人教版八年级数学上册 《线段的垂直平分线的性质》教学课件
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则点P在AB的 垂直平分线上
（2）若点P在AB的
则PA=PB．
；
垂直平分线上
，
课堂练习
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，
1
大于 AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直
2
线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，
AB=7，则△ABC的周长为多少？
课堂练习
2．电信部门要S区修建一座电视信号发射塔，如图
第十三章 轴对称
13.1轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线
学习目标
1．理解线段的垂直平分线性质定理和判定定理，会解
决 实际问题．
2．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展推理证
明意识和能力.
线段的垂直平分线的性质定理
（1）用平面图将上述问题进行转化，先作出线段 AB，
过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取 P1 ，P2，
P
∴∠PCA=∠PCB．
又∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=90°．
即PC⊥AB．
∴点P在AB的垂直平分线上．
A
C
B
猜测求证
证法3：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∴∠1＝∠2．
P
在△APC和△BPC中，
PC PC，
1 2，
PA PB，
A
C
BAPC≌△BPC（HL）．
PA PB ， ∴AC=BC．即P点在AB的垂直平分线上．
猜测求证
证法2：
P
取AB的中点C，过PC作直线．
∴AC=BC．
在△APC和△BPC中，
PC PC，
AC BC，
PA PB，
A
C
B
猜测求证
∴△APC≌△BPC（SSS）．
如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么
这个点在这条线段的垂直平分线上．
能判断它是真命题吗？
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．
P
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证法1：过点P作PC⊥AB于点C．
∴∠PCA=∠PCB=90°．
在△APC和△BPC中，
A
条件是：有一个点是线段垂直平分线上的点．
结论是：这个点与这条线段两个端点的距离相等．
如果有一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点
与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的性质定理：
如果有一个点是线段垂直平分线上的点，那么这
个点与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理的逆命题是什么？
P3 …，
AP3 … BP3 ，
连接 AP1，BP1 ，AP2，BP2 ，
P3
P2
P1
A
l
B
线段的垂直平分线的性质定理
（2）用直尺量出 AP1，BP1 ，AP2，BP2 ，AP3 ，BP3…
讨论发现什么样的规律．
P3
P2
猜测：线段垂直平分线上的
P1
点与这条线段两个端点的距
离相等．即
AP1= BP1 ，AP2= BP2，AP3= BP3…
所示，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离
必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，
请你确定发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的
位置．
S
课堂练习
答案：如图，应建在m，n夹角（锐角）的角平分
线a和线段AB的垂直平分线b的交点P处．
b
a
P
S
课堂小结
1．线段垂直平分线的性质定理；
2．线段垂直平分线性质定理的逆定理；
A
D
K
E
B
例题解析
（3）分别以点D和E为圆心，以
大于DE一半的长为半径作弧，两
C
弧相交于点F．
（4）作直线CF．直线CF就是所 A
求的垂线．
D
K
E
F
B
例题解析
思考：为什么直线CF就是所求作的垂线？
从作法的（2）（3）步可知CD=CE，DF=EF，
∴点C，F都在DE的垂直平分线上．
C
∴CF就是线段DE的垂直平分线．
线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等
的所有点的集合．
例题解析
【例】尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线
的垂线．
已知：直线AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C． A
C
B
例题解析
作法：
（1）任意取一点K，使点K
C
和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为
半径作弧，交AB于点D和E．
又∵点D，E在直线AB上，
∴CF就是所求直线AB的垂线．
D
E
B
A
F
例题解析
要作出线段的垂直平分线，必须找到两个与线段
两个端点距离相等的点，才能确定已知线段的垂直
平分线．
证明一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明
两个点在线段的垂直平分线上．
课堂练习
1．已知线段AB和它的外面一点P，
（1）若PA=PB，
P
A
C
l
B
猜测求证
证法2：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，
P
将线段AB沿直线l对折，线段
PA与PB是重合的，因此它们
也是相等的．
A
C
l
B
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
你能用“如果……那么……”的形式叙述吗？其条件
是什么，结论是什么？
3．尺规作图：作已知直线的垂线．
再见
猜测求证
∴△APC≌△BPC（SSS）．
P
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB．
又∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=90°．
即PC⊥AB．
∴点P在AB的垂直平分线上．
A
C
B
线段的垂直平分线性质定理的逆定理
垂直平分线性质定理的逆定理．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂
直平分线上．
A
l
B
猜测求证
证法1：利用两个三角形全等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，
P
AC=CB，点P在l上．
求证：PA=PB．
证明：∵l⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB．
A
C
l
B
猜测求证
在△APC和△BPC中，
= ，
ቐ∠PCA = ∠PCB，
AC = BC，
∴△APC≌△BPC（SAS）．
∴PA=PB．
（2）若点P在AB的
则PA=PB．
；
垂直平分线上
，
课堂练习
1．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，
1
大于 AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直
2
线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，
AB=7，则△ABC的周长为多少？
课堂练习
2．电信部门要S区修建一座电视信号发射塔，如图
第十三章 轴对称
13.1轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线
学习目标
1．理解线段的垂直平分线性质定理和判定定理，会解
决 实际问题．
2．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展推理证
明意识和能力.
