四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义 第11讲 圆的有关概念

第11讲圆的有关概念
“圆”是现实世界中常见的图形，是初中几何的最后一章，从整个初中几何的学习来看，它属于“提高阶段”。

在知识方面，不仅需要学好本章的知识，而且还需要能综合运用前面学过的知识，在数学能力方面，不仅要掌握好以前学习过的折叠、平移、旋转、推理证明等方法，还要具备运用这些知识和方法来继续研究圆的有关性质，并解决一些实际问题。

另外，圆的许多性质，在理论上和实践中都有广泛的应用，所以，“圆”这章在初中几何中占有非常重要的地位。

【知识引导】
§Ⅰ 圆的有关概念
1．圆：平面上到__的距离等于__的所有点组成的图形叫做圆，其中，__为圆心，__为半径．__________确定圆的位置，__________确定圆的大小。

2．弧：圆上任意两点间的部分叫做__，简称弧，大于__的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．
3．弦：连接圆上任意两点的线段叫做__，经过圆心的弦叫做__。

4．能够重合的两个圆叫做__，同圆或等圆的__，在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做__。

5．点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d，
（1）点在圆外，即d___r；(2) 点在圆上，即d____r；(3) 点在圆内，
即d____r.
§Ⅱ圆的有关性质：
1．圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称
图形，对称中心为圆心．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
垂径定理和推论可以结合起来表述为：对于一个圆和一条直线说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具备其他三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．
【精彩知识】
考点1: 圆的有关概念
【例1】1. 有下列四个命题：①直径是弦；②过圆心的线段是直径；③等弧一定是同圆中的弧；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个
5cm，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（）P在⊙OP在⊙OP在⊙O上 D.点P在⊙O外或⊙O上
3.⊙O的半径为5cm，一点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为。

变式训练:
1．有4个命题: ①直径相等的两个圆是等圆②长度相等的两条弧是等弧③圆中最大的弦是通过圆心的弦④一条弦把圆分为两条弧,这两条弧不可能是等弧,其中真命题是。

2．矩形ABCD中，AB＝8，35
BC P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．
(A) 点B、C均在圆P外； (B) 点B在圆P外、点C在圆P内；
(C) 点B在圆P内、点C在圆P外； (D) 点B、C均在圆P内．
考点2 垂径定理的理解
【例2】下列命题正确的有。

（1）过弦的中点的直径平分弦所对弧；
（2）过弦所对的两条弧的中点的直线必过圆心；
（3）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧；
（4）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧；
O
A
B
C
4cm
10cm
E
O
A
B
C D
（5）经过弦的中点的直径一定垂直于弦； （6）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。

考点3 垂径定理的基本运用(基本计算题型)
【例3】如图，已知在⊙O 中，AB 、CD 两弦互相垂直于E ，AB 被分成4cm 和10cm 两段，求： （1）求圆心O 到CD 的距离；（2）若⊙O 的半径为8cm ，求CD 的长。

【例4】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O，AB ＝AC ，tanB ＝3
1。

求： （1）BC 的长； （2）AB 边上高的长。

【例5】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300
， 求：（1）CD 的长；（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。

变式训练:
1、如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB =CD ，已知CE =1，ED =3，则⊙O 的半径是．
2、如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE =5,BE =1,42CD =,则∠AED=.
第1题图 第2题图 第3题图
3、如图，Rt△ABC 中，90C ∠=，AC =2，BC =1，若以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于
P ，则AP =。

4、如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，求⊙O 的直径。

考点4 垂径定理的运用(综合推理与计算题型)
【例5】如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上， CD 平行于AB ，并与弧AB 相交于点M 、N ．
（1）求证：CM =DN ；
（2）若OA ＝3，AC ＝2，1
tan 2
C ∠=，求弦MN 的长．
O 2
O 1
B
A
M
N E
F
P O
M
N
【例6】如图, ⊙O 的直径为MN =20cm,弦AB =16cm,MC ⊥AB 于C ,ND ⊥AB 于D . (1) 求证：AC =BD ； (2) 求ND –CM 的值。

变式训练:
已知如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F 交⊙O 于点N ，且BE =FN ，连
结OE ，OF .
求证：⑴OE ＝OF ； ⑵ CE ＝DF 。

【思维拓展】
【例7】如图，AB 是⊙O 的直径，P 为AB 上的一点，弦MN 过点P , ∠NPB =45°， （1）若AP =2，BP =6，求MN 的长；
（2）当P 在AB 上运动时，保持∠NPB 的度数不变，试问：2
22AB PN PM 的值是否改变？若不变，
请求其值；若改变，请求出其值的取值X 围。

变式训练:
如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 任作一直线与⊙O 1交于M ，与⊙O 2交于N .
(1) 问什么时候MN 最长？为什么？
(2)再过A 作直线EF 与⊙O 1交于E ，与⊙O 2交于F ，⊙O 1的半径为5，⊙O 2的半径为25AE =6，
AF =8，求MN 的长。

P
O
B
A
【例8】如图，已知：直线y x 3=-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y =ax 2
+bx +c 经过A 、B 、C （1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D 的坐标为（－1，0），在直线y x 3=-+上有一点P ，使ΔABO 与ΔADP 相似，求
出点P
的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在
点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的
坐
标；如果不存在，请说明理由．
、
【课后测试】
1、把一小球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF =CD =16厘米，则
球的半径为厘米．
2、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦
AB 的长为________cm ．
3、如图，在半径为5的圆O 中，AB ，
CD
是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且
AB =CD =8，则OP 的长为．
1题图 2题图 3题图
4、如图，⊙O 的半径为2，弦AB =3C 在弦AB 上，AC B 1
4
A =，则OC 的长为．
5、如图，AB 是半圆O 的直径，E 是弧BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，已知BC =8cm ，DE =2cm ，则AD 的长为。

4题图 5题图 6题图
5、半径为4的⊙O 中有弦AB ，如右图，以AB 为折痕．劣弧恰好经过圆心O ，则弦AB 的长为。

K
L
B
C
O
A
D
J
M
6、已知⊙O 的直径CD =10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD 于 M ，且AB =8cm ，则AC 的长为．
7、P 是⊙O 内的一点，⊙O 的半径为15，P 点到圆心的距离为9，通过P 点、长度是整数的弦的条数共有.
8、一座桥的桥拱是圆弧形（水面以上部分），测量时只测到桥下水面宽AB 为16m ，桥拱最高处离水面4m ．
（1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为12m ，问水面涨高了多少．
9、如图，⊙O 直径为25，点P 为弦AB 的中点，弦CD 过点P ，且AB =20，CD =24，求cos ∠APC 的值。

10、如图，⊙O 中EF 过圆心O ，且垂直于弦AD ，B 、C 两点在直线DE 上，且AD 平分∠BAC ．
求证：CE BE DE ⋅=2
11、如图，正方形ABCD 的顶点A 、D 和正方形JKLM 的顶点K 、L 在一个半径为5的⊙O 上，点J 、M
在线段BC 上，若正方形ABCD 的边长为6，求正方形JKLM 的边长。