四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线
川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练平面向量
四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练平面向量1、（2018全国III 卷高考）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．2、（2017全国III 卷高考）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．23、（2016全国III 卷高考）已知向量13(2BA = ,31(),2BC = 则∠ABC= (A)300(B) 450(C) 600(D)12004、（成都市2018届高三第二次诊断）已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．1-D ．5、（成都市2018届高三第三次诊断）已知P 为ABC △所在平面内一点，AB PB PC ++=0，2PC PB AB ===，则PBC △的面积等于（ ）A 3B ．3C ．33D ．36、（达州市2017届高三第一次诊断）如图，已知正方形OABC 边长为3，点,M N 分别为线段,BC AB 上一点，且2BM MC =，AN NB =，P 为BNM ∆内一点（含边界），设OP OA OC λμ=+（,λμ为实数），则13λμ-的最大值为______________. 7、（德阳市2018届高三二诊考试）如图，在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且OR xOP yOQ =+(,)x y R ∈2212x y x y +--+为 ．8、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）已知向量(3,1),(21,)a b k k ==-，且()a b b +⊥，则k 的值是（ ）A ．-1B ．12-或-1 C.-1或25 D ．259、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）在ABC ∆中，226,AB AC BA BC BA ==⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅=（ ）A ．9B ．-9 C.272 D ．272- 10、（绵阳市2018届高三第一次诊断）已知向量()1,2a x =-，(),1b x =，若a b ∥，则a b +=（ ）A 2B ．2C ．22． 3211、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）已知点O 为ABC ∆内一点，且有32=++,记AOC BOC ABC ∆∆∆,,的面积分别为321,,S S S ，则321::S S S 等于( )A ．6：1：2B ．3：1：2 C. 3：2：1 D ．6：2：112、（仁寿县2018届高三上学期零诊）已知向量(1,1)a =，2(4,2)a b +=，则向量,a b 的夹角的余弦值为A ．31010-B ．22- 310 D ．2213、（遂宁市2018届高三第一次诊断）已知O 为△ABC 的外心，A 为锐角且2sin 3A =， 若AO AB AC αβ=+，则αβ+的最大值为 A ．13B ．12C ．23D ．3414、（遂宁市2018届高三三诊考试） 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=A ．23．32 C ．33D 3 15、（雅安市2018届高三下学期三诊）在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，2AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示）.若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（ ）A ．[2,1]B ．[2,2]C ．11[,]22- D ．22[ 16、（宜宾市2018届高三第一次诊断）已知向量||25,(1,2),==a b 且a b 与平行,则向量a 的坐标为A ．(2,4)B ．(2,4)--C ．），（4-2 D ．(2,4)或(2,4)-- 17、（资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊））在平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC ＝λAM +μBD ，则λμ+=A ．94 B ．2C ．158D ．5318、（绵阳市2018届高三第一次诊断）在ABC ∆中，2AB =，4AC =，cos 8A =，过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，若点N 满足3AM AN =，则NA NB ⋅= ．19、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）如图，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点，设向量μ+λ=,则μ+λ的最大值为 ．20、（遂宁市2018届高三三诊考试）已知向量(4,2)a =-，(,1)b x =，若//a b ，则||a b += ▲ ． 21、（遂宁市2018届高三上学期零诊）已知、为平面向量，若+与的夹角为3π，+与的夹角为4π=+ba aA ．12-B.26-C.13-D.3622、（遂宁市2018届高三第一次诊断）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)2,(n S =，(1,12)n b =-满足条件⊥（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnc a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 参考答案： 1、答案：12解答：2(4,2)a b +=，∵//(2)c a b +，∴1240λ⨯-⨯=，解得12λ=. 2、【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．∵||1CD =，||2BC =．∴22125BD =+∵BD 切C 于点E ．∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△ 即C 255． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下： 而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴01512x μθ==，02155y λθ==． 两式相加得：(其中5sin ϕ25cos ϕ当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．3、【答案】A【解析】由题意，得133132222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，选A ．4、B5、【答案】A【解析】分别取边BC ，AC 的中点,D E ，则2PB PC PD +=，2AB ED =， 因为AB PB PC ++=0，所以ED PD =-，所以,,E D P 三点共线，且1ED PD ==. 又2PC PB ==，所以PD BC ⊥，所以23BC =，所以PBC △的面积123132S =⨯=故选A. 6、56 7、248、C 9、B 10、D 11、A 12、D 13、D 14、D 15、A 16、D 17、D 18、97- 19、3 20521、C22、【解析】（1）∵⊥,∴221-=+n n S , …………2分当2≥n 时，nn n n S S a 21=-=-， 当1=n 时，211==S a 满足上式，∴nn a 2=…………6分（2）2n n n c =1211212222n n n n n T --=++++两边同乘12，得231112122222n n n n nT +-=++++，两式相减得： …………8分211111121222222n n n n n n T +++=++-=-， ()222n n n T n N ++∴=-∈． …………12分。
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。
（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。
高中数学圆锥曲线专项训练材料(名校经典题型附问题详解)
如皋市名师教育培训学校高中数学圆锥曲线专项训练材料（名校经典题型附答案）1、(省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；错误!未找到引用源。
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值围.解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即错误!未找到引用源。
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
∠CAB为钝角.错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
.该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值围是:错误!未找到引用源。
.解法二：以AB为直径的圆的方程为:错误!未找到引用源。
.错误!未找到引用源。
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，B，C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.错误!未找到引用源。
.错误!未找到引用源。
.错误!未找到引用源。
A，B，C三点共线，不构成三角形.因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值围是：错误!未找到引用源。
2、(省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A、B、C，证明：⊿ABC的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A、B在双曲线xy=1另一支上，求顶点A、B的坐标。
湖南省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线
2019届高三数学一轮复习典型题专项训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2018全国I 卷高考题）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82、（2017全国I 卷高考题）已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．103、（湖南G10教育联盟2018高三4月联考）已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(3,2)C ．(2,3)D ．(1,2)4、（衡阳市2018届高三第二次联考（二模））已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为( )A ．3B ． C. D ．1 5、（（株洲市2018届高三教学质量统一检测（一））已知双曲线E 经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E 的离心率为 ．6、（衡阳县2018届高三上学期期末）已知点P 为双曲线22221(0)x y a b a b-=>>右支上一点F 1、F 2分别为双曲线的左右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有121213IPF IPF IF F S S S ∆∆∆-≥成立,则双曲线的离心率取值范围为( )A.(1，2]B.(1， 2)C.(0，3]D.(1，3]7、（宁乡一中等五市十校教研教改共同体2018届高三12月联考）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，点M N 、在双曲线C 上，O 是坐标原点，若四边行为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2 C. 22 D ．238、（三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考）与双曲线2212x y -=的渐近线平行，且距离为6的直线方程为（ ）A ．260x y ±-=B ．2260x y ±±=C ．260x y ±±=D ．2260x y ±+= 9、（湖南省师大附中2018届高三月考试卷（六））设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足F A →·FB →＝0，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎦⎤22，53 (B)⎣⎡⎭⎫53，1 (C)⎣⎡⎦⎤22，3－1 (D)[3－1，1)10、（湖南省师大附中2018届高三月考试卷（七））已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若存在实数λ使得GA→＝λPF 1→，则双曲线的离心率为(A)(A)3 (B)2 (C)4 (D)与λ的取值有关11、（湘潭市2018届高三下学期第三次模拟考试）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆223()4x a y -+=相切，则该双曲线的方程是（ ） A ．2213y x -= B ．22139x y -= C ．22125x y -= D ．221412x y -= 12、（雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联考）已知双曲线22221y x a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(0,2)F -，一条渐近线的斜率为3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -= 13、（永州市2018届高三下学期第三次模拟）双曲线11322=-+-ay a x 的焦点x 轴上，若焦距为4，则a 等于（ ） A ．1 B ．23C ．4D ．10 14、（岳阳市一中2018届高三第一次模拟）设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．2B ．153 C ．163D ．3 15、（长郡中学2018届高三下学期第一次模拟）已知双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，12PF F ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（ ） A ．||||OB e OA = B ．||||OA e OB =C ．||||OB OA =D ．||OA 与||OB 关系不确定16、（长沙市2018届高三上学期期末）已知双曲线C: 0)>b 0,>(12222a by a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标原点，直线B0与双曲线C 的右支交于点M 。
