基于高斯过程模型的多响应稳健参数设计

第４３卷　第１２期系统工程与电子技术
Ｖｏｌ．４３　Ｎｏ．１２
２０２１年１２月ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａ
ｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓＤｅｃｅｍｂｅｒ２０２１
文章编号：１００１ ５０６Ｘ（２０２１）１２ ３６８３ １１　网址：ｗｗｗ．ｓｙ
ｓ ｅｌｅ．ｃｏｍ收稿日期：２０２１０２０３；修回日期：２０２１０４１２；网络优先出版日期：２０２１０５３１。

网络优先出版地址：ｈｔｔｐ
ｓ：∥ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．２４２２．ＴＮ．２０２１０５３１．１１４０．０１８．ｈｔｍｌ基金项目：国家自然科学基金面上项目（７１７７１１２１，７１９３１００６）；江苏省研究生科研与实践创新计划项目（ＫＹＣＸ２１＿０３６１）
资助课题 通讯作者．
引用格式：翟翠红，汪建均，冯泽彪．基于高斯过程模型的多响应稳健参数设计［Ｊ］．系统工程与电子技术，２０２１，４３（１２）：３６８３ ３６９３．犚犲犳犲狉犲狀犮犲犳狅狉犿犪狋：ＺＨＡＩＣＨ，ＷＡＮＧＪＪ，ＦＥＮＧＺＢ．Ｒｏｂｕｓｔｐａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇｎｏｆｍｕｌｔｉｐｌｅｒｅｓｐ
ｏｎｓｅｓｂａｓｅｄｏｎＧａｕｓｓｉａｎｐｒｏｃｅｓｓｍｏｄｅｌ［Ｊ］．ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａ
ｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２０２１，４３（１２）：３６８３ ３６９３．基于高斯过程模型的多响应稳健参数设计
翟翠红，汪建均 ，冯泽彪
（南京理工大学经济管理学院，江苏南京２１００９４）
摘　要：针对高维试验数据的稳健参数设计问题，
在高斯过程（Ｇａｕｓｓｉａｎｐｒｏｃｅｓｓ，ＧＰ）的建模框架下，采用部分平行的ＧＰ（ｐ
ａｒａｌｌｅｌｐａｒｔｉａｌＧＰ，ＰＰＧＰ）模型来构建试验因子与多质量特性之间的响应曲面，在此基础上运用多元质量损失函数作为优化指标来获得可控因子的最佳参数设计值。

并且以一个经典仿真算例和两个实际案例验证了所
提方法的有效性和优劣性。

研究结果表明，与独立建模的单变量ＧＰ模型或Ｋｒｉｇｉｎｇ模型比较而言，
所提方法不仅能够有效地处理高维试验数据的建模与参数优化问题，而且能够获得更为稳健的优化结果，运行效率更高。

关键词：高斯过程；高维数据；多元质量损失函数；稳健参数设计
中图分类号：Ｆ２７３．２ 文献标志码：Ａ 犇犗犐：１０．１２３０５／ｊ．
ｉｓｓｎ．１００１ ５０６Ｘ．２０２１．１２．３２犚狅犫狌狊狋狆犪狉犪犿犲狋犲狉犱犲狊犻犵狀狅犳犿狌犾狋犻狆犾犲狉犲狊狆
狅狀狊犲狊犫犪狊犲犱狅狀犌犪狌狊狊犻犪狀狆狉狅犮犲狊狊犿狅犱犲犾ＺＨＡＩＣｕｉｈｏｎｇ，ＷＡＮＧＪｉａｎｊ
ｕｎ ，ＦＥＮＧＺｅｂｉａｏ（犛犮犺狅狅犾狅犳犈犮狅狀狅犿犻犮狊犪狀犱犕犪狀犪犵犲犿犲狀狋，犖犪狀犼犻狀犵犝狀犻狏犲狉狊犻狋狔狅犳犛犮犻犲狀犮犲犪狀犱犜犲犮犺狀狅犾狅犵狔，犖犪狀犼
犻狀犵２１００９４，犆犺犻狀犪） 犃犫狊狋狉犪犮狋：Ｔｏａｄｄｒｅｓｓｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｒｏｂｕｓｔｐａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇｎｆｏｒｈｉｇｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｅｘｐ
ｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａ，ｔｈｅｐａｒａｌｌｅｌｐａｒｔｉａｌＧａｕｓｓｉａｎｐｒｏｃｅｓｓ（ＰＰＧＰ）ｍｏｄｅｌｉｓａｄｏｐｔｅｄｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｓｕｒｆａｃｅｓｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｔｅｓｔｆａｃｔｏｒｓａｎｄｔｈｅｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｑｕａｌｉｔｙｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｕｎｄｅｒｔｈｅｍｏｄｅｌｉｎｇｆ
ｒａｍｅｗｏｒｋｏｆＧａｕｓｓｉａｎｐｒｏｃｅｓｓ（ＧＰ）．Ｏｎｔｈｉｓｂａｓｉｓ，ｔｈｅｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｑｕａｌｉｔｙｌｏｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｕｓｅｄａｓａｎｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｉｎｄｅｘｔｏｏｂｔａｉｎｔｈｅｏｐ
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ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓａｎｄａｄｖａｎｔａｇｅｓｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄ．ＴｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｃｏｍｐａｒｅｄｗｉｔｈｔｈｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｍｏｄｅｌｉｎｇｏｆｔｈｅｕｎｉｖａｒｉａｔｅＧＰｍｏｄｅｌｏｒｔｈｅＫｒｉｇｉｎｇｍｏｄｅｌ，ｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｃａｎｎｏｔｏｎｌｙｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｅｍｏｄｅｌｉｎｇａｎｄｐａｒａｍｅｔｅｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｈｉｇｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｄａｔａｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｂｕｔａｌｓｏｏｂｔａｉｎｍｏｒｅｒｏｂｕｓｔｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｈｉｇｈｅｒｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ．
犓犲狔狑狅
狉犱狊：Ｇａｕｓｓｉａｎｐｒｏｃｅｓｓ（ＧＰ）；ｈｉｇｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｄａｔａ；ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅｑｕａｌｉｔｙｌｏｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｒｏｂｕｓｔｐａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇ
ｎ０　引　言近年来，随着半导体、电子自动化和通信等技术的迅猛发展，
能够记录和存储数量不断增加的复杂和高维数据的智能传感器不断出现。

