2020-2021学年北京市丰台区八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2020-2021学年北京市丰台区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）
A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x≠2
2．（3分）下面的多边形中，内角和是360°的是（）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，一束平行光线中，插入一张对边平行的纸版，如果光线与纸版右下方所成的∠1是110°，那么光线与纸版左上方所成的∠2的度数是（）
A．110°B．100°C．90°D．70°
4．（3分）下列运算正确的是（）
A．＝3B．＝C．＝D．＝5．（3分）如图，为了测量一块不规则绿地B，C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出AB，AC的中点D，E，如果测量出D，E两点间的距离是8m，那么绿地B，C两点间的距离是（）
A．4m B．8m C．16m D．20m
6．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，如果AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是（）
A．6B．12C．24D．48
7．（3分）下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（3分）在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，只需添加一个条件，即可证明▱ABCD 是矩形，这个条件可以是（）
A ．A
B ＝BC
B ．A
C ＝BD
C ．AC ⊥BD
D ．∠AOB ＝60°
9．（3分）如图，直线y ＝kx +b 与x 轴的交点的坐标是（﹣3，0），那么关于x 的不等式kx +b ＞0的解集是（
）
A ．x ＞﹣3
B ．x ＜﹣3
C ．x ＞0
D ．x ＜0
10．（3分）A ，B ，C 三种上宽带网方式的月收费金额y A （元），y B （元），y C （元）与月上网时间x （小时）的对应关系如图所示．以下有四个推断：①月上网时间不足35小时，选择方式A 最省钱；
②月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式C 最省钱；
③对于上网方式B ，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元；④对于上网方式A ，若月上网时间超出25小时，则超出的时间每分钟收费0.05元．所有合理推断的序号是（
）
A．①②B．①③C．①③④D．②③④
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）＝．
12．（3分）如果一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过二、三、四象限，写出一组满足条件的k，b的值：k＝，b＝．
13．（3分）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这10
次射击成绩的方差为s
甲2，s
乙
2，那么s
甲
2s
乙
2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，且顶点B的坐标是（1，2），如果以O为圆心，OB长为半径画弧交x轴的正半轴于点P，那么点P的坐标是．
15．（3分）将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴
影部分的面积为．
16．（3分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，▱ABCD的面积为10，且边AB在x轴上．如果将直线y＝﹣x沿x轴正方向平移，在平移过程中，记该直线在x轴上平移的距离为m，直线被平行四边形的边所截得的线段的长度为n，且n与m的对应关系如图2所示，那么图2中a的值是，b的值是．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）
17．（5分）下面是小东设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点．
求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD是矩形．
作法：①作射线BO，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交射线BO于点D；
②连接AD，CD．
四边形ABCD是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO．
又∵BO＝，
∴四边形ABCD是平行四边形（）（填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形（）（填推理的依据）．
18．（5分）计算：+（1﹣）+|﹣|．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝BF．求证：AF＝CE．
20．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，1），B（0，3）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若这个一次函数的图象与x轴的交点为C，求△BOC的面积．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF∥CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF＝，求AC的长．
22．（6分）某学校在A，B两个校区各有八年级学生200人，为了解这两个校区八年级学生对垃圾分类有关知识的掌握程度，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据
