1）问题情景：①证明△ABE≌△ADF(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠DAF；②由全等三角形的性质得出AE=AF，由直角三角形的性质可得出结论；（2）变式关联：①延长BE交DF于G，BG交CD于H，证明△CBE≌△CDF （SAS），由全等三角形的性质得出∠BCE=∠DCF，则可得出结论；②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，证明△AMN≌△FMD(SAS)，由全等三角形的性质得出AN=DF，证明△ABE≌△DAN(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=DN=2DM；（3）拓展应用：过点D作DP⊥DF，且使PD=AB，连接PF，PA，过点P作PQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，证明△ABE≌△PDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=PF，AF+AE=AF+PF≥AP，即当A，F，P三点共线时，AE+AF的最小值为AP，求出2AP则可得出答案．【详解】解：（1）问题情景：①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=90°，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠BAE=∠DAF；②证明：∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∵M为AF的中点，AF，∴DM=12∴AE=AF=2DM；（2）变式关联：①证明：延长BE交DF于G，BG交CD于H，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，CD=CB，∵BE⊥DF，∴∠BGD=∠BCD=90°，∵∠BHD=∠CBE+∠BCD，∠BHD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE+∠BCD=∠BGD+∠CDF，∴∠CBE=∠CDF，又∵BE=DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)，∴∠BCE=∠DCF，∵∠BCD=90°，∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=∠ECD+∠BCE=90°，∴CE⊥CF；②延长DM到N，使DM=MN，连接AN，∵M为AF的中点，∴AM=MF，∵MD=MN，∠AMN=∠FMD，∴△AMN≌△FMD(SAS)，∴AN=DF，∵△CBE ≌△CDF ，∴BE =DF =AN ，∠NAM =∠DFM ，∴AN ∥DF ，∴∠DAN +∠ADF =180°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD =90°，AB =DA ，∵∠BGD =90°，∴∠ABE +∠ADF =180°，∴∠ABE =∠DAN ，∴△ABE ≌△DAN (SAS)，∴AE =DN =2DM ；（3）拓展应用：过点D 作DP ⊥DF ，且使PD =AB ，连接PF ，PA ，过点P 作PQ ⊥AD ，交AD 的延长线于点Q ，∴△ABE ≌△PDF (SAS)，∴AE =PF ，∵∠ADB =45°，∴∠PDQ =45°，DQ =PQ ，∴AF +AE =AF +PF ≥AP ，即当A ，F ，P 三点共线时，AE +AF 的最小值为AP ，∵AD =AB =DP =2，∴PQ =DQ ，∴(2222228AP AQ QP =+=++=+∴()2AE AF +的最小值为．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【2题答案】【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）过点E 作EH ⊥BC 于H ，EG ⊥AB 于G ，由“ASA ”可证△ECH =△EFG ，可得CE =EF ；（2）过点E 作EH ⊥BC 于H ，交AD 于Q ，EG ⊥AB 于G ，交CD 于P ，由正方形的性质和矩形的性质可证△CEF 是等腰直角三角形，从而得到CF =，再证得四边形AGPD 是矩形，四边形DQHC 是矩形，四边形DQEP 是矩形，从而得到DQ =QM =GF =AG ，由“SAS ”可证△ABM ≌△BCF ，可得BM =CF ，可得结论；（3）过点E 作GE ⊥AB 于点G ，EQ ⊥AD 于点Q ，可得△EGB 是等腰直角三角形，进而得到BG =EG =7，再根据四边形AGEQ 是矩形，可得AQ =EG =7，从而得到QN =1，再由勾股定理列出方程可求EF 的长．