高三数学试题配套月考(二)(A卷)新课标

适用地区：新课标地区
考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式
建议使用时间：2012年9月底
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.（2012·哈尔滨第六中学三模）已知集合{
}2,0x
M y y x ==>，{
}
)2lg(2
x x y x N -==，
则M
N 为（ ）
A.()2,1
B.()+∞,1
C.[)+∞,2
D.[)+∞,1 2. (2012·银川一中第三次月考)若b a b a >是任意实数，且、,则下列不等式成立．．
的是( )
A.2
2
b a > B.1<a b C.0)lg(>-b a D.1133a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3.（理）[2012·辽宁卷]在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝（ ）
A.58
B.88
C.143
D.176
（文）[2012·辽宁卷]在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝（ ）
A.12
B.16
C.20
D.24 4. [2012·山东卷]若ππ,42θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，37
sin 2=
θ，则sin θ=（ ）
A.
35 B.45 C.7 D.3
4
5. [2012·课标全国卷]已知{}
n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）
A.7
B.5
C.-5
D.-7
6. [2012·山东卷]函数2sin (09)63x y x ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭ππ的最大值与最小值之和为（ ）
A.23
B.0
C.－1
D.13--7.（理）（2012·太原三模）下列判断错误的是（ ）
A. “22
am bm <”是”a b <”的充分不必要条件
B.命题“2
,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“ 2
000,10x x x ∃∈-->R ”
C.若,p q 均为假命题，则p q ∧为假命题
D.若()~4,0.25B ξ，则1D ξ=
（文）（2012·太原三模）下列判断正确的是（ ）
A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题
B. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”
C. “1sin 2α=
”是“ 6
π
α=”的充分不必要条件 D. 命题“,20x
x ∀∈>R ”的否定是“ 0
0,20x x ∃∈≤R ”
8.（2012·长春三模）函数21
()3cos log 22
f x x x π
=--的零点个数为（ ） A.2
B.3
C.4
D.5
9. (2012·银川一中第三次月考)函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π
0,2
A ϕ><）的图象如图1所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只需将()f x 的图象( ) A.向右平移
π
6
个长度单位 B.向右平移
π
12
个长度单位 C.向左平移
π
6个长度单位 D.向左平移π
12
个长度单位 图1
10.（2012·郑州质检）在△ABC 中，若2
···AB AB AC BA BC CACB =++，则△ABC 是( )
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
11. (2012·石家庄二模)已知函数()2,0,2,0,
x f x x x ≥⎧=⎨-+<⎩则满足不等式()()
2
32f x f x -<的x 的取值范围为( ) A.
B. (-3,1)
C. [-3,0)
D. (-3,0)
12. (2012·石家庄二模)设不等式组
表示的平面区域为,n n D a 表示区
域D n 中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则
=( )
A. 1012
B. 2012
C. 3021
D. 4001
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.） 13. [2012·课标全国卷]已知向量a ,b 夹角为45︒
，且|a|=1，|2a －b|=10，则|b|=
________.
14. (2012·石家庄二模)在△ABC 中，,16
B A
C π
∠=
=,
3AB =,则BC 的长度为________.
15. [2012·课标全国卷] 设,x y 满足约束条件：,0,1,3,x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
则2z x y =-的取值范围
为 .
16. (2012·银川一中第三次月考)已知0,0x y >>，若
2282y x
m m x y
+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.（本小题满分10分）
[2012·北京卷]已知函数x
x
x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=。

（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间. 18.（本小题满分12分）
（2012·昆明第一中学一摸）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足510a =，且139,,a a a 成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求数列1
{}n
S 的前n 项和.n T
19.（本小题满分12分）
[2012·课标全国卷]已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sin C －c cos A .
（1）求A ；
（2）若a =2，△ABC.的面积为3，求b ,c. 20.（本小题满分12分）
（理）（2012·郑州质检）已知等差数列{}n a 满足：14,9625=+=a a a . （1）求{}n a 的通项公式； （2）若n
a n n q
a b +=(0>q )，求数列{}n b 的前n 项和n S .