2019年高考理数——圆锥曲线(解答)
2019年高考理数——圆锥曲线1.(19全国一理19．（12分）)已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB u u u r u u u r，求|AB |．2.(19全国二理21．（12分）)已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.3.(19全国三理21．)已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.4.(19北京理（18）（本小题14分）)已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．设椭圆22 221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为55．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若||||ON OF=（O为原点），且OP MN⊥，求直线PB的斜率．6.(19浙江21．（本小题满分15分）)如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)y px p=>的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q 在点F的右侧．记,AFG CQG△△的面积分别为12,S S．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求12SS的最小值及此时点G的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．参考答案：1．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-． 从而12(1)592t --=，得78t =-．所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r 可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||3AB =．2．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-．由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k=+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812tS t=+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．3．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或4.解：（Ⅰ）由抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =.（Ⅱ）抛物线C 的焦点为(0,1)F -.设直线l 的方程为1(0)y kx k =-≠.由21,4y kx x y=-⎧⎨=-⎩得2440x kx +-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则124x x =-. 直线OM 的方程为11y y x x =.令1y =-，得点A 的横坐标11A x x y =-. 同理得点B 的横坐标22B x x y =-.设点(0, )D n ，则1212,1,,1x x DA n DB n y y ⎛⎫⎛⎫=---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，21212(1)x x DA DB n y y ⋅=++u u u r u u u r 2122212(1)44x x n x x =++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21216(1)n x x =++24(1)n =-++ 令0DA DB ⋅=u u u r u u u r ，即24(1)0n -++=，则1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,3)-.5. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =， 2,b =1c =．所以，椭圆的方程为22154x y +=． （Ⅱ）解：由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k=-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k -=-．在2y kx =+中，令0y =，得2M x k =-．由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或．6.（1）由题意得12p=，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1. （2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故 220c t y t -+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -. 由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =12S S取得最小值1+，此时G （2，0）．7.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以32 y=-.因此3(1,)2E--.11。
2019年高考真题理科数学解析分类汇编10圆锥曲线
2019年高考真题理科数学解析分类汇编10 圆锥曲线一、选择题1.【2018高考浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.3 B。
2【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(ac bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,b y a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bca xbc b c y --=-，令0=y ，得)1(22b ac x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a cb a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B 2.【2018高考新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-y x ，即14422=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，选C.3.【2018高考新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则有PF F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C. 4.【2018高考四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习 (附答案)
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△．2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上.1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．()2:20C x py p ->AB OP 22‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点 【3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.()2:20C x py p ->E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值．题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +参考答案题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.【答案解析】【要点分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出的坐标，分直线的斜率为与不为两种情况讨论，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得，进而可得答案．【小问1详解】解：因为，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.【小问2详解】解：由（1）知，，所以，即， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=122F MF π∠=2a 2b M l 00l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B x y l 12y y +12y y MA MB⊥1212(0x x y y +-=m 120MF MF ⋅= 12MF MF ⊥ 122F MF π∠=1212122MF F MF MF S ⋅==△124MF MF ⋅=122MF MF a +=122F F c ==2221212MF MF F F +=()2121228MF MF MF MF +-=⋅24248a -⨯=24a =2222b a c =-=22142x y +=124MF MF ⋅=124MF MF +=122MF MF ==(M l 090AMB ∠≠︒当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，， 因为， 所以，所以，所以，所以， 所以， 解得或，当时，直线过点，不符合题意， 所以直线的方程为．1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△． 【答案解析】【要点分析】（1）通过解方程组进行求解即可；（2）将直线2l 方程与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式、相似三角形判定定理进行运算证明即可. 【小问1详解】l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B xy 22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩22(2)20m y ++-=1222y y m+=-+12222y y m -=+90AMB ∠=︒MA MB⊥1212(0x x y y +-=21212(1)1)()40m y y m y y ++-++=2222(1)4(1)4022m m m m m -+--+=++2230m m --=1m =-3m =1m =-l Ml 30x y --=解：222224y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：220x -+=，解得：x =，故)M ；【小问2详解】联立222y x y x t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得：,122t N t ⎫-+⎪⎪⎝⎭联立22224y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：2220x t +-=， 由题可得：2Δ820t =->，∴12x x +=，2122x x t =-．12NA t ⎫=-⎪⎪⎭，22NB t ⎫=--⎪⎪⎭，()()212122223222332,2224NA NB x x t x x t t t t t ⎫⎫=--++⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎫⎫=--+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2NM t ⎫=--=⎪⎪⎭， 2NM NA NB =，∴AN MNNM NB =，又ANB MNB ∠=∠，∴ANM MNB ∽△△ 1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上. ．(本小题满分12分) 解：设),(),,(2211y x N y x M2222222221422x y x y x y k k -=-⋅+=⋅....................2分 2222154x y +=又22224(15x y =⋅-所以所以54451(4222221-=--=⋅x x k k .....................4分（2）设3:+=kx y PM 224520x y +=联立 得到02530)54(22=+++kx x k1223045kx x k -+=+所以2215425k x x +=⋅ 0)1(400)54(100900222>-=+-=∆k k k .....................6分直线:MB 2211-+=x x y y 直线:NA 2222+-=x x y y联立得:1212)2()2(22x y y x y y -+=-+.....................8分2121(2)(2)2524y y y y x x +++=-⋅-法一：525)(5452121212-=+++⋅-=x x x x k x x k..............10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分法二：由韦达定理得k x x x x 562121-=+2112221121(5)5221x kx kx x x y y kx x kx x x +++==-++所以5)(655)(65121221-=++-++-x x x x x x .........10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.