这些传感器能够获得具有以下特点的数据流［１］：①多种类，各种类型的传感器产生的数据流种类较多，如波形信号、图像和视频；②高维度，典型的用于表面检测的图像在１Ｍ像素左右；③高速度，近年来数据采集速度显著提高，几乎可以跟上任何生产速度；④时空结构，剖面图中的数据点或图像内的像素是空间相关的。

这种响应变量称为时空数据、剖面响应或函数响应。

通过对流数据进行有效的建模和分析，可以实现实时过程监控、
故障诊断和在线产品检测。

然而，这些数据流的复杂特性给数据建模与稳健参数设计带来巨大挑战。

２０世纪８０年代，日本著名的质量工程专家Ｔａｇ
ｕｃｈｉ博士，在试验设计和信噪比（ｓｉｇｎａｌｔｏｎｏｉｓｅｒａｔｉｏ，ＳＮＲ）的基础上提出稳健参数设计（ｒｏｂｕｓｔｐａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇ
ｎ，ＲＰＤ）方法。

他认为质量特性一旦偏离其设计目标值，就会造成质量损失，且偏离越远，质量损失越大。

为了减少产品或过程的波动造成的质量损失，他利用正交表进行试验设计，通过
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　·３
６８４　·系统工程与电子技术第４３卷 选择可控因子的最佳参数组合，使得产品或过程对噪声因子不敏感。

具有复杂特性的剖面响应稳健参数设计与经典稳健参数设计类似，大多通过如Ｔａｇ
ｕｃｈｉ参数设计、响应曲面等统计建模的方法，研究输入因子与其输出响应之间的关系。

此外，各种创造性的方法将其他技术与Ｔａｇｕｃｈｉ方法相结合，以解决剖面响应优化问题。

例如，Ｔａｎｓｅｌ等［２］将比率分析的多目标优化与Ｔａｇ
ｕｃｈｉ方法整合，将多响应问题转化为单响应问题．不仅减少了Ｔａｇ
ｕｃｈｉ法中用户决策所需的计算步骤，而且不需要额外的系数，这将降低数学计算的复杂性。

少数研究者为了考虑生产过程中多个质量特
征之间的相关性，开发了更可靠、更实用的响应面模型，如似不相关的回归模型［３］。

Ｗａｎｇ等［４］利用贝叶斯似不相关回归模型拟合输入因子与输出响应之间的关系，并综合考虑模型参数的不确定性和制造过程的高变异性，建立一种兼顾报废成本和质量损失的两目标函数，提出了一种在贝叶斯建模和优化框架下的经济参数设计。

由Ｔａｇ
ｕｃｈｉ［５］开创和倡导的稳健试验设计，已被世界上许多科学家和工程师所接受和研究。

但是，Ｔａｇ
ｕｃｈｉ的稳健设计方法有时需要进行大量物理试验或建立大量原模型。

而物理试验只适用于设计因子有限的产品和工艺，且在爆炸性材料的引爆，或者当观察到山体滑坡或飓风等罕见事件时，物理试验是不可行的。

为了在全球竞争中求得生存和成功，人们的兴趣和焦点逐渐从物理试验转向了虚拟试验［６］。

与物理试验相比在计算机模拟器上进行试验的速度快、成本低，所以计算机试验在电气工程中的集成光子滤波器［７］，航空航天工程中的气钉喷嘴［８］和微机电系统装置［９］等工程和科学研究中被广泛应用。