【小问1详解】证明：如图，过点E 作EH ⊥BC 于H ，EG ⊥AB 于G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABD =∠CBD =45°，∵EG ⊥AB ，EH ⊥BC ，∠ABC =90°，∴四边形FGBH 是正方形，∴GE=EH，∠GEH=90°，∴∠CEF=∠GEH=90°，∴∠CEH=∠GEF=90°-∠HEF，在△ECH和△EFG中，∵∠CEH=∠GEF，EH=EG，∠EHC=∠EGF=90°，∴△ECH≌△EFG（ASA），∴CE=EF；【小问2详解】证明：如图，过点E作EH⊥BC于H，交AD于Q，EG⊥AB于G，交CD于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，CD∥AB，∴PG⊥CD，QH⊥AD，∵CE=EF，CE⊥EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF ，∵PG⊥AB，QH⊥AD，∴∠A=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∴四边形AGPD是矩形，四边形DQHC是矩形，四边形DQEP是矩形，∴DQ=CH，DP=AG，∵∠ADB=∠CDB=45°，EQ⊥AD，EP⊥CD，∴EP=EQ，∴四边形DPEQ是正方形，∴DQ=DP=PE=QE=CH=AG，∵△ECH≌△EFG，∴GF=CH=DQ，∵ME⊥BD，∠ADB=45°，∴△DEM是等腰直角三角形，∵EQ⊥AD，∴DQ=QM，∴DQ=QM=GF=AG，∴DM=AF，∵AD=AB，∴AM=BF，又∵AB=BC，∠A=∠CBF=90°，∴△ABM≌△BCF（SAS），∴BM=CF，∴BM=；【小问3详解】解：如图，过点E作GE⊥AB于点G，EQ⊥AD于点Q，由（2）得：AG=GF=QE，∵EG⊥AB，∠ABD=45°，∴△EGB是等腰直角三角形，∵BE=，∴BG=EG=7，∵EQ⊥AD，EG⊥AB，∠A=90°，∴四边形AGEQ是矩形，∴AQ=EG=7，∵AN =6，∴QN =1，∵22222NF EN EF AN AF =+=+，222EN QE QN =+，222EF EG GF =+，∴222364149GF GF GF +=+++，∴27GF =，∴249756EF =+=，∴EF CE ==．故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【3题答案】【答案】（1）证明见解析（2）①4y x =+；②【解析】【分析】（1）连接DB ，由菱形的性质得出∠ABD =∠BDC =60°，60,A C ∠=∠=︒证出△ABD 为等边三角形， AB =BD ，证明△ABE ≌△DBF （ASA ），由全等三角形的性质可得出结论；（2）①过点B 作,BM EG BN HF ∥∥交EG 于点I ，证明四边形BMEG 为平行四边形，由平行四边形的性质得出BG =EM =6-y ，得出AM =y -3，同理DN =1+x ，由（1）得AM =DN ，得出y -3=x +1，则可得出答案； ②过点D 作DM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于点N ，由题意求出x =1，y =5，得出BH =1，CG =5，由直角三角形的性质求出AM =3，由勾股定理求出答案即可．【小问1详解】证明：如图1，连接DB ，∵四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，∴∠ABD =∠BDC =60°，,,AB CD AD BC ∥∥60,A C ∴∠=∠=︒∴△ABD 为等边三角形，∴AB =BD ，∵∠EBF =60°，∴∠ABE =∠DBF ，在△ABE 和△DBF 中， ,ABE DBF AB BD A BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△DBF （ASA ），∴AE =DF ；【小问2详解】解：①如图2，过点B 作,BM EG BN HF ∥∥交EG 于点I ，∵,AD BC BM EG ∥∥，∴四边形BMEG 为平行四边形，而6,,,AB BC CD AD CG y BH x ====== ∴BG =EM =6-y ，∵E 是AD的中点，∴3,AE DE ==∴AM =y -3，同理DN =1+x ，∵BN HF ∥，∴∠EOF =∠EIN =60°，∵BM EG ∥，∴∠MBN =∠EIN =60°，由（1）得，AM =DN ，∴y -3=x +1，∴y =x +4；②如图3，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于点N ，由①知y =x +4，又∵x +y =6，∴x =1，y =5，∴BH =1，CG =5，∵DM ⊥AB ，AB CD ∥，∴DM ⊥CD ，∴四边形MDFN 为矩形，∴DM =NF ，DF =MN =1，∵∠A =60°，AD =6，∴AM =12AD =3，∴DM ==，∵AB =6，∴NH =AB -AM -MN -BH =6-3-1-1=1，∴HF ===，故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．【4题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）DM＝BMBF；（3【解析】【分析】（1）由“ASA”可证△CDE≌△CBF，可得CE＝CF；（2）由“AAS”可证△DME≌△HMF，可得DM＝MH，可得结论；（3）由直角三角形的性质可得AFAE，可求AB的长，由勾股定理可求PF的长，即可求解．