解：(1)由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则联立直线与双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，0> ，故122421km x x k +=--，21222221m x x k +=-，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----， 化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，故2222(22)4(12)()4(1)02121k m kmm k m k k ++-----=--， 即(1)(21)0k m k ++-=，而直线l 不过A 点， 故l 的斜率 1.k =-(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan PAQ ∠=tan 22PAQ ∠=，由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==，即1112y x -=-联立1112y x -=-221112x y -=得1103x -=，153y =，同理，2103x +=，253y --=， 故12203x x +=，12689x x =而1|||2|AP x =-，2|||2|AQ x =-，由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=，故12121||||sin |2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠=-++= 题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分） （2），∴，设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+2AB =OP1c =1EF 2212x y +=1OP =y kx m=+2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222214220kx kmx m +++-=2216880k m ∆=-+>122421kmx x k -+=+21222221m x x k -=+∵，化简得．又设M 是弦AB 的中点，∴，， ∴，令， 则，∴（仅当时取等），又∵（仅当时取等号）． 综上，.2‐3、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||.PF PF =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，求2||||AB CD ⋅的取值范围.解：(1)因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=， 又因为12||3||PF PF =，所以2||2a PF =，13||2aPF =， 因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：22 1.2x y +=(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2221AB k ==+2222122k m k +=+222,2121kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭()222224121k OM m k +=⋅+()()()22222222241214122212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++2411k t +=≥()()24443134t OMt t t t==≤=-++++1OM ≤=-t=1OP OM MP OM ≤+=+≤214k -=max OP =联立直线l 与椭圆E 的方程：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得22(2)210m y my ++-=， 12222m y y m -+=+，12212y y m-=+，所以弦长2122)||||2m AB y y m+=-=+， 设圆222x y +=的圆心O 到直线l的距离为d =，所以||CD ==，所以2222222212)2)3||||41222m m m AB CD m m m m+++⋅=⋅⋅==-++++ 因为233022m <+…，2132222m ∴-<+…，2||||AB CD ∴⋅<，所以2||||AB CD ⋅的取值范围2‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分）（2），∴，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为， 即，（10分） ∴直线恒过定点， ∴点到直线距离的最大值为．（12分）题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点【答案解析】（1）由已知得22222()1c e a ba c c a b⎧==⎪⎪⎪⋅-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得3a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即22:139x y C -=；（2）由题意设()()1122:2,,,,AB l y kx A x y B x y =+()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+()()2110t x y ---=AB 1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭OAB 2OM ==则()12122222222121222124233341301312913933k y kx y y x x k k k x kx x y kx x y y k k ⎧⎧⎧=++=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⇒---=⇒⇒⎨⎨⎨---=⎪⎪⎪==⎪⎪⎪--⎩⎩⎩由题意得2120030k x x ∆>⎧⇒<<⎨<⎩①221212222131299128193333k k OA OB x x y y k k k -+-+⋅=+===+<---- ； ②由对称性得直线AD 过定点在y 轴上，设定点(0,)T t ，则有A ，T ，D 三点共线， 即1221122121211212AT DT y t y t x y x yk k x y x t x y x t t x x x x ---+=⇒=⇒+=+⇒=+()()21121212122222x kx x kx kx x t x x x x +++⇒==+++代入韦达定理得92t =-，即直线AD 过定点90,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案解析】【要点分析】（1）根据条件列出关于a,b 的方程，求得a,b 的值，即得答案; （2）设直线方程，，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示P点坐标，结合，可得N 点坐标，从而可证明结论. 【小问1详解】E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y MB NBMC NC=由椭圆：的离心率为，短轴长为2，可知 ，则 ，故的方程为；【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，联立，可得，， 则， 所以，又，所以， 解得， 从而 ， 故，即为定值.3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E ()222210x y a b a b +=>>2,222c b a==22231,44b a a -=∴=E 2214x y +=l l (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y 2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2222(41)326440k x k x k +++-=22116(112)0,012k k ∆=->∴<<2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++220002222164164,,(,414114)4(41k k k kx y x P k k k k k --==∴++++=+MB NB MC NC=31122344x x x x x x -+=+-2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++(1,3)N k -03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=12k k31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值． 【答案解析】【要点分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a 、b ；（2）设出直线AB 方程y ＝k （x －1），得到D 点坐标()4,3k ，联立直线AB 与椭圆方程，得到A ，B 两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出1k ，2k ，3k ，化简代入即可得到定值. 【小问1详解】将点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程()222210x y a b a b +=>>， 得222233141914a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】由题意直线AB 的斜率一定存在，由（1）知，c =1，则椭圆的右焦点坐标为()1,0， 设直线AB 方程为：y ＝k （x －1），D 坐标为()4,3k ．所以23312412k k k -==--， 设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 方程与椭圆方程联立得()22223484120kxk x k +-+-=．()()()()22222844341214410k k k k ∆=--+-=+>恒成立，由韦达定理知2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且()111y k x =-，()221y k x =-， 则()()121213121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----()12121223221x x k x x x x +-=-⋅-++2222228233424128213434k k k k k k k-+=-⋅--+++21k =-．故13221212k k k k k +-==-（定值）． 题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．【答案解析】(1)由题意知，点M 在第一象限．M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为c ，当c x =时，a b y 2=，即.,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M …………………（2分） 又直线MN 的斜率为42，所以4222tan 2221===∠acb c a b F MF ， 即22222c a ac b -==，即02222=-+a ac c ，………………………………（4分）则01222=-+e e ，解得22=e 或2-=e （舍去）， 即.22=e …………………………………（5分）(2)已知)1,0(D 是椭圆的上顶点，则1=b ，椭圆的方程为1222=+y x ，………（6分）设直线AB 的方程为m kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 可得)*(0)1(24)21(222=-+++m kmx x k ， 所以221214kkm x x +-=+，222121)1(2k m x x +-=， 又)1,(11-=y x DA )1,(.22-=y x DB ， ………………………………（8分）)1)(1()1)(1(21212121-+-++=--+=⋅m kx m kx x x y y x x DB DA221212)1())(1()1(-++-++=m x x m k x x k021)1)(21()(4)1)(1(2)1(214).1(21)1(2).1(222222222222=+-++--+-=-++--++-+=k m k m m k k m m k km m k k m k ， 化简整理有01232=--m m ，得31-=m 或.1=m 当1=m 时，直线AB 经过点D ，不满足题意； ………………………………（10分） 当31-=m 时满足方程(*)中0>∆，故直线AB 经过y 轴上定点.31,0⎪⎭⎫ ⎝⎛-G 又Q 为过点D 作线段AB 的垂线的垂足，故Q 在以DG 为直径的圆上，取DG 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0R ，则||RQ 为定值，且=||RQ .32||21=DG …………………………（12分）4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．【答案解析】【要点分析】（1）结合中点坐标公式表示出点A 的坐标带入抛物线的方程即可求出结果； （2）设出直线的方程与抛物线联立，进而结合根与系数的关系得到TA TB ⋅的表达式，从而可得4040m ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，因此解方程组即可求出结果.