然而，在制造业中，计算密集型设计问题变得越来越普遍［１０１２］。

为了达到与物理测试数据相当的准确性水平，计算机仿真通常很复杂且执行起来非常昂贵。

尽管计算能力不断进步，但诸如有限元分析和计算流体动力学等工程分析代码的复杂性似乎与计算能力保持同步，使得综合参数分析非常耗时。

因此，迫切需要为计算机仿真模型开发简单的近似模型，即元模型。

元建模方法能够利用有限样本来逼近昂贵的计算密集型函数，在有效降低仿真优化成本的同时保证仿真优化的精度，被广泛用于设计优化［１２１６］。

为了在有限的样本数量下高效、准确地生成元模型，人们已经进行了大量研究。

常用的元模型有多项式回归［１７］，人工神经网络［１８１９］，多元自适应回归样条［２０］，径向基函数［２１２２］，高斯随机过程（或Ｋｒｉｇｉｎｇ模型）
［２３２４］和支持向量回归［２５２６］。

然而，输入和输出变量的高维性会给问题建模和优化带来指数级困难，即工作量随维数的增加呈指数增长。

假设在狀个输入变量的每一个变量中采样狊个点，则该采样需要执行狊狀次计算机试验来建立元模型，这对于计算昂贵型函数的建模显然不太现实。

除了计算量大之外，这些模型（函数）对于设计者而言是隐式且未知的，即黑盒函数。

函数隐式是设计优化的重大障碍，随着设计问题中变量数量的增加，计算需求也呈指数增长。

这种由问题维度带来的困难被称为维数灾难。

Ｍｉｓｔｒｅｅ研究小组将此困难称为稳健设计或多学科设计优化中的问题规模。

而在对由传感系统获得的具有复杂特性的高维数据流进行建模与优化时，要同时克服高维度、计算昂贵以及黑盒函数（ｈｉｇｈ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ，ｅｘｐ
ｅｎｓｉｖｅａｎｄｂｌａｃｋ ｂｏｘ，ＨＥＢ）３种困难，严重加剧了问题仿真与优化的难度。

Ｓｈａｎ等［１２］从１０００多篇不同学科论文中筛选出２０７篇参考文献，对ＨＥＢ问题的建模和优化策略进行调查。

该调查显示：通常，用于ＨＥＢ的建模技术和优化方法都限于低维问题，对于高维问题的研究比较缺乏。

目前，能够缓解维数灾难问题的常用方法有分解、筛选、映射、空间缩小和可视化等。

分解将一个问题重新划分为多
个维度较低的子问题
，并将子问题重新组合，生成一个元模型［９］。

筛选或特征选择利用敏感性分析识别重要的变量，
并去除不重要的变量以生成元模型，从而降低问题的维度［１２，２７３０］。

映射将相关变量的集合转化为更小的集合。

而空间缩小则减少了问题的设计范围［１２］。

上述方法已从并行计算、减小设计空间、筛选重要变量、将设计问题分解为子问题、映射和可视化变量等不同角度缓解高维性所带来的困难。

但这些传统的元建模方法对具有ＨＥＢ特征的复杂和高维数据问题效率低下、精确度低。

例如，筛选在降低问题维度和复杂性的同时，可能会导致模型参数估计和预测中信息损失，影响模型精度。

而映射虽然可以减少问题的规模和优化的复杂性，但却不能确保在低维空间中获得的最佳方案是原高维空间中的真正最佳方案。

因此，面对高维数据的建模与稳健参数设计问题，迫切需要研究新的元建模与参数优化技术。

高斯过程（Ｇａｕｓｓｉａｎｐｒｏｃｅｓｓ，ＧＰ）是用于近似计算密集型计算机模型的强大工具，具有预测精度高、便于扩展的优点，被广泛用于模拟输入与输出之间的复杂非线性关系。

对于已经成为典型的多输入与多输出数据建模与稳健参数设计问题，当不考虑输出之间的相关性时，一种简单方法是为每个输出分别构造一个独立的ＧＰ模型。

而在许多实际应用中，计算机模型的不同输出级别是相互关联的［３１３３］。

Ｑｉａｎ等［３４］提出了构建多变量ＧＰ（ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅＧＰ，ＭＧＰ）模型的通用框架。

