2022届高考一轮复习课件：4.5万有引力定律 天体运动

解 析 ： 设 飞 船 椭 圆 运 动 轨 道 的 半 长 轴 为 R， 则 ： R＝ (r＋ R0 ) / 2 设 飞 船 沿 椭 圆 运 动 的 周 期 为 T ， 由 开 普勒第三定律得：
R 3 ＝ r 3 ， 即 [r R0 / 2]3 ＝ r 3
T2
T
2 0
T2
T
2 0
所 以 ： T＝ T0
值都 相等 ，即： R3＝k(比值k是一个与中心天体 T2
有关，与行星无关的常量) ．
二、万有引力定律
1．万有引力定律的内容和公式
内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的．两 个物体间的引力的大小，跟它们的 质量的乘积 成正比，跟它们的 距离的平方 成反比．
公 式 ： F ＝ G m 1 m 2 ， 其 中 G ＝ 6 .6 7 1 0 － 1 1N m 2/k g 2 ， r2
即GMm＝ mv2＝ m2r＝ m42r＝ m42f2r
r2
r
T2
例 4： 在 圆 轨 道 上 质 量 为 m的 人 造 地 球 卫 星 ， 它 到 地 面 的 距 离 等 于 地 球 半 径 R， 地 面 的 重 力 加 速 度 为 g， 则 ( )
A．卫星的线速度为 2gR
B．卫星的周期为4 2R
四、天体运动相关参量的综合分析 应用万有引力解题的两条基本思路是什么？
解答： 1在地面附近：F引 ＝mg主要计算涉及g
的问题． GrM +hm2＝mg，g＝rG +M h2
2把 天 体 (或 卫 星 )的 运 动 看 成 是 匀 速 圆 周 运 动 ，
其 所 需 向 心 力 由 万 有 引 力 提 供 ，
警示：(1)卫星环绕半径r与该轨道上的线速度 v、角速度ω、周期T、向心加速度a存在一一对应 关系，一旦r确定，则v、ω、T、a皆确定，与卫 星的质量m无关．
(2)对于环绕地球运动的卫星，若半径r增大， 其周期T变大，线速度v、角速度ω、向心加速度a 变小；若半径r减小，其周期T变小，线速度v、 角速度ω、向心加速度a增大．
若 天 体 的 卫 星 环 绕 天 体 表 面 运 动 ， 其 轨 道 半 径 r等 于 天 体
半 径 R， 其 周 期 为 T， 天 体 质 量
则天体密度
＝ 3 GT 2
M
＝
4 G
2R T2
3
，
例3：中子星是恒星演化的一种可能结果， 它
的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期
T＝1 s.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该 30
第 5讲
万有引力定律 天体运动
一、开普勒定律
1．第一定律(轨道定律)：所有行星围 绕太阳运转的轨道都是 椭圆 ，太阳处在 所有椭圆的一个 焦点 上．
2．第二定律(面积定律)：任意一个行 星在绕太阳运动时，行星与太阳的连线在相 同时间里扫过的面积是 相等 的．
3．第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半 长轴的 三次方 跟公转周期的 二次方 的比
2通 过 观 察 天 体 做 匀 速 圆 周 运 动 的 卫 星 的 周 期 T、
半 径 r， 由 万 有 引 力 等 于 向 心 力 G M m ＝ m 4 2 r，
r2
T2
得 天 体 质 量 M ＝ 4 2r3 ， 若 已 知 天 体 的 半 径 为 R， 则 GT 2
天 体 的 密 度 ＝ M ＝ M ＝ 3 r 3 V 4 R3 GT 2R3 3
代 入 数 据 得 ： ＝1.2 7 1014 k g / m 3 .