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠CBF＝180°−∠ABC＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∴∠DCB＝∠ECF＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，在△CDE和△CBF中，D CBF DC BCDCE BCF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝∴△CDE≌△CBF（ASA），∴CE＝CF；（2）DM＝BMBF，理由如下：如图，过点F作FH⊥AF，交DB的延长线于H，∵△CDE≌△CBF，∴DE＝BF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠FBH＝45°，∵FH⊥AB，∴∠FBH＝∠H＝45°，∴BF＝FH＝DE，∴BH BF，∵∠EDM＝∠H＝45°，∠EMD＝∠HMF，DE＝FH，∴△DME≌△HMF（AAS），∴DM＝MH，EM＝MF，∴DM＝MB＋BH＝MB BF；（3）连接EP，∵∠DME＝15°，∠ABD＝45°，∴∠AFE＝30°，∴AF，∴AB＋BF AB−DE），∴AB ＋=-+，∴AB ＝，∴AE ＝，AF ＝，∵EC ＝CF ，∠ECF ＝90°，EM ＝MF ，∴CP 是EF 的垂直平分线，∴EP ＝PF ，∵PE 2＝AE 2＋AP 2，∴PF 2＝24＋（−PF ）2，∴PF ＝，∴PB +，【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．【5题答案】【答案】（1）①见解析；（2）【解析】【分析】（1）①证明△ADF ≌△DCG ，即可求证；②连接OG ，由①得：△ADF ≌△DCG ，可得AF =DG ，可证得△AOF ≌△DOG ，从而得到OG =OF ，∠DOG =∠AOF ，进而得到△FOG 为等腰直角三角形，可得到OF FG =，再由1122ADE S AE AD AF DE =⨯=⨯ ，求出125DG AF ==，从而得到165DF =，进而得到FG = 45，即可求解；（2）取CK 的中点Y ，连接MY ，CQ ，可得12YM CQ =，从而得到点M 的运动轨迹为线段YM ，然后分别计算出当点P 运动到BC 中点时，当点P 运动到N 点时，YM 1，YM 2的长，即可求解．【小问1详解】①证明：在正方形ABCD 中，AD =CD ，∠DAB =∠ADC =90°，∴∠ADF +∠CDG =90°，∵AF D E ⊥，CG DE ⊥，∴∠AFD =∠CGD =90°，∴∠ADF +∠DAF =90°，∴∠DAF =∠CDG ，∴△ADF ≌△DCG ，∴DF =CG ；②解：如图，连接OG ，在正方形ABCD 中，OA =OD ，∠BAO =∠ADO =45°，∠AOD =∠BAD =90°，∴∠DAF +∠EAF =90°，∠EAF +∠OAF =∠ODG +∠ADF =45°，由①得：△ADF ≌△DCG ，∴AF =DG ，∵AF ⊥DE ，∴∠AFD =90°，∴∠ADF +∠DAF =90°，∴∠ADF =∠EAF ，∴∠OAF =∠ODG ，在△AOF 和△DOG 中，∵AF =DG ，∠OAF =∠ODG ，OA =OD ，∴△AOF ≌△DOG ，∴OG=OF，∠DOG=∠AOF，∴∠FOG=∠AOF+∠AOG=∠DOG+∠AOG=∠AOD=90°，∴△FOG为等腰直角三角形，∴FG==，∴OF FG=，在Rt AED△中，AD=4，AE=3，∠DAE=90°，∴5DE=，∵AF⊥DE，∴1122ADES AE AD AF DE=⨯=⨯，∴125 DG AF==，∴165 DF=，∴FG=DF-DG=45，∴OF==；【小问2详解】解：如图，取CK的中点Y，连接MY，CQ，∵点M为KQ的中点，∴12YM CQ=，YM∥CQ，∴点M的运动轨迹为线段YM，如图，当点P运动到BC中点，即BP=CP=2时，过点Q作QJ⊥CN于点J，在正方形ABCD中，∠ABC=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，∵AP⊥PQ，∴∠APQ=90°，∴∠APB+∠QPJ=90°，∴∠BAP=∠QPJ，∵∠PJQ=∠ABP=90°，AP=PQ，∴△ABP≌△PJQ，∴QJ=BP=2，PJ=AB=4，∴CJ=2，∴CQ==YM=∴1如图，当点P运动到N点，即BP=BC+CN=8时，过点Q作QL⊥CN交CN延长线于点L，同理：△ABP≌△PLQ，∴QL=BP=8，PL=AB=4，∴CL=8，∴CQ ==，∴2YM =，∴12M M 的长为21YM YM -==．故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识是解题的关键．【6题答案】【答案】（1）180°（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）在四边形ABCD 中，内角和为360°，因为∠A ＝∠C ＝90°，所以∠ABC +∠ADC ＝180°；（2）由（1）可知，∠ABF +∠CBF +∠ADE +∠CDE ＝180°，根据BF 、DE 分别是∠ABE 、∠ADC 的角平分线，得到∠ABF +∠ADE ＝90°，由∠ABF +∠AFB ＝90°，得∠ADE ＝∠AFB ，求出BF ∥ED ，所以∠BFG ＝∠FGD ，得证BFO ∆≌DOG ∆，由此得出结论；（3）证法一：过D 点作CD 的垂线，延长BA 相交于点N ，过B 点作BK 垂直DN ，易证BCD BKD ∆≅∆，所以BK ＝CD ，可证∆≅∆BAD NAD ，所以2=NB AB ，由22.5∠=∠=∠=︒ABK KDA MDC ，可证∆≅∆BKN MCD ，所以2==MD BN AB ；证法二：延长DM ，延长DC ，过B 点作MD 的垂线，垂足为N ，交DC 的延长线于点L ，可得∆≅∆BAD BND ，所以=AB NB ，再由∆≅∆LND BND 得=NB NL ，所以2=BL AB ，易证LBC MDC ∠=∠，则∆≅∆LCB MCD ，所以2==BL MD AB ．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 的内角和为360°，∠A ＝∠C ＝90°，∴∠ABC +∠ADC ＝180°．