江苏省扬州中学2020-2021学年高二3月月考数学试题

扬州中学高二数学月考试卷 2021.3
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的.）
1．复数31+3i 5
（）的模为（ ）
A ．5
B ．910
C
D ．2 2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂
平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.非以上错误
3．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A ．7米/秒
B ．6米/秒
C ．5米/秒
D ．8米/秒
4．用数学归纳法证明2231*11+(1,)1n n a a a a a a n N a
++-++++=≠∈-，在验证n=1成立时，等式左边是 （ ）
A ．1
B ．1a +
C ．21a a ++
D ．231a a a +++
5．设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r ＝
2S a ＋b ＋c ,类比这个结论可知：四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半径为r ,四面体S -ABC 的体积为V ,则r ＝( )
A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4
B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4
C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4
D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4
6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

A ．假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角至多有两个大于60度；
C. 假设三内角至多有一个大于60度；
D.假设三内角都大于60度.
7．若C z ∈，且1z =，则3i z -的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．已知定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()32x xf x x e f x '=+，若()2244f e =+，则
函数()()4g x f x =-的零点个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二．多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有
选错的得0分.）
9．设123,,z z z 为复数，10z ≠．下列命题中正确的是（）
A. 若23z z =，则23z z =±
B. 若1213z z z z =，则23z z =
C.若2
121z z z =，则12z z = D. 若23z z =，则1213z z z z =
10．已知点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（ ）
A ．640x y --=
B ．470x y -+=
C ．470x y -+=
D ．3210x y -+=
11．以下命题正确的是（ ）
A ．0a =是(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的必要不充分条件
B ．若把4封不同的信投入3个不同的信箱,则不同的投法种数共有81种
C ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件
D ．已知()f x =，则()1
8
78f x x '=
12.已知函数sin ()e x x f x x
=-，则（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x ＜1
C ．()f x 在(﹣1，0)单调递增
D ．()f x 在(0，2
π)上存在一个极值点 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知复数34z i =+，那么z 的虚部是________.
14．有一项活动，要从4名老师、7名男同学和8名女同学中选人参加，若需要1名老师、1名学生参加，则有种不同的选法．
15. 在正三棱锥A BCD -中，侧棱长为3，底面边长为2，则点A 到平面BCD 的距离为_________； AB 与面ACD 所成角的余弦值为__________．
16．若存在()0,x ∈+∞，使得不等式0ln 1x ae x --≤成立，则实数a 的最大值为___________.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（1）(1)(1)(1)i i i +-+-+； （2）2020121()341i i i i
+++--
18. 已知函数32()39f x x x x a =-+++.
（1）当2a =-时，求()f x 的极值；
（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最小值为5-，求它在该区间上的最大值．
19．已知z C ∈，2z i +和2z i
-都是实数．
（1）求复数z ；
（2）若复数2
()z ai +在复平面上对应的点在第四象限，试求实数a 的取值范围．
20．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD, AB ＝2, BC ＝CD ＝1, 顶点D 1在底面ABCD 内的射影恰为点C.
(1)求异面直线AD 1与BC 所成角的大小；
(2)若直线DD 1与直线AB 所成的角为π3，求二面角1D AB C --的正弦值．
21．已知函数()21ln 2
f x x ax =-. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.
．
22．已知函数()e cos 2x f x x =+-，()f x '为()f x 的导数.
（1）当0x ≥时，求()f x '的最小值；
（2）当π2x ≥-
时，2e cos 20x x x x ax x +--≥恒成立，求a 的取值范围.
高二数学月考试卷答案 2021.3
1．A 2．A 3．C 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B
9．BD 10．AD 11．ABC 12.BCD
13．.-414． 60 15．692,31216．1e
17．解：（1）原式2111111i i i i =--+=+-+=+.