点评：(1)在应用万有引力定律解题时， 经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体 再分析求解，这是应用万有引力定律解题惯用 的一种方法．(2)在本类问题中，牢记基本思路， 一是万有引力提供向心力，二是重力约等于万 有引力．
警示：本方法利用的是卫星运动的有关参 量(如r、T)，求出的质量M是中心天体的，而 不是卫星本身质量m，同学们应切记这一点．
解析：设被测物体的质量为m，某星球的 质量为M， 半径为R；在两极处时物体的重力 等于地球对物体的万有引力，即：
P＝GMm R2
三、中心天体质量、密度的估算 问题：如何利用万有引力定律进行天体
质量和密度的计算？
解答： 1利用天体表面的重力加速度g和
天体半径R，由于GMm＝mg，所以天体质量 R2
M＝gR2 G
A．若v与R成正比，则环为连续物
B．若v2与R成正比，则环为小卫星群
C．若v与R成反比，则环为连续物
D．若v2与R成反比，则环为小卫星群
解析：连续物是指和天体连在一起的物体， 其角速度和天体相同， 其线速度v与R成正比． 而对卫星来讲，其线速度v＝ GM，即v与R的
R 平方根成反比．由连续物与卫星群的区别可知 A、D正确．
解答：由于行星的椭圆轨道都跟圆近似，在要
求不太高的近似计算中，完全可以认为行星以太阳
为圆心做匀速圆周运动， 在这种情况下，若用R表
示轨道半径，T 表示周期，开普勒第三定律
a3 T2
＝k
的表达式中a就是圆的半径R， 利用 a3 ＝k的结论解 T2
决某些问题很方便．
例1：飞船沿半径为r的圆周 轨道绕地球运行，其周期为T0， 如图4－5－1所示．如果飞船要 返回地面，可在轨道上某一点P 处将速率降低到适当数值，从而 使飞船沿着以地心为焦点的椭圆 轨道运行，椭圆与地球表面在B 点相切，求飞船从P飞到B所需的 时间(设地球半径R0已知)．
通常的计算中因重力和万有引力相
差不大，而认为两者相等，即
m 2 g＝
G
m 2 m1 R2
，
g＝
G m1 R2
.常
用
来
计
算
星球表面重力加速度的大小 ，在地
球 的 同 一 纬 度 处 ， g随 物 体 离 地 面 高
度
的
增
大
而
减
小
，
即
g＝
G m1 R h
2
例2:某星球可视为球体，其自转周期为T， 在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在 它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P， 某星球的平均密度是多少(已知万有引力常量为 G)?
物体随星球自转的向心加速度为a＝4 2 ·R，其中R
T2 为自转半径( 赤道上的物体R等于星球半径)．
卫星绕星球运行的向心加速度为a＝G M，其中 r2
M为星球质量，r为卫星与星球中心的距离．
例5：根据观察，在土星外层有一个环，为 了判断环是土星的连续物(和天体连在一起的物 体)还是小卫星群，可测出环中各层的线速度v与 该层到土星中心的距离R之间的关系．下列判断 正确的是( )
答案：AD
点评：放在星球表面上的物体向心力与绕 星球表面做圆周运动的向心力相差是很大 的．例如质量为1kg的物体在赤道上随地球自 转所需的向心力只有0.034N，环绕地球表面运 行的向心力约为9.8N.
警示：我们在研究地球上的物体的运动时， 地面附近物体的重力加速度近似看做是恒 量．但研究天体运动时，应注意不能认为是常 量，随高度变化，g值是改变的．
警示：比例系数k是一个与中心天体有关， 与行星无关的常量，在太阳系中，k是一个常 量，在不同的星系中，k值不同．
二、万有引力和重力
问题：万有引力和重力有什么联系与区别？
解答：重力是万有引力产生的，由于地球的自 转，因而地球表面的物体随地球自转需要向心 力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分 力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图4－5 －2所示，由于纬度的变化，物体做圆周运动的向 心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变 化而变化，即重力加速度g随纬度变化而变化，从 赤道到两极逐渐增大．
1． 第 一 宇 宙 速 度 ( 环 绕 速 度 )： v1＝7.9km / s， 是人造地球卫星的 最小 发射速度，是绕地球 做匀速圆周运动的 最大 速度，推广到任何天
体 表 面 第 一 宇 宙 速 度 v＝ gR＝ G M R
2． 第 二 宇 宙 速 度 ( 脱 离 速 度 )： v2＝11.2km / s， 是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
v
g
卫 星 运 动 的 加 速 度 a＝ v2 ＝ g ， C 选 项 错 误 ； 2R 4
卫
星
的
动
能
E
＝
k
1 m v 2＝ 2
1 m gR ＝ 22
1 m gR， 4
D选
项
正
确
．
答案：BD
点评：在已知地球半径和地面附近重力加速 度的情况下，可以使用变换GM＝gR2(又称“黄金 代换”)，使计算变得简单．
六、同步卫星问题 问题：地球同步卫星有哪些特点？ 解答：(1)地球同步卫星只能在赤道上空； (2)地球同步卫星与地球自转具有相同的角
速度和周期； (3)地球同步卫星相对地面静止； (4)地球同步卫星的高度是一定的．
例6：据报道，我国数据中继卫星“天链一号01 星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空， 经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77° 赤道上空的同步轨道．关于成功定点后的“天链一 号01星”，下列说法正确的是( )BC
3． 第 三 宇 宙 速 度 ( 逃 逸 速 度 )： v3＝16.7km / s， 是使物体挣脱太阳引力束缚的 最小 发射速度．
四、地球同步卫星(通信卫星)
所谓地球同步卫星，是相对于地面 静止 的，和地球自转具有相同周期的卫星，T＝24h. 同步卫星必须位于赤道 正上方 ，距地面高 度h≈3.6×104km，线速度约为3.08km/s，向心 加速度约为0.23m/s2.