框架中的协方差函数是可分离的，并且在所有输出级别上具有共同的边际协方差函数。

该假设简化了协方差结构并显著减少了模型参数的数量。

Ｍｅｌｋｕｍｙａｎ等［３５］使用不可分的协方差结构对输出进行充分建模。

不可分离协方差函数允许不同输出水平使用不同的协方差参数，这比可分离的协方差函数要灵活
得多。

Ｌｉ等［３６］开发了测试协方差函数可分性的多变量随机字段，这为选择哪种类型的协方差函数提供了理论依据。

Ｓｕｎｇ等［３７］提出一种多分辨率函数方差分析模型，作为一种计算上可行的仿真替代方法。

这个模型可以用于大规模和多输入的非线性回归问题。

Ｃｈｅｎ等［３８］使用ＧＰ对具有时空相关结构的高维输出变量进行建模，提高了量化模型自身不确定性的能力和模型预测精度。

Ｇｈｏｓｈ等［３９］提出基于线性混合效应（ｌｉｎｅａｒｍｉｘｅｄｅｆｆｅｃｔｓ，ＬＭＥ）的多变量剖面建模方法，使用ＭＧＰ控制的Ｂ ｓｐ
ｌｉｎｅｓ曲线构建ＬＭＥ模型Copyright©博看网 . All Rights Reserved.
　第１
２期翟翠红等：基于高斯过程模型的多响应稳健参数设计·３６８５　·
　中的随机部分。

与传统的ＭＧＰ和ＬＭＥ方法相比，该方法在未增加大量参数的情况下实现了剖面建模的灵活性。

Ｌｉ等［４０］针对高维参数空间和大规模协方差矩阵问题，提出了一种成对建模方法，该方法充分利用超球面分解的序列构造特点，
将高维ＭＧＰ模型分解为一系列的二元ＧＰ模型。

随后，
冯泽彪等［４１］针对预测偏差和波动的多响应稳健参数设计问题，结合超球面分解理论和成对估计超参数方法建立ＭＧＰ预测模型。

提出了综合考虑质量损失和期望概率的多响应稳健参数设计方法。

然而，ＭＧＰ模型经常面临巨大协方差矩阵造成的数值问题和计算挑战。

此外，估
计ＧＰ模型相关函数中的参数的标准方法，如最大似然估计（ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ＭＬＥ），通常会产生不稳定的结果，从而导致预测结果较差。

使得ＭＧＰ模型在大型和复杂问题上的实际应用中受到限制。

本文针对高维试验数据的稳健参数设计问题，在ＧＰ的建模框架下，采用部分平行的ＧＰ（ｐａｒａｌｌｅｌｐａｒｔｉａｌＧＰ，ＰＰＧＰ）模型来构建试验因子与多质量特性之间的响应曲面，在此基础上运用多元质量损失函数作为优化指标来获得可控因子的最佳参数设计值。

首先，利用符合稳健参数估计标准的边缘后验估计方法，估计ＧＰ模型中的相关参
数，并使用从总体似然中估计的共同相关参数，建立每个坐
标位置概率上独立的ＰＰＧＰ模型［４２］。

然后，使用ＰＰＧＰ模型构建试验因子与多质量特性之间的响应曲面，结合ＰＰＧＰ模型部分平行的特征，基于ＳＮＲ的方法构建多元质量损失函数。

最后，结合ＰＰＧＰ模型和多元质量损失函数建立多响应优化模型，并使用遗传算法获得可控因子的最佳参数设计值。

此外，通过仿真算例和实际案例验证了所
提方法的有效性和便捷性。

与独立建模的单变量ＧＰ模型
相比，本文采用联合建模方法不仅能够有效地处理高维试验数据的建模与参数优化问题，而且能够获得更为稳健的优化结果，运行效率更高。

１　高斯过程模型原理设犡为输入空间，狓∈犡表示犽维输入因子，对应的输出响应狔（狓）视为一个通过ＧＰ建模的未知函数：狔（·）～ＧＰ（μ（·），犆（·，·））（１）式中：μ（·）为均值函数；犆（·，·）＝σ２犮（·，·）为协方差，σ２和犮（·，·）分别为方差及相关函数。

对来自犡的任意输入因子组合｛狓１，狓２，…，狓犿｝，其似然函数服从下面的多元正态分布：（狔（狓１），狔（狓２），…，狔（狓犿））Ｔ｜μ，σ２，犚～ＭＶＮ（（μ（狓１），μ（狓２），…，μ（狓犿））Ｔ，σ２犚）（２）式中：σ２是未知方差；犚是（犻，犼）元素为犮（狓犻，狓犼）的相关矩阵。

通常通过回归对均值函数建模：
μ（狓）＝犺（狓）θ＝∑狇
狋＝１
犺狋（狓）θ狋（３）式中：犺（狓）＝（犺１（狓），犺２（狓），…，犺狇（狓））是指定基函数的向量；θ狋是基函数犺狋的未知回归参数。

