2021届江苏省百校联考高三下学期4月第三次考试数学试题(解析版)

2020~2021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试
数学2021年4月注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程x2＋1＝0在实数范围内没有解．已知复数z满足z2＋4i＝0则|z|＝
A．4 B．2 C． 2 D．1
2．已知集合A＝{x∈R|x2－x＋t＜0，t∈R}，B＝{x∈R|x2＋x－6＜0}，若A∪B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝
A．(－3，3) B．(－2，2) C．(－2，3) D．(－3，2)
3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104＝1万，108＝1亿，1012＝1兆，1016＝1京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是
A ．21
B ．20
C ．25
D ．24
4．已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是
A ．2019
B ．2020
C ．2021
D ．2022
5．已知a ，b 是不共面向量，设→
OA ＝2a ＋b ，→
OB ＝a ＋2b ，→
OC ＝3a ＋b ，→
OD ＝a ＋3b ， 若△OAB 的面积为3，则△OCD 的面积为
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
6．正实数a ，b ，c 满足a ＋sin a ＝2，b ＋3b
＝3，c ＋log 4c ＝4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为
A ．b ＜a ＜c
B ．a ＜b ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．b ＜c ＜a
7．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若面面体ABCD 的体积是42
3
，则这个球面的面积是
A ．16π
B ．323π
C ．4π
D ．76
3
π
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞1
14
x ＋1，x ≤1，g (x )＝f (x )－kx ，若函数g (x )有两个零点，则k 的取值范围
是
A ．⎝⎛⎦⎤0，14
B ．(0，1e ln2)
C ．⎣⎡⎭
⎫0，1e D ．[14，1
e ln2)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在平面直角坐标xOy 中，已知圆O 过点，A (3，4) 、B 、C 、且→
BC ＝→
OA ，则 A ．直线BC 的斜率为3
4
B ．∠AO
C ＝60°
C ．△ABC 的面积253
2 D ．点B 、C 在同一象限内
10．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 的方程是xy ＝1，下列结论正确的是 A ．曲线C 上的点与定点F (2，2)距离的最小值是2－ 2
B ．曲线
C 上的点和定点F (2，2)的距离与到定直线l ：x ＋y －2＝0的距离的比是 2 C ．曲线C 绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是x 2
－y 2
＝2 D ．曲线C 的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是4
11．设(1－2x )29
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 29x 29
，则下列结论正确的是 A ．a 15＋a 16＞0
B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 29＝－1
C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 29＝－1＋329
2
D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋29a 29＝－58
12．下列结论正确的是
A ．存在这样的四面体ABCD ，四个面都是直角三角形
B ．存在这样的四面体ABCD ，∠BA
C ＝∠CA
D ＝∠DAB ＝∠BCD ＝90° C ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90° D ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90° 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(|φ|＜π2)是奇函数，若 x ∈[0，π2]，m ≤sin(2x ＋φ)≤n ，
则n －m 的最小值是______．
14．集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，A∩B的元素个数是1，在A∪B 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______．
5．设数列a1，a2，a3，a4各项互不相同，且a i∈{1，2，3，4}(i＝1，2，3，4)．若下列四个关系①a1＝1；②a2≠1；③a3＝2；④a4≠4中恰有一个正确，则(10a1＋a2)－(10a3＋a4)的最大值是______．
16．设抛物线C1：y＝x2－2x＋2和C2：y＝－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C2过定点_____．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)
(1)写出一个等差数列{a n}的通项公式，使{a n}满足①a1≠0，②{S n}是等差数列，其中S n是{a n}的前n项和．(写出一个就可以，不必证明)
(2)对于(1)中的{a n}，设b n＝2n a n，求数列{b n}的前n项和T n．
18．(12分)
