高考数学文一轮：一课双测A+B精练四十空间几何体的结构特征及三视图和直观图218

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图
1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )
A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④
2．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋3
7．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆
8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．
10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．
11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．
(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )
A．23B．3C.3D．4
2．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面
ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平
面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为
2
2
.若M，N分别是线段DE，CE
上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．
3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．
(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；
(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；
(3)求该多面体的表面积．
[答题栏]
A级1._________2._________3._________4._________5
._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________
答案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)
A级
1．A2.A3.C4.B
5．选B由斜二测画法知B正确．
6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋1
2
×2×3＝4＋ 3.
7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.
答案：①②③
8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝53
3
.
答案：53
3
9.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.
答案：2＋22
10．解：图1几何体的三视图为：
图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3，
侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中，
OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中，
∵OE ＝1
2BC ＝2，SO ＝3，
∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.
12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝
42－⎝ ⎛⎭
⎪⎫23×32×232
＝12＝23，
∴S △VBC ＝1
2
×23×23＝6.
B 级
1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.
2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于
3
2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝2
2，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝3
3，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此
时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.
答案：3
3．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：
(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.
∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.
(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a2
2
，
S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a2
2，
S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积
S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a2
8＝5a2.
高考数学（文）一轮：一课双测A +B 精练(四十六) 两直线的位置关系
1．(·海淀区期末)已知直线l1：k1x ＋y ＋1＝0与直线l2：k2x ＋y －1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．当0＜k ＜1
2时，直线l1：kx －y ＝k －1与直线l2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．(·长沙检测)已知直线l1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l1与l2的距离为( )
A.85
B.32 C ．4D ．8
4．若直线l1：y ＝k(x －4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)
5．已知直线l1：y ＝2x ＋3，若直线l2与l1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l3⊥l2，则l3的斜率为( )
A ．－2
B ．－1
2
C.1
2
D ．2 6．(·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )
A ．3x ＋y ＋4＝0
B ．3x －y ＋4＝0
C ．x ＋3y －8＝0
D ．x －3y －4＝0
7．(·郑州模拟)若直线l1：ax ＋2y ＝0和直线l2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．
8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．
9．(·临沂模拟)已知点P(4，a)到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．
10．(·舟山模拟)
已知1a ＋1
b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离
的最小值．
11．(·荆州二检)过点P(1,2)的直线l 被两平行线l1：4x ＋3y ＋1＝0与l2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB|＝2，求直线l 的方程．
12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P(4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．
1．点P 到点A(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为2
2
，这样的点P 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．(·福建模拟)若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m2＋n2的最小值是( ) A ．2B ．22 C ．4D ．23
3．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A(4,1)和B(0，4)的距离之差最大． [答 题 栏]
A 级
1._________
2._________
3._________
4.________
_5.__________6._________
B 级
1.______
2.______
7.__________8.__________9.__________ 答 案
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十六)
A 级
1．C2.B3.B4.B
5．选A 依题意得，直线l2的方程是－x ＝2(－y)＋3， 即y ＝12x ＋32，其斜率是12，
由l3⊥l2，得l3的斜率等于－2.
6．选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y)＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7
＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.
7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－1
2.
答案：－1
2
8．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.
答案：0,1,2
9．解析：由题意得，点到直线的距离为
|4×4－3×a －1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|
5
≤3，即
|15－3a|≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．
答案：[0,10]
10．解：点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝
a ＋2
b 5＝1
5(a ＋2b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝
1
5
⎝
⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a2＝2b2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝
2＋22时取等号．所以点(0，b)到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋210
5
. 11．解：设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，
解得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，
解得B ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.
∵|AB|＝2， ∴
⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k2－48k －7＝0， 解得k1＝7或k2＝－17
.
因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.
12．解：设P(x ，y)关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．
∵kPP ′·kl ＝－1，即y ′－y
x ′－x ×3＝－1.①
又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②
由①②得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝－4x ＋3y －9
5
，③ y ′＝3x ＋4y ＋3
5
.④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2， y ′＝7，
∴P(4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为
－4x ＋3y －9
5－
3x ＋4y ＋3
5－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.