对于输入狓犻＝（
狓犻１，狓犻２，…，狓犻犽）和狓犼＝（狓犼１，狓犼２，…，狓犼犽）
，常用的相关函数是以下形式的指数族相关［４３］：
犮（狓犻，狓犼）＝ｅｘ烅烄烆ｐ－∑犽狋＝烄烆１狘狓犻狋－狓犼
狋狘γ烌烎狋α烍烌烎狋（４）式中：γ狋∈（０，∞）；α狋取固定常数１．９。

由此产生的高斯过程是平稳的。

在输入空间犡上使用拉丁超立方体设计（Ｌａｔｉｎｈｙｐｅｒｃｕｂｅｄｅｓｉｇｎ，ＬＨＤ）［４４４５］生成一组输入狓犇＝（
狓犇１，狓犇２，…，狓犇狀），通过对生成的输入进行拟合获得ＧＰ模型。

为了处理未知的均值和方差，简单地利用位置尺度参数的标准参考先验，
即π犚（θ，σ２）∝１σ２
（５）首先将π犚（·）对θ和σ２进行积分得到γ狋的边际似然，然后将这个边际似然乘以γ狋的参考先验，得到γ狋的边际后验密度作为其估计值＾γ狋。

在给定模型输出狔犇＝（狔（狓犇１），狔（狓犇２），…，狔（狓犇狀））Ｔ和相关参数＾γ＝（＾γ１，＾γ２，…，＾γ犽）的情况下，新输入狓 处的预测均值狔（
狓
）服从自由度为狀－狇的狋分布：狔（狓 ）｜狔犇，＾γ～狋（＾狔（狓 ），＾σ２犮 ，狀－狇）（６）对应的密度函数［４６４７］为犳（狔（
狓 ）｜＾狔（狓 ），＾σ２犮 ，狀－狇）＝Γ（狀－狇＋１２）｜＾σ２犮 ｜－１２Γ（狀－狇２）（狀－狇）槡熿燀
π１＋（狔（狓 ）－＾狔（狓 ））２（狀－狇）＾σ２犮燄燅 狇－狀－１２其中，＾狔（狓 ）＝犺（狓 ）θ＾＋γＴ（狓 ）犚－１（狔犇－犺（狓犇）θ＾）＾σ２＝（狀－狇）－１（狔犇－犺（狓犇）θ＾）Ｔ犚－１（狔犇－犺（
狓犇）θ＾）犮 ＝犮（狓 ，狓 ）－γＴ（狓 ）犚－１γ（狓 ）＋（犺（狓 ）－
犺Ｔ（
狓犇）犚－１γ（狓 ））Ｔ（犺Ｔ（狓犇）犚－１犺（狓犇））－１·（犺（狓 ）－犺Ｔ（狓犇）犚－１γ（狓 ）） 式中：γ（狓 ）＝（犮（狓 ，狓犇１），…，犮（狓 ；狓犇狀
））Ｔ；θ＾＝（犺Ｔ（狓犇）·犚－１犺（狓犇））－１犺Ｔ（狓犇）犚－１狔犇为θ的广义最小二乘估计。

犺（狓犇）是（犻，犼）元素为犺犼（狓犇犻）的狀×狇维基设计矩阵，由基设计矩阵犺（狓犇）的第犻行元素构成的狇维向量犺（狓犇犻）＝（犺１（狓犇犻），犺２（狓犇犻），…，犺狇（狓犇犻））是输入因子狓犇犻对应的均值函数中的指定基函数向量，指定基函数向量的定义如式（３）所示。

２　结合部分平行高斯过程模型与质量损失的稳健参数设计２．１　基于部分平行高斯过程建立响应曲面为了提高计算效率和预测精度，本文采用联合建模的ＰＰＧＰ方法替代独立建模的单变量ＧＰ方法，来拟合多输入和具有时空结构的多输出计算机模型。

令狆表示每次预测所考虑的时空网格点总数，为每个坐标分别建立一个概率上独立的式（１）形式的模型。

对于均值和方差参数，我们使用相同的标准目标先验：Copyright©博看网 . All Rights Reserved.
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６８６　·系统工程与电子技术
第４３卷
π犚（θ１，θ２，…，θ狆，σ２１，σ２２，…，σ２狆）∝１∏狆
犼＝１
σ２犼（７） 由于给定范围参数γ时，
每个坐标的模型是独立的，因此整体先验是不同坐标上模型的参数先验的乘积，且各坐标间的＾γ是相同的。

