八年级数学下册第十八章平行四边形18.2特殊的平行四边形18.2.2菱形知能演练提升5

18.2.2 菱形
知能演练提升
能力提升
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠DAC=30°,BD=8,则下列结论:①∠DAB=60°;②∠ADB=60°;③OD=4;④AD=8;⑤OC=43,其中正确的有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为()
A.1
B.2
C.
D.3
3.如图,两条笔直的公路l1,l2相交于点O,村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已知
AB=BC=CD=DA=5 km,村庄C到公路l1的距离为4 km,则村庄C到公路l2的距离是()
A.3 km
B.4 km
C.5 km
D.6 km
4.若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线的平方和为()
A.16
B.8
C.4
D.1
5.如图,将两张长为8,宽为2的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值是.
★6.如图,点E,F,G,H分别是任意四边形ABCD中AD,BD,BC,CA的中点,当四边形ABCD的边至少满足条件时,四边形EFGH是菱形.
7.
如图,已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F,求证:四边形AFCE是菱形.
创新应用
★8.两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A'B'C')如图①所示放置在同一平面上(∠C=∠
C'=90°,∠ABC=∠A'B'C'=60°),斜边重合.若三角板Ⅱ不动,三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动,图②是滑动过程中的一个位置.
(1)在图②中,连接BC',B'C,求证:△A'BC'≌△AB'C.
(2)当三角板Ⅰ滑动到什么位置(点B'落在AB边的什么位置)时,四边形BCB'C'是菱形?说明理由.
参考答案
能力提升
1.D
2.D题图中的六个小直角三角形都全等,
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=30°.
设EB=x,则EC=AE=3-x,
∴3-x=2x,x=1.∴BC=3.
3.B由AB=BC=CD=DA知四边形ABCD是菱形,连接AC,则AC平分∠DAB.
根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得,村庄C到l1的距离与到l2的距离相等,等于4km.
4.A设这两条对角线长为a,b,则有=22,化简,得a2+b2=16.
5.17如图,设AD=x,
则DE=8-x,AE=2,
由勾股定理得x2=(8-x)2+22,∴4x=17.
6.AB=CD 需添加条件AB=CD.
∵E,F分别是AD,DB的中点,
∴EF∥AB,EF=AB.
∵H,G分别是AC,BC的中点,
∴HG∥AB,HG=AB.
∴EF∥HG,EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵E,H分别是AD,AC中点,∴EH=CD.
∵AB=CD,∴EF=EH.
∴四边形EFGH是菱形.
7.证明(方法1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC,∴∠EAC=∠ACF.
∵EF平分AC,∴AO=CO.
又∠AOE=∠COF=90°,
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴EO=FO,∴四边形AFCE是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴▱AFCE是菱形.
(方法2)同上,可证△AOE≌△COF,∴AE=CF.
∵EF垂直平分对角线AC,
∴AE=CE,AF=CF.
∴AE=CE=CF=AF,
∴四边形AFCE是菱形.
(方法3)同方法1,可证四边形AFCE是平行四边形.∵EF垂直平分对角线AC,
∴AE=CE,∴▱AFCE是菱形.
创新应用
8.(1)证明∵A'B=A'B'-BB',AB'=AB-BB',A'B'=AB, ∴A'B=AB'.
按题意,在△A'BC'和△AB'C中,
,
∠ ∠,
,
∴△A'BC'≌△AB'C(SAS).
(2)解当B'落在AB的中点时,四边形BCB'C'是菱形.
∵∠ABC=∠A'B'C',∴BC∥B'C'.
∵BC=B'C',
∴四边形BCB'C'是平行四边形.
∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴BC=AB.
∴当B'在AB的中点时,CB'=AB=BC.
∴这时四边形BCB'C'是菱形.。