高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2第2课时直线与椭圆的位置关系练习含解析新人教A版选修1_1

第2课时 直线与椭圆的位置关系
A 级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 2
36＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个
数为( )
A ．1
B ．1或2
C ．2
D ．0 解析：因为直线过定点(3，－1)且32
25＋（－1）
2
36
<1，
所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点． 答案：C
2．若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2
m
＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )
A ．m >1
B ．m >0
C ．0<m <5且m ≠1
D ．m ≥1且m ≠5
解析：法一 由于直线y ＝kx ＋1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<1
m
≤1且m ≠5，
故m ≥1且m ≠5.
法二 由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，
mx 2＋5y 2
－5m ＝0， 消去y 整理得(5k 2＋m )x 2
＋10kx ＋5(1－m )＝0.
由题意知Δ＝100k 2
－20(1－m )(5k 2
＋m )≥0对一切k ∈R 恒成立，即5mk 2
＋m 2
－m ≥0对一切k ∈R 恒成立，
由于m >0且m ≠5，所以m ≥1且m ≠5. 答案：D
3．点A (a ，1)在椭圆x 24＋y 2
2＝1的内部， 则a 的取值范围是( )
A ．－2＜a ＜ 2
B ．a ＜－2或a ＞ 2
C ．－2＜a ＜2
D ．－1＜a ＜1
解析：由A (a ，1)在椭圆内部，则a 24＋12
2＜1，即a 2
＜2，则－2＜a ＜ 2.
答案：A
4．过椭圆x 26＋y 2
5＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被点P 平分，则这条弦所在的直线
方程是( )
A ．5x －3y －13＝0
B ．5x ＋3y －13＝0
C ．5x －3y ＋13＝0
D ．5x ＋3y ＋13＝0
解析：设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 21
5＝1，x 2
2
6＋y 21
5＝1，
故16×x 1
＋x 2
y 1
＋y 2
＋15×y 1－y
2x 1
－x
2
＝0， 又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，故斜率k ＝53.
故直线方程为y ＋1＝5
3(x －2)，即5x －3y －13＝0.
答案：A
5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两
点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为( )
A.x 245＋y 236＝1
B.x 236＋y 2
27＝1 C.
x 2
27＋y 2
18
＝1 D.
x 2
18＋y 2
9
＝1 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，
有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22
b
2＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12
，
因为线段AB 的中点坐标为(1，－1)，
所以b 2a 2＝1
2
.
因为右焦点为F (3，0)，c ＝3，
所以a 2
＝18，b 2
＝9，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 2
9＝1.
答案：D 二、填空题
6．椭圆x 2＋4y 2
＝16被直线y ＝12
x ＋1截得的弦长为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＋4y 2
＝16，y ＝12
x ＋1，
消去y 并化简得x 2
＋2x －6＝0.
设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. 所以 弦长|MN |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝
54
[（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2]＝ 5
4
（4＋24）＝35. 答案：35
7．若A 为椭圆x 2
＋4y 2
＝4的右顶点，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．
解析：由题意得，该三角形的两直角边关于x 轴对称，且其中一边在过点A (2，0)，斜率为1的直线上，此直线的方程为y ＝x －2，将y ＝x －2代入x 2
＋4y 2
＝4，得5x 2
－16x ＋12＝0，解得x 1＝2，x 2＝65.把x ＝65代入椭圆方程得y ＝±45，所以三角形的面积S ＝12×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫
2－65＝
16
25
. 答案：1625
8．椭圆mx 2
＋ny 2
＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，原点O 与线段MN 的中点P 连线的斜率为
22，则m
n
的值是________． 解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝1－x ，mx 2＋ny 2
＝1，消去y ， 得(m ＋n )x 2
－2nx ＋n －1＝0. 则MN 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫n m ＋n ，m m ＋n .
所以k OP ＝m n ＝22
. 答案：
22
三、解答题
9．判断直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 2
4
＝1的位置关系．
解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y 2
4
＝1可得(4k 2＋1)x 2
＋24kx ＋20＝0，
所以 Δ＝16(16k 2
－5)． (1)当Δ＝16(16k 2－5)＞0，即k ＞
54或k ＜－5
4
时， 直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 2
4＝1相交．
(2)当Δ＝16(16k 2
－5)＝0，即k ＝
54或k ＝－5
4
时， 直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 2
4＝1相切．
(3)当Δ＝16(16k 2
－5)＜0，即－
54＜k ＜5
4
时， 直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 2
4
＝1相离．
10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，4)，离心率为3
5
.
(1)求C 的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16
b
2＝1，所以 b ＝4.
又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925
，
则1－16a 2＝9
25，所以 a ＝5，
所以 C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5
(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，
将直线方程y ＝4
5
(x －3)代入C 的方程，
得x 2
25＋（x －3）2
25
＝1，即x 2
－3x －8＝0，解得x 1＋x 2＝3， 所以 AB 的中点坐标x —
＝
x 1＋x 2
2＝32，y —
＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－6
5
，即中点坐标为
⎝
⎛⎭⎪⎫32，－65. B 级 能力提升
1．若直线y ＝x ＋t 与椭圆x 2
4＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，当t 变化时，|AB |的最大值为( )
A ．2 B.45
5 C.410
5
D.
810
5
解析：将y ＝x ＋t 代入x 2
4＋y 2
＝1，得5x 2
＋8tx ＋4t 2
－4＝0，则x 1＋x 2＝－8t 5，x 1x 2＝4t 2
－4
5
.
由|AB |＝1＋12×（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝ 2 80－16t
2
25
，当t ＝0时|AB |最大，最大为2×455＝410
5
.
答案：C
2．若倾斜角为π4的直线交椭圆x 2
4＋y 2
＝1于A 、B 两点，则线段AB 的中点的轨迹方程是
________．
解析：设中点坐标为(x ，y )，直线方程为y ＝x ＋b ，代入椭圆方程得5x 2
＋8bx ＋4(b 2
－1)＝0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x ＋4y ＝0，
由Δ>0，得－5<b <5，故－455<x <4
5 5.
答案：x ＋4y ＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫－4
5
5<x <455
3．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3
，右焦点为(22，0)．斜率为1的直
线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．
(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63
. 解得a ＝2 3.
又b 2
＝a 2
－c 2
＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 2
4
＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2
－12＝0.①
设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 2
2
＝
－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.于是得E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3m 4，m 4.
因为AB 是等腰△PAB 的底边，E 为中点，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－
m
4
－3＋
3m 4＝－1.
解得m ＝2.
所以直线l 的方程为y ＝x ＋2. 此时方程①为4x 2
＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0.
所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.
此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝32
2，所以△PAB
的面积S ＝12|AB |·d ＝9
2.。