从A，B两个校区八年级各随机抽取20名学生，进行了垃圾分类有关知识测试，测试成绩（百分制）如表：
A校区8775798277768671769176808268738188 698478
B校区8073708271828393778081938173887981 705583
整理、描述数据
按如下表分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
50≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100人数
校区
A02981
B72（说明：成绩80分及以上为掌握程度优秀，70～79分为掌握程度良好，60～69分为掌握程度合格，60分以下为掌握程度不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
校区平均数中位数众数
A78.9576
B78.7580.5
得出结论
a．估计B校区八年级对垃圾分类有关知识的掌握程度优秀的学生人数为；b．可以推断出校区的八年级学生对垃圾分类有关知识的掌握程度较好，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝2x+2和直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（0，b）．
（1）求b的值；
（2）直线l1与x轴的交点为B，直线l2与x轴的交点为C，若线段BC的长度大于2，结合函数图象，求k的取值范围．
24．（7分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点（不与点B，C重合），过点C 作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，过点D作DG⊥FC，交FC的延长线于点G，连接FB，FD．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AFD的度数；
（3）用等式表示线段AF，BF，DF之间的数量关系，并证明．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．给出如下定义：如果线段PQ是某个周长为t的矩形的一条对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么称点P和点Q互为“t阶矩形点”．
如图，点P（1，1）和点Q（3，2）互为“6阶矩形点”．
（1）在点A（1，3），B（2，﹣2），C（3，2）中，与点O互为“8阶矩形点”的点是；
（2）若第一象限内有一点N与点O互为“8阶矩形点”，求线段ON长度的最小值；
（3）若点M在直线y＝x上，且与点M互为“10阶矩形点”的点中恰有2个点与点O 互为“8阶矩形点”，记点M的横坐标为m，请直接写出m的取值范围．
2020-2021学年北京市丰台区八年级（下）期末
数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
2．【分析】根据n边形的内角和公式为180°（n﹣2），求得n＝4，故选B．【解答】解：∵n边形的内角和公式为180°（n﹣2），
∴当180°（n﹣2）＝360°，则n＝4．
∴四边形的内角和等于360°．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．3．【分析】由平行线的性质可求得∠ADC+∠1＝∠ADC+∠2＝180°，可求得∠2．【解答】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠1+∠ADC＝180°，
∵BC∥AD，
∴∠2+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠2．
∵∠1＝110°，
∴∠2＝110°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，
④a∥b，b∥c⇒a∥c．
4．【分析】利用二次根式的性质对A进行判断；根据分母有理化对B进行判断；根据二次根式的加减运算对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝3，所以A选项不符合题意；
B、原式＝，所以B选项不符合题意；
C、与不能合并，所以C选项不符合题意；
D、原式＝＝，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法法则和二次根式的性质是解决问题的关键．
5．【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC．
【解答】解：∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE为三角形ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∴BC＝2DE＝2×8＝16（m），
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
6．【分析】由菱形的面积公式可求解．
【解答】解：菱形ABCD的面积＝＝＝24，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式可求解．
7．【分析】根据函数的意义进行判断即可．
【解答】解：A图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，A选项不符合题意；
B图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，B选项不符合题意；
C图中，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，C选项不符合题意；
D图中，对于x的每一个取值，y可能有两个值与之对应，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要