（文）（2012·郑州质检）已知等差数列{}n a 满足：14,9625=+=a a a .
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若n a
n n a b 2+=，求数列{}n b 的前n 项和n S .
21. [2012·江苏卷]如图2，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>表示的曲线上，
其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不
超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由.
图2
22.（理）[2012·辽宁卷]设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线()y f x =与直线3
2
y x =在(0，0)点相切。

（1）求,a b 的值;
（2）证明：当02x <<时，9()6
x
f x x <
+. （文）[2012·辽宁卷]设f (x )＝ln x ＋x －1，证明：
（1）当x >1时，f (x )<3
2
(x －1)；
（2）当1<x <3时，f (x )<9x －1
x ＋5.
参考答案
1. A 【解析】集合M ={y |y >1}，集合N ={|0<<2}x x ，所以=(1,2)M
N .
2. D 【解析】因为指数函数13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在定义域R 内单调递减，又a b >，所以1133a
b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故D 项正确.
3.（理）B 【解析】由等差数列性质可知，a 4＋a 8＝a 1＋a 11＝16，S 11＝11×a 1＋a 11
2＝88.
（文）B 【解析】由等差数列的性质“m ＋n ＝i ＋j ，m ，n ，i ，j ∈N *
，则a m ＋a n ＝a i ＋a j ”，得a 4＋a 8＝a 2＋a 10＝16.
4. D 【解析】因为ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π
2,π2
θ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，所以02cos <θ，所以
812sin 12cos 2-
=--=θθ.又81sin 212cos 2-=-=θθ，所以16
9sin 2=θ.又由ππ,42θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，得sin 0θ>，所以43sin =θ.选D.
5. D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a .又274=+a a ，所以
2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，此时7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a .综上, 7101-=+a a .选D.
6. A 【解析】因为90≤≤x ，所以9066x ≤
≤
ππ，则73636x ≤≤ππππ--，所以当633
x πππ
-=-时，
函数2sin (09)63x y x ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭ππ的最小值为π2sin 33⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
；当632x πππ-=-时，函数
2sin (09)63x y x ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭
ππ的最大值为2sin 22π=，所以最大值与最小值之和为32-.
选A.
7.（理）D 【解析】A 项中，22am bm a b <⇒<；但a b <不能推出22am bm <,例如：当
0m =时，22am bm =，故A 正确；B 项显然正确；C 项中,,p q 均为假可以推出p q ∧为假，
正确；D 项中，()40.2510.250.75D ξ=⨯⨯-=，故错误.
（文）D 【解析】A 项中，因为p 真q 假，所以p q ∧为假命题.故A 项错误；B 项中，“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠”， 故B 项错误；C 项中，1sin 2α=是6
π
α=的必要不充分条件，故C 项错误；D 选项正确. 8. B 【解析】在同一坐标系内画出函数π
3cos 2
y x =和21log 2y x =+的图象，可得交点个
数为3. 故选B.
9. A 【解析】由图象易得1A =,且函数()f x 的最小正周期为7ππ4π123T ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
,所以2π2T ω=
=.又由图象过点7π,112⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，得7πsin 2112ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭
，
则
()7ππ
2π62
k k ϕ+=-∈Z ,得
()5π2π3k k ϕ=-∈Z ，又π
2
ϕ<，所以π3ϕ=
.所以()πsin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
.将其向右平移π6个长度单位，即可得到函数
x x g 2sin )(=的图象.
10.D 【解析】由2
···AB AB AC BA BC CACB =++，得()()
··AB AB AC BC BA CA -=-，
得·
AB CB = ·BC BC ，得()
·0BC BC AB +=，得·0BC AC =,故BC AC ⊥.故△ABC 是直角三角形.
11. D 【解析】当2
20,30
x x ≥⎧⎨
-<⎩时，满足2232x >-+,无解；当2
20,30
x x <⎧⎨
-≥⎩时，满足222x <-+，
解得30x -≤<；当2
20,30
x x <⎧⎨-<⎩时，满足23222x x -+<-+，解得33x -<<-.综上可知，x 的范围为(3,0)-.