（2）原式()()()()()()()2020212341343411i i i i i i i ⎛⎫+++ ⎪=+ ⎪-+-+⎝⎭ ()505451025i i -+=+12155i =-++4255i =+. 18．解：（1）()f x 的极大值为25，极小值为-7；
（2）令()f x '＝－3x 2
＋6x ＋9=0,得3x =（舍）或1x =- 当(2,1)x ∈--时，()0f x '<，所以()f x 在(2,1)x ∈--时单调递减，当(1,2)x ∈-时()0f x '>，所以()f x 在(1,2)x ∈-时单调递增，又(2)f -＝2a +，(2)f ＝22a +，
所以(2)f >(2)f -．因此(2)f 和(1)f -分别是()f x 在区间[]2,2-上的最大值和最小值，于是有
55a -+=-，解得0a =．
故32
()39f x x x x =-++，因此(2)22f =
即函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为22． 19.解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈， 则2(2)z i a b i +=++，
()(2)2222(2)(2)55
z a bi a bi i a b a b i i i i i +++-+===+---+， ∵2z i +和2z i -都是实数，∴20205
b a b +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=-⎩， ∴42z i =-．
（2）由（1）知42z i =-，
∴222()[4(2)]16(2)8(2)z ai a i a a i +=+-=--+-，
∵2
()z ai +在复平面上对应的点在第四象限，
∴216(2)08(2)0a a ⎧-->⎨-<⎩，
即241202
a a a ⎧--<⎨<⎩，∴262a a -<<⎧⎨<⎩， ∴22a -<<，
即实数a 的取值范围是(2,2)-．
20.解： (1)连接D 1C ，则D 1C ⊥平面ABCD ，∴D 1C ⊥BC. 在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，
∵AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ，∴BC ⊥AC ，
∴BC ⊥平面AD 1C ，∴AD 1⊥BC.∴异面直线AD 1与BC 所成角为090.
(2) ∵AB ∥CD ，∴∠D 1DC ＝π3
，∵CD ＝1，∴D 1C ＝ 3. 在底面ABCD 中作CM ⊥AB ，连接D 1M ，则D 1M ⊥AB ，
∴∠D 1MC 为二面角1D AB C --的平面角．
在Rt △D 1CM 中，CM ＝
32，D 1C ＝3，
∴D 1M ＝CM 2＋D 1C 2＝152，∴sin ∠D 1MC ＝5
，
即二面角1D AB C --的正弦值为
5. 21．解（1）()f x 的定义域为()0,∞+，且()2
1ax f x x
-'=， 当0a ≤时，()0f x '>，此时，()f x 在()0,∞+上单调递增，
当0a >时，()00f x x a '>⇒<<，()0f x x a
'<⇒>，
即()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 综上可知：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，
当0a >时，()f x 在0,a ⎛
⎝⎭上单调递增，在,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）知当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 至多有一个零点，不合题意，
当0a >时，()f x 在0,a ⎛ ⎝⎭上单调递增，在,a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减， 2
max 11()(ln 1)22f x f a a ==-=-+， 当1a
e ≥时，max 1()(ln 1)02
f x f a ==-+≤， 函数()f x 至多有一个零点，不合题意； 当10a
e <<时，max 1()(ln 1)02
f x f a ==-+> 由于1
⎛∈ ⎝，且211(1)ln11022f a a =-⋅⋅=-<， 由零点存在性定理知：()f x 在
⎛
⎝上存在唯一零点， 由于2
a >，且222122222ln ln 02f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭（由于ln x x <） 由零点存在性定理知：()f x 在
⎫+∞⎪⎭
上存在唯一零点， 所以实数a 的取值范围是10a e <<
. 22.解:（1）()e sin x f x x '=-，
令()e sin x g x x =-，0x ≥，则()e cos x
g x x '=-. 当0x ≥时，e 1cos x x ≥≥，
故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，
故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1.
（2）令()e cos 2x h x x ax =+--，则()e sin x
h x x a '=--， 则本题即证当π2
x ≥-时，()0x h x ⋅≥恒成立. 当1a ≤时，若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，
所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即()0x h x ⋅≥恒成立； 若π[,0)2
x ∈-，令()()e sin x s x h x x a '==--，则()e cos x s x x '=-， 令()()e cos x t x s x x '==-，则()e sin x t x x '=+在π[,0]2
-上为增函数， 又()01t '=，π2π()e 102
t -'-=-<，故存在唯一0π(,0)2x ∈-，使得()00t x '=. 当0π(,)2
x x ∈-时，()0t x '<，()s x '为减函数；()0,0x x ∈时，()0t x '>，()s x '为增函数. 又π2π()e 02
s -'-=>，()00s '=，故存在唯一1π(,0)2x ∈-使得()10s x '=. 故1π(,)2
x x ∈-时，()0s x '>，()h x '为增函数；()1,0x x ∈时，()0s x '<，()h x '为减函数. 又π2π()e 102
h a -'-=+->，()010h a '=-≥，
所以π[,0)2
x ∈-时，()0h x '>，()h x 为增函数， 故()()00h x h <=，即()0x h x ⋅>恒成立.（10分）
当1a >时，由（1）可知()e sin x h x x a '=--在[
)0,+∞上为增函数， 且()010h a '=-<，()11e 10a h a a +'+≥-->，故存在唯一()20,x ∈+∞，使得()20h x '=. 则当()20,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，
所以()()00h x h <=，此时()0x h x ⋅<，与()0x h x ⋅≥恒成立矛盾. 综上所述，1a ≤.。