如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1． (1)当A 、B 、C 、D 共圆时，求cos A 的值；
(2)若cos ∠ADB ＝
3
6
，求sin ∠ABC 的值．
19．(12分)
某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：
以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；
(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润(单 位：元)，求ξ的分布列和数学期望；
D
C
B
A
②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由．
20．(12分)
如图，矩形BCDE 所在平面与△ABC 所在平面垂直，∠ACB ＝90°，BE ＝2． (1)证明：DE ⊥平面ACD ；
(2)若平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值是
5
5
，且直线AE 与平面BCDE 所 成角的正弦值是1
3，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值．
E
D
C B
A
21． (12分)
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是1
2，焦点到相应准线的距
离是3． (1)求a ，b 的值；
(2)已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，F (1，0)，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．
22．(12分) 设0＜x ＜1．
(1)证明： 1－x 2
6＜sin x
x
＜1；
(2)若ax －x
3
6＜sin x ，求a 的取值范围．
2020~2021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试
数学2021年4月注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数．人们发现，最简单的二次方程x2＋1＝0在实数范围内没有解．已知复数z满足z2＋4i＝0则|z|＝
A．4 B．2 C． 2 D．1
【考点】复数的运算
【答案】B
2．已知集合A＝{x∈R|x2－x＋t＜0，t∈R}，B＝{x∈R|x2＋x－6＜0}，若A∪B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝
A．(－3，3) B．(－2，2) C．(－2，3) D．(－3，2)
【考点】集合的运算
【答案】B
3．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，
若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104
＝1万，108
＝1亿，1012
＝1兆，1016
＝1京，……，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是
A ．21
B ．20
C ．25
D ．24 【考点】新情境下的文化题：计数的位数 【答案】C
4．已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是
A ．2019
B ．2020
C ．2021
D ．2022 【考点】等差数列的性质 【答案】C
5．已知a ，b 是不共面向量，设→
OA ＝2a ＋b ，→
OB ＝a ＋2b ，→
OC ＝3a ＋b ，→
OD ＝a ＋3b ， 若△OAB 的面积为3，则△OCD 的面积为
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8 【考点】平面向量的几何应用 【答案】D
6．正实数a ，b ，c 满足a ＋sin a ＝2，b ＋3b
＝3，c ＋log 4c ＝4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为
A ．b ＜a ＜c
B ．a ＜b ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．b ＜c ＜a 【考点】大小比较
【答案】A
7．已知四面体ABCD 的四个顶点都在以AB 为直径的球R 面上，且BC ＝CD ＝DB ＝2，若面面体ABCD 的体积是42
3
，则这个球面的面积是
A ．16π
B ．323π
C ．4π
D ．76
3π
【答案】A
【考点】立体几何的外接球问题
【解析】由题意可知S △BCD ＝3，所以点A 到平面BCD 的距离为46
3，可设AB 的中点为O ，
△BCD 的外心为点E ，则可得到OE ＝263，又BE ＝23
3，所以OB ＝2，则S 球＝4πR 2＝16π，
故答案选A.
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞1
14
x ＋1，x ≤1，g (x )＝f (x )－kx ，若函数g (x )有两个零点，则k 的取值范围
是
A ．⎝⎛⎦⎤0，14
B ．(0，1e ln2)
C ．⎣⎡⎭⎫0，1e
D ．[14，1
e ln2)
【答案】B
【考点】函数的零点问题
【解析】当y ＝kx 与y ＝log 2x 相切时，可得k ＝1
e ln2，将函数y ＝kx 的图象顺时针旋转，当k
＞0时，f (x )与y ＝kx 都有2个交点，故答案选B ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在平面直角坐标xOy 中，已知圆O 过点，A (3，4) 、B 、C 、且→
BC ＝→
OA ，则 A ．直线BC 的斜率为3
4
B ．∠AO
C ＝60°
C ．△ABC 的面积253
2 D ．点B 、C 在同一象限内
【考点】直线与圆的应用 【答案】BD
10．在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 的方程是xy ＝1，下列结论正确的是 A ．曲线C 上的点与定点F (2，2)距离的最小值是2－ 2
B ．曲线
C 上的点和定点F (2，2)的距离与到定直线l ：x ＋y －2＝0的距离的比是 2 C ．曲线C 绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是x 2