B 级
1．选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x. 设P(t2,2t)，则22＝|t2－2t|2
，解得t1＝1，t2＝1＋2，t3＝1－2，故P 点有三个．
2．选C 设原点到点(m ，n)的距离为d ，所以d2＝m2＋n2，又因为(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32
＝2，所以m2＋n2的最小值为4.
3．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|PA|－|PB|的值最大．设B ′的坐标为(a ，b)，
则kBB ′·kl ＝－1， 即3·b －4a ＝－1.
则a ＋3b －12＝0.①
又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，
b ＋42，且在直线l 上，
则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②
解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)． 于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4
，即2x ＋y －9＝0.
解⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝5，
即l 与AB ′的交点坐标为P(2,5)．
高三模拟考试卷压轴题押题猜题高考数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知集合{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，则A B =． 2．已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是． 3．函数276y x x =+-的定义域是．
4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是．
5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．
6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．
7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
21(0)y x b b
-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近
线方程是．
8．已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是．
9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是．
10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4
(0)y x x x
=+>上的一个动点，则点P 到直线
0x y +=的距离的最小值是．
11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是．
12．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点
O ．若6AB AC AO EC =，则AB
AC
的值是．
13．已知
tan 23tan()4
α
πα=-+，则sin(2)4π
α+的值是． 14．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，
且()f x 是奇函数．当(0x ∈，2]时，2()1(1)f x x =--，(2),01,()1,12,2
k x x g x x +<⎧⎪
=⎨-<⎪⎩其中
0k >．若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
（1）若3a c =，2b =，2
cos 3B =，求c 的值；
（2）若sin cos 2A B
a b
=
，求sin()2B π+的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．
求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ⊥．
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为
1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连
结1DF ．已知15
2
DF =．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．
18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．
19．（16分）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；
（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；
（3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：4
27
M ．
20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．
（1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；
（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122
n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和．
①求数列{}n b 的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M -数列”*{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．
【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）
21．（10分）已知矩阵3122A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦．
（1）求2A ；
（2）求矩阵A 的特征值．
B.[选修44：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．（10分）在极坐标系中，已知两点(3,)4A π，B ，)2
π
，直线1的方程为
sin()34
π
ρθ+=．
（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．
C.[选修45：不等式选讲]（本小题满分10分） 23．设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->．
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24．（10分）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n ，*n N ∈．已知2
3
242a a a =． （1）求n 的值；
（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．
25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =
，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n n
n
n M A B C =．从
集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离． （1）当1n =时，求X 的概率分布；
（2）对给定的正整数(3)n n ，求概率()P X n （用n 表示）．
高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知集合{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，则A B ={1，6}．
【思路分析】直接利用交集运算得答案．
【解析】：{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈， {1A
B ∴=-，0，1，6}{|0x x >，}{1x R ∈=，6}．故答案为：{1，6}．
【归纳与总结】本题考查交集及其运算，是基础题．
2．已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是2． 【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a 值． 【解析】：(2)(1)(2)(2)a i i a a i ++=-++的实部为0， 20a ∴-=，即2a =．故答案为：2．
【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．函数y =[1-，7]．
【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案． 【解析】：由2760x x +-，得2670x x --，解得：17x -．
∴函数y =[1-，7]．故答案为：[1-，7]．
【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．
4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是5．
【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：模拟程序的运行，可得 1x =，0S =
0.5S =
不满足条件4x ，执行循环体，2x =， 1.5S = 不满足条件4x ，执行循环体，3x =，3S = 不满足条件4x ，执行循环体，4x =，5S =
此时，满足条件4x ，退出循环，输出S 的值为5． 故答案为：5．
【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是2．
【思路分析】先求出一组数据6，7，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解析】：一组数据6，7，8，9，10的平均数为：
1
(678910)85
x =++++=，
∴该组数据的方差为：
2222221
[(68)(78)(88)(98)(108)]25
S =-+-+-+-+-=．
故答案为：2．
【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至
少有1名女同学的概率是7
10
．
【思路分析】基本事件总数2510n C ==，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本
事件个数1123
227m C C C =+=，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率． 【解析】：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 基本事件总数2510n C ==，
选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：
112
3227m C C C =+=，
∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是7
10
m p n ==．
故答案为：
710
． 【归纳与总结】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
7
．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22
21(0)y x b b
-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近
线方程是2y x =±．
【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b ，则双曲线的渐近线方程可求．
【解析】：双曲线22
21(0)y x b b
-=>经过点(3,4)，
∴2216
31b
-=，解得22b =，即2b =．
又1a =，∴该双曲线的渐近线方程是2y x =±．
故答案为：2y x =±．
【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．
8．已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是16．
【思路分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n 项和求得8S 的值． 【解析】：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则1111()(4)70
98
9272
a d a d a d a d ++++=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩． ∴818786(5)152162
d
S a ⨯=+=⨯-+⨯=．
故答案为：16．
【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题． 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是10．
【思路分析】推导出11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，三棱锥E BCD -的体积：11111
33212
E BCD BCD V S CE BC DC CE AB BC DD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，由此能求出结果．
【解析】：长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，
∴11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，
∴三棱锥E BCD -的体积：
1
3E BCD BCD V S CE -∆=⨯⨯
11
32BC DC CE =⨯⨯⨯⨯ 11
12
AB BC DD =⨯⨯⨯
10=．
故答案为：10．
【归纳与总结】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4
(0)y x x x
=+>上的一个动点，则点P 到直线
0x y +=的距离的最小值是4．
【思路分析】利用导数求平行于0x y +=的直线与曲线4
(0)y x x x
=+>的切点，再由点到
直线的距离公式求点P 到直线0x y +=的距离的最小值．
【解析】：由4(0)y x x x =+>，得24
1y x
'=-，
设斜率为1-的直线与曲线4
(0)y x x x =+>切于0(x ，004)x x +，
