通城二中2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)

通城二中2020-2021学年高二上学期期中考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.直线a ∥平面α，直线b ∥平面β，平面α∥平面β，则直线a 与直线b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．平行或异面或相交 C ．相交 D ．异面
2.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品数量之比为3:4:7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为（ ）
A.50
B.60
C.80
D.70 3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
(1)
n a n n =+，则5S 等于 ( )
A.1
B.
16
C. 56
D.1
30
4.在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为 ( )
A.
2
2
3 B.
2
3
C. 233
D.33
5．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则
( )．
A ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
6．如果从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么下列各组中的两个事件是“互斥而不对立”是（ ）
A ．“至少有一个黒球”与“都是红球” B.“至少有一个黒球”与“都是黒球” C ．“至少有一个黒球”与“至少有个红球” D.“恰有1个黒球”与“恰有2个黒球”
7、直线0323=-+y x 截圆42
2=+y x 得的劣弧所对的圆心角为( )
A.
3π B.4π C.6π D.2
π
8．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分
别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为( )
A ． 2
B ．
3 C ．6
D ．1 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全
部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）
A ．在研究两个变量之间的线性相关关系时，相关系数r 的绝对值越趋近于1，说明两个变量之间的线性关系越强。

B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学
C.从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
D ．在回归直线方程0.110ˆy
x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位 10. 设圆A :x 2+y 2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是 （ ）
A.圆A 的半径为2
B.圆A 与圆B :x 2+y 2 - 8x - 8y+23=0相离
C.圆A 上的点到直线3x - 4y+12=0的最小距离为1
D.圆A 截y 轴所得的弦长为2
11．关于函数2
2
()cos sin 1f x x x =-+，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 是偶函数且在区间,42ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭单调递减 B ．函数()f x 以
2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 C ．函数()f x 以π为周期且在()2
k x k Z π
=
∈处取得最大值 ()1
22cos )()(f .+-=x x g x D 得到图像向右平移一个单位将
12.已知矩形ABCD ,AB=1,BC=,将△ADC 沿对角线AC 进行翻折,得到三棱锥D - ABC ,则在翻折的过程中,下列
结论正确的是
( )
A.三棱锥D - ABC 的外接球的体积不变.
B.三棱锥D - ABC 的体积的最大值为
3
1 C.三棱锥D - ABC 的体积最大时, 二面角D - AC - B 的大小是60°
D.异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.一组数据的平均数是28, 方差是36, 若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是 方差是 .（注：第一空2分，第二空3分） 14.若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围
15.设等比数列{}n a 的公比为3
1
=
q ，前n 项和为n S ，则44S a =___________.
16.已知函数f （x ）＝sin 2x+3sinxcosx ，若f （x ）在区间[3π-
，m]上的最大值为2
3
，则m 的最小值是____________
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(10分)ΔABC 中A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且c
a b
C B +-
=2cos cos 求：（1）角B 的大小；
（2）若4,13=+=c a b ，求ΔABC 的面积.
18（12分）求过点(3,1)M ，且与圆2
2
(1)4x y -+=相切的直线l 的方程
19（12分）某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16 .
（1）求的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职工多少名？
（3）已知，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率.
20（12分）已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
21（12分）四棱锥P—ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直。

底面ABCD 是面积为3
2的菱形，∠ADC为菱形的锐角。

（1）求证：PA⊥CD
（2）求二面角P—AB—D的度数
22（12分）已知数列{}
n
a满足)
(1
2
,11
1
*
+
∈
+
=
=N
n
a
a
a n
n
（1）求证：数列}1
{+
n
a是等比数列；
（2）求通项公式n a;
(3)设n
n
=
b，求{}n n b a的前n项和n T.
C
A
P
参考答案
一、单选题 1-8 B D C C A D A C
二、多选题 9.AD 10.ACD 11.BD 12.AD 三、填空题
13. 88 36 14. 22<≤-m 或22=m . 14.
382 16. 3
π 四、解答题 17.解：（1）由余弦定理得：a 2+c 2-b 2=-ac,得B=1200 5分
（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=++13
16
22
22
2ac c a ac c a 得ac=3,∴S Δ=433sin 21=B ac 10分
18.解：解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=，∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴
()
2
221k =+-，解得34k =-， ∴切线方程为3
1(3)4
y x -=--，即34130x y +-=，
6分
当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2 10分
19. 【答案】（1）144（2）12（3）4
9
【解析】
第一问中利用等概率抽样求解样本容量．可知由
,解得
第二问中，由于用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查 因此先求第三批的人数，然后按比例抽样得到第三批中抽取的人数 第三问中，结合古典概型概率公式求解得到． 解: (1)由
,解得
. ……………3分
(2)第三批次的人数为
,
设应在第三批次中抽取m 名，则
，解得12m =.
∴应在第三批次中抽取12名. ……………6分
（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记为数对(,)y z ， 由（2）知200,(,,96,96)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：
，共9个，
而事件A 包含的基本事件有：(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共4个， ∴4
()9
P A =
. ……………………………………12分
20. 解：（1）∵＝（cosx ，sinx ），＝（3，﹣），∥，
∴﹣cosx ＝3sinx ，
当cosx ＝0时，sinx ＝1，不合题意， 当cosx ≠0时，tanx ＝﹣，
∵x ∈[0，π]， ∴x ＝
5分
（2）f （x ）＝＝3cosx ﹣
sinx ＝2
（
cosx ﹣sinx ）＝2
cos （x+
），
∵x ∈[0，π]， ∴x+
∈[
，
]， ∴﹣1≤cos （x+
）≤
，
当x ＝0时，f （x ）有最大值，最大值3， 当x ＝
时，f （x ）有最小值，最小值﹣2. 12分
21. 解：（1）过P 作PE ⊥CD 于E 连接AE 则PE ⊥底面ABCD,因为2×
2
1
AD.CDsin ∠ADE=23，所以∠ADC 是边长为2的等腰三角形。

又因为E 是DC 的中点，所以AE ⊥CD,所以PA ⊥CD 5分
(2) 因为PA ⊥CD ，AE ⊥CD ，CD ∥AB,所以PA ⊥AB.AE ⊥AB,所以∠PAE 就是二面角P-AB-D 的平面角，所以△ADC 和△PDC 都是边长为2的正三角形，所以PE=AE,又因为PE 垂直于AE,所以∠APE=45°，即二面角P-AB-D 的大小为45°。

12分
22.解： 解：（1） )(121*
+∈+=N n a a n n 得 ))(1(211*+∈+=+N n a a n n
∴
)(21
1
1*+∈=++N n a a n n 211=+a 且首项为
∴数列}1{+n a 成等比数列. 4分
(2)由（1）知，}1{+n a 是以11+a =2为首项，以2为公比的等比数列
∴n n a 22211-n =⋅=+ ∴1
2-=n n a 6分
（3） n n =b ∴)12(-=⋅n
n n n b a
∴n n b a b a b a b a T +++=332211n
)12()12(3)12(2)12(1321-+-+-+-=n n =
)321()2n 2322213
2
1
n n
++++-⋅+⋅+⋅+⋅ （ 令n
S 2n 2322213
2
1
n ⋅+⋅+⋅+⋅=
1432n 2n 2322212+⋅+⋅+⋅+⋅=n S
两式相减1
321n 2
22221+⋅-+++⋅=-n n n S
2)1(21
+-=+n S n n
∴2)
1(2)1(21+-
+-=+n n n T n n 12分。