【小问2详解】证明：由（1）可知，∠ABF +∠CBF+∠ADE +∠CDE ＝180°，∵BF 、DE 分别是∠ABE 、∠ADC 的角平分线∴∠ABF ＝∠CBF ；∠ADE ＝∠CDE ，∴2∠ABF +2∠ADE ＝180°，∴∠ABF +∠ADE ＝90°，又∵∠ABF +∠AFB ＝90°，∴∠ADE ＝∠AFB ，∴BF ∥ED ，∴∠BFG ＝∠FGD ．在BFO ∆和DOG ∆中BFO DGO BO ODBOF DOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆≅∆BFO DOG ，∴OF OG =；【小问3详解】证法一：过D 点作CD 的垂线，延长BA 相交于点N ，过B 点作BK 垂直DN，∴四边形BCDK 是矩形，∵BC=CD ，∴四边形BCDK 是正方形，∴BCD BKD ∆≅∆，∴BK ＝CD ，∵∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°，∠BDK ＝45°，∴∠ADN ＝22.5°=∠BDA ，在△BAD 和△NAD 中ADB ADN AD AD BAD NAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆BAD NAD （ASA ）∴2=NB AB ，∵22.5∠=∠=∠=︒ABK KDA MDC ，在△BKN 和△MCD 中22.5ABK MDC BK CD BKN MCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆≅∆BKN MCD （ASA ）∴2==MD BN AB ；解法二：延长DM ，延长DC ，过B 点作MD 的垂线，垂足为N ，交DC 的延长线于点L ．∵BC=CD ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝45°，∵∠BDA ＝∠MDC ＝22.5°，∴∠BDM ＝22.5°，在△BAD 和△BND 中ADB BDN BD BDBAD BND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，BAD BND ∴∆≅∆（ASA ），AB NB ∴=，在△LND 和△BND 中90BND LDN ND ND BDN LDN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，LND BND ∴∆≅∆（ASA ），NB NL ∴=，2BL AB ∴=，∴LBC MDC ∠=∠，在△LCB 和△MCD 中BCL BCD BC CD LBC MDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，LCB MCD ∴∆≅∆（ASA ），2BL MD AB ∴==．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，第（2）问作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【7题答案】【答案】（1（2）证明见解析（312-【解析】【分析】（1）先证明45ABC ACB ∠=∠=︒，BAD CAE ∠=∠，再证明BAD CAE ≌，得到45ABD ACE ∠=∠=︒，3BD CE ==，则90CBD ∠=︒，求出BC =CD =；（2）如图所示，延长DA 到Q 使得AD AQ =，延长ME 到H 使得MH MC =，连接QM QC CH ，，，先求出60CAQ ∠=︒，再由已知条件得到AD AB AC AQ ===，即可证明ABC ACQ △，△都是等边三角形，得到60ACB ACQ CQ AC ==︒=∠∠，，由全等三角形的性质得到CAE BCF ∠=∠，即可证明60CMH ∠=︒，推出MCH △是等边三角形，则60CM HM CH MCH ===︒，∠，证明QCM ACH △≌△得到QM AH =，再证明AN 是DMQ △的中位线，得到2QM AN =，即可证明2AM CM AN +=；（3）如图所示，连接AH CH ，，DH DG ，，根据轴对称的性质得到CG HG =，则12AG CG HG ===，由三角形三边的关系得到HD DG HG ≤-，则当D G H 、、三点共线时，HD 最小，最小值为12DG -，过点G 作GT AD ⊥交DA延长线于T ，求出14AT =，TG =54DT =，即可求出DG =，则12HD =-最小值．【小问1详解】解：如图所示，连接BD ，∵90BAC ∠=︒，=90DAE ∠︒，AB AC =，∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，45ABC ACB ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，又∵AD AE =，∴()SAS BAD CAE ≌△△，∴45ABD ACE ∠=∠=︒，3BD CE ==，∴90CBD ∠=︒，∵4AC =，∴BC ==，∴CD ==【小问2详解】证明：如图所示，延长DA 到Q 使得AD AQ =，延长ME 到H 使得MH MC =，连接QM QC CH ，，，∵60BAC DAB ∠=∠=︒，∴60CAQ ∠=︒，∵AD AB =，AB AC =，∴AD AB AC AQ ===，∴ABC ACQ △，△都是等边三角形，∴60ACB ACQ CQ AC ==︒=∠∠，，∵BCF CAE ≌，∴CAE BCF ∠=∠，∴60CMH CAE ACM BCF ACM ACB =+=+==︒∠∠∠∠∠∠，∴MCH △是等边三角形，∴60CM HM CH MCH ===︒，∠，∴MCH ACM ACQ ACM +=+∠∠∠∠，即QCM ACH =∠∠，∴()SAS QCM ACH △≌△，∴QM AH =，∵N 是DM 的中点，AD AQ =，∴AN 是DMQ △的中位线，∴2QM AN =，∴2AH AN =，即2AM MH AN +=，∴2AM CM AN +=；【小问3详解】解：如图所示，连接AH CH ，，DH DG ，，∵HGE 和CGE 关于直线GE 成轴对称图形，∴CG HG =，∵G 是AC 的中点，∴1122AG CG HG AC ====，∴HD DG HG ≤-，∴当D G H 、、三点共线时，HD 最小，最小值为12DG HG DG -=-，过点G 作GT AD ⊥交DA 延长线于T ，∵60BAC DAB ∠=∠=︒，∴60GAT =︒∠，∴30AGT =︒∠，∴1124AT AG ==，∴TG ==，54DT AD AT =+=，∴DG ==，∴12HD =-最小值．