在新输入狓 处的整体预测是狆个独
立狋分布的乘积。

若＾狔（
狓 ）表示在新输入狓 处的ＰＰＧＰ模型预测均值，则
＾狔（狓 ）＝（＾狔１（狓 ），＾狔２（狓 ），…，＾狔狆（
狓 ））＝犺（狓 ）θ＾１＋狉Ｔ（狓 ）犚－１（狔犇１－犺（
狓犇）θ＾１）犺（狓 ）θ＾２＋狉Ｔ（狓 ）犚－１（狔犇２－犺（狓犇）θ＾２）
犺（狓 ）θ＾狆＋狉Ｔ（狓 ）犚－１（狔犇狆－犺（狓犇）θ＾狆熿燀燄燅）Ｔ
（８）
式中：犺（狓 ），犺（狓犇），γ（狓 ）和犚如第１节中定义；狔犇
犼＝［狔犼（狓犇１），狔犼（狓犇２），…，狔犼（
狓犇狀）］Ｔ表示运行设计输入值时在第犼个坐标处的模型输出值；
θ＾犼＝［犺Ｔ（狓犇）犚－１犺（狓犇）］－１犺Ｔ·（狓犇）犚－１狔犇犼为θ犼
的广义最小二乘估计。

由于每个坐标位置具有概率上独立的平行模型，虽然拥
有不同的未知回归系数θ犼和未知先验方差σ２犼，
但却使用共同的均值基函数犺（狓）和从总体似然中估计的共同相关参数＾γ。

因此，该模型具有部分平行的特点，这是简化计算的关键。

不然，
需要为每个坐标分别计算一个狀×狀的相关矩阵犚，且需要分别估计相关参数＾γ犼，
计算情况实际上会更复杂。

ＰＰＧＰ模型计算新输入狓 处的整体预测复杂度为犗（狀２＋狀狆），其中狀是模型运行次数。

计算整体输出的复杂度是犗（狀３）和犗（狆狀２）的最大值，当狆 狀时，计算时间由犗（狆狀２）决定。

而单变量ＧＰ方法计算整体输出的复杂度是犗（狆狀３
）。

２．２　多元质量损失函数Ｔａｇｕｃｈｉ使用信噪比作为评估产品质量稳定性的重要指标，信噪比越大，产品质量越稳定，造成的损失越小。

望目、望小和望大３种质量特性的信噪比分别为
η犜＝１０ｌｇ狌２σ２（９）η犛＝１０ｌｇ１σ２＋狌
２（１０）η
犔＝１０ｌｇ（σ２＋狌２）（１１）式中：μ和σ２分别是产品质量特性狔的均值和方差。

为了近似描述波动造成的质量损失，Ｔａｇｕｃｈｉ定义了二次质量损失函数：
犔（狔）＝犽（狔
－犜）２（１２）式中：犽＝犃／Δ２，其中犃为质量偏差造成的经济损失，Δ为质量偏差。

Ａｒｔｉｌｅｓ ｌｅóｎ［４８］为使损失函数不受其单位影响，令
Ｔａｇ
ｕｃｈｉ的二次质量损失函数中的系数犽＝４／（犝－犔）２，提出了无量纲的标准化多元质量损失函数：
犔（狔１，狔２，…，狔狆）＝４∑狆犻＝烄烆１狔犻－犜犻犝犻－犔
烌烎
犻２（１３）式中：犜犻，犝犻，犔犻分别为质量特性狔犻的目标值和上、下规
格限。

Ｐｉｇ
ｎａｔｉｅｌｌｏ［４９］根据最小化偏离设计目标值的偏差和最大化稳健性原则，在Ｔａｇｕｃｈｉ单变量质量损失函数的基础上，
提出了多元二次损失函数：犔（狔（狓））＝（狔（狓）－犜）Ｔ犆（狔（狓）－犜）（１４）式中：狔＝（狔１（狓），狔２（狓），…，狔狆（
狓））Ｔ为狆个响应构成的狆×１维向量；犜＝（犜１，犜２，…，犜狆）
Ｔ为狆个响应的目标值构成的狆×１维向量；犆为反应过程经济成本的狆×狆维正定矩阵。

文献［５０］指出，使用Ｔａｇ
ｕｃｈｉ的信噪比方法度量稳健性能时效率低，有时信息损失较大。

虽然Ａｒｔｉｌｅｓ ｌｅ
ｎ在Ｔａｇ
ｕｃｈｉ的二次损失函数基础上，提出的无量纲损失函数具有较多优点，但将每个变量等同对待，进行简单的求和计算，没有考虑各响应变量之间的相关结构。

尽管Ｐｉｇｎａｔｉｅｌｌｏ的多元二次质量损失函数考虑了不同响应变量之间的相关结构，但仅适用于“望目”质量特性，对于在实践中经常遇到的“望小”和“望大”质量特性均不适用。

本文结合ＰＰＧＰ模型部分平行的特征，在Ｔａｇｕｃｈｉ的信噪比方法、Ａｒｔｉｌｅｓ ｌｅóｎ的标准化方法和Ｐｉｇ
ｎａｔｉｅｌｌｏ的多元二次损失函数方法基础上，建立改进的多元质量损失函数。