【小问1详解】 因为(),0,0,22p F P ⎛⎫⎪⎝⎭，且点A 恰好为线段PF 中点，所以,14p A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，所以2124p p =⋅，即22p =，解得P =【小问2详解】设(),T m n ，可知直线l 斜率存在；设l ：2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程得：22y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，所以220y k -+=，所以1212,y y y y k k+==， 又：()()()1212)(TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--()()22121244y m y m y n y n ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝()()222222*********y y m y y m n y y n -++-++=2222484m m n k k k k k ⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭22244m m n k k+-+++=-，令4040m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得：4m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即)4T ，此时2218TA TB m n ⋅=+=4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +答案解析：（1）设点P 为，动点M 为，则Q 点为求得：又即点M 的轨迹方程为：4分（2）设直线AB 方程为：则消x 得 或设A 点，B 点则求得： 8分()00,x y (,)x y ()0,0x ()()00,,0,MQ x x y PQ y =--=-())0022,0,MQ x x y y =∴--=-002x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩2222004443x y x y +=∴+= 221(0)43x y y +=≠4x my =+224143x my x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360m y my +++=()22(24)436340m m =-⨯+> △2m ∴>2m <-()11,x y ()22,x y 1212222436,3434m y y y y m m +=-⋅=++()121232my y y y =-+()()1212121221212123332392223339my y m y y y y k k my my m y y m y y ⎛⎫+-+--- ⎪⎝⎭∴+=+=+++++()()()1212123923392m y y m y y m y y -+-=-++++()()1212392392m y y m y y -+-=++1=-。
四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练：极坐标与参数方程
四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练极坐标与参数方程1、（2018全国III 卷高考）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点()02-，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． ⑴求α的取值范围；⑵求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2、（2017全国III 卷高考）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+-2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．3、（2016全国III 卷高考）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= .（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.4、（成都市2018届高三第二次诊断）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(42,)4π，直线的极坐标方程为sin()5204πρθ-+=.（1）求直线的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线的距离的最大值5、（成都市2018届高三第三次诊断）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，直线l 的极坐标方程是2sin 14ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，点,2Q ρπ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上.以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，且两坐标系取相同的单位长度. （I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求QA QB +的值.6、（达州市2017届高三第一次诊断）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为22222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4ρ=. （1）若l 的参数方程中的2t =-时，得到M 点，求M 的极坐标和曲线C 直角坐标方程； （2）若点(0,2)P ，l 和曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB+.7、（德阳市2018届高三二诊考试）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：22x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：2sin ρθ=. （1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2） 记射线0,02πθαρα⎛⎫=≥<<⎪⎝⎭与直线l 和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ），求ON OM的最大值.8、（广元市2018届高三第一次高考适应性统考）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2(4sin x a a y a =+⎧⎨=⎩为参数），以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值.9、（泸州市2018届高三第二次教学质量诊断）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为3cos sin 30ρθρθ+-=，C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-．（I ）求直线l 和C 的普通方程；（II ）直线l 与C 有两个公共点A 、B ，定点P (2,3)-，求||||||PA PB -的值．10、（绵阳市2018届高三第一次诊断）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是35cos ,45sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设1:6l πθ=，2:3l πθ=，若12,l l 与曲线C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AOB ∆的面积.11、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧α=α=sin cos 3y x （其中α为参数），曲线()11:222=+-y x C ，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若射线）（06>ρπ=θ与曲线1C ，2C 分别交于B A ,两点，求AB .12、（仁寿县2018届高三上学期零诊）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧θ+=θ+-=sin 42y cos 41x （θ为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin （θ+43π）=7． （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）A ，B 分别是圆C 和直线l 上的动点，求|AB|的最小值．13、（遂宁市2018届高三第一次诊断）已知直线l 的参数方程为t t y t x (213231⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)32cos(4πθρ-=. （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若),(y x P 是直线l 与圆面24cos()3πρθ≤-的公共点，求y x +3的取值范围.14、（遂宁市2018届高三三诊考试）点P 是曲线2ρ=（0θπ≤≤）上的动点，()2,0A ，AP 的中点为Q .（1）求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程；（2）若C 上点M 处的切线斜率的取值范围是33,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求点M 横坐标的取值范围.15、（雅安市2018届高三下学期三诊）在直角坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为(2,0)，半径为2，以坐标原点为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为：1x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）点P 的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 与圆C 相交于A ，B ，求PA PB +的值.16、（宜宾市2018届高三第一次诊断）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 5cos 53y x (其中参数R ∈θ).（1）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(其中参数R t ∈,α是常数)，直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且32=AB ，求直线l 的斜率．17、（资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊））在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为22242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，（其中t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）写出直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）过点(10)M ，且与直线l 平行的直线l '交C 于A ，B 两点，求||AB .18、（成都市石室中学高2018届高三下期二诊）在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为222242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线与曲线相交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)若2PA PB AB ⋅=,求a 的值.参考答案： 1、解答：（1）O e 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴O e 的普通方程为221x y +=，当90α=︒时，直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠︒时，设直线l 的方程为tan 2y x α=-，由直线l 与O e 有两个交点有2|002|11tan α+-<+，得2t an1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴4590α︒<<︒或90135α︒<<︒，综上(45,135)α∈︒︒.（2）点P 坐标为(,)x y ，当90α=︒时，点P 坐标为(0,0)，当90α≠︒时，设直线l 的方程为2y kx =-，1122(,),(,)A x y B x y ，∴2212x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩①②有22(2)1x kx +-=，整理得22(1)2210k x kx +-+=，∴122221k x x k +=+，122221y y k -+=+，∴ 222121kx ky k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩③④得x k y=-代入④得2220x y y ++=.当点(0,0)P 时满足方程2220x y y ++=，∴AB 中点的P 的轨迹方程是2220x y y ++=，即2221()22x y ++=，由图可知，22(,)22A -，22(,)22B --，则202y -<<，故点P 的参数方程为2cos 222sin 22x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（β为参数，0βπ<<）.2、【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -= 即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:20l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 22204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩解得32222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得5ρ=即M的极半径是5．