等差数列及数阵

答案：2513
习题
★
1.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是奇数且一堆比一堆少两根，应如何分？
★★
2.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？
★★★
3.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和.
1，2，3，4，5，6………98，99，100
第22讲数阵问题（二）
把一些数按照一定的要求排成各种各样的图形，这类图形称为数阵图，简称数阵，数阵是由幻方演变而来的，数阵图种类繁多，这一讲我们就来讨论辐射型、封闭型和复合型三种数阵图。
例1、把3、4、5、6、7这五个数分别填入右图中的五个方格里，使横行、竖列三个数的和都是14。
思路点拨
机灵猴：是的，中心方格中的数用了两次，可以用每条线上的和×2－五个数的和，所得的差不就是中心数吗？即14×2－（3＋4＋5＋6＋7）=3。
例1、把所有奇数排列成下面的数表，
1
357
911131517
19 212325272931
33 3537394143454749
………
根据规律请指出①197排在第几行的第几个数？②第10行的第9个数是多少？
解：①197是奇数中的第99个数.
因为 数表中，第1行有1个数.第2行有3个数.第3行有5个数…
18
20
22
24
…
…
28
26
那么2004应该在第_____行第____列.
解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.
解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.
把三角阵与左图作比较，可以发现：
①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.
②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.
由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.
例3、将正偶数按下表排成5列：
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
总结与提示
数阵问题是有趣的填数问题，数学兴趣活动中常会碰见这样的问题。解答这类问题，既可以提高同学们的学习兴趣，还可以培养同学们分析、推理的能力。要想正确、迅速地填数，就要做到以下几点。
1、根据题型的特性，准确判断出问题是辐射型、封闭型、还是复合型。
2、掌握各类题型的解题思路。例如，解答辐射型数阵问题的关键是找出中心数；解答封闭型数阵问题的关键是找出重复计算的顶点上的数。不管哪种题型，都要从“和相等”入手。
2，3，4，5，6，7………99，100，101
3，4，5，6，7，8………100，101，102
………
99，100，101，102，103，104………196，197，198
100，101，102，103，104，105………197，198，199
B23六年级专题讲座（二十三）
等差数列及其应用（二）数阵问题
把三角阵与左图作比较，可以发现：
①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.
②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.
由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.
例3、将正偶数按下表排成5列：
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
例2、将自然数如下排列，
12671516…
3581417…
491318…
10 12…
11…
…
在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？
分析与解答
不难看出，数表的排列规律如箭头所指，（见下表）
为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如右图），
则第n行有2×n-l个数
因此，前n行中共有奇数的个数为：
1+3+5+7+…+（2×n-1）=［1+（2×n-1）〕×n÷2=n×n
因为9×9＜99＜10×10.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数.
②因为前9行共9×9个奇数，所以第10行的第9个数是奇数中的第9×9+9＝90个数.），它是2×90-＝179.
例2、将自然数如下排列，
12671516…
3581417…
491318…
10 12…
11…
…
在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？
分析与解答
不难看出，数表的排列规律如箭头所指，（见下表）
为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如右图），
18
20
22
24
…
…
28
26
那么2004应该在第_____行第____列.
解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.
解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.
解：
例3、将1～6这六个数分别填入图中的○内，使每条边上三个○内数的和都等于9。
思路点拨：假设三角形的三个顶点上的数为：a、b、c，这样a、b、c三个数的和为：9×3－（1＋2＋3＋4＋5＋6）=6
a、b、c三个数的和等于6，可知a、b、c三个数分别是1、2、3。
解：
例4、将5～14这十个自然数填入右图中的○中，使每个大圆上六个数的和都相等。
123456???9899100234567???99100101345678???100101102???99100101102103104???196197198100101102103104105???197198199b23六年级专题讲座二十三等差数列及其应用二数阵问题例1把所有奇数排列成下面的数表135791113151719212325272931333537394143454749???根据规律请指出197排在第几行的第几个数
4、将10～20填入右图的○内，其中15已填好，使得每条边上的3个数字之和都相等。
5、将1～6这六个数分别填入图中的○内，使每条直线上三个○内所填数的和相等。
6、将1～10这十个自然数填入图中的○中，使五边形每条边上的三个数之和相等，并使和尽可能地小。
7、将1～9这九个自然数分别填入图中九个小三角形中，使每4个小三角形组成的大三角形内的4个数的和等于20。
则第n行有2×n-l个数
因此，前n行中共有奇数的个数为：
1+3+5+7+…+（2×n-1）=［1+（2×n-1）〕×n÷2=n×n
因为9×9＜99＜10×10.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数.