首先利用信噪比计算各质量特性狔犻的损失权重λ犻＝
（１／η犻）／∑狆犼＝１（１／η犼）。

因为信噪比η犻的值越大，该质量特性越稳定，造成的损失越小，因此λ犻可判定第犻个质量特性狔犻对波动的“贡献”大小。

然后，由损失权重构造损失成本矩
阵犆＝ｄｉａｇ（
λ１，λ２，…，λ狆）。

最后，为望小、望大和望目３种质量特性分别建立如下多元质量损失函数：
犔犛（狔（
狓））＝狔１（狓）狔２（狓） 狔狆（狓熿燀燄燅）Ｔλ１０…００λ２…０ ００…λ熿燀燄燅狆狔１（狓）狔２（狓）　
狔狆（狓熿燀燄燅）＝∑狆
犻＝１
λ犻（狔犻（狓））２（１５）犔犔（狔（
狓））＝（狔１（狓））－１（狔２（狓））－１ （狔狆（狓））－熿燀燄燅１Ｔλ１０…００λ２…０ ００…λ熿燀燄燅狆（狔１（狓））－１（狔２（狓））－１ （狔狆（狓））－熿燀燄燅１＝∑狆
犻＝１
λ犻（（狔犻（狓））－１）２（１６）犔犜（狔（
狓））＝狔１（狓）－犜１狔２（
狓）－犜２　
狔狆（狓）－犜熿燀燄燅狆Ｔ
λ１０…００λ２…０ ００…λ熿燀燄燅狆狔１（狓）－犜１狔２（狓）－犜２ 狔狆（狓）－犜熿燀燄燅狆＝∑狆
犻＝１
λ犻（狔犻（狓）－犜犻）２（１７）令：
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　第１
２期翟翠红等：基于高斯过程模型的多响应稳健参数设计
·３６８７　
·
　犔（狔犻（狓））＝（狔犻（狓））２，狔犻为望小特性（（狔犻（狓））－１）２，狔犻为望大特性（狔犻（狓）－犜犻）２，狔犻烅烄烆为望目特性则式（１５）～式（
１７）可以统一为如下形式：犔（狔（狓））＝∑狆犻＝１
λ犻犔（狔犻（狓））（１８）式中：λ犻和犔（狔犻（狓））分别为第犻个质量特性狔犻的损失权重和损失函数。

２．３　结合部分平行高斯过程模型与质量损失的参数优化在ＰＰＧＰ建模框架下，结合本文所提出的多元质量损失函数，
构建多响应优化模型：ａｒｇｍｉｎ犔（狔（狓））＝∑狆
犻＝１
λ犻犔（狔犻（狓））（１９）式中：各变量解释与前文一致。

然后，使用遗传算法寻找优化模型的全局最优参数设计值。

鉴于篇幅有限，文中所用程序代码和相关试验数据未放入正文。

结合ＰＰＧＰ模型与质量损失的稳健参数设计基本流程
１　ＰＰＧＰＦｉｇ．１　ＦｌｏｗｃｈａｒｔｏｆｒｏｂｕｓｔｐａｒａｍｅｔｅｒｄｅｓｉｇｎｃｏｍｂｉｎｉｎｇＰＰＧＰ
ｍｏｄｅｌａｎｄｑｕａｌｉｔｙ
ｌｏｓｓ具体步骤如下。