3、4、解：（1）∵直线的极坐标方程为sin()5204πρθ-+=，即sin cos 100ρθρθ-+=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的直角坐标方程为100x y --=.将曲线C 的参数方程23cos 2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，得曲线C 的普通方程为221(0)124x y y +=>. （2）设(23cos ,2sin )Q αα(0)απ<<. 点P 的极坐标(42,)4π化为直角坐标为(4,4).则(3cos 2,sin 2)M αα++.∴点M 到直线的距离3cos sin 102d αα--=2sin()1032πα-+=62≤.当sin()13πα-=，即56πα=时，等号成立. ∴点M 到直线的距离的最大值为62. 5、6、（1）3(2,)4M π，曲线C 的直角坐标方程：2216x y += ……………5分 （2）由2222()(2)1622t t ++=得222120t t +-=，121222, 12t t t t +=-⋅=-21212(22)4(12) ||||1114|||| ||126t t PA PB t t --⋅-++===⋅……………10分 7、解：（1）由题意得直线l 的普通方程为：4x y +=， 所以其极坐标方程为：4sin cos ρθθ=+.由2sin ρθ=得：22sin ρρθ=，所以222x y y +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为：2220x y y +-=. （2）由题意2sin ON α=，4sin cos OM αα=+，所以2sin sin cos 2ON OM ααα+=21sin 2444πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于02πα<<，所以当38πα=时，ON OM取得最大值：214+.8、解：（1）曲线C 的参数方程为4cos 24sin x a y a =+⎧⎨=⎩得曲线C 的普通方程：224120x y x +--=所以曲线C 的极坐标方程为：24cos 12ρρθ-=（2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12(,),(,)66ππρρ,12AB ρρ=-又,A B 在曲线C 上，则12,ρρ是24cos 120ρρθ--=的两根∴121223,12ρρρρ+==-215AB =9、解：（I ）直线l 的普通方程为：330x y +-=，·················································· 1分因为圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-，所以2314(sin cos )22ρρθθ=-， ···························································· 3分 所以圆C 的普通方程222230x y x y ++-=； ··········································· 4分 （II ）直线l ：330x y +-=的参数方程为：122332x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， ······························································ 5分 代入圆2C 的普通方程222230x y x y ++-=消去x 、y 整理得：29170t t -+=， ················································································· 6分 则1||||PA t =，2||||PB t =， ····································································· 7分 1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=-221()t t =- ··············································· 8分 22112()4t t t t =+-29417=-⨯13=. ··········································································· 10分10、解：（Ⅰ）将C 的参数方程化为普通方程为(x -3)2+(y -4)2=25，即x 2+y 2-6x -8y =0． ……………………………………………………………2分 ∴ C 的极坐标方程为θθρsin 8cos 6+=． …………………………………4分 （Ⅱ）把6πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3341+=ρ，∴ )6334(π，+A ． ……………………………………………………………6分把3πθ=代入θθρsin 8cos 6+=，得3432+=ρ，∴ )3343(π，+B ． ……………………………………………………………8分∴ S △AOB AOB ∠=sin 2121ρρ )63sin()343)(334(21ππ-++= 432512+=． ……………………………………………………10分 11、解：（Ⅰ）由⎩⎨⎧α=α=sin cos 3y x 得1322=+y x . 所以曲线1C 的普通方程为1322=+y x . 把θρ=θρ=sin ,cos y x ，代入()1122=+-y x ，得到()()1sin 1cos 22=θρ+-θρ，化简得到曲线2C 的极坐标方程为θ=ρcos 2.（Ⅱ）依题意可设⎪⎭⎫ ⎝⎛πρ⎪⎭⎫ ⎝⎛πρ6,,6,21B A ,曲线1C 的极坐标方程为3sin 2222=θρ+ρ. 将()06>ρπ=θ代入1C 的极坐标方程得32122=ρ+ρ，解得21=ρ. 将()06>ρπ=θ代入2C 的极坐标方程得32=ρ.所以2321-=ρ-ρ=AB . 12、解：（1）直线l 的极坐标方程为ρsin （θ+）=7．∴，----------------------------------------2分根据ρcosθ=x ，ρsinθ=y 可得：﹣y+x=7．即直线l 的直角坐标方程为70x y --=．---------------------------5分（2）圆C 的参数方程为（θ为参数），其圆心为（﹣1，2），半径r=4．----6分那么：圆心到直线的距离127522d ---==．---------------------8分∴AB 的最小值为圆心到直线的距离d ﹣r ，即min 524AB d r =-=-．-----------10分 13、【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为)32cos(4πθρ-=， ∴)cos 21sin 23(4)32cos(42θθρπθρρ-=-=， 又∵222y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ， …………5分∴x y y x 23222-=+，∴圆C 的普通方程为032222=-++y x y x ；（2）设y x z +=3，故圆C 的方程4)3()1(03222222=-++⇒=-++y x y x y x ，∴圆C 的圆心是)3,1(-，半径是2，将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 213231代入y x z +=3得t z -=， 又∵直线l 过)3,1(-C ，圆C 的半径是2，∴22≤≤-t ，∴22≤-≤-t ，即y x +3的取值范围是]2,2[-.……10分14、解：（1）由()20ρθπ=≤≤，得()2240x y y +=≥设()11P ,x y ，()Q ,x y ，则112,22x yx y +==，即1122,2x x y y =-=，代入()221140x y y +=≥，得()()222224x y -+=，∴()()22110x y y -+=≥； …………5分 （2）轨迹C 是一个以()1,0为圆心，1半径的半圆，如图所示，设()M 1cos ,sin ϕϕ+，设点M 处切线l 的倾斜角为α 由l 斜率范围33,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，可得2536ππα≤≤， …………7分 而2πϕα=-，∴63ππϕ≤≤，∴3231cos 22ϕ+≤+≤， 所以，点M 横坐标的取值范围是323,22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦． …………10分15、解：圆的直角坐标方程为，代入圆得：，化简得圆的极坐标方程：，由:1x tl y t =-⎧⎨=+⎩得，l ∴的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ+=即12sin()4ρπθ=+.（2）由(1,)2P π得点P 的直角坐标为(1,0)P ，直线的参数的标准方程可写成22212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入圆得：2222(2)(1)222t t --++=， 化简得：，，.16、解： （1）Q ⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 5cos 53y xC ∴的普通方程()5322=+-y x …………………2分∴C 的极坐标方程04cos 62=+-θρρ …………………4分（2）Q 1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩ ∴直线l 的普通方程()1y k x =- ……………6分 由（I ）知：圆心()5,0,3=r C ,32=AB 2=∴d …………………8分10322+--=∴k k k 1±=∴k …………………10分17、（1）由22242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y ++=．又由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，则C 的直角坐标方程为2240x y x +-=． ·············· 5分（2） 过点(10)M ，且与直线l 平行的直线l '的参数方程为21,22.2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 将其代入2240x y x +-=得2230t t +-=，则121223t t t t +=-=-，，所以2121212||||()414AB t t t t t t =-=+-=． ······················································ 10分18、 (1)由=整理得=,∴曲线的直角坐标方程为=,直线的普通方程为=…………………………………………………….4分(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程=中,得,设两点对应的参数分别为,则有==,……………………………….6分∵=,∴=即=…………………………….8分∴=即,解得或者(舍去),∴的值为1…………………………………………………………………………….10分。
2019届四川省高三数学理一轮复习专题突破训练：圆锥曲线
四川省2019届高三数学理一轮复习专题突破训练圆锥曲线一、选择、填空题21、(2019年四川省高考)设 O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线 y =2px(p ■ 0)上任 意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|,则直线OM 的斜率的最大值为(D ) 12y・=1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的3两条渐近线于 A 、B 两点，贝U | AB|=5 4 ，则双曲线离心率 e 的取值范围为()123八“山0】 ° “ V37 r v37 V10r <10 丄、A. (1, ]B. (1,] C. [,] D. [,：：)2 55224、(成都市2019届高三第二次诊断)已知抛物线y=x 2的焦点为F ,经过y 轴正半轴上一点 Nuir uuu作直线I 与抛物线交于A , B 两点，且OA OB =2 ( O 为坐标原点)，点F 关于直线OA 的对 称点为C ,则四边形 OCAB 面积的最小值为 (A)3(B) <3(C)2^3(D)-22A .1 B. 1 C .仝=1 D . 12、(2019年四川省高考)过双曲线X 2B. 2 3C. 6D. 4. 33、(四川省2019届高三预测金卷 )2x 已知双曲线2a2y2 = 1(a 0, b 0)的左、右焦点分别为F 1> F 2，过F 2的直线交双曲线于P,Q 两点且 PQ_ PF1，若 | PQ h ■ I PF1 |，5、(成都市都江堰 2019届高三11月调研)已知双曲线2 X 2a2y b 2= 1(a 0,b 0)的一个焦点与抛物线 y 2 “2x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于则该双曲线的标准方程为x 2x 227 18 18 27 12 24 3 6 6、(乐山市高中2019届高三第二次调查研究)抛物线y2=4x的焦点为F,经过点F的直线与抛物线在x轴上方的部分交于点A,与准线I交于点B,且AK _丨于点K,如果|AF|=|BF| , 那么△ AKF的面积为A. 4 3B. 3 3C. 8D. 4 7、（绵阳中学2019届高三上学期入学考试）若圆C i: x2y2a^ 0与圆C2: x2y22ax y tan v - 0 都关于直线2x-y-1=0 对称，则sin v cosr2 28、（成都市双流中学2019届高三9月月考）已知椭圆1+±=1（0<：m<:9）,左、右焦点分9 m别为F,、F2,过F1的直线交椭圆于A、B两点，若| AF21 | BF2 |的最大值为10，则m的值为心率为BC.212、（遂宁市2019届高三第二次诊断考试）设B、C是定点，且均不在平面〉上，动点A在平1面〉上，且sin • ABC =，则点A的轨迹为2A.圆或椭圆C.椭圆或双曲线B.抛物线或双曲线D.