黑龙江省佳木斯二中高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年黑龙江省佳木斯二中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（60分，每题5分）
1．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是（）
A．∃x∈R，均有x2+x+1＜0 B．∀x∈R，均有x2+x+1≥0
C．∃x∈R，使得 x2+x+1＜0 D．∀x∈R，均有x2+x+1＜0
2．下列程序执行后输出的结果是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．由直线x=，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（）
A．﹣2ln2 B．2ln2 C．D．
4．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
5．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
7．设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，求点P的横坐标为（）
A．1 B．C．2 D．
8．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
9．已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为（）
A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）
10．点P为抛物线：y2=4x上一动点，定点，则|PA|与P到y轴的距离之和的最小值为（）
A．9 B．10 C．8 D．5
11．设p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．以上都不对
12．斜率为2的直线l过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左
右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）
A．[2，+∞）B．（1，）C．D．（，+∞）
二、填空题（20分，每题5分）
13．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：
则新生婴儿体重在的频率为．
14．已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+3，则：f（1）+f′（1）= ．
15．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是．
16．已知函数f（x）=x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是．
三、解答题（70分，每题10～12分）
17．函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
18．在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求点A到平面A1DE的距离；
（2）求证：CF∥平面A1DE；
（3）求二面角E﹣A1D﹣A的平面角大小的余弦值．
19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为
半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．
（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．
21．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为．
（1）求双曲线C的方程
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，﹣1），求实数m的取值范围．
22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对∀x∈（0，+∞）有2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
2015-2016学年黑龙江省佳木斯二中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（60分，每题5分）
1．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是（）
A．∃x∈R，均有x2+x+1＜0 B．∀x∈R，均有x2+x+1≥0
C．∃x∈R，使得 x2+x+1＜0 D．∀x∈R，均有x2+x+1＜0
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2．下列程序执行后输出的结果是（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】伪代码．
【专题】计算题．
【分析】该程序是一个当型循环结构．第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．
【解答】解：该程序是一个当型循环结构．
第一步：s=0+5=5，n=5﹣1=4；
第二步：s=5+4=9，n=4﹣1=3；
第三步：s=9+3=12，n=3﹣1=2；
第四步：s=12+2=14，n=2﹣1=1；
第五步：s=14+1=15，n=1﹣1=0．
∵s=15，
∴结束循环．
∴n=0．
故选B；
【点评】本题考查当型循环结构，解题时要认真审题，仔细解答，熟练掌握当型循环结构的运算法则．
3．由直线x=，x=2，曲线y=﹣及x轴所围图形的面积为（）
A．﹣2ln2 B．2ln2 C．D．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】作出函数的图象，利用积分进行求解即可．
【解答】解：如图：
则阴影部分的面积S=[0﹣（﹣）]dx═dx=lnx|=ln2﹣ln=ln2+ln2=2ln2，故选：B
【点评】本题主要考查定积分在求面积的应用，要求熟练掌握常见函数的积分公式．4．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的标准方程；抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），
双曲线的方程为
故选D
【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础知识的综合运用．
5．已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件；四种命题．
【专题】计算题．
【分析】根据所给的两个命题，解不等式解出两个命题的x的值，从x的值的范围大小上判断出两个命题之间的关系，从而看出两个非命题之间的关系．
【解答】解：∵p：|x+1|＞2，
∴x＞1或x＜﹣3
∵q：5x﹣6＞x2，
∴2＜x＜3，
∴q⇒p，
∴﹣p⇒﹣q
∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，
故选A．
【点评】本题考查两个条件之间的关系，是一个基础题，这种题目经常出现在高考卷中，注意利用变量的范围判断条件之间的关系．
6．若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞） C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】计算题；导数的综合应用．
【分析】由题意求导f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．
【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，
∴f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；
又∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，
∴△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；
故a＞6或a＜﹣3；
故选B．
【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
7．设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，求点P的横坐标为（）
A．1 B．C．2 D．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距c，根据PF1⊥PF2，推断出点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根据点P 所在的象限确定其横坐标．
【解答】解：由题意半焦距c==，
又∵PF1⊥PF2，
∴点P在以为半径，以原点为圆心的圆上，
由，解得x=±，y=±
∴P坐标为（，）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，椭圆与圆的位置关系．考查了考生对椭圆基础知识的综合运用．属基础题．
8．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
【考点】函数奇偶性的性质；导数的运算；不等式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先根据f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数，最后根据g（3）=0可求得答案．