②因为前9行共9×9个奇数，所以第10行的第9个数是奇数中的第9×9+9＝90个数.），它是2×90-＝179.
3、因为
12
23的和为：2×4=2×2×2=8
123
234
345的和为：3×9=3×3×3=27
1234
2345
3456
4567的和为：4×16=4×4×4 =64
从中发现规律：n行n列组成的数的和为n×n×n。所以此数字方阵，
表中所有数之和为100×100×100=1000000。
思路点拨：假设重复的两个数为a、b，每个圆圈中六个数的和为：（5＋6＋7＋…＋14＋a＋b）÷2=（95＋a＋b）÷2，那么a与b的和可能是11、13、15、…、27共9种。
当a与b的和为11时，可得每个大圆圈上六个数的和为53.
例5、将1～10这十个自然数分别填入图中的十个○内，使各条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等.
（二十三）数阵问题
例1、把所有奇数排列成下面的数表，
1
357
911131517
19 212325272931
33 35373941434547 49
………
根据规律请指出①197排在第几行的第几个数？②第10行的第9个数是多少？
解：①197是奇数中的第99个数.
因为 数表中，第1行有1个数.第2行有3个数.第3行有5个数…
3、要耐心地计算、试验，并把分析推理和试验结合进行。
4、很多数阵问题的答案不是唯一的。
练习与思考（每题10分，共100分）
1、把1～9九个数填入“七一”内，使每一横行、竖行的数字和是13。
2、将1～7这七个数分别填入右图中的○里，使每条线上3个数的和等于10。
3、将1～13这13个数分别填入图中的○内，使每条线段上四个○内的数的和相等。
三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，
则：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n
即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2用试值的方法，可以求出n=63.又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为1953。三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.
2，3，4，5，6，7………99，100，101
3，4，5，6，7，8………100，101，102
………
99，100，101，102，103，104………196，197，198
100，101，102，103，104，105………197，198，199
1、分法为：135791113151719。
2、这堆苹果至少应该有：1+2+3+4+5+6+7+8=36个
例2、将1～7分别填入右图中的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
思路点拨：怎样求中心数呢？可以设中心数为a，则总和为：1＋2＋3＋…＋7＋2a=28＋2a，每条线段上三个数的和为：（28＋2a）÷3，所得的商是自然数。即：当a=1时，每条线段上三个数的和为10；当a=4时，每条线段上三个数的和为12；当a=7时，每条线段上三个数的和为14。因此本题有三种填法。
三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，
则：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n
即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2用试值的方法，可以求出n=63.又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为1953。三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.
答案：2513
习题
★
1.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根数都是奇数且一堆比一堆少两根，应如何分？
★★
2.把一堆苹果分给8个小朋友，要使每个人都能拿到苹果，而且每个人拿到苹果个数都不同的话，这堆苹果至少应该有几个？
★★★
3.下表是一个数字方阵，求表中所有数之和.
1，2，3，4，5，6………98，99，100
8、将1～9这九个自然数分别填入图中九个小三角形中，要求靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并尽可能地大。这五个数之和最大是多少？
9、将1～8这八个数填入方格内，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格、对角线四格和四角四格内四个数相加的和都是18。
10、将1～9这九个自然数填入图中的○内，使对角线上五个○内数的和相等，每个正方形四个顶点上数的和也相等。