由2
04
11x -
=-，解得002(0)x x =>． ∴曲线4
(0)y x x x
=+
>上，点(2,32)P 到直线0x y +=的距离最小， 23242
=．
故答案为：4．
【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．
11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是(,1)e ．
【思路分析】设0(A x ，0)lnx ，利用导数求得曲线在A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解0x 即可．
【解析】：设0(A x ，0)lnx ，由y lnx =，得1
y x
'=，
∴001|x x y x ='=，则该曲线在点A 处的切线方程为000
1
()y lnx x x x -=-，
切线经过点(,1)e --，∴00
11e
lnx x --=--， 即00
e
lnx x =
，则0x e =． A ∴点坐标为(,1)e ． 故答案为：(,1)e ．
【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．
12．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点
O ．若6AB AC AO EC =，则
AB
AC
的值是3．
【思路分析】首先算出1
2
AO AD =，然后用AB 、AC 表示出AO 、EC ，结合6AB AC AO EC =得
2213
22
AB AC =，进一步可得结果． 【解析】：设()2
AO AD AB AC λ
λ==
+，
()AO AE EO AE EC AE AC AE μμ=+=+=+-
1(1)3AE AC AB AC μ
μμμ-=-+=+
∴123
2λμ
λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214
λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴11
()24
AO AD AB AC ==+，
1
3EC AC AE AB AC =-=-+，
11
66()()43
AO EC AB AC AB AC =⨯+⨯-+
22312
()233
AB AB AC AC =-++ 2213
22
AB AB AC AC =-++，
2213
22
AB AC AB AB AC AC =-++，
∴2213
22AB AC =，∴2
2
3AB AC =， ∴3AB AC
3【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
13．已知tan 23tan()4
απα=-+，则sin(2)4π
α+2． 【思路分析】由已知求得tan α，分类利用万能公式求得sin 2α，cos2α的值，展开两角和
的正弦求sin(2)4
π
α+的值．
【解析】：由
tan2
3
tan()
4
α
π
α
=-
+
，得
tan2
3
tan tan
4
1tan tan
4
α
π
α
π
α
=-
+
-
，
∴
tan(1tan)2
1tan3
αα
α
-
=-
+
，解得tan2
α=或
1
tan
3
α=-．
当tan2
α=时，
2
2tan4
sin2
15
tan
α
α
α
==
+
，
2
2
13
cos2
15
tan
tan
α
α
α
-
==-
+
，
42322
sin(2)sin2cos cos2sin
44455
πππ
ααα
∴+=+=⨯-⨯=；
当
1
tan
3
α=-时，
2
2tan3
sin2
15
tan
α
α
α
==-
+
，
2
2
14
cos2
15
tan
tan
α
α
α
-
==
+
，
32422
sin(2)sin2cos cos2sin
44455
πππ
ααα
∴+=+=-⨯+⨯=．
综上，sin(2)
4
π
α+的值是
2
．
故答案为：
2
．
【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．
14．设()
f x，()
g x是定义在R上的两个周期函数，()
f x的周期为4，()
g x的周期为2，且()
f x是奇函数．当(0
x∈，2]时，2
()1(1)
f x x
=--，
(2),01,
()1
,12,
2
k x x
g x
x
+<
⎧
⎪
=⎨
-<
⎪⎩
其中0
k>．若在区间(0，9]上，关于x的方程()()
f x
g x
=有8个不同的实数根，则k的取值范围是
1
[
3
，)
22
．
【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．
【解析】：作出函数()
f x与()
g x的图象如图，
由图可知，函数()
f x与
1
()(12
2
g x x
=-<，34
x
<，56
x
<，78)
x
<仅有2个实数根；
要使关于x的方程()()
f x
g x
=有8个不同的实数根，
则2
()1(1)
f x x
=--，(0
x∈，2]与()(2)
g x k x
=+，(0
x∈，1]的图象有2个不同交点，
由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1
1=，解得0)k k =
>，
两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率1
3
k =，
∴1322
k <． 即k 的取值范围为1
[
3．
故答案为：1
[
3．
【归纳与总结】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
（1）若3a c =，b =，2
cos 3B =，求c 的值；
（2）若sin cos 2A B
a b
=
，求sin()2B π+的值． 【思路分析】（1）由余弦定理得：222221022
cos 263
a c
b
c B ac c +--===，由此能求出c 的
值．
（2）由sin cos 2A B
a b =
，利用正弦定理得2sin cos B B =，再由22sin cos 1B B +=，能求出
sin B =，cos B =，由此利用诱导公式能求出sin()2
B π+的值． 【解析】：（1）在AB
C ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．
3a c =，b =，2
cos 3
B =，
∴由余弦定理得：
222221022
cos 63a c b c B ac c +--===，
解得c =．
（2）sin cos 2A B
a b
=
， ∴由正弦定理得：sin sin cos 2A B B
a b b
==
， 2sin cos B B ∴=， 22sin cos 1B B +=，
sin B ∴，cos B
sin()cos 2B B π∴+==
． 【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．
求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ⊥．
【思路分析】（1）推导出//DE AB ，11//AB A B ，从而11//DE A B ，由此能证明11//A B 平面1DEC ．
（2）推导出1BE AA ⊥，BE AC ⊥，从而BE ⊥平面11ACC A ，由此能证明1BE C E ⊥． 【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点， //DE AB ∴，11//AB A B ，11//DE A B ∴， DE ⊂平面1DEC ，11A B ⊂/平面1DEC ， 11//A B ∴平面1DEC ．