【解答】解：因f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0
故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，
又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，
∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数．∵f（3）g（3）=0，∴f（﹣3）g（﹣3）=0
所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3
故选D．
【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，属于中档题．
9．已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）•f′（x）＜0的解集为（）
A．（﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0） C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）
【考点】导数的运算．
【专题】导数的综合应用．
【分析】函数y=f（x）（x∈R）的图象得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，得不等式f（x）f′（x）＜0的解集
【解答】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，
在（﹣1，0）上小于0，
∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．
故选B．
【点评】考查识图能力，利用导数求函数的单调性是重点．
10．点P为抛物线：y2=4x上一动点，定点，则|PA|与P到y轴的距离之和的最小值为（）
A．9 B．10 C．8 D．5
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】如图所示，焦点F（1，0）．过点P作PN⊥准线l交y轴于点M，P到y轴的距离=|PM|﹣1．当A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值|FA|，利用两点之间的距离公式即可得出．
【解答】解：如图所示，焦点F（1，0）．
过点P作PN⊥准线l交y轴于点M，
则P到y轴的距离=|PN|﹣1．
当A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值
|FA|==9．
∴|PA|与P到y轴的距离之和的最小值=9﹣1=8．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、两点之间的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．设p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞，则p是q的（）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．以上都不对
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，可得f′（x）=3x2﹣4x ﹣m，3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，求出m的范围，再根据充分必要条件可判断答案．【解答】解：∵f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，
∴f′（x）=3x2﹣4x﹣m，
即3x2﹣4x﹣m≥0在R上恒成立，
所以△=16+12m≤0，即m≥﹣，
∵p：f（x）=x3﹣2x2﹣mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；q：m＞
∴根据充分必要条件的定义可判断：p是q的必要不充分条件，
故选：C
【点评】本题考查了充分必要条件的判断方法，结合导数判断求解，难度适中，有点综合性．12．斜率为2的直线l过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且与双曲线的左
右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）
A．[2，+∞）B．（1，）C．D．（，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．
【解答】解：依题意，斜率为2的直线l过双曲线C：﹣=1的右焦点
且与双曲线的左右两支分别相交，
结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即b＞2a，
因此该双曲线的离心率e===＞=．
故选D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线的斜率的应用，考查转化思想，是基础题．
二、填空题（20分，每题5分）
13．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：
则新生婴儿体重在的频率为0.3 ．
【考点】频率分布直方图．
【专题】压轴题；图表型．
【分析】观察频率分布直方图在上的高，根据小长方形的面积=组距×，建立等
式关系，解之即可．
【解答】解：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，
∴新生婴儿体重在的频率为0.001×300=0.3
故答案为：0.3
【点评】频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，是解决频率分布直方图常用的结论，值得大家重视，属于基础题．
14．已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+3，则：f（1）+f′
（1）= 4 ．
【考点】导数的几何意义．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】根据题意吧，求出切点坐标，得出f（1）的值，根据导数的几何意义判断f′（1）求解．
【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=x+3，
∴f（1）==，f′（1）=，
∴f（1）+f′（1）==4
故答案为：4
【点评】本题考察了导数的概念，几何意义，属于容易题．
15．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sinx（0≤x≤π）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），
则所投的点落在阴影部分的概率是．
【考点】定积分在求面积中的应用；定积分；几何概型．
【专题】计算题；导数的概念及应用；概率与统计．
【分析】根据定积分计算公式与定积分的几何意义，算出阴影部分面积为S1=2，结合矩形ABC0的面积为S=2π，利用几何概型公式加以计算，可得所投的点落在阴影部分的概率．【解答】解：根据定积分的几何意义，
可得图中阴影部分面积为S1=sinxdx=﹣cosx=（﹣cosπ）﹣（﹣cos0）=2，
∵矩形ABC0的面积为S=OA•OC=2π，
∴向矩形OABC内随机投一点，所投的点落在阴影部分的概率为P===．
故答案为：
【点评】本题给出向矩形内部投点的事件，求该点落在阴影部分的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义与几何概型计算公式等知识，属于中档题．
16．已知函数f（x）=x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是[﹣1，1）．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；转化思想；导数的综合应用．
【分析】由函数f（x）=x3﹣12x在（2m，m+1）内单调递减转化成f′（x）≤0在（2m，m+1）内恒成立，得到关于m的关系式，即可求出m的范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣12x在（2m，m+1）上单调递减，
∴f'（x）=3x2﹣12≤0在（2m，m+1）上恒成立．
故，即成立．
解得﹣1≤m＜1
故答案为：[﹣1，1）．
【点评】此题主要考查利用导函数的正负判断原函数的单调性，考查函数的恒成立，转化思想的应用，属于中档题．
三、解答题（70分，每题10～12分）
17．函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，
（2）由（1）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程f（x）=a有3个不同实根，求得实数a的值．
【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣6=3（x2﹣2），
令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜，
令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜﹣，
∴函数f（x）的递减区间是，递增区间是与
；
当时，有极大值，当时，有极小值；