注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
8．【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、由四边形ABCD是平行四边形，∠OAB＝60°，不能判定▱ABCD是矩形，故选项D
不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识；熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键．
9．【分析】根据直线y＝kx+b与x轴交点坐标为（﹣3，0），得出y的值大于0的点都符合条件，从而得出x的解集．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与x轴交点坐标为（﹣3，0），
∴由图象可知，当x＞﹣3时，y＞0，
∴不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．10．【分析】根据A，B，C三种上宽带网方式的月收费金额y A（元），y B（元），y C（元）与月上网时间x（小时）的图象逐一判断即可．
【解答】解：由图象可知：
①月上网时间不足35小时，选择方式A最省钱，说法正确；
②月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式B最省钱，故原说法错误；
③对于上网方式B，若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元，说法正确；
④对于上网方式A，若月上网时间超出25小时，则超出的时间每分钟收费为：（60﹣30）
÷[（35﹣25）×60]＝0.05（元），原说法正确；
所以所有合理推断的序号是①③④．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．【分析】直接进行平方的运算即可．
【解答】解：原式＝3．
故答案为：3
【点评】此题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，注意仔细运算即可．12．【分析】可画出符合条件的一次函数的图象，由图象可取符合条件的数．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过二、三、四象限，
∴其图象如图所示，
∴直线从左向右逐渐下降，
∴k＜0，
∵直线与y轴的交点在x轴的下方，
∴b＜0，
可取k＝﹣1，b＝﹣2
故答案为：﹣1，﹣2．（答案不唯一）
【点评】本题主要考查一次函数的图象，根据条件画出函数图象是解题的关键．13．【分析】从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．【解答】解：由图中知，甲的成绩为7，10，7，9，10，9，8，10，8，7，
乙的成绩为9，8，10，9，9，8，9，7，7，9，
＝×（7+10+7+9+10+9+8+10+8+7）＝8.5，
＝×（9+8+10+9+9+8+9+7+7+9）＝8.5，
甲的方差s
甲
2＝[3×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2+2×（9﹣8.5）2]÷10＝1.45，
乙的方差s
乙
2＝[2×（7﹣8.5）2+2×（8﹣8.5）2+5×（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2]÷10＝0.85，
∴s
甲2＞s
乙
2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一
组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14．【分析】根据矩形的性质可得OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，然后根据勾股定理得OB的长，即为OP的长，由此可得答案．
【解答】解：由题意可得：OP＝OB，OC＝AB＝2，BC＝OA＝1，
∵OB＝＝＝，
∴OP＝，
∴点P的坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．
【点评】此题考查的是矩形的性质、坐标与图形性质及勾股定理等知识，掌握矩形的对边相等是解决此题关键．
15．【分析】先设出图1中直角三角形的直角边，然后根据图2和图3列出关于直角边的方程组，即可求出图2中阴影部分的边长，然后求出面积．
【解答】解：由题意知图2中阴影部分为正方形，
设图1中直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，
则由图2得：a+b＝5，①
由图3得：b﹣a＝1，②
联立①②得：
，
∴阴影部分的边长为，
∴，
故答案为13．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要能求出图中阴影部分的边长，既用直角三角形的直角边求出斜边，要牢记勾股定理的公式a2+b2＝c2．
16．【分析】找出图1与图2中的对应点：图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，图1中点B对应图2中的点B'，由OB＝m＝a．a ＝OB＝OF﹣BF解得a值；在Rt△DGE可解得b＝DE＝2．
【解答】解：在图1中，过点D，BC作直线与已知直线y＝﹣x平行，交x轴于点E，F，
在图2中，取A'（2，0），E'（5，b），B'（a，b），F'（10，0），
图1中点A对应图2中的点A'，得出OA＝m＝2，
图1中点E对应图2中的点E'，得出OE＝m＝5，DE＝n＝b，则AE＝3，
图1中点F对应图2中的点F'，得出OF＝m＝10，
图1中点B对应图2中的点B'，得出OB＝m＝a，
∵a＝OB＝OF﹣BF，BF＝AE＝3，OF＝10
∴a＝7，
∵▱ABCD的面积为10，AB＝OB﹣OA＝7﹣2＝5，
∴DG＝2，
在Rt△DGE中，∠DEG＝45°，
∴DE＝2，
故答案是：7，2．
