福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测数学文试题

2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测
数学（文科）试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数，则( )
A. B. -2 C. D. 2
3.随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶图如下：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（）
A. 75,84
B. 76,83
C. 76,84
D. 75,83
4.如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（）
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知点到双曲线的渐近线的距离为2，则的离心率是（）
A. B. C. D.
7.等比数列的前项和为，若，，则（）
A. 18
B. 10
C. -14
D. -22
8.函数的部分图像大致为（）
A. B. C. D.
9.已知函数在单调递增，则的最大值是( )
A. B. C. D.
10.如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线依次交抛物线及圆于点，、、四点，则的值是（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
11.在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是（）
A. 3
B.
C.
D. 4
12.已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则__________．
14.若实数，满足约束条件则的最大值是__________．
15.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是__________．
16.在中，已知，，，则__________．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列的前项为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.如图，在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，是中点，.
（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的高.
19.已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于，两点，若，求的值.
20.随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：
日期2日7日15日22日30日
温度101113128
产卵数/个2325302616
（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，，求事件“，均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立关于的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出关于的线性回归方程；
（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
21.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：.
请考生在第（22）、（23）二题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，三条直线，，与曲线分别交于不同于极点的三点，，.
（1）求证：；
（2）直线过，两点，求与的值.
23.已知函数，.
（1）若对于任意，都满足，求的值；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合,，再根据交集的运算即可．
【详解】解：集合
由集合中的不等式，
因式分解得：，
解得：，
所以集合；
则集合．
故选：B．
【点睛】此题考查了交集的运算，看清代表元素是解题关键，属于一道基础题．
2.复数，则( )
A. B. -2 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
3.随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶图如下：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（）
A. 75,84
B. 76,83
C. 76,84
D. 75,83
【答案】B
【解析】
【分析】
利用中位数的定义，将茎叶图中数值排序，甲班9个数据选中间一位数，乙中10个数据选中间两个数据的平均数即得答案.
【详解】解：甲班9个数据有小到大的顺序排序为：52,66,72,74,76,76，78,82,96故中位数为76；乙班10个数
据有小到大的顺序排序为：62,74,76,78,82,84,85,86,88,92故中位数为.
故答案为：B.
【点睛】本题考查茎叶图中的中位数的定义，解题关键首要是排序，其次是看清个数，属于基础题.
4.如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
三视图是对一个物体从一个三个不同的侧面进行正投影得到的，三个视图间存在长对正，高平齐，宽相等的对应关系，在三视图中不可见的轮廓用虚线表示.
【详解】根据题意以及已知图形：由主视图得出主视方向，左视图应该是从实物图的左边进行正投影，右边的轮廓为不可见轮廓，所以要用虚线表示，故B正确.
故选:B.
【点睛】考查正投影，以及三视图的作图知识，本题属于中档题.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二倍角的余弦公式化简题中的等式，可得，再根据，解出.
【详解】，，即，解之得或．又由余
弦函数取值范围，可知，不符合题意舍去，得.
故选:C.
【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，注意有界性，属于中档题.
6.已知点到双曲线的渐近线的距离为2，则的离心率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出双曲线的渐近线，再根据点到直线的距离公式利用椭圆离心率公式求解即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，
点到的距离，
，
．
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．
7.等比数列的前项和为，若，，则（）
A. 18
B. 10
C. -14
D. -22
【答案】D
【解析】
【分析】
由求和公式可得关于和的值，再代入求和公式可得.
【详解】解：设等比数列的公比为，显然，
由求和公式可得①，
②
可得，解得，
代回①可得，
故选D．
【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题．
8.函数的部分图像大致为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的表达式确定函数的性质，运用导数求出极值，从而利用数形结合确定函数的图象的形状．
【详解】解：，
函数是偶函数，
的图象关于轴对称，
故排除B，
又，
故排除D.
在时取最小值，即时取最小值，解得x=，此时故排除C.
故选:A.
【点睛】本题考查了函数性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法以及导数在函数极值判断中的应用,属于中档题.
9.已知函数在单调递增，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简函数f（x），结合三角函数的单调性即可求f（x）的单调递增区间，从而得出m的最大值.