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称图形的性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．【8题答案】【答案】（1）5；（2）证明过程见解析；（3）'B M EM AM-=．【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出AF 的长度，再用勾股定理求出BF 的长度，最后根据直角三角形斜边中线定理求出AM 的长度即可；（2）过点A 作AG ⊥AM ，交BE 于点G ，连接CG ，先证出△ABM 和△ACG 全等，再证出BG ⊥CG ，再证出△ACG 和△ANG 全等，得到AC =AN ，即可得到结论；（3）根据已知条件使用勾股定理、等腰直角三角形的性质和直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，用含有字母的代数式表示出NF 、AN 、MN 、AB 、AM 的长度，然后表示出BM 、EM 的长度，最后求出答案即可．【小问1详解】∵8AC AB ==，2CF =，∴826AF AC CF =-=-=，∵AC AB ⊥，∴在Rt ABF 中由勾股定理得：10BF ===，∵M 为BF 的中点，∴1110522AM BF ==⨯=．【小问2详解】作AG AM ⊥交BE 于点G ，连接CG ，∵AC AB ⊥，AG AM ⊥，∴1+3=90∠∠︒，2390∠+∠=︒，∴12∠=∠．∵45AME ∠=︒，∴AMG 为等腰直角三角形，∴AM AG =．在ABM 和ACG 中，∵12AB AC AM AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABM ≌ACG （SAS ），∴45∠=∠．∵67∠=∠，∴90CGF BAF ∠=∠=︒，∵//CN AM ，∴845AME ∠=∠=︒，∴CNG △为等腰直角三角形，∴GN CG =，∵45AGM ∠=︒，∴9135∠=︒，∴3609135AGC CGN ∠=︒-∠-∠=︒．在ACG 和ANG 中，∵9AG AG AGC CG NG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACG ≌ANG （SAS ），∴AC AN =，∴AN AB =．【小问3详解】'B M EM AM-=．解析：作AN BE ⊥于点N ，设FN a =，∵130∠=︒，90BMB '∠=︒，∴根据折叠知2690245∠=∠=︒÷=︒，又AN ⊥BE ，∴5360∠=∠=︒，430∠=︒，∴22AF FN a ==，在Rt △AFN 中根据勾股定理得AN ==，∴AN MN ==，同理AM ==，2AB AN ==，同理3BN a ==，'3B M BM BN NM a ==+=+．∵2222BE BF EF AF FC AC AB =+=+===，∴()26BM EM BM BE BM BM BE a -=--=-=-，∴'B M EM AM -==．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、全等三角形的判定和性质；考查的内容比较多，按照阶梯难度逐级上升，熟练掌握那些定理并能画出辅助线是解决本题的关键．【9题答案】【答案】（1）4（2）证明见解析（3）16【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知AG EF ⊥，EG FG =，可得132FG EF ==，根据勾股定理即可求出AG 的长；（2）在AD 上截取DH DF =，连接FH ，则AH CF =，因为60ABC ∠=︒，所以120AHF ECF ∠=∠=︒，则可证AHF △≌FCE △（ASA ），所以CE HF DF ==，又因为BC =CD ，所以BE CF =；（3）延长CE '交AB 于点I ，连接FI ，则△BOI ≌△FOC ，所以BI =CF ，又因为BI ∥CF ，所以四边形ACFI 是平行形，BFI BFC S S =△△，由BOI FOI S S =△△，''BOE FOE S S =△△，设''BE I FE I S S x ==△△，则32''CFI CE F FE I S S S S S x -=-==△△△，1'''2BCF BEF BIF BE F BE I FE I S S S S S S S x =-=-=+=△△△△△△，代入计算可得321136-=S S S ．【小问1详解】解：∵在菱形ABCD 中，AC 平分BCD ∠，CE CF = ，∴AG EF ⊥，EG FG =．∵6EF =，∴116322FG EF ==⨯=在Rt AFG 中，90AGF ∠=︒，5AF =，∴4AG ===．【小问2详解】证明：在AD 上截取DH DF =，连接FH ．∵在菱形ABCD 中，DA DC =，∴DA DH DC DF -=-，即AH CF =．