－y 2
＝2 D ．曲线C 的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是4 【考点】曲线的切线方程、导数的几何意义综合应用 【答案】ABC
11．设(1－2x )29
＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2
＋…＋a 29x 29
，则下列结论正确的是 A ．a 15＋a 16＞0
B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 29＝－1
C ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 29＝－1＋329
2
D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋29a 29＝－58 【答案】ACD
【考点】二项式定理展开式定理的应用
【解析】对于选项A ，a 15＋a 16＝C 1529(－2)15＋C 1629(－2)16
＞0，故选项A 正确；对于选项B ，
可令x ＝0，可得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 29＝－1，所以a 1＋…＋a 29＝－2，故选项B 错误；对于选项C ，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 29＝3
29
，则
2(a 1＋a 3＋…＋a 29)＝－1－329，故选项C 正确；对于选项D ，由[(1－2x )29
]′＝－58(1－2x )28，可令x ＝1，可得a 1＋2a 2＋…＋29a 29＝－58，故选项D 正确；综上，答案选ACD. 12．下列结论正确的是
A ．存在这样的四面体ABCD ，四个面都是直角三角形
B ．存在这样的四面体ABCD ，∠BA
C ＝∠CA
D ＝∠DAB ＝∠BCD ＝90° C ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90° D ．存在不共面的四点A 、B 、C 、D ，使∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝∠DAB ＝90° 【答案】AC
【考点】立体几何中四面体的应用
【解析】对于选项B ，三个直角以A 为顶点，那么△BCD 为锐角三角形，故错误；对于选项D ，此时A ，B ，C ，D 四点共面，故错误；综上，答案选AC. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(|φ|＜π2)是奇函数，若 x ∈[0，π2]，m ≤sin(2x ＋φ)≤n ，
则n －m 的最小值是______．
【答案】1＋
3
2
【考点】三角函数的图象与性质应用
14．集合A 中有4个等差数列，集合B 中有5个等比数列，A ∩B 的元素个数是1，在A ∪B 中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是______． 【答案】19
28
【考点】数列与概率综合应用
5．设数列a 1，a 2，a 3，a 4各项互不相同，且a i ∈{1，2，3，4}(i ＝1，2，3，4)．若下列四个
关系①a 1＝1；②a 2≠1；③a 3＝2；④a 4≠4中恰有一个正确，则(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值是______． 【答案】18
【考点】逻辑推断题：数列的项与最值问题
【解析】若①正确，②也正确，则不符合题意；若②正确，此时a 4＝4，a 3＝1，a 1＝3，a 2＝2，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为18；若③正确，此时a 4＝4，a 2＝1，a 1＝3，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为7；若④正确，此时a 4＝2，a 3＝3，a 1＝4，a 2＝1，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为9；综上，(10a 1＋a 2)－(10a 3＋a 4)的最大值为18.
16．设抛物线C 1：y ＝x 2
－2x ＋2和C 2：y ＝－x 2
＋ax ＋b 在它们的一个交点处的切线互相垂直，则C 2过定点_____． 【答案】(1，32
)
【考点】抛物线与二次函数的交点问题
【解析】设交点为(x 0，y 0)，则(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，且x 02－2x 0＋2＝－x 02＋ax 0＋b ，联立化简可得a ＋b ＝52，所以C 2过定点(1，3
2
)．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
(1)写出一个等差数列{a n }的通项公式，使{a n }满足①a 1≠0，②{S n }是等差数列，其中S n 是{a n }的前n 项和．(写出一个就可以，不必证明)
(2)对于(1)中的{a n }，设b n ＝2n
a n ，求数列{
b n }的前n 项和T n ． 【考点】等差数列的通项公式、错位相减法求和
【解】(1)可写a n ＝2n －1，则有S n ＝n ()
a 1＋a n 2
＝n 2，所以S n ＝n ，即{S n }是等差数列
(2)由(1)得b n ＝2n
a n ＝(2n －1)2n ＝(2n －3)2n ＋
1－(2n －5)2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2n －3)2n ＋
1＋6． 18．(12分)
如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1． (1)当A 、B 、C 、D 共圆时，求cos A 的值；
(2)若cos ∠ADB ＝
3
6
，求sin ∠ABC 的值．
【考点】三角恒等变换与解三角形
【解】(1)在△ABD 中，由余弦定理可得BD 2
＝AB 2
＋AD 2
－2AB ·AD cos A ＝4－23cos A ， 在△BCD 中，由余弦定理可得BD 2
＝BC 2
＋DC 2－2BC ·DC cos C ＝2＋2cos A ，
所以解得cos A ＝
3－1
2