以上均有可能B. C.637 D.A. 3B. 2C.1 D. .39、（内江市2019届高三第四次（3月）2x模拟）F为双曲线x2a2yb2=1的右焦点，点P在双曲线右支上，POF（O为坐标原点)满足OF =PF =25，则双曲线的离A. 3 1B. 5C. 210、（成都市双流中学2019届高三5月月考）已知代B,P是双曲线点，且AB连线经过坐标原点，若直线PA, PB的斜率乘积k PAD. 32 2x2- y2 = 1上的不同三11、（成都市双流中学2019届高三9月月考）抛物线C : y2=4x的准线方程为A. x = —1B. x =1C. x = -2D. x = 213、（宜宾市 2019届高三第二次诊断）已知直线 a 0,b0的焦点，且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的标准方程为15、（资阳市资阳中学 2019届高三上学期入学考试）如图平面直角坐标系2 2—写+琴=1（a>b>0）的离心率e=^，A, A 分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A 的半径为a , a b 2过点A 作圆A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆于点 Q •则竺 =QA 2线的离心率为2 22x y -10 = 0 过双曲线 x 2 - y 2 =1 (A)2 2 —16 92 2x y ”(B)12 2 x y , (C)15 202 2 x y ” (D)114、 （宜宾市2019届咼二第二次诊断）设动直线l : y = kx • m （其中k, m 为整数）与椭圆2• y . =1交于不同两点代B ，16 12AC •BD 二0 ,则符合上述条件的直线2与双曲线X4 2_y .=1交于不同两点l 共有(A ) 5 条(B ) 7 条(C ) 9 条(D ) 11 条xOy 中，椭圆16、（成都市2019届高三第二次诊断）双曲线 2 2x^ =l 的一个焦点坐标为（3, 0），则该双曲a 517、（成都市都江堰 2019届高三11月调研）一个圆经过椭圆2x16-1的上顶点、下顶点及右顶点三个顶点，则该圆的标准方程为18、（乐山市高中2019届高三第二次调查研究）设戸、F2分别为双曲线2C: x2 - y 1 的左、24右焦点，P为双曲丝C在第一象限上的一点，若PF1F2 内切圆的面积在第一象限内的一点，过点 M 作该圆的切线交椭圆 E 于P , Q 两点，椭圆E 的右焦点为F 2， 则厶PF 2Q 的周长是 ▲ 二、解答题1、（ 2019年四川省高考）已知椭圆 E:）的两个焦点与短轴的一个端a 1 2b 2点是直角三角形的3个顶点，直线I : y =-x +3与椭圆E 有且只有一个公共点 T. （I ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（II ） 设O 是坐标原点，直线I 平行于OT,与椭圆E 交于不同的两点 A 、B ，且与直线I 交于点 2P.证明：存在常数 入，使得I PT I =入I PA 「 I PB 丨，并求入的值.2 在平面直角坐标系 xoy 中，是否存在与点19、（遂宁市2019届高三第二次诊断考试）若点M 是以椭圆 2 2x_98二1的短轴为直径的圆2 2x y2、（2019年四川省高考）如图，椭圆E ：—2-^—2a b=1的离心率是丄2,过点P （0,1）的动直线I 2与椭圆相交于 代B 两点。
专题21 圆锥曲线综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)
【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积． 【答案】（1）见详解；（2） 3或【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，专题21 圆锥曲线综合()212||21AB x t=-==+．设12,d d分别为点D，E到直线AB的距离，则12d d==．因此，四边形ADBE的面积()(2121||32S AB d d t=+=+设M为线段AB的中点，则21,2M t t⎛⎫+⎪⎝⎭．由于EM AB⊥，而()2,2EM t t=-，AB与向量(1, )t平行，所以()220t t t+-=．解得t=0或1t=±．当t=0时，S=3；当1t=±时，S=因此，四边形ADBE的面积为3或．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】椭圆22143x yC+=：交于A，B两点，线段AB的中点为()()10M m m>，．（1）证明：12k<-；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP FA FB++=0．证明：FA，FP，FB成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）12k<-；（2）28或28-【解析】（1）设1221(,),(,)A y x yx B，则222212121,14343y x yx+=+=．两式相减，并由1221yxykx-=-得1122043yx ykx+++⋅=．由题设知12121,22x yx ym++==，于是34k m=-．① 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=．由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x ===-．同理2||22x FB =-． 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=． 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列． 设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=．② 将34m =代入①得1k =-． 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=．故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =．所以该数列的公差为28或28- 【名师点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到0FP FM +=，求出m 得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程．【答案】（1）证明略；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=．或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+．由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩可得2240y my --=，则124y y =-． 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==． 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-，所以OA OB ⊥． 故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+．故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =．由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=， 故()()()()121244220x x y y --+++=， 即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=， 由（1）可得12124,4y y x x =-=． 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M M 的方程为()()223110x y -+-=． 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91,42⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆M，圆M的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部．【命题意图】主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．【命题规律】圆锥曲线是高考的必考内容，主要命题点有直线与圆锥曲线的位置关系的应用，圆锥曲线中的弦长、弦中点、面积、定点、定值、最值、取值范围、存在性问题，综合性较强，常与向量、圆等知识结合，难度较大．在解题过程中常用到点差法、根与系数的关系、设而不求、整体代换等技巧，注意掌握． 【知识总结】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax+By+C=0（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （或x ）得到一个关于x （或y ）的一元二次方程，即联立两个方程得00Ax By C Fx y ++=⎧⎨=⎩，（，），消去y （或x ）得ax 2+bx+c=0（或ay 2+by+c=0）．以ax 2+bx+c=0为例进行讨论． （1）当a ≠0时，设一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线l 与圆锥曲线C 相交；Δ=0⇔直线l 与圆锥曲线C 相切；Δ<0⇔直线l 与圆锥曲线C 相离．（2）当a=0，b ≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴平行或重合．注意：直线与椭圆（或圆）只有一个公共点是直线与椭圆（或圆）相切的充要条件，而直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点只是直线与双曲线（或抛物线）相切的必要不充分条件． 结论：（1）过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切，过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切，过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．（2）过双曲线外但不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．2．圆锥曲线中弦的相关问题 （1）弦长的求解①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；②当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两个不同的点，则弦长|x 1–x 2|y 1–y 2|（k ≠0）； ③当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长． （2）弦中点问题圆锥曲线以P （x 0，y 0）（y 0≠0）为中点的弦所在直线的斜率如下表：其中k=1212y y x x --（x 1≠x 2），（x 1，y 1），（x 2，y 2）为弦的端点坐标．【方法总结】1．直线与圆锥曲线的位置关系问题的常见类型及解题策略： 一是判断位置关系；二是依据位置关系确定参数的范围．这两类问题在解决方法上是一致的，都是将直线与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解．（1）直线与圆锥曲线相交或相离时，可直接联立直线与圆锥曲线的方程，结合消元后的一元二次方程求解．（2）直线与圆锥曲线相切时，尤其是对于抛物线与双曲线，要通过数形结合求解．2．与圆锥曲线有关的弦长、面积和弦中点问题（1）有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法①解决涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时，往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．②面积问题常采用S三角形=12×底×高求解，其中底往往是弦长，而高用点到直线的距离公式求解即可，注意选择容易坐标化的弦长为底．有时也可根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．有关求多边形的面积问题，常转化为求三角形的面积问题进行求解．③求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．（2）弦中点问题的解决方法①用“点差法”求解弦中点问题的步骤②对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．点差法的用途：（i）已知弦的中点，求弦所在的直线的斜率或方程；（ii）求弦（过定点或平行于某条弦）的中点的轨迹方程；（iii）寻找圆锥曲线方程中系数的关系．3．与圆锥曲线有关的最值或取值范围问题（1）最值问题的求解方法①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．（2）求参数取值范围的常用方法①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数取值范围．③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的取值范围．④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．4．与圆锥曲线有关的定点、定值问题（1）求解定点问题常用的方法①“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；②“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．③求证直线过定点（x0，y0），常利用直线的点斜式方程y–y0=k（x–x0）来证明．（2）求解定值问题常用的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．5．有关存在性问题的求解策略（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在并设出，列出关于待定系数的方程（组），若方程（组）有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在．（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．