(安徽专)九年级数学下第24章圆24.3圆周角24.3.2圆周角和直径的关系习题沪科
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︵ ∴当点 A 为DE的中点时，点 A 到 DE 的距离最大是 2， ∴四边形 FCDE 的最大面积＝4×2＝8.
11．[中考·安顺]如图，半径为 3 的⊙A 经过原点 O 和点 C(0，2)，
B 是 y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则 tan ∠OBC 为( C )
A．13
C．
2 4
B．2 2 D．2 3 2
(2)若 a＝5，∠A＝60°，求⊙O 的半径 R.
解：∵sina A＝2R，∴
5 ＝2R，∴R＝5 3
3
3 .
2
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月29日星期二2022/3/292022/3/292022/3/29 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/292022/3/292022/3/293/29/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/292022/3/29March 29, 2022
6．[中考·常州]如图，把直角三角尺的直角顶点 O 放在破损玻璃
镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 M，N，量得 OM
＝8 cm，ON＝6 cm，则该玻璃镜的半径是( B )
A． 10 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
7．下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的 是( B )
5．如图，点 P 在以 AB 为直径的半圆形内，连接 AP，BP 并延 长分别交半圆于点 C，D，连接 AD，BC 并延长交于点 F， 作直线 PF，下列说法一定正确的是( D ) ①AC 垂直平分 BF；②AC 平分∠BAF； ③FP⊥AB； ④BD⊥AF. A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
2．[合肥 50 中新校统考]如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 两点在 ⊙O 上，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的度数为( C ) A．30° B．40° C．50° D．60°
【点拨】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠BCD＝40°，∴∠ACD＝90°－∠BCD＝50°， ∴∠ABD＝∠ACD＝50°.
10．如图，已知 ED 为⊙O 的直径，且 ED＝4，点 A(不与 E，D 重合)为⊙O 上一个动点，线段 AB 经过点 E，且 EA＝EB， F 为⊙O 上一点，∠FEB＝90°，BF 的延长线与 AD 的延长 线交于点 C.
(1)求证：△EFB≌△ADE；
证明：连接 FA. ∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB. ∵BE＝AE，∴BF＝AF. ∵∠FEA＝∠FEB＝90°，∴AF 是⊙O 的直径， ∴AF＝DE，∴BF＝ED. 在 Rt△EFB 与 Rt△ADE 中，BBEF＝＝EEAD，，∴Rt△EFB≌Rt△ADE.
3．[中考·福建]如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上位于 AB 异侧的两点，下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是( D ) A．∠ADC B．ABD C．∠BAC D．∠BAD
︵ 4．[安徽模拟]如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的点，AD
︵ ＝CD，如果∠CAB＝40°，那么∠CAD 的度数为( A ) A．25° B．50° C．40° D．80°
8．下列结论正确的是( D ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
9．如图，点 A，B，C，D 都在⊙O 上，AB＝AD，BA，CD 的 延长线交于点 E，且 AB＝AE，求证：BC 是⊙O 的直径．
证明：如图，连接 BD. ∵AE＝AD＝AB，∴∠E＝∠ADE，∠ADB＝∠ABD. ∵∠E＋∠EDB＋∠ABD＝180°， ∴2∠EDA＋2∠ADB＝180°， ∴∠EDA＋∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝∠EDB＝90°， ∴BC 是⊙O 的直径．
12．如图，在锐角三角形 ABC 中，AB＞AC，AD⊥BC 于点 D， 以 AD 为直径的⊙O 分别交 AB， AC 于点 E，F，连接 DE，DF.
(1)求证：∠EAF＋∠EDF＝180°； 证明：∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∵∠AED＋∠AFD＋∠EAF＋∠EDF＝360°， ∴∠EAF＋∠EDF＝180°.