12. C 【解析】因为0y >，所以令4004nx n x -+>⇒<<,又x 为整数，所以1,2,3x =.当x =1时，43y n n n ≤-+=，有3n 个整数点；当x =2时，242y n n n ≤-+=，有2n 个整数点；当x =3时，34y n n n ≤-+=，有n 个整数点.综上，共有6n 个整数点，所以
*6,n a n n =∈N .则数列2{}n a 是以212a =为首项，公差为12的等差数列.故
()2
20122462012()10061
1
2012
20122
a a a a a a +⨯++++=
⨯ 3021=.
13. 32【解析】因为|2a －b|=10，所以（2a －b ）2=10，即4|a|2－4|a||b|＋4|b|2
=10，
所以4＋|b|2
－4|b|cos45°=10，整理得|b|2
－22|b|－6=0，解得|b|=23或|b|=2-（舍
去）.
14. 1或2【解析】由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠,即
21323BC BC =+-⨯⨯⨯ 3
2
,解得BC =1或BC =2. 15. ]3,3[-【解析】作出不等式组所表示的可行域如下图，由y x z 2-=，得z x y 2
121-=.平移直线x y 21=
，由图象可知当直线经过点)0,3(D 时，直线z x y 2
1
21-=的截距最小，此时y x z 2-=取得最大值3；当直线经过点()1,2B 时，直线z x y 21
21-=的截距最大，
y x z 2-=取得最小值-3；所以
33≤≤-z ，
即z 的取值范围是]3,3[-.
16.
()
4,2-【解析】因为0,0x y >>，所以
282828y x y x x y x y
+≥⋅=.若2282y x
m m x y
+>+恒成立，则282m m >+,解得42m -<<.
17.解：（1）由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，
故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． …………………2分
因为f (x )＝sin x －cos x sin2x
sin x
＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， …………………………4分 所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. …………………………5分 （2）函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2
(k ∈Z )． …………………………6分
由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π
2，x ≠k π(k ∈Z )，
得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π
8
(k ∈Z )．
所
以
f (x )的单调递减区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π＋3π8，kx ＋7π8(k ∈
Z )． …………………………10分
18. 解：（1）依题意得()()12
1
11410,
28,a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ 因为0d ≠，解得12,
2.
a d =⎧⎨
=⎩ …………………………4分
所以()2122n a n n =+-⨯=. …………………………6分
（2）由（1）得()
2222
n n n S n n +=
=+， 所以211111
n S n n n n ==-++. …………………………10分 所
以
1111
1111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-
= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…. …………………………12分
19.解：（1）由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得
3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. …………………………3分
由于sin C ≠0，所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝1
2.
又0<A <π，故A ＝π
3
. …………………………6分
(2)△ABC 的面积S ＝1
2
bc sin A ＝3，故bc ＝4.
而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2
＝8. …………………………10分
解得b ＝c ＝2. …………………………12分
20. （理）解：（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则
由5269,14,a a a =+=得11
49,2614,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …………2分
解得11,
2,
a d =⎧⎨
=⎩
所以{}n a 的通项公式2 1.n a n =- …………5分
（2）由21n a n =-得21
21n n b n q -=-+. …………7分
①当01q q >≠且时，[]()13521135(21)n n S n q q q q -=+++
+-+++++
()222
11n q q n q -=+
-；…………10分
② 当1q =时，2n b n =，得n S =(1)n n +；
所以数列{}n b 的前n 项和()()()()22
2
11,101.1n n n n q S q q n q q q +=⎧⎪=-⎨+>≠⎪-⎩
且…………12分 （文）解：（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则由526
9,14,a a a =+=得11
49,
2614,a d a d +=⎧⎨+=⎩…………2分 解得11,
2.