（3）解决存在性问题时要注意解题的规范性，一般先作出结论，后给出证明（理由）．注意：存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．1．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率2e =，过点(),0A a -和()0,B b 的直线与原点间的距离为3． （1）求椭圆M 的方程；（2）过点()1,0E 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，且点D 位于第一象限，当3CEDE=时，求直线l 的方程．2．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知曲线C 上动点M 与定点()F 的距离和它到定直线1:l x =-2，若过()0,1P 的动直线l 与曲线C相交于A B ，两点．（1）说明曲线C 的形状，并写出其标准方程； （2）是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．【广西桂林市2019届高三4月综合能力检测（一模）数学】已知椭圆2222:1(0)x y N a b a b +=>>经过点(0,1)C ，且离心率为2．（1）求椭圆N 的方程； （2）直线1:3l y kx =-与椭圆N 的交点为,A B 两点，线段AB 的中点为M ，是否存在常数λ，使AMC ABC λ=⋅∠∠恒成立，并说明理由．4．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】设D 是圆22:16O x y +=上的任意一点，m是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|||EQ ED =．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点(2,3)P ，过(2,0)F 的直线l 交曲线C 于,A B 两点，交直线8x =于点M ．判定直线,,PA PM PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．5．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 为椭圆C 上任意一点，A 关于原点O 的对称点为B ，有114AF BF +=，且12F AF ∠的最大值π3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若A '是A 关于x 轴的对称点，设点(4,0)N ，连接NA 与椭圆C 相交于点E ，问直线A E '与x 轴是否交于一定点．如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由．6．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知抛物线22y x =，过点(2,4)A -的直线l 交抛物线于B 、C 两点，设O 为坐标原点，点1(,0)2P ．（1）求tan PAO ∠的值；（2）若PAB △，PBC △，PAC △的面积成等比数列，求直线l 的方程．7．【贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试数学】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点()10F c -，，()20F c ，，设P ，Q 分别是椭圆C 的上、下顶点，且四边形12PF QF 的面积为． （1）求椭圆C 的方程；（2）当b c >时，A ，B 为椭圆C 上的动点，且PA PB ⊥，试问：直线AB 是否恒过一定点？若是，求出此定点坐标，若不是，请说明理由．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，点A 在椭圆上，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P 、M 、N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求出该定值．9．【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右顶点是()2,0A ，离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆交于两点,M N （,M N 不同于点A ），若0AM AN ⋅=，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．10．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一）数学】抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p ．（1）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（2）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上．11．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ． （1）当M 的坐标为（0，–1）时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M ．12．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知抛物线22(0)y px p =>上一点3,2M m ⎛⎫⎪⎝⎭到它的准线的距离为52． （1）求p 的值；（2）在直线l 上任意一点(),2P a -作曲线C 的切线，切点分别为,M N ，求证：直线MN 过定点．13．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点为12,F F ，点(),P mn 在椭圆C 上．（1）设点P 到直线:4l x =的距离为d ，证明：2dPF 为定值； （2）若02,,m A B <<是椭圆C 上的两个动点（都不与P 重合），直线,PA PB 的斜率互为相反数，求直线AB 的斜率（结果用n 表示）14．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，直线10x y +-=被圆222x y b +=．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得PA PB ⋅为定值？若存在，求出点P 的坐标和PA PB ⋅的值；若不存在，请说明理由．15．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】过点()2,0M 的直线l 与抛物线()2:20C y px p =>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥．（1）求p 的值；（2）若l 与坐标轴不平行，且A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 恒过定点．16．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,P a 在此抛物线上，2PF =，不过原点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆M 过坐标原点． （1）求抛物线C 的方程； （2）证明：直线l 恒过定点；（3）若线段A B 中点的纵坐标为2，求此时直线l 和圆M 的方程．17．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷）数学】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率2e =，左、右焦点分别为12F F 、，抛物线2y =的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆M：222 3x y+=的切线l与椭圆相交于A、B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由，。
专题19 圆锥曲线综合-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题19 圆锥曲线综合【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |． 【答案】（1）3728y x =-；（2【解析】设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-．（2）由3AP PB =可得123y y =-．由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=． 代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =．323AP PB =【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-y x =-（2）见解析. 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,)2-，所以AM 的方程为y x =+y x =． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠．综上，OMA OMB ∠=∠．【母题来源三】已知椭圆C ：22221()0x y a b a b +=>>，四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–12），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故C 的方程为2214x y +=．（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）．则121k k +==-，得2t =，不符合题设，从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）． 将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=．由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-， 当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．【命题意图】（1）了解椭圆或抛物线的实际背景，了解椭圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握椭圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. （3）了解圆锥曲线的简单应用. （4）理解数形结合的思想. 【命题规律】解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. 【方法总结】（一）求椭圆的方程有两种方法:（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. （2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.第二步，设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>.第三步，找关系.根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且. （二）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程. （三）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． （3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.（四）圆锥曲线中的定点、定值问题定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1．【河北省保定市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知抛物线E ：28y x =，直线l ：4y kx =-. （1）若直线l 与抛物线E 相切，求直线l 的方程；（2）设(4,0)Q ，0k >，直线l 与抛物线E 交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，若存在点C ，使得四边形OACB 为平行四边形（O 为原点），且AC QC ⊥，求2x 的取值范围. 【答案】（1）142y x =--；（2）201)x <≤. 【解析】（1）由248y kx y x=-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=， 由0k ≠及2264(1)640k k ∆=+-=，得12k =-. ∴所求的切线方程为142y x =--. （2）由248y kx y x=-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=，2264(1)640,k k ∆=+->且0k ≠，12k ∴>-，1228(1),k x x k+∴+= ∴12128()8y y k x x k+=+-=， ∵四边形OACB 为平行四边形，1212=(,)OC OA OB x x y y ∴+=++28(1)8(,)k k k +=，即C 28(1)8(,)k k k+， ∵AC QC ⊥，0QC AC ∴⋅=，又222228(1)8(4,),(,)(,4)k QC AC OB x y x kx k k+=-===- 2228(1)8[4](4)0k QC AC x kx k k+∴⋅=-+-=，即2822k x k =++， ∵0k >，∴2821)x ≥=，当且仅当k =此时，201)x <≤.【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，根与系数关系的应用，也考查平行四边形的性质、数量积和不等式的运算，属于中档题. （1）由248y kx y x =-⎧⎨=⎩得228(1)160k x k x -++=，由题意得00k ≠⎧⎨∆=⎩，解出k 即可. （2）由四边形OACB 为平行四边形，得1212=(,)OC OA OB x x y y +=++，利用根与系数的关系得点C ，又由AC QC ⊥，0QC AC ⋅=，通过数量积和不等式的运算，求出2x 的范围即可.2．