【详解】
在单调递增，
即,解得即，由于则的最大值是.故选:C.
【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求解，利用导数及三角函数的图象和性质是解决本题的关键．
10.如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线依次交抛物线及圆于点，、、四点，则的值是（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得，直线方程为，代入抛物线方程消去，结合抛物线的定义和韦达，即可得出结论．
【详解】解：设，、，，由已知可知，直线方程为，代入抛物线方程消去，得，则=AF-r+DF-r=
故选:B.
【点睛】抛物线的定义，可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题．
11.在边长为1的正方形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是（）
A. 3
B.
C.
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，，根据，求出，，根据三角函数的性质即可求出最值
【详解】如图：以为原点，以，所在的直线为，轴建立如图所示的坐标系，
则，，，，
动点在以点为圆心且与相切的圆上，
设圆的半径为，
，，，
圆的方程为，
设点的坐标为，，
，
即，=，，，，，，
，，故的最大值为3，
故选：A.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
12.已知函数，对于任意，，恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知即等价转化为，通过研究函数导数从而得到最值，依次验证选项即可.
【详解】解：对于任意，，恒成立,即也就是，代入选项验证即可，
验证a=1时，，令，，由的图像可以知道在
上递减，在上递增，
故，，不满足，故排除B,D.
验证时，，令，由的图像可以知道在
上递减，在上递增，
故，，满足，故排除C.
故选：A.
【点睛】本题考查恒成立问题的转化，应用导数求得最值，利用排除法通过验证选项求解的过程，属于中档题.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，，若，则__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据题意，由向量平行的坐标公式解得的值．
【详解】解：根据题意，向量，，
若，必有，
解可得：；
故答案为：-3．
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，关键是利用向量平行的坐标表示方法得到关于的方程，属于基础题．
14.若实数，满足约束条件则的最大值是__________．
【答案】9
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象找出最优解求出最大值．
【详解】解：画出变量，满足约束条件表示的平面区域如图：由解得．变形为，作出目标函数对应的直线，
当直线过时，直线的纵截距最大，最大，
最大值为，
故答案为：9．
【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求目标函
数的最值，属于基础题．
15.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件求出母线长度，然后求解圆锥的高及底面半径，利用勾股定理建立等量关系求得球半径，再代入球的表面积公式求值即可．
【详解】解：圆锥的顶点为，母线，互相垂直，的面积为8，可得：，解得，
与圆锥底面所成角为．可得圆锥的底面半径为，圆锥的高为2，设该圆锥外接球的半径为R，由勾股定理可得,解得,则该圆锥外接球的表面积为：．
故答案为：.
【点睛】本题考查圆锥外接球表面积的求法，母线以及底面所成角的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
16.在中，已知，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
在BC上取点D,使得BD=AD找出A-B，应用余弦定理求得BD=DC=DA，证得A点在以BC为直径的圆上，
在中解三角形且与互余，再利用诱导公式和二倍角公式即可得解.
【详解】由题知a>b,在BC上取点D,使得BD=AD，连接AD，即A-B，
设BD=x，在中利用余弦定理：解得x=4.故D为BC中点. BD=DC=DA=4，故A点在以BC为直径的圆上，故为，在中，
,且
,.
故答案为：
【点睛】此题考查余弦定理，共圆证明及二倍角公式的应用，属于中档题.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列的前项为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设出等差数列的首项和公差，直接列方程组求出，然后代入等差数列的通项公式整理；（2）把（1）中求出的通项公式，代入数列的通项中进行列项整理，则利用裂项相消可.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，.
又，∴，
∴，∴，∴.
（2）解：由上问知，
∴，.
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．
18.如图，在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，是中点，.
（1）求证：平面；
（2）若，，求三棱锥的高.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取的中点，通过证明四边形为平行四边形得到即可求证.
（2）取的中点，先证明平面再通过等体积转化即可求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示.
因为点是中点，所以且.
又因为四边形是平行四边形，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）取的中点，连结、，如图所示，
因为在平行四边形中，为的中点，，，
因为，所以，所以为正三角形，
所以，且，
因为在平行四边形中，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，
所以平面，.
所以..