a d =⎧⎨
=⎩ …………4分
所以{}n a 的通项公式2 1.n a n =- …………6分
（2）由21n a n =-得21
212n n b n -=-+. …………8分
[]()13521135(21)2222n n S n -=+++
+-++++
+…10分
()2212
2
2
21222
123
n n n n +--=+
=+
-. …………12分 21.解：（1）令y ＝0，得kx －120
(1＋k 2)x 2
＝0，…………………………2分
由实际意义和题设条件知x >0，k >0，
故x ＝20k 1＋k 2＝
20k ＋
1k
≤20
2
＝10，当且仅当k ＝1时取等号. …………………………4分 所以炮的最大射程为10 km. …………………………5分
（2）因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120
(1＋k 2)a 2
成立
⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2
＋64＝0有正根 …………………………7分
⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2
＋64)≥0
⇔a ≤6. …………………………11分 所以当a 不超过6 km 时，可击中目标. …………………………12分
22. （理）解：（1）由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. …………………………2分
由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为3
2
，
又'
=0=0
13
=++=++12
2+1x x y
a a x x ⎛⎫
⎪
⎝
⎭，得a ＝0. …………………………5分 （2）(证法一)由均值不等式，当x ＞0时，2
x ＋1·1＜x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1
＜x
2
＋1.……7分
记h(x)＝f(x)－
9x
x＋6
，则h′(x)＝
1
x＋1
＋
1
2x＋1
－
54
x＋62
＝
2＋x＋1
2x＋1
－
54
x＋62＜
x＋6
4x＋1
－
54
x＋62
＝
x＋63－216x＋1
4x＋1x＋62
. …………………………9分
令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.
因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.
因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.
于是当0＜x＜2时，f(x)<
9x
x＋6
. …………………………12分
(证法二)
由（1）知f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1－1.
由均值不等式，当x＞0时，2x＋1·1＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1＜
x
2
＋1.①
令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝
1
x＋1
－1＝
－x
x＋1
＜0，
故k(x)＜0，即ln(x＋1)＜x.②
由①②得，当x＞0时，f(x)＜
3
2
x.
记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0＜x＜2时，h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9
＜
3
2
x＋(x＋6)
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
x＋1
＋
1
2x＋1
－9
＝
1
2x＋1
[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋x＋1)－18(x＋1)]
<
1
2x＋1
[3x(x＋1)＋(x＋6)⎝
⎛
⎭⎪
⎫
3＋
x
2
－18(x＋1)]
＝
x
4x＋1
(7x－18)＜0.
因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，
所以h(x)＜0，即f(x)＜
9x
x＋6
.
（文）证明：（1）(证法一)记g(x)＝ln x＋x－1－
3
2
(x－1).则当x>1时，
g′(x)＝
1
x
＋
1
2x
－
3
2
<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减.
又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)<
3
2
(x－1).
(证法二)
由均值不等式，当x>1时，2x<x＋1，故x<
x
2
＋
1
2
.①
令k(x)＝ln x－x＋1，则k（1）＝0，k′(x)＝
1
x
－1<0，
故k(x)<0，即ln x<x－1.②
由①②得，当x>1时，f(x)<
3
2
(x－1).
（2）(证法一)记h (x )＝f (x )－9x －1x ＋5，由（1）得 h ′(x )＝1x ＋12x
－54x ＋52＝2＋x 2x －54x ＋52<x ＋54x －54x ＋52＝
x ＋53－216x 4x x ＋5
2. 令g (x )＝(x ＋5)3－216x ，则当1<x <3时，g ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0.
因此g (x )在(1,3)内是递减函数，又由g （1）＝0，得g (x )<0，所以h ′(x )<0.
因此h (x )在(1,3)内是递减函数，又由h （1）＝0，得h (x )<0.于是当1<x <3时，f (x )<9x －1x ＋5
. (证法二)记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1<x <3时，由（1）得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9<32(x －1)＋(x ＋5)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＋12x －9
＝12x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x )－18x ]<12x ⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤3x x －1＋x ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2＋12－18x ＝14x (7x 2－32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1,3)内单调递减，又()10h =，所以()0h x <，即()()915
x f x x -<
+.。