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C，且离心率为2. （1）求椭圆E 的方程； （2）若直线1:3l y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，是否存在常数λ，使∠∠AMC ABC =⋅λ恒成立，并说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在. 【解析】（1）由题意知1b =，2c a =. 又因为222a b c =+，所以解得a =所以椭圆方程为2212x y +=.（2）存在常数λ，使∠∠AMC ABC =⋅λ恒成立. 理由如下：由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160k x kx +--=，且>0∆. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221221291816918k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，又因为()11,1CA x y =-，()22,1CB x y =-，()()()()2121212121212444161113339CA CB x x y y x x kx kx k x x k x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+--=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22216412161091839189k k k k k -=+-⋅+=++，所以CA CB ⊥.因为线段AB 的中点为M ，所以MC MB =， 所以2AMC ABC ∠=∠.所以存在常数2=λ，使∠∠AMC ABC =⋅λ恒成立.【名师点睛】本题主要考查求椭圆的方程以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程与椭圆的简单性质即可，属于常考题型.（1）根据题意得到1b =，2c a =，求出a = （2）先由题意判断出结果，再证明，联立直线与椭圆方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据根与系数的关系，以及向量数量积运算，得到0CA CB ⋅=，进而可得出结果.3．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学试题】已知△ABC 的周长为6，B ，C 关于原点对称，且(1,0)B -，点A 的轨迹为Γ. （1）求Γ的方程；（2）若(2,0)D -，直线l ：(1)(0)y k x k =-≠与Γ交于E ，F 两点，若1DE k ，k λ，1DFk 成等差数列，求λ的值.【答案】（1）()221243x y x +=≠±；（2）2. 【解析】（1）依题意，(1,0)B -，(1,0)C ，故2BC =， 则42AB AC BC +=>=，故点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为221(2)43x y x +=≠±.（2）依题意，112DE DF kk k ⋅=+λ，故2DE DFk kk k =+λ. 联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩，整理得()22223484120k x k x k +-+-=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+.故()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+ ()()()()12122211k x k x k x k x ++=+--1233211x x =++-- ()()()121232211x x x x +-=+--()()1212123221x x x x x x +-=+-++222222832342412813434k k k kk k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--+++ ()2222238682412834k k k k k--=+--++2242=+==λ，则2=λ.【名师点睛】本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题，考查运算求解能力、推理论证能力. （1）由椭圆定义得轨迹方程即可； （2）依题意得112DE DF kk k ⋅=+λ，得2DE DF k k k k =+λ，联立22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩消去y ，整理()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+结合根与系数关系得λ的值即可. 4．【安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模数学试题】已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆上一点P的坐标为2⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625. 【解析】（1）由已知c e a ==又222a b c =+，则2a b =.∴椭圆方程为222214x y b b +=，将)2代入方程得1b =，2a =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）不妨设直线AB 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -⋅=+，①又以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0)C ， ∴0CA CB ⋅=，由11(2,)CA x y =-，22(2,)CB x y =-得()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式得()()2212121(2)(2)0k y y k m y y m ++-++-=，将①代入上式求得65m =或2m =（舍）， 则直线l 恒过点6(,0)5D .∴1211||22△ABCS DC y y =-==， 设211(0)44t t k =<≤+，则△ABCS =1(0,]4t ∈上单调递增， 当14t =时，△ABC S 取得最大值1625.【名师点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆相交的弦长公式，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积最大值的求法，运算量较大，属于中档题.（1）将P 点坐标代入椭圆方程，结合椭圆的离心率列方程，解方程求得,a b 的值，由此求得椭圆方程. （2）设直线AB 的方程为x ky m =+，联立直线AB 的方程和椭圆的方程，消去x ，得到关于y 的一元二次方程，写出根与系数关系，根据0CA CB ⋅=列方程，解方程求得m 的值.由此判断出直线l 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，由121||2△ABC S DC y y =-求得三角形面积的表达式，利用换元法，结合二次函数的单调性，求得三角形面积的最大值.5．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019()2222:10x y C a b a b+=>>过点2⎫⎪⎪⎭，,A B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，点P 在椭圆C 上且不与四个顶点重合． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线PA 与y 轴交于N ，直线PB 与x 轴交于M ，试探究AM BN ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）AM BN ⋅是定值，定值为4. 【解析】（1）由题意得：2222222112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2241a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的标准方程为：2214x y +=. （2）点P 不与四个顶点重合，∴直线,PA PB 的斜率存在且不为0，设()00,P x y ，且()2,0A ，()0,1B ，∴直线PA 的方程为：()0022y y x x =--，则0020,2y N x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 直线PB 的方程为：0011y y x x -=+，则00,01xM y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2200000000000000244448211222x y x y x y x y AM BN y x x y x y +++--∴⋅=+⋅+=----+，P 在椭圆上，220044x y ∴+=.0000000000000000844822442222x y x y x y x y AM BN x y x y x y x y +----+∴⋅==⨯=--+--+.4AM BN ∴⋅=，为定值.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题的求解.解决定值类问题的关键是将所求量利用变量进行表示，通过变量间的关系进行化简、消元，从而整理出所求的定值.（1）根据离心率、点⎭在椭圆上和222a b c =+建立方程组，解方程求得结果，从而得到椭圆方程；（2）设()00,P x y ，从而可得,PA PB 方程，求得,M N 的坐标，从而可得AM BN ⋅，根据点()00,P x y 在椭圆上得到220044x y +=，代入AM BN ⋅整理可得定值.6．【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】如图，椭圆C ：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，直线n ：x ＝4与x 轴相交于点E ，点M 在直线n 上，且满足BM ∥x 轴．（1）当直线l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）证明：直线AM 经过线段EF 的中点． 【答案】（1）直线AM 的方程为y ＝－x ＋52或y ＝x －52；（2）见解析. 【解析】（1）由c＝1，得F (1，0)， ∵直线l 与x 轴垂直， ∴x ＝1，由221143x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：113322或x x y y ==⎧⎧⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩， 当点A 坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，则点M 坐标为34,2⎛⎫-⎪⎝⎭， 此时直线AM 的斜率为33()22114--=--，∴直线AM 的方程为31(1)2y x -=-⋅-，即y ＝－x ＋52；当点A 坐标为31,2⎛⎫-⎪⎝⎭，则点M 坐标为34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时直线AM 的斜率为33()22141--=-，∴直线AM 的方程为31(4)2y x -=⋅-，即y ＝x －52.故直线AM 的方程为y ＝－x ＋52或y ＝x －52.（2）当AB 直线方程为0y =时，直线BM 与x 轴重合，不满足题意；故可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得3(my ＋1)2＋4y 2＝12，即(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由根与系数关系可得，y 1＋y 2＝2634m m -+，y 1y 2＝2934m -+， ∵EF 的中点N 502，⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M (4，y 2)， ∴NA ＝11112533,,,,222x y my y NM y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵132my ⎛⎫- ⎪⎝⎭×y 2－32y 1＝my 1y 2－32(y 1＋y 2)＝2934m m -+－32×2634m m -+＝0. ∴∥NA NM ， 故A ，N ，M 三点共线，所以直线AM 经过线段EF 的中点.【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系问题，直线与圆锥曲线问题常见解法是借助根与系数的关系，将多元问题转化为少元（单元）问题，属于中档题.（1）由直线l 与x 轴垂直，可得直线l 的方程，从而求解出点、A B 的坐标，由BM ∥x 轴可得M 点坐标，从而得出直线AM 的方程；（2）要证直线AM 经过线段EF 的中点N ，即证A ，N ，M 三点共线，即证∥NA NM ，设出、A B 两点，联立直线与椭圆的方程，借助根与系数关系，从而得证.7．【湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测（二模）数学试题】已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()1,2A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线1x =对称. （1）求抛物线E 的方程及准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于、B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）24y x =；准线方程为1x =-；（2）10x y +-=.【解析】（1）∵抛物线E 过点()1,2A ， ∴24p =，解得2p =，∴抛物线的方程为24y x =，准线方程为1x =-．（2）方法一：不妨设B 在C 的左边，从而可设直线AB 的方程为()12(0)x m y m -=->，即21x my m =-+，由2214x my m y x=-+⎧⎨=⎩消去x 整理得24840y my m -+-=． 设(),B B B x y ，则24B y m +=，故42B y m =-，∴2441B x m m =-+，∴点()2441,42B m m m