线段的垂直平分线的性质定理
（1）用平面图将上述问题进行转化，先作出线段 AB，
过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取 P1 ，P2，
P
∴∠PCA=∠PCB．
又∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=90°．
即PC⊥AB．
∴点P在AB的垂直平分线上．
A
C
B
猜测求证
证法3：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∴∠1＝∠2．
P
在△APC和△BPC中，
PC PC，
1 2，
PA PB，
A
C
BAPC≌△BPC（HL）．
PA PB ， ∴AC=BC．即P点在AB的垂直平分线上．
猜测求证
证法2：
P
取AB的中点C，过PC作直线．
∴AC=BC．
在△APC和△BPC中，
PC PC，
AC BC，
PA PB，
A
C
B
猜测求证
∴△APC≌△BPC（SSS）．
如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么
这个点在这条线段的垂直平分线上．
能判断它是真命题吗？
线段垂直平分线的性质定理的逆定理
已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA=PB．
P
求证：点P在AB的垂直平分线上．
证法1：过点P作PC⊥AB于点C．
∴∠PCA=∠PCB=90°．
在△APC和△BPC中，
A
条件是：有一个点是线段垂直平分线上的点．
结论是：这个点与这条线段两个端点的距离相等．
如果有一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点
与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线的性质定理：
如果有一个点是线段垂直平分线上的点，那么这
个点与这条线段两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理的逆命题是什么？
P3 …，
AP3 … BP3 ，
连接 AP1，BP1 ，AP2，BP2 ，
P3
P2
P1
A
l
B
线段的垂直平分线的性质定理
（2）用直尺量出 AP1，BP1 ，AP2，BP2 ，AP3 ，BP3…
讨论发现什么样的规律．
P3
P2
猜测：线段垂直平分线上的
P1
点与这条线段两个端点的距
离相等．即
AP1= BP1 ，AP2= BP2，AP3= BP3…
所示，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离
必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，
请你确定发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的
位置．
S
课堂练习
答案：如图，应建在m，n夹角（锐角）的角平分
线a和线段AB的垂直平分线b的交点P处．
b
a
P
S
课堂小结
1．线段垂直平分线的性质定理；
2．线段垂直平分线性质定理的逆定理；
A
D
K
E
B
例题解析
（3）分别以点D和E为圆心，以
大于DE一半的长为半径作弧，两
C
弧相交于点F．
（4）作直线CF．直线CF就是所 A
求的垂线．
D
K
E
F
B
例题解析
思考：为什么直线CF就是所求作的垂线？
从作法的（2）（3）步可知CD=CE，DF=EF，
∴点C，F都在DE的垂直平分线上．
C
∴CF就是线段DE的垂直平分线．
线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等
的所有点的集合．
例题解析
【例】尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线
的垂线．
已知：直线AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C． A
C
B
例题解析
作法：
（1）任意取一点K，使点K
C
和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为
半径作弧，交AB于点D和E．
又∵点D，E在直线AB上，
∴CF就是所求直线AB的垂线．
D
E
B
A
F
例题解析
要作出线段的垂直平分线，必须找到两个与线段
两个端点距离相等的点，才能确定已知线段的垂直
平分线．
证明一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明
两个点在线段的垂直平分线上．
课堂练习
1．已知线段AB和它的外面一点P，
（1）若PA=PB，
P
A
C
l
B
猜测求证
证法2：利用轴对称性质．
由于点C是线段AB的中点，
P
将线段AB沿直线l对折，线段
PA与PB是重合的，因此它们
也是相等的．
A
C
l
B
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条
线段两个端点的距离相等．
你能用“如果……那么……”的形式叙述吗？其条件
是什么，结论是什么？
3．尺规作图：作已知直线的垂线．
再见
猜测求证
∴△APC≌△BPC（SSS）．
P
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB．
又∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=90°．
即PC⊥AB．
∴点P在AB的垂直平分线上．
A
C
B
线段的垂直平分线性质定理的逆定理
垂直平分线性质定理的逆定理．
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂
直平分线上．
A
l
B
猜测求证
证法1：利用两个三角形全等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，
P
AC=CB，点P在l上．
求证：PA=PB．
证明：∵l⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB．
A
C
l
B
猜测求证
在△APC和△BPC中，
= ，
ቐ∠PCA = ∠PCB，
AC = BC，
∴△APC≌△BPC（SAS）．
∴PA=PB．