∵60ABC ∠=︒，∴60D ABC ∠=∠=︒．∴DFH 为等边三角形．∴60DHF ∠=︒．∴180********AHF DHF ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∵//AD BC ，∴180********BCD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒．∴AHF ECF ∠=∠．在AHF △和FCE △中，∵DAF EFC AH FC AHF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AHF △≌FCE △（ASA ）．∴CE HF DF ==．∵BC DC =，∴BC CE DC DF -=-，即BE CF =．【小问3详解】321136-=S S S．解析：延长CE '交AB 于点I ，连接FI ．∵AB ∥CD ，∴∠ABF =∠BFC ，∵点O 是BF 的中点，∴BO =FO ，∵∠BOI =∠FOC ，∴△BOI ≌△FOC ，∴BI =FC ，∴四边形ACFI 是平行形，∴BFI BFC S S =△△，∵BOI FOI S S =△△，''BOE FOE S S =△△，∴''BE I FE I S S x ==△△．∴3BCF CFI S S S ==△△．∴32''CFI CE F FE I S S S S S x -=-==△△△．∵BEF △沿BF 翻折至同一平面内得到BE F ' ，∴'BEF BE F S S =△△，∴1'''2BCF BEF BIF BE F BE I FE I S S S S S S S x=-=-=+=△△△△△△∴32113326S S x S x -==⨯．【点睛】本题考查了菱形，熟练运用菱形的性质，结合三角形的相关知识（等腰三角形、等边三角形、全等三角形等）是解题的关键．【10题答案】【答案】（1）30°；（2）AE＝2AH，证明见解析；（3【解析】【分析】（1）根据菱形的性质以及等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，根据直角三角形斜边上的中线得AF＝DF，即可得∠FAD＝∠ADB＝30°；（2）延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，证明△AMB≌△CEB （SAS），根据全等三角形的性质得AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，可得出∠FAM＝∠ECA，再证△FAM≌△ACE（SAS），可得MF＝AE，根据三角形中位线定理即可得出结论；（3）连接NC、PC、NP，证明△AMB≌△APC（SAS），可得PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，根据等边三角形的性质得CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，则∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN 长度最短，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．【小问1详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝30°，∠BAD＝120°，∵BE＝AE，∴∠ABE＝∠BAE＝30°，∴∠EAD＝∠BAD−∠BAE＝90°，∵点F为DE的中点，DE，∴AF＝DF＝12∴∠FAD＝∠ADB＝30°；【小问2详解】AE＝2AH，证明：延长DA至F点，使得AF＝DA，连接AM，CE，FM，∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵△BEM是等边三角形，∴∠ABM十∠ABE＝∠ABE＋∠EBC＝60°，MB＝BE，∴∠ABM＝∠EBC，∴△AMB≌△CEB（SAS），∴AM＝CE，∠MAB＝∠ECB，∵AD＝DC，且∠ADC＝∠ABC＝60°，∴△ADC为等边三角形，∴AD＝AC，∵AD＝AF，∴AF＝AC，∵∠FAB＝180°−∠BAD＝60°，∴∠FAB＝∠ACB＝60°，∴∠FAM＝∠FAB−∠MAB＝∠ACB−∠ECB＝∠ECA，∴△FAM≌△ACE（SAS），∴MF＝AE，∵FA＝AD，H为DM的中点，MF，∴AH＝12∴AE＝MF＝2AH；【小问3详解】连接NC、PC、NP，∵△AMP为等边三角形，∴∠MAP＝60°，AM＝AP，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABC为等边三角形，△ADC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝CD，∠ACD＝60°，∴∠MAB＝∠MAP−∠BAP＝∠BAC−∠BAP＝∠PAC，∴△AMB≌△APC（SAS），∴PC＝BM＝BE，∠PCA＝∠BMA＝30°，∵AC＝CD，N为AD的中点，∴CN⊥AD，∠ACN＝∠DCN＝30°，∴∠PCN＝∠PCA＋∠ACN＝60°，在点E运动过程中，当NP⊥PC时，PN长度最短，∵AD＝，∴DN＝12AD，∴NC DN＝3，∵∠PCN＝60°，NP⊥PC，∴∠PNC＝30°，∴PC＝12NC＝32，∴PN PC PN．【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．