解：（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 的中点，AB BC =． 1BE AA ∴⊥，BE AC ⊥， 又1
AA AC A =，BE ∴⊥平面11ACC A ，
1C E ⊂平面11ACC A ，1BE C E ∴⊥．
【归纳与总结】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的焦点为
1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连
结1DF ．已知15
2
DF =．
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．
【思路分析】（1）由题意得到12//F D BF ，然后求AD ，再由15
2
AD DF ==求得a ，则椭圆方程可求；
（2）求出D 的坐标，得到21
3
3
224
BF DF k k ===，写出2BF 的方程，与椭圆方程联立即可求得点E 的坐标．
【解析】：（1）如图，22F A F B =，22F AB F BA ∴∠=∠，
22212F A a F D DA F D F D ==+=+，1AD F D ∴=，则11DAF DF A ∠=∠， 12DF A F BA ∴∠=∠，则12//F D BF ，
1c =，2
2
1b a ∴=-，则椭圆方程为22
22
11
x y a a +=-， 取1x =，得21D a y a -=，则2211
2a a AD a a a -+=-=
． 又15
2
DF =，∴2152a a +=，解得2(0)a a =>．
∴椭圆C 的标准方程为22
143x y +=；
（2）由（1）知，3
(1,)2
D ，1(1,0)F -，
∴213
3224BF DF k k ===，则23
:(1)4BF y x =-，
联立22
3(1)414
3y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2
2118390x x --=． 解得11x =-或213
7
x =（舍)．
∴13
2
y =-．
即点E 的坐标为3
(1,)2
--．
【归纳与总结】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明12//DF BF 是解答该题的关键，是中档题．
18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．
（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；
（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；
（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．
【思路分析】（1）设BD 与圆O 交于M ，连接AM ，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则(0,6)A -，(8,12)B --，(8,0)D -
设点1(P x ，0)，PB AB ⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求得P 的坐标，可得所求值；
（2）当QA AB ⊥时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x ，0)，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求得Q 的坐标，即可得到结论；
（3）设(,0)P a ，(,0)Q b ，则17a -，9
2
b -，结合条件，可得b 的最小值，由两点的距
离公式，计算可得PQ ．
【解析】：设BD 与圆O 交于M ，连接AM ， AB 为圆O 的直径，可得AM BM ⊥， 即有6DM AC ==，6BM =，8AM =，
以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则(0,6)A -，(8,12)B --，(8,0)D - （1）设点1(P x ，0)，PB AB ⊥， 则1BP AB k k =-， 即
10(12)6(12)
1(8)0(8)x -----=-----， 解得117x =-，所以(17,0)P -，22(178)(012)15PB =-+++=；
（2）当QA AB ⊥时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x ，0)，
则1QA AB k k =-，即20(6)6(
12)100(8)x -----=----，解得292x =-，9
(2
Q -，0)，
由9
1782
-<-<-
，在此范围内，不能满足PB ，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径，
所以P ，Q 中不能有点选在D 点； （3）设(,0)P a ，(,0)Q b ，则17a -，9
2
b -
，22(8)144225PB a =++， 2236225QA b =+，则321b ，当d 最小时，17321PQ =+．
【归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．
19．（16分）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；
（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；
（3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：4
27
M ．
【思路分析】（1）由a b c ==，可得3()()f x x a =-，根据f （4）8=，可得
3(4)8a -=，解得a ．
（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--．令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或
x b =．()()(32)f x x b x b a '=---．令()0f x '=，解得x b =，或23
a b
x +=．根据()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，通过分类讨论可得：只有3a =，3b =-，可得263133
a b A +-==∈，可得：2
()(3)(3)f x x x =-+．利用导数研究其单调性可得1x =时，函数()f x 取得极小值． （3）0a =，01b <，1c =，()()(1)
f x x x b x =--．
2()3(22)f x x b x b '=-++．△0>．令2
()3(22)0
f x x b x b '=-++=．
解
得
：
21111
(0,]
3
b b b x +--+，
2211
b b b x ++-+．12x x <，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，通过计算化简即
可证明结论．
【解析】：（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-， f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．
（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--．
令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．