． (2) 在△ABD 中，由余弦定理可得AB 2
＝AD 2
＋DB 2
－2AD ·DB cos ∠ADB ，
化简可得3＝1＋BD 2
－
33BD ，解得BD ＝3，则∠ACB ＝2π3，所以∠CBD ＝π
6
， 且cos ∠ABD ＝AB 2
＋BD 2
－AD 2
2AB ·BD ＝5
6
，
所以sin ∠ABC ＝sin(∠ABD+∠CBD)=12×56+32×116=5+33
12
19．(12分)
D
C
B
A
某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：
以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；
(2)①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润(单 位：元)，求ξ的分布列和数学期望；
②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由． 【考点】随机变量的概率、期望与分布列
【解】(1)由题意得从60天中任取2天的日需求量至少有一天为35的概率P ＝1－C 245
C 260＝2959；
(2)①由题意ξ＝－20，10，40，70，其分布列为：
则E (ξ)＝－20×112＋10×112＋40×16＋70×23＝105
2
②由题意每天准备40杯这款新品奶茶的数学期望为 E (ξ)＝－40×112＋(－10)×112＋20×16＋50×14＋80×5
12
＝45，
因为45＜105
2，所以每天准备40杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议
20．(12分)
如图，矩形BCDE 所在平面与△ABC 所在平面垂直，∠ACB ＝90°，BE ＝2． (1)证明：DE ⊥平面ACD ；
(2)若平面ADE 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值是
5
5
，且直线AE 与平面BCDE 所 成角的正弦值是1
3，求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值．
【考点】立体几何中位置关系的证明、空间角(二面角、异面直线所成的角)的求解 【解】(1)由题意可知DE ⊥DC ，又∠ACB ＝90°，则BC ⊥AC ， 又DE //BC ，所以DE ⊥AC ，且AC ∩DC ＝C ，所以DE ⊥平面AC D ． (2)由题意可知AC ⊥平面BCDE ，连结CE ，则有sin ∠AEC ＝AC AE ＝13，
又平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的平面角为∠DAC ， 所以cos ∠DAC ＝AC AD ＝5
5,且DC ＝BE ＝2，可得AC ＝1，
所以AE ＝3，则可知CF ＝72，所以BC ＝2，则AB ＝5， 而异面直线DE 与AB 所成的角为∠ABC ， 所以其余弦值为cos ∠ABC=BC AB =25
5.
21． (12分)
E
D
C B
A
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是1
2，焦点到相应准线的距
离是3． (1)求a ，b 的值；
(2)已知A 、B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，F (1，0)，连接AF 、BF 并分别延长交椭圆C 于D 、E 两点，证明：直线DE 过定点．
【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系中求直线的过定点问题 【解】(1)由题意有c a ＝12，a 2
c －c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝a 2－c 2
＝ 3.
(2)由题意可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，D (x 2，y 2)，E (x 3，y 3)， 由A ，F ，D 三点共线，得y 1x 1－1＝y 2
x 2－1，所以y 1x 2－y 2x 1＝y 1－y 2，
又因为y 12x 22－y 22x 12
4＝y 12－y 22，所以y 1x 2＋y 2x 1＝4(y 1＋y 2)，
解得⎩⎨⎧x 2
＝5
x 1－82x 1
－5y 2
＝3x 1
2x －5，同理可得⎩⎨⎧x 1
＝5x 1
＋5
2x ＋5
y 2
＝3x 1
＋5
2x ＋5
，
又直线DE 的方程为y ＝y 3－y 2x 3－x 2x ＋y 2x 3－y 3x 2x 3－x 2，且y 3－y 2x 3－x 2＝5y 13x 1,y 2x 3－y 3x 2x 3－x 2＝－8y 1
3x 1，
即有直线DE 的方程为y ＝y 13x 1(5x －8)，所以过定点(8
5，0).
22．(12分) 设0＜x ＜1．
(1)证明： 1－x 2
6＜sin x
x
＜1；
(2)若ax －x
3
6
＜sin x ，求a 的取值范围．
【考点】函数与导数：利用函数的单调性证明不等式、利用函数的零点求参数范围 【解】(1)由题意可设f (x )＝sin x －x (0＜x ＜1)，有f ′
(x )＝cos x －1＜0，则f (x )＜0，得sin x x ＜1，
设g (x )＝sin x ＋x 3
6－x (0＜x ＜1)g '
(x )＝cos x ＋x 2
2
－1,
g ''
(x )＝x －sin x ＞0，则有g '
(x )＞0，g (x )单调递增，得g (x )＞0，所以sin x x ＞1－x
2
6
得证；
(2)由(1)可知a ≤1时，ax －x 36≤x －x
3
6
＜sin x 成立，
则当a ＞1时，设h (x )＝sin x ＋x 3
6－ax ，则h '(x )＝cos x ＋x 2
2－a ，h ''(x )＝x －sin x ＞0,h '
(x )单调递增，
则h '
(x )max ＝cos1＋12
－a ，
② 若a ≥cos1＋12
，h '
(x )＜0，h (x )单调递减，则有h (x )＜0，此时不符合题意；
②若1＜a ＜cos1＋12，h '(0)＝1－a ＜0，h '(1)＝cos1＋12－a ＞0，所以h '
(x )有唯一零点，可记为
x 0，则0＜x ＜x 0，h '
(x )＜0，此时h (x )单调递减，有h (x )＜0，则不符合题意； 综上可知a ≤1，即a 的取值范围为(－ ，1]．。