A．运行速度大于7.9km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速 度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度 大小相等
点评：1同步卫星的高度的计算：
根据G Mm ＝m42 (R＋h)，
R+h2
T2
3
有R＋h＝
G MT2，所以h＝3
g C．卫星的加速度为 g
2 D．卫星的动能为 mgR
4
解 析 ： 设 地 球 质 量 为 M， 则 有
G
Mm r2
＝
m
பைடு நூலகம்
v2， r
则
v＝
GM ， r
而 G M ＝ g R 2， r＝ 2 R ， 故 v＝ g R ， A 选 项 错 误 ； 2
运 动 周 期 T ＝ 2 ?2 R ＝ 4 2 R ， B 选 项 正 确 ；
Mm R2
＝mg
，
0
所以
g
＝
0
GM R2
轨道上的重力加速度：因为 GMm ＝mg， R h2
所以g＝ GM R h2
4．天体的运动
(1)运动模型：天体运动可看成是 匀速 圆周运动 ——其引力全部提供 向心力 .
(2)人造卫星的绕行速度、角速度、周期、 向心加速度与半径的关系：
三、三种宇宙速度
叫 引 力 常 量 .
2．适用条件：公式适用于 质点间 的相互作用．当两个物体间的距离远远大于 物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀 的球体也可以视为质点，r是两球心间的距 离．
3．万有引力定律的应用
1 行星表面物体的重力：重力近似等于 万有引力 .
2重力加速度：
表面重力加速度：因为G
星体的稳定， 不致因自转而瓦解，计算时星体可视 为均匀球体． (引力常数G＝6.6710－11Nm2 / kg2)
解析：考虑中子星赤道处一小块物质，只有
当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋
转所需的向心力时，中子星才不会瓦解．
GMm R2
＝
m
2
R
＝
2 T
M ＝V＝ 4 R3 3
由 以 上 各 式 得 ＝ 3 GT 2
五、随星球自转物体和环绕星球表面的运动物 体的区别
问题：如何区别随星球自转物体和环绕星 球表面的运动物体？
解答：(1)向心力的来源不同 置于星球表面的物体随星球自转所需的向 心力由星球对物体的引力和星球表面支持力的 合力提供． 环绕星球表面运动的卫星所需的向心力完 全由星球的引力提供．
2两个向心加速度的计算方法不同
五、卫星的超重和失重
1．卫星进入轨道前加速过程，卫星上物 体 超重 .
2．卫星进入轨道后正常运转时，系统具 有向下的加速度且等于轨道处的重力加速度g 轨，卫星上物体 完全失重 .
一、开普勒第三定律的理解和运用
问题：在要求不高的近似计算中，开普勒 第三定律认为行星以太阳为圆心做匀速圆周运 动的近似计算中有怎样特殊的处理？
r R0 3 8r3
飞 船 从 P飞 到 B所 需 的 时 间 等 于 飞 船 沿 椭 圆 运 动 的 周
期 的 一 半 ， 所 以 t＝ T0 2
r R0 3 8r3
点评：(1)本题中飞船先在圆轨道上运行， 后来在椭圆轨道上运行，所以R表示椭圆的半 长轴，r表示圆半径．(2)开普勒第三定律不仅 适用于飞船，也适用于行星和其他天体．