【点评】本题考查动直线在几何图形和函数图象上的运用；重点是观察动直线y＝﹣x经过点A、D、B、C（或A、E、B、F）时，在图2中所对应的点A'、E'、B'、F'，难点是确定a，b对应的线段，a＝OB＝OF﹣BF，DE＝n＝b．
三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）
17．【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【解答】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求．
（2）证明：∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO．
又∵BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠ABC＝90°，
∴▱ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故答案为：OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是正确作出点D，属于中考常考题型．
18．【分析】利用二次根式的性质、二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算．
【解答】解：原式＝2+﹣+2
＝2+﹣1+2
＝1+3
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解决问题的关键．
19．【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC，AE∥CF，推出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝BF，
∴AD﹣DE＝BC﹣BF，
∴AE FC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF＝CE．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
20．【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式．（2）利用直线解析式求得C的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△BOC的面积．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣1，1），B（0，3）．
∴，解得：．
∴这个一次函数的解析式为：y＝2x+3．
（2）令y＝0，则2x+3＝0，解得x＝﹣，
∴C（﹣，0），
∵B（0，3）．
＝＝．
∴S
△BOC
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．21．【分析】（1）先证四边形CBFD是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得CD ＝AB＝BD，然后证出CD＝CB，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OC＝OF＝CF＝2，BD⊥CF，再由等边三角形的性质得∠CBD
＝∠BCD＝60°，∠BCO＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得OB＝OC ＝2，BC＝2OB＝4，进而得出AC＝BC＝4．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵BF∥CD，
∴四边形CBFD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝AB＝BD，
又∵BC＝BD，
∴CD＝BC，
∴平行四边形CBFD为菱形；
（2）解：如图，由（1）得：四边形CBFD为菱形，
∴OC＝OF＝CF＝2，BD⊥CF，
∵BC＝BD＝CD，
∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝∠BCD＝60°，∵BD⊥CF，
∴∠BCO＝30°，
∴OB
＝OC＝2，
∴BC＝2OB＝4，
∵∠A＝90°﹣∠CBD＝30°，
∴AC ＝BC＝4．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证出CD＝BD是解题的关键．
22．【分析】整理、描述数据：将A、B校区学生成绩重新排列，据此可补全表格；
分析数据：根据中位数和众数的定义求解即可；
得出结论：a．用B校区总人数乘以样本中成绩优秀人数所占比例即可；
b．根据平均数、中位数和众数的意义求解即可．
【解答】解：整理、描述数据
将A、B校区成绩重新排列为：
A校区：68、69、71、73、75、76、76、76、77、78、79、80、81、82、82、84、86、87、88、91，
B校区：55、70、70、71、73、73、77、79、80、80、81、81、81、82、82、83、83、88、93、93，
按如下表分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
人数
校区
50≤x≤5960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100 A02981
B107102分析数据
A校区学生成绩的中位数为＝78.5（分），B校区学生成绩的众数为81分，
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：
校区平均数中位数众数
A78.9578.576
B78.7580.581得出结论
a．估计B校区八年级对垃圾分类有关知识的掌握程度优秀的学生人数为200×＝120（人）；
b．可以推断出B校区的八年级学生对垃圾分类有关知识的掌握程度较好，
理由为：B校区中位数比A校区大，众数比A校区大，可见B校区半数学生分数在80.5分以上，而A校区半数学生分数在78.5分以上，B校区81分的最多，A校区76分最多．故答案为：a．120人；