【11题答案】【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8【解析】【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD 是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合DE AF ⊥和=90DAE ∠︒可知BAF ADG ∠=∠，再利用矩形的边角性质即可证明ABF DAE ≌，即AB AD =，即可求解；（2）由（1）中结论可知AE BF =，再结合已知BH AE =，即可证明ABH DAE △≌△，从而求得AHF △是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，结合菱形的性质，可以得到ABH DAE ∆∆≌，再结合已知60AED ∠=︒可得等边AHF ∆，最后利用线段BF 长度即可求解．【详解】解：问题解决：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，90ABC DAB ∴∠=∠=︒．90BAF GAD ∴∠+∠=︒．,90DE AF ADG GAD ⊥∴∠+∠= ．BAF ADG ∴∠=∠．又,,AF DE ABF DAE AB AD =∴∴= ≌．∴矩形ABCD 是正方形．（2）AHF △是等腰三角形．理由如下：,90,AB AD ABH DAE BH AE =∠=∠=︒= ，,ABH DAE AH DE ∴∴= ≌．又,DE AF AH AF =∴= ，即AHF △是等腰三角形．类比迁移：如图2，延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，连接AH ．∵四边形ABCD 是菱形，,,AD BC AB AD ABH BAD ∴=∴∠=∠∥．,BH AE ABH DAE =∴∆ ≌．,60AH DE AHB DEA ∴=∠=∠=︒．又,DE AF AH AF =∴= ．60,AHB AHF ∠=︒∴ 是等边三角形，AH HF ∴=，628DE AH HF HB BF ∴===+=+=．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．【12题答案】【答案】（1）45°（2）5（3）4【解析】【分析】（1）由折叠的性质得()290EAQ GAQ ∠+∠=︒，则45EAG EAQ GAQ ∠=∠+∠=︒；（2）连接MF ，NF ，BF ，DF ，由折叠的性质知AE 垂直平分BF ，AG 垂直平分DF ，则3BM MF ==，4DN NF ==，再求出90MFN ∠=︒，利用勾股定理可得答案；（3）设BE x =，则9EC x =-，()891DG CD GC x x =-=--=-，1QF =，过点G 作GH 垂直EF 交EF 的延长线于H ，证明四边形FQGH 是矩形，求出EH ，在Rt GHE 中，利用勾股定理列方程求解可得答案．【小问1详解】解：由折叠的性质可知：BAE QAE ∠=∠，DAG QAG ∠=∠，四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，90BAE QAE DAG QAG ∴∠+∠+∠+∠=︒，()290EAQ GAQ ∴∠+∠=︒，45EAG EAQ GAQ ∴∠=∠+∠=︒；【小问2详解】如图，连接MF ，NF ，BF ，DF ，若AB BC =，则四边形ABCD 是正方形，由题意可知点Q 与点F 重合，由折叠的性质可知：点B 与点F 关于AE 对称，点D 与点F 关于AG 对称，AE ∴垂直平分BF ，AG 垂直平分DF ，3BM MF ∴==，4DN NF ==，BD 为正方形ABCD 的对角线，1452MBE MFE ABC ∴∠=∠=∠=︒，1452NDG NFG ADC ∠=∠=∠=︒，18090MFN MFE NFG ∴∠=︒-∠-∠=︒，在Rt MFN 中，由勾股定理得：5MN ==．【小问3详解】设BE x =，由题意可知：45GEC ∠=︒，90ECG ∠=︒，180EGC GEC ECG ∴∠=︒-∠-∠ 1804590=︒-︒-︒ 45=︒，GEC EGC ∴∠=∠，EC CG ∴=，ECG ∴ 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中，9BC AD ==，8CD AB ==，BE x = ，9EC GC BC BE x ∴==-=-，()891DG CD GC x x =-=--=-，)9EG x ∴==-，由折叠的性质可知：BE EF x ==，1DG QG x ==-，90AFE ABE ∠=∠=︒，90AQG ADG ∠=∠=︒，9AQ AD ==，8AF AB ==，1QF AQ AF ∴=-=，如图，过点G 作GH 垂直EF 交EF 的延长线于H ，则90FHG HFQ FQG ∠=∠=∠=︒，∴四边形FQGH 是矩形，1FH QG x ∴==-，1GH QF ==，121EH EF FH x x x ∴=+=+-=-，在Rt GHE 中，由勾股定理得：222GH EH EG +=，即)2221(21)9]x x +-=-，整理得：()()2040x x +-=，解得4x =或20(x =-舍去)，4BE ∴=．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了翻折的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键，同时注意方程思想的运用．【13题答案】【答案】（1）见解析（2）MN = （3）点E 在CD 边上运动过程中，CND ∠的大小不改变，且45CND ∠=︒【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得出AB CD ，再根据AE BF ∥，即可证明四边形ABFE 是平行四边形；（2）根据正方形的性质，结合勾股定理，求出AE =，再根据平行四边形的面积求出EF 的长即可；（3）在DN 上截取DG =BN ，连接CG ，根据“SAS ”证明DGC BNC ≌，得出CG =NC ，DCG BCN ∠=∠，说明△GCN 为等腰直角三角形，即可得出结果．