18版：§10.2 排列与组合（步步高）

1．排列与组合的概念
名称定义
排列从n个不同元素中任取
m(m≤n)个元素
按照______________排成一列组合并成一组
2.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的________________的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号________表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式(1)A m n＝________________________＝
n！
(n－m)！
(2)C m n＝
A m n
A m m＝
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
m！
＝________
性质(1)0！＝________；A n n＝________
(2)C m n＝C n－m
n
；C m n＋1＝________________
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．()
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()
(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.()
.()
(5)A m n＝n A m－1
n－1
(6)k C k n＝n C k－1
.()
n－1
1．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为() A．24 B．48
C．60 D．72
2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()
A．144 B．120
C．72 D．24
3．(2016·信阳模拟)某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一个同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有()
A．36种B．30种
C．24种D．6种
4．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()
A．8 B．24
C．48 D．120
5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．
题型一排列问题
引申探究
1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？
例1(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法．
(2)(高考改编)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．
思维升华排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数．
求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？
(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？
题型二组合问题
引申探究
1．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
2．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
3．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？
例2(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()
A．60 B．63
C．65 D．66
(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法．
思维升华组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
题型三排列与组合问题的综合应用
命题点1相邻问题
例3(2017·济南月考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法
种数为()
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4D．9!
命题点2相间问题
例4(高考改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．
命题点3特殊元素(位置)问题
例5(2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个．
思维升华排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．
(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．
(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．
(1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()
A．150 B．180
C．200 D．280
(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有()
A．150种B．114种
C．100种D．72种
14．排列、组合问题
典例有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．
错解展示
解析先从一等品中取1个，有C116种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C219种不
同取法，共有C116×C219＝2 736(种)不同取法．答案 2 736
现场纠错：
纠错心得：
答案精析
基础知识自主学习
知识梳理
1．一定的顺序
2．(1)所有不同排列A m n
(2)所有组合C m n
3．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n！
m！(n－m)！
1n！C m n＋C m－1
n
思考辨析
(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√(6)√
考点自测
1．D 2.D 3.B 4.C 5.14
题型分类深度剖析
例1(1)2 520(2)216
引申探究
1．解前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040(种)排法．
2．解相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．根据分步乘法计数原理，共有A33·A44·A22＝288(种)排法.
3．解不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A35种排法，故共有A44·A35＝1 440(种)排法．
4．解先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A15＝5(种)排法；再安排其他人，有A66＝720(种)排法．所以共有A15·A66＝3 600(种)排法．
跟踪训练1解(1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A34个，2,3去排四个空档，有A24个，即有A34A24个；而0在首位时，有A23A23个，即有A34A24－A23A23＝252(个)含有2,3，但它们不相邻的五位数．
(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A36个，去掉0在首位，即有A36－A25个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A36－A25＝100(个)六位数．
例2(1)D(2)36
引申探究
1．解由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C59＝C49＝126(种)不同
的选法．
2．解可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13×C49＝378(种)不同的选法．
3．解可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59种，共有C512－C59＝666(种)不同的选法．
跟踪训练2解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)．
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种)．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式
C335－C315＝6 545－455＝6 090(种)．
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
例3C例4120
例551
跟踪训练3(1)A(2)C
现场纠错系列
现场纠错
1 136
解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理，知有C116C24＋C216C14＋C316＝1 136(种)．
方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．
纠错心得(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．
(2)解题时要细心、周全，做到不重不漏．。