（2）由（1）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，
∴当5﹣4＜a＜5+4时，
直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，
即方程f（x）=a有三解，
∴．
【点评】考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论．属中档题．
18．在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求点A到平面A1DE的距离；
（2）求证：CF∥平面A1DE；
（3）求二面角E﹣A1D﹣A的平面角大小的余弦值．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【专题】综合题；空间角．
【分析】（1）分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的点到平面的距离公式即可求得点A到平面A1DE的距离；
（2）确定•=﹣2+2=0，可得⊥，从而可得CF∥平面A1DE；
（3）确定平面A1DA的法向量、平面A1DE的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．【解答】（1）解：分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），
∴=（2，0，2），=（1，2，0），=（2，0，0）
设平面A1DE的法向量是=（a，b，c）
则，∴=（﹣2，1，2）
∴点A到平面A1DE的距离是d==；
（2）证明：∵=（0，﹣2，1），
∴•=﹣2+2=0，∴⊥，
∴CF∥平面A1DE；
（3）解：∵平面A1DA的法向量为=（0，2，0），平面A1DE的法向量是=（﹣2，1，2）∴cos＜＞===．
【点评】本小题主要考查点、线、面间的距离计算、直线与平面平行的判定等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题．
19．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为
半径的圆与直线x﹣y+=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；
（2）求的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据离心率为，可得a2=b2，根据椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0
相切，可求b的值，从而可得椭圆的方程；
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可确定的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知 e==，∴e2===，即a2=b2又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x﹣y+=0相切
∴b==，∴a2=4，b2=3，
故椭圆的方程为
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣4）．
疳直线方程y=k（x﹣4）代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0
由△＞0得：1024k4﹣4（3+4k2）（64k2﹣12）＞0，解得k2＜
设A（x1，y1），B （x2，y2），则x1+x2=，x1x2=
∴
∵，
∴
∴的取值范围是
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．
（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．
【考点】平面与平面垂直的判定．
【专题】作图题；证明题；综合题；探究型；转化思想．
【分析】法一（Ⅰ）D为AA1中点，推出平面B1CD内的直线CD，垂直平面B1C1D内的两条相交直线DC1，B1C1可得CD⊥平面B1C1D，即可得到
平面B1CD⊥平面B1C1D；
（Ⅱ）在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD，可得∠B1EC1为二面角B1﹣CD﹣C1的平面角，设AD=x，
△DCC1的面积为1求出x，在AA1上存在一点D满足题意．
法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系．计算，推出CD⊥平面B1C1D，可得平面B1CD⊥平面B1C1D．
（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），通过计算求出a，即可说
明在AA1上存在一点D满足题意．
【解答】解法一：（Ⅰ）证明：∵∠A1C1B1=∠ACB=90°
∴B1C1⊥A1C1
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1∴B1C1⊥平面ACC1A1．
∴B1C1⊥CD
由AA1=BC=2AC=2，D为AA1中点，可知，
∴DC2+DC12=CC12=4即CD⊥DC1
又B1C1⊥CD∴CD⊥平面B1C1D
又CD⊂平面B1CD
故平面B1CD⊥平面B1C1D
（Ⅱ）解：当时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．
假设在AA1上存在一点D满足题意，
由（Ⅰ）可知B1C1⊥平面ACC1A1．
如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD
所以∠B1EC1为二面角B1﹣CD﹣C1的平面角
∴∠B1EC1=60°
由B1C1=2知，
设AD=x，则
∵△DCC1的面积为1∴
解得，即
∴在AA1上存在一点D满足题意
解法二：
（Ⅰ）如图，以C为原点，CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2），D（1，0，1）．
即
由得
由得
又DC1∩C1B=C1
∴CD⊥平面B1C1D又CD⊂平面B1CD
∴平面B1CD⊥平面B1C1D
（Ⅱ）当时二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．设AD=a，则D点坐标为（1，0，a），
设平面B1CD的法向量为
则由令z=﹣1
得
又∵为平面C1CD的法向量
则由
解得，故．
∴在AA1上存在一点D满足题意
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力、计算能力，是中档题．
21．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为．
（1）求双曲线C的方程
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，﹣1），求实数m的取值范围．
【考点】双曲线的应用；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）设双曲线的标准方程，依题意可知a和c，进而根据a2+b2=c2求得b，则双曲线方程可得．
（2）把直线方程与双曲线方程联立，消去y，利用判别式大于0求得m和k的不等式关系，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x0，y0）．根据韦达定理表示出x0和y0，根据AB⊥MN，
可知AB的斜率为﹣，进而求得k和m的关系，最后综合可求得m的范围．
【解答】解：（I）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为．
（II）联立
整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3=0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
可得m2＞3k2﹣1．①
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x0，y0）．
整理得3k2=4m+1．②
将②代入①，得m2﹣4m＞0，∴m＜0或m＞4．
又3k2=4m+1＞0（k≠0），即m＞﹣．
∴m的取值范围是（﹣，0）∪（4，+∞）．
【点评】本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对∀x∈（0，+∞）有2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（Ⅱ）问题转化为2lnx+x+≥a恒成立，令h（x）=2lnx+x+，通过讨论h（x）的单调性求出h（x）的最小值，从而求出a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）导函数f′（x）=1+lnx，令f′（x）=0，得x=，
当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）在x=处取得极小值，且极小值为f（）=﹣；
（Ⅱ）对∀x∈（0，+∞）有2f（x）≥g（x）恒成立，
等价于2lnx+x+≥a恒成立，
令h（x）=2lnx+x+，则h′（x）=，
令h′（x）=0，得x=1或x=﹣3（舍去），
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）在x=1处取得最小值，且最小值为f（1）=4，
因而a≤4，故a的取值范围是：（﹣∞，4]．
【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查函数恒成立问题，导数的应用，是一道中档题．。