第24章 圆
24.3 圆周角 第2课时 圆周角和直径的关系
提示：点击 进入习题
核心必知
直角
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1C 6B 11 C
2C
3D
4A
5D
7B
8D
9 见习题 10 见习题
12 见习题 13 见习题
半圆或直径所对的圆周角是__直__角____； 90°的圆周角所对的弦是直径．
1．如图，△ABC 的顶点 A，B，C 在⊙O 上，∠A＝35°，则∠B 的度数是( C ) A．35° B．45° C．55° D．65°
(2)当点 A 在⊙O 上移动时，求四边形 FCDE 的最大面积．
解：∵Rt△EFB≌Rt△ADE.∴∠B＝∠AED，∴DE∥BC. ∵ED 为⊙O 的直径，∴AC⊥AB. ∵EF⊥AB，∴EF∥CD，∴四边形 FCDE 是平行四边形， ∴点 E 到 BC 的距离最大时，即点 A 到 DE 的距离最大时，四边 形 FCDE 的面积最大，
13．[合肥瑶海区模拟]如图，△ABC 内接于⊙O，已知 AB＝c， BC＝a，AC＝b，⊙O 的半径为 R.
(1)求证：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R；
证明：如图，连接 CO 并延长交⊙O 于点 D，连接 BD，
则∠D＝∠A，∠DBC＝90°，CD＝2R， 在 Rt△BCD 中，sin D＝B2RC，∴sin A＝B2RC＝2aR，∴sina A＝2R. 同理可证，sinb B＝2R，sinc C＝2R， ∴sina A＝sinb B＝sinc C＝2R.
(2)已知 P 是射线 DC 上一个动点，当点 P 运动到 PD＝BD 时， 连接 AP，交⊙O 于点 G，连接 DG.设∠EDG＝α，∠APB＝β， 那么 α 与 β 有何数量关系？试证明你的结论(在探究 α 与 β 的 数量关系时，必要时可直接运用(1)的结论进行推理与解答)．
解：α＝2β. 证明：∵DP＝BD，AD⊥BC，∴AB＝AP.∴∠B＝∠APB＝β. 由(1)的结论可知，∠BAP＋∠EDG＝180°. ∵∠BAP＋∠B＋∠APB＝180°，∴∠BAP＝180°－2β. ∴180°－2β＋α＝180°. ∴α＝2β.
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11．[中考·安顺]如图，半径为 3 的⊙A 经过原点 O 和点 C(0，2)，
B 是 y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则 tan ∠OBC 为( C )
A．13
C．
2 4
B．2 2 D．2 3 2
(2)若 a＝5，∠A＝60°，求⊙O 的半径 R.
解：∵sina A＝2R，∴
5 ＝2R，∴R＝5 3
3
3 .
2
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月29日星期二2022/3/292022/3/292022/3/29 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/292022/3/292022/3/293/29/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/292022/3/29March 29, 2022
6．[中考·常州]如图，把直角三角尺的直角顶点 O 放在破损玻璃
镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点 M，N，量得 OM
＝8 cm，ON＝6 cm，则该玻璃镜的半径是( B )
A． 10 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
7．下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的 是( B )
5．如图，点 P 在以 AB 为直径的半圆形内，连接 AP，BP 并延 长分别交半圆于点 C，D，连接 AD，BC 并延长交于点 F， 作直线 PF，下列说法一定正确的是( D ) ①AC 垂直平分 BF；②AC 平分∠BAF； ③FP⊥AB； ④BD⊥AF. A．①③ B．①④ C．②④ D．③④
2．[合肥 50 中新校统考]如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 两点在 ⊙O 上，若∠BCD＝40°，则∠ABD 的度数为( C ) A．30° B．40° C．50° D．60°
【点拨】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠BCD＝40°，∴∠ACD＝90°－∠BCD＝50°， ∴∠ABD＝∠ACD＝50°.
10．如图，已知 ED 为⊙O 的直径，且 ED＝4，点 A(不与 E，D 重合)为⊙O 上一个动点，线段 AB 经过点 E，且 EA＝EB， F 为⊙O 上一点，∠FEB＝90°，BF 的延长线与 AD 的延长 线交于点 C.
(1)求证：△EFB≌△ADE；
证明：连接 FA. ∵∠FEB＝90°，∴EF⊥AB. ∵BE＝AE，∴BF＝AF. ∵∠FEA＝∠FEB＝90°，∴AF 是⊙O 的直径， ∴AF＝DE，∴BF＝ED. 在 Rt△EFB 与 Rt△ADE 中，BBEF＝＝EEAD，，∴Rt△EFB≌Rt△ADE.