步骤１　收集具有时空结构的高维试验数据，利用试验数据建立初始ＰＰＧＰ回归模型。

步骤２　利用边缘后验估计法近似模型超参数，确立
ＰＰＧＰ模型，并使用ＰＰＧＰ模型构建试验因子与质量特性间的预测响应曲面，如式（２）～式（
８）所示。

步骤３　结合ＰＰＧＰ模型部分平行的特征，
利用信噪比计算各预测响应均值的损失权重，由损失权重生成的对角矩阵作为损失成本矩阵，构建多元质量损失函数。

如式（９）～式（
１１）及式（１８）所示。

步骤４　结合ＰＰＧＰ模型和多元质量损失函数构建多响应优化模型，如式（１９）
所示。

步骤５　使用遗传算法，在输入变量可行域内为多响应优化模型寻找全局最优参数设计值，并记录其运行时间。

步骤６　获得高维复杂试验数据的建模与参数优化问题的有效方法，得到的优化结果更稳健，运行效率更高。

３　仿真与实证研究
本节使用一个仿真算例和电动交流发电机（望目）、金
属注射成型（
望大）两个应用实例来说明本文方法的预测能力、有效性和便捷性。

并选择单变量ＧＰ方法作为对比方法，使用如下标准评价两种方法样本外预测和不确定性量化的准确性。

（１）绝对偏差
ＡＤ＝｜＾ｙｊ（
狓 犻）－狔犼（狓 犻）｜（２０）（２）多元质量损失函数
犔（＾狔（狓 ））＝∑狆
犻＝１
λ犻犔（＾狔犻（狓 ））（２１） （
３）均方根误差ＲＭＳＥ＝∑狆犼＝１∑狀
犻＝１（狔犼（狓 犻）－＾狔犼（狓 犻））２狆狀槡
（２２） （
４）９５％后验置信区间覆盖率犘ＣＩ（９５％）＝１狆狀 ∑狆犼＝１∑狀 犻＝１１｛狔犼（狓 犻）∈ＣＩ犻犼（９５％）｝（２３）其中，１≤犻≤狀 ，１≤犼≤狆；狔犼（狓 犻）和＾狔犼（狓 犻）分别为在第犻个预测输入狓 犻和第犼个空间坐标狊犼处的观测值及预测值；
ＣＩ犻犼（
９５％）是基于式（８）的９５％后验置信区间。

一个理想的模型应该具有相对较低的质量损失、绝对偏差和均方根误差，并且９５％后验置信区间覆盖率越接近９５％的名义水平越好。

３．１　仿真算例３．１．１　仿真函数
仿真试验虚拟图书馆为评估计算机模型的试验设计和分析的新方法，提供了一套函数和数据集。

本文在此网站上选取Ｃｒｏｓｓ ｉｎ Ｔｒａｙ，Ｂｏｈａｃｈｅｖｓ ｋｙ，Ｍｃ
Ｃｏｒｍｉｃｋ和Ｅａｓｏｍ４个经典复杂二元函数构建仿真案例，对本文方法和单变
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　·３
６８８　·系统工程与电子技术第４３卷 量ＧＰ方法的性能进行测试。

４个测试函数的过程参数狓犻∈［－１０，１０］，犻＝１，２。

质量特性狔犼的取值范围长度分别为犚１＝１．８１２６，犚２＝２９７．１３８６，犚３＝４４４．１１７５，犚４＝１．００９０。

考虑到随机噪声的水平对基于ＧＰ的优化算法有很大影响，
本文根据质量特性狔犼的取值范围长度犚犼的大小，设定各函数的随机噪声水平分别为：ε１，ε４～Ｎ（０，０．０００１２），ε２，ε３～Ｎ（
０，０．００１２）。

测试函数的具体设置如表１所示。

如图２中第一行的二维曲面图所示，这４个测试函数
的选取涵盖了４个不同的形状特征。

Ｃｒｏｓｓ ｉｎ Ｔｒａｙ函数由
于存在大量局部极小值而难以优化；Ｂｏｈａｃｈｅｖｓｋｙ函数图像
类似于碗状；ＭｃＣｏｒｍｉｃｋ函数图像类似于盘状；Ｅａｓｏｍ函数图像陡降，虽然是单峰的，但有多个局部极小值，且局部极小值的搜索空间很小。

图２中的第二行为各测试函数的等
高线图，红色星号代表取得最优解的位置。

表１　测试函数详情
犜犪犫犾犲１　犜犲狊狋犳狌狀犮狋犻狅狀犱犲狋犪犻犾狊
函数名称
函数特征函数详情
Ｃｒｏｓｓ ｉｎ Ｔｒａｙ多个局部极小值犳（
狓１，狓２）＝－０．烄烆０００１ｓｉｎ狓１ｓｉｎ狓２·ｅｘ烄烆ｐ１００－狓２１＋狓槡２２烌烎π烌烎＋１０．１
＋ε１狓 ＝（±１．３４９１，±１．３４９１），犳
（狓 ）＝－２．０６２６１
Ｂｏｈａｃｈｅｖｓｋｙ碗状犳（狓１，狓２）＝狓２１＋２狓２２－０．
３ｃｏｓ（３π狓１）ｃｏｓ（４π狓２）＋０．３＋ε２狓 ＝（０，０），犳（狓 ）＝０ＭｃＣｏｒｍｉｃｋ盘状犳（
狓１，狓２）＝ｓｉｎ（狓１＋狓２）＋（狓１－狓２）２－１．５狓１＋２．５狓２＋１＋ε３狓 ＝（－８．９１９０１，－９．６５７５１），犳（狓 ）＝－８．９５１８４
Ｅａｓｏｍ
陡降
犳（
狓１，狓２）＝－ｃｏｓ（狓１）ｃｏｓ（狓２）ｅｘｐ（－（狓１－π）２－（狓２－π）２）＋ε４狓 ＝（π，π）
，犳（狓 ）＝－１图２　４个测试函数的曲面图和等高线图
Ｆｉｇ．
２　ＳｕｒｆａｃｅａｎｄｃｏｎｔｏｕｒｐｌｏｔｓｏｆｆｏｕｒｔｅｓｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓCopyright©博看网 . All Rights Reserved.。