河北省邢台市南和县实验中学高三数学文期末试题含解析

河北省邢台市南和县实验中学高三数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列的前项和为，已知，则（）
A． B．C． D ．
参考答案：
C
2. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的的值为（）
（A）15 （B）105
（C）245 （D）945
参考答案：
B
3. 已知f(x)=，g(x)=，则下列结论正确的是（）
A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数
C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数
参考答案：A
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】利用奇偶函数的定义，即可判断．
【解答】解：h（x）=f（x）+g（x）=+=，h（﹣x）==﹣=h （x），
∴h（x）=f（x）+g（x）是偶函数；
h（x）=f（x）g（x）无奇偶性，
故选：A．
4. 若复数（为虚数单位），则=（）
（A）3（B）2 （C）（D）
参考答案：
B
，所以=2 ,故选B．
5. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．其中的一道题“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．问：得几何？”意思是：“有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作多少个？”现有这样的一个正方体木料，其外周已涂上油漆，则从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，由正方体的结构及锯木块的方法，可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，由此能求出从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率．
【详解】有一块棱长为3尺的正方体方木，要把它作成边长为5寸的正方体枕头，可作216个，
由正方体的结构及锯木块的方法，
可知一面带有红漆的木块是每个面的中间那16块，共有6×16＝96个，
∴从切割后的正方体枕头中任取一块，恰有一面涂上油漆的概率：
p．
故选：C．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件
个数除以总的事件个数即可.
6. 如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
7. 记集合,,将M中的元素按从大到小排列，则第2012个数是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
8. 如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α
参考答案：
B
试题分析：设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此α<γ<β，因此选B.
【名师点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解．
9. 函数，则下列不等式一定成立的是( )
A． B． C． D．
参考答案：
B
10. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 平面直角坐标系xOy中，点是单位圆在第一象限内的点，，若
，则为_____．
参考答案：
分析】
利用任意角三角函数的定义可知，同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的正余弦公式求得的值，两者相加即可得解．
【详解】解：由题意知：，，由，得
，
，故答案为：.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的正余弦公式，属于基础题．12. 某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件则该校招聘
的教师人数最多是
名.
参考答案：
10；
13. 直线是曲线的一条切线，则实数b=
参考答案：
略
14. （文科）集合，,
则集合的所有元素之和为
参考答案：
225
15. 设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为．
参考答案：
±2
【考点】圆的切线方程．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】由题意可得直线的方程y=x+a，然后根据直线与圆相切的性质，利用点到直线的距离公式即可求解a
【解答】解：由题意可得直线的方程y=x+a
根据直线与圆相切的性质可得，
∴a=±2
故答案为：±2
【点评】本题主要考查了直线与圆的相切的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题
16. 在中，分别是内角的对边，已知，则
.
参考答案：
6 略
17. 已知函数f （x ）=lnx ﹣ax 2，且函数f （x ）在点（2，f （2））处的切线的斜率是﹣，则a=
．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数f （x ）的导数，代入x=2可得切线的斜率，解方程可得a 的值．
【解答】解：函数f （x ）=lnx ﹣ax 2的导数为f′（x ）=﹣2ax ， 函数f （x ）在点（2，f （2））处的切线的斜率为﹣4a ， 由题意可得﹣4a=﹣， 解得a=． 故答案为：．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，圆周角
的平分线与圆交于点
，过点
的切线与弦
的延长线交于点
，
交
于点
.
（1）求证：； （2）若
四点共圆，且
，求
.
参考答案：
(1)∵的平分线与圆交于点
∴
,
∵,∴,∴,
∴.
(2)因为四点共圆,所以
,
由(1)知,, 所以. 设,
因为,所以
,
所以
,
在等腰三角形
中,
,
则
,所以
.
19. （本小题满分13分）
在△中，内角的对边分别为，且．（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
参考答案：
（Ⅰ）解：由已知得，………………2分即．
解得，或．………………4分
因为，故舍去．………………5分
所以．………………6分
（Ⅱ）解：由余弦定理得．………………8分将，代入上式，整理得．
因为，
所以．………………11分
所以△的面积．………………13分
20. （本小题满分10分）
选修4—1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE、CFD都是⊙O的割线，AC=AB。

（1）证明：AC2=AD·AE
（2）证明：FG∥AC
参考答案：
（Ⅰ）∵是⊙的一条切线，
∴．又∵，∴…… 5分
（Ⅱ）∵，∴，又∵，
∴∽∴.
又∵四边形是⊙的内接四边形，
∴∴
∴. …… 10分
略
21. 如图，在平面四边形ABCD中，，，.
（1）求；
（2）若，，求CD.
参考答案：
（1）；（2）CD＝5
【分析】
（1）直接利用余弦定理求cos∠BAC；（2）先求出sin∠DAC＝，再利用正弦定理求CD．【详解】（1）在△ABC中，由余弦定理得：
．
（2）因为∠DAC＝90°－∠BAC，所以sin∠DAC＝cos∠BAC＝，
所以在△ACD中由正弦定理得：，，
所以CD＝5．
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22. （本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。

参考答案：。