3．[中考·福建]如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上位于 AB 异侧的两点，下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是( D ) A．∠ADC B．ABD C．∠BAC D．∠BAD
︵ 4．[安徽模拟]如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的点，AD
︵ ＝CD，如果∠CAB＝40°，那么∠CAD 的度数为( A ) A．25° B．50° C．40° D．80°
8．下列结论正确的是( D ) A．直径所对的角是直角 B．90°的圆心角所对的弦是直径 C．同一条弦所对的圆周角相等 D．半圆所对的圆周角是直角
9．如图，点 A，B，C，D 都在⊙O 上，AB＝AD，BA，CD 的 延长线交于点 E，且 AB＝AE，求证：BC 是⊙O 的直径．
证明：如图，连接 BD. ∵AE＝AD＝AB，∴∠E＝∠ADE，∠ADB＝∠ABD. ∵∠E＋∠EDB＋∠ABD＝180°， ∴2∠EDA＋2∠ADB＝180°， ∴∠EDA＋∠ADB＝90°， ∴∠BDC＝∠EDB＝90°， ∴BC 是⊙O 的直径．
12．如图，在锐角三角形 ABC 中，AB＞AC，AD⊥BC 于点 D， 以 AD 为直径的⊙O 分别交 AB， AC 于点 E，F，连接 DE，DF.
(1)求证：∠EAF＋∠EDF＝180°； 证明：∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED＝∠AFD＝90°. ∵∠AED＋∠AFD＋∠EAF＋∠EDF＝360°， ∴∠EAF＋∠EDF＝180°.
第24章 圆
24.3 圆周角 第2课时 圆周角和直径的关系
提示：点击 进入习题
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1C 6B 11 C
2C
3D
4A
5D
7B
8D
9 见习题 10 见习题
12 见习题 13 见习题
半圆或直径所对的圆周角是__直__角____； 90°的圆周角所对的弦是直径．
1．如图，△ABC 的顶点 A，B，C 在⊙O 上，∠A＝35°，则∠B 的度数是( C ) A．35° B．45° C．55° D．65°
(2)当点 A 在⊙O 上移动时，求四边形 FCDE 的最大面积．
解：∵Rt△EFB≌Rt△ADE.∴∠B＝∠AED，∴DE∥BC. ∵ED 为⊙O 的直径，∴AC⊥AB. ∵EF⊥AB，∴EF∥CD，∴四边形 FCDE 是平行四边形， ∴点 E 到 BC 的距离最大时，即点 A 到 DE 的距离最大时，四边 形 FCDE 的面积最大，
13．[合肥瑶海区模拟]如图，△ABC 内接于⊙O，已知 AB＝c， BC＝a，AC＝b，⊙O 的半径为 R.
(1)求证：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R；
证明：如图，连接 CO 并延长交⊙O 于点 D，连接 BD，
则∠D＝∠A，∠DBC＝90°，CD＝2R， 在 Rt△BCD 中，sin D＝B2RC，∴sin A＝B2RC＝2aR，∴sina A＝2R. 同理可证，sinb B＝2R，sinc C＝2R， ∴sina A＝sinb B＝sinc C＝2R.
(2)已知 P 是射线 DC 上一个动点，当点 P 运动到 PD＝BD 时， 连接 AP，交⊙O 于点 G，连接 DG.设∠EDG＝α，∠APB＝β， 那么 α 与 β 有何数量关系？试证明你的结论(在探究 α 与 β 的 数量关系时，必要时可直接运用(1)的结论进行推理与解答)．
解：α＝2β. 证明：∵DP＝BD，AD⊥BC，∴AB＝AP.∴∠B＝∠APB＝β. 由(1)的结论可知，∠BAP＋∠EDG＝180°. ∵∠BAP＋∠B＋∠APB＝180°，∴∠BAP＝180°－2β. ∴180°－2β＋α＝180°. ∴α＝2β.
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