，，
设三棱锥的高为，
因为，，
所以，
所以三棱锥的高为.
【点睛】本题考查线面平行的判定，等体积转化求锥体的高，也是高考考查的重点知识，属于中档题.
19.已知椭圆的离心率为，点在上.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于，两点，若，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用已知建立方程组，可求椭圆的基本量，从而可得椭圆方程；
（2）设A、B两点坐标，带入椭圆和直线方程，利用向量坐标化解方程即可得出k值范围.
【详解】（1）解：由题意得，所以，①，
又点在上，所以②，联立①②，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，的坐标为，，依题意得，
联立方程组消去，得.
，，
，，
，
∵，∴，
所以，.
【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理把向量坐标化，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
20.随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前，是昆虫大量活动与繁殖季节，易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：
日期2日7日15日22日30日
温度101113128
产卵数/个2325302616
（1）从这5天中任选2天，记这两天药用昆虫的产卵分别为，，求事件“，均不小于25”的概率；（2）科研人员确定的研究方案是：先从这五组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立关于的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（ⅰ）若选取的是3月2日与30日的两组数据，请根据3月7日、15日和22日这三天的数据，求出关于的线性回归方程；
（ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ⅰ）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）可靠，见解析。

【解析】
【分析】
（1）根据题意写出所有的基本事件，即可求解：“不小于25”的概率；
（2）（ⅰ）由题意求出，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
（ⅱ）分别将的值代入，检验数据的误差均是否不超过2颗，即可判断．
【详解】（1）解：依题意得，、的所有情况有：、、、、、、、、、共有10个；
设“、均不小于25”为事件，则事件包含的基本事件有、、，所以，故事件的概率为；
（2）解：（ⅰ）由数据得，，，，，
.
所以关于的线性回归方程为.
（ⅱ）由（ⅰ）知，关于的线性回归方程为.
当时，，.
当时，，.
所以，所得到的线性回归方程是可靠的.
【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．
21.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：.
【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（1）求出的导数，求得切线的斜率，由得切点由点斜式方程可得切线的方程；
（2）（ⅰ）函数与函数的图像总有两个交点转化为函数有两个零点的问题，进而研究的导数及图像即可.
（ⅱ）先由（ⅰ）得的单调性，分析出、不可能在同一单调区间内；设，将导到
上，利用函数在上单调性，欲证,只需证明，结合，只需证明.再构造，结合单调性即可证明结论．
【详解】（1）解：由已知得，
∴∴，又∵，
曲线在点处的切线方程为：.
（2）（ⅰ）令，
∴，
由得，；由得，易知，为极大值点，
又时，当时，
即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.
由题意，只需满足，
∴的取值范围是：
（ⅱ）由题意知，，为函数的两个零点，由（ⅰ）知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲证，
只需证明，而，
所以，只需证明.
令，则
∴.
∵，∴，即
所以，，即在上为增函数，
所以，，∴成立.
所以，.
【点睛】本题属于极值点偏移问题，主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，教学中的重点和难点．
请考生在第（22）、（23）二题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，为的倾斜角），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，三条直线，，
与曲线分别交于不同于极点的三点，，.
（1）求证：；
（2）直线过，两点，求与的值.
【答案】（1）见解析（2），
【解析】
【分析】
（1）把值代入曲线的极坐标方程即可得，由此得证.
（2）当，时求出A点的极坐标和点的极坐标，得到直线的方程，从而求与的值.【详解】（Ⅰ）证明：依题意，，
，，
则.
（Ⅱ）直线与圆的交点的极坐标为，
点的极坐标为，
从而、两点的直角坐标分别为：，，
∴直线的方程为：，
所以，
【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力是基础题．
23.已知函数，.
（1）若对于任意，都满足，求的值；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）求出函数的对称轴，得到关于a的方程，即可得解；（2）等价于，设，求出的最小值，得到关于的不等式，解出即可．
【详解】（1）解：因为，，
所以的图像关于直线对称
又的图像关于直线对称，
所以，所以，.
（2）解：，使得等价于，使得.
等价于.
.
则.
所以，
当时，，∴，所以，；
当时，∴，所以，
综上，.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．。