b．B，B校区中位数比A校区大，众数比A校区大，可见B校区半数学生分数在80.5分以上，而A校区半数学生分数在78.5分以上，B校区81分的最多，A校区76分最多．【点评】本题主要考查了统计表，众数，中位数的综合运用，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
23．【分析】（1）将点A坐标代入直线直线l1：y＝2x+2求解．
（2）求出当BC为2时的点C坐标，然后求出k，结合图象根据|k|越大，直线越靠近y 轴求解．
【解答】解：（1）将（0，b）代入y＝2x+2得b＝2．
（2）把y＝0代入y＝2x+2得x＝﹣1，
∴点B坐标为（﹣1，0）．
由（1）得直线l2解析式为y＝kx+2，
当BC＝2时，点C坐标为（﹣3，0）或（1，0）．
如图，当点C坐标为（﹣3，0）时，0＝﹣3k+2，
解得k＝，
当0＜k＜时满足题意，
把（1，0）代入y＝kx+2得0＝k+2，
解得k＝﹣2，
∴﹣2＜k＜0满足题意，
综上所述，﹣2＜k＜0或0＜k＜．
【点评】本题考查一次函数与坐标轴交点问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握直线越靠近y轴，|k|越大．
24．【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）过点D作DH⊥AF于点H，证明△ADH≌△CDG（AAS），由全等三角形的性质得出DH＝DG，由角平分线的性质得出结论；
（3）过点A作AM⊥AF交FD的延长线于点M，证明△ABF≌△ADM（SAS），由全等三角形的性质得出BF＝DM，由等腰直角三角形的性质可得出结论．
【解答】解：（1）补全图形如下：
（2）过点D作DH⊥AF于点H，
∵GF⊥AF，DG⊥FG，
∴∠HDG＝90°，
在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADH＝∠CDG，
∴△ADH≌△CDG（AAS），
∴DH＝DG，
∴FD平分∠AFG，
∴∠AFD＝45°；
（3）线段AF，BF，DF之间的数量关系是BF+DF＝AF．证明：过点A作AM⊥AF交FD的延长线于点M，
∵∠AFM＝45°，
∴∠M＝45°，
∴AF＝AM，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAF＝∠DAM，
∵AB＝AD，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF＝DM，
在Rt△AMF中，MF＝AF，
∴BF+DF＝AF．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25．【分析】（1）设与点O（0，0）互为“8阶矩形点”的点的坐标为（x，y），得出|x|+|y|＝4，再将x＝1，x＝2，x＝3代入上式，计算判断即可得出结论；
（2）设N（a，b）（a＞0，b＞0），得出ON＝再根据点N与点O互为“8阶矩形点”，b＝4﹣a，进而得出ON，即可求出结果；
（3）设与点O互为“8阶矩形点”的点的坐标为H（c，d），进而得出与点O互为“8阶矩形点”的点H在正方形DEFG的边上，
①当点M在第一象限时，再分四种情况讨论得出答案；
②当点M在第三象限时，同①的方法即可得出答案．
【解答】解：（1）设与点O（0，0）互为“8阶矩形点”的点的坐标为（x，y），
∴2|x|+2|y|＝8，
∴|x|+|y|＝4，
当x＝1时，y＝±3，
∴点A（1，3）与点O互为“8阶矩形点”，
当x＝2时，y＝±2，
∴点B（2，﹣2）与点O互为“8阶矩形点”，
当x＝3时，y＝±1，
∴点C（3，2）与点O不互为“8阶矩形点”，
故答案为A，B；
（2）设N（a，b）（a＞0，b＞0），
∴ON＝
∵点N与点O互为“8阶矩形点”，
∴2a+2b＝8，
∴b＝4﹣a，
∴ON＝＝＝＝；
∴当a＝2时，线段ON的长度的最小值为＝2；
（3）设与点O互为“8阶矩形点”的点的坐标为H（c，d），
∴2|c|+2|d|＝8，
∴|c|+|d|＝4，
∴d＝±c±4，
∴与点O互为“8阶矩形点”的点H在正方形DEFG的边上，
∵点M在直线y＝x上，
∴设点M（m，m），
①当点M在第一象限时，
Ⅰ、当与点M互为“10阶矩形点”的点在线段DG（解析式为y＝﹣x+4）上，设其坐标为（e，﹣e+4）（0≤e≤4），
∴2|m﹣e|+|m+e﹣4|＝10，
∴m﹣e+m+e﹣4＝5，
∴m＝4.5，
即点M（4.5，4.5）线段DG上的任意一点都与点M互为“10阶矩形点”，
Ⅱ、当与点M互为“10阶矩形点”的点在线段EF（解析式为y＝﹣x﹣4）上，设其坐标为（e，e+4）（﹣4≤e≤0），
∴2|m﹣e|+|m﹣e+4|＝10，
∴m﹣e+m+e+4＝5，
∴m＝0.5，
即点M（0.5，0.5）线段EF上的任意一点都与点M互为“10阶矩形点”，
Ⅲ、当与点M互为“10阶矩形点”的点在线段DE（解析式为y＝x+4）上，设其坐标为（e，e+4）（﹣4＜e＜0），
∴2|m﹣e|+|m﹣e﹣4|＝10，
∴m﹣e+m﹣e﹣4＝5，
∴m＝e+4.5，
∵﹣4＜e＜0，
∴0.5＜m＜4.5，
即点M（m，m）（0.5＜m＜4.5）线段DE上的点与点M互为“10阶矩形点”点存在一个，Ⅳ、当与点M互为“10阶矩形点”的点在线段FG（解析式为y＝x﹣4）上，设其坐标为（e，e﹣4）（0＜e＜4），
同Ⅲ的方法得，点M（m，m）（0.5＜m＜4.5）线段FG上的点与点M互为“10阶矩形点”点存在一个，
∴点M（m，m）（0.5＜m＜4.5）线段DE和FG上的点与点M互为“10阶矩形点”点各存在一个，即共2个，
即满足条件的点M的横坐标m的范围为0.5＜m＜4.5；
②当点M在第三象限时，同①的方法得，﹣4.5＜m＜﹣0.5，
即满足条件的m的取值范围为﹣4.5＜m＜﹣0.5或0.5＜m＜4.5．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义“t阶矩形点”，两点间的距离公式，用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．。