2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---．
令()0f x '=，解得x b =，或23
a b
x +=．
()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，
若：3a =-，1b =，则2615
333
a b A +-+==-∉，舍去．
1a =，3b =-，则2231
333a b A +-==-∉，舍去．
3a =-，3b =，则263
133a b A +-+==-∉，舍去．．
3a =，1b =，则2617
333a b A ++==∉，舍去．
1a =，3b =，则25
33
a b A +=∉，舍去．
3a =，3b =-，则263
133a b A +-==∈，．
因此3a =，3b =-，213
a b
A +=∈，
可得：2()(3)(3)f x x x =-+． ()3[(3)](1)f x x x '=---．
可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-． （3）证明：0a =，01b <，1c =， ()()(1)f x x x b x =--．
2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++．
△2221
4(1)124444()332
b b b b b =+-=-+=-+．
令2
()3(22)0f x x b x b '=-++=．
解得：11(0,]3x =，2x =．12x x <，
1222
3
b x x ++=
，123b x x =， 可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，
2111()3(22)0f x x b x b '=-++=，可得：2111
[(22)]3
x b x b =+-，
1111()()(1)M f x x x b x ==--
222211111111(22)1
()()()()[(21)2]33
b x b x b x x x b x b x b x b +-=--=--=--+
2222111(22)11
[(21)2][(222)]339
b x b b b x b b b x b b +-=--+=-+-++， 2213
2222()022b b b -+-=---<，
M ∴在1(0x ∈，1
]3
上单调递减，
2221252524
()932727
b b b b M b b -+-+-∴++=
．
427
M
∴． 【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”．
（1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；
（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122
n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和．
①求数列{}n b 的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M -数列”*{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．
【思路分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据245a a a =，321440a a a -+=列方程求解，在根据新定义判断即可；
（2）求出2b ，3b ，4b 猜想n b ，然后用数学归纳法证明；
（3）设{}n c 的公比为q ，将问题转化为[][]1
max min lnk lnk
k k -，然后构造函数
()(3)lnx f x x x =，()(3)1
lnx g x x x =-，
分别求解其最大值和最小值，最后解不等式331
ln lnm
m -，即可．
【解析】：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则 由245a a a =，321440a a a -+=，得
244112111
440a q a q
a q a q a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩∴112a q =⎧⎨
=⎩， ∴数列{}n a 首项为1且公比为正数
即数列{}n a 为“M -数列”；
（2）①11b =，1
122
n n n S b b +=-，
∴当1n =时，
11121122
S b b b ==-，22b ∴=， 当2n =时，21223
1122
S b b b b ==-+，33b ∴=，
当3n =时，
312334
1122S b b b b b ==-++，44b ∴=， 猜想n b n =，下面用数学归纳法证明； ()i 当1n =时，11b =，满足n b n =，
()ii 假设n k =时，结论成立，即k b k =，则1n k =+时， 由1
122k k k S b b +=-，得 1(1)
2221(1)222
k k k k k k k k
b S b k k k S b k
++===++--， 故1n k =+时结论成立，
根据()()i ii 可知，n b n =对任意的*n N ∈都成立．
故数列{}n b 的通项公式为n b n =； ②设{}n c 的公比为q ，
存在“M -数列”*{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立， 即1k k
q k
-对k m 恒成立，
当1k =时，1q ，当2k =
2，
当3k ，两边取对数可得，1
lnk lnk
k k -对k m 有解，
即[][]1
max min lnk lnk k k -，
令()(3)lnx f x x x =，则2
1()lnx
f x x -'=
， 当3x 时，()0f x '<，此时()f x 递增，
∴当3k 时，3
[]3
max lnk ln k =
， 令()(3)1
lnx g x x x =-，则2
1
1()lnx
x g x x --'=， 令1()1x lnx x φ=--，则21()x
x x
φ-'=，
当3x 时，()0x φ'<，即()0g x '<， ()g x ∴在[3，)+∞上单调递减，
即3k 时，[]11
min lnk lnm
k m =
--，则 331
ln lnm
m -，
下面求解不等式331
ln lnm
m -，
化简，得3(1)30lnm m ln --，
令()3(1)3h m lnm m ln =--，则3
()3h m ln m
'=-，
由3k 得3m ，()0h m '<，()h m ∴在[3，)+∞上单调递减，
又由于h （5）3543125810ln ln ln ln =-=->，h （6）36532162430ln ln ln ln =-=-<， ∴存在0(5,6)m ∈使得0()0h m =，
m ∴的最大值为5，此时13
[3q ∈，14
5]．
【归纳与总结】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．
【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）
21．（10分）已知矩阵3122A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
．
（1）求2A ；
（2）求矩阵A 的特征值．
【思路分析】（1）根据矩阵A 直接求解2A 即可；
（2）矩阵A 的特征多项式为231
()5422
f λλλλλ--=
=-+--，解方程()0f λ=即可．。