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ，即AB EF ∥，∵AE BF ∥，∴四边形ABFE 是平行四边形．【小问2详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，∴6AB BC CD AD ====，90ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=︒，∵123DE DC ==，∴在Rt △ADE 中根据勾股定理得：AE ===，∵ABFE S AB BC AE MN =⨯=⨯ ，∴AB BC MN AE ⨯===【小问3详解】解：点E 在CD 边上运动过程中，CND ∠的大小不改变；在DN 上截取DG =BN ，连接CG ，如图所示：∵DN ⊥AE ，∴90DME ∠=︒，∵AE BF ∥，∴90DNF DME ∠=∠=︒，∴90F NDF ∠+∠=︒，∵18090BCF BCD ∠=︒-∠=︒，∴90F FBC ∠+∠=︒，∴NDF FBC ∠=∠，∵在△DGC 和△BNC 中DC BC CDG CBN DG BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DGC BNC ≌（SAS ），∴CG =NC ，DCG BCN ∠=∠，∴90BCN BCG BCG DCG ∠+∠=∠+∠=︒，∴190452CND CGN ∠=∠=⨯︒=︒．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，作出辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．【14题答案】【答案】（1）AE ＝DF ；（2）见解析；（3）CN 的长度为3【解析】【分析】（1）证明∠BAE =∠ADF ，则△ABE ≌△DAF （AAS ），即可求解；（2）由正方形的性质得出∠CBG =∠MEF ，证明△BCG ≌△EMF （ASA ），即可求解；（3）证明△EHF ≌△MGN （ASA ），则NG =HF ，而AE =2，BF =4，故NG =HF =4-2=2，进而求解．【详解】解：（1）∵∠DAO +∠BAE =90°，∠DAO +∠ADF =90°，∴∠BAE =∠ADF ，在△ABE 和△DAF 中，BAE ADF ABE DAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AE =DF ，故答案为：AE =DF ；（2）如图1，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，则四边形ABME 为矩形，则AB =EM ，在正方形ABCD 中，AB =BC ，∴EM =BC ，∵EM ⊥BC ，∴∠MEF +∠EFM =90°，∵BG ⊥EF ，∴∠CBG +∠EFM =90°，。

四年级下册数学期末复习三角形,平行四边形和梯形平移,旋转和轴对称用数对确定位置苏教版

期苏末教复版习数期学末复四习年（级4）下册
9 期末复习
三角形，平行四边形和梯形平移，旋转和轴对称用数对确定位置
期末复习期末复习（4）
整体回顾
今天我们一起来复习三个内容。
三角形，平行四边形和梯形
平移，旋转和轴对称
认识图形
用数对确定位置返回
期末复习期末复习（4）
知识梳理 1.三角形，平行四边形和梯形
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期末复习期末复习（4）
21.等腰三角形的一个底角是40°，它的顶角是多少度？它又是什么三角形？如果顶角是40°呢？
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期末复习期末复习（4）
22.你能在平移前后的图形中找到几组互相平行的线段吗？
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期末复习期末复习（4）
23.(1)用数对表示三角形的顶点A、B、C的位置。 (2)把三角形向左平移7格，用数对表示平移后三角形各顶点的位置。
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期末复习期末复习（4）
3.用数对确定位置
1.用数对描述现实中物体的位置
2.用数对描述平面上点的位置
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期末复习期末复习（4）
综合运用
19.下面两条直线互相平行。图中的3个图形各有什么特点？
它们的高相等。
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期末复习期末复习（4）
20.在三角形中，已知∠1＝53°，∠2＝ 27°，求∠3。
（10，7）
（10，4）（8，4）பைடு நூலகம்
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期末复习期末复习（4）
课后作业
补充习题：对应练习
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1.三角形：三角形的分类（按边分和按角分）；三角形的三边关系；三角形的内角和
2.平行四边形：平行四边形的认识（知道平行四边形底和高）
3.梯形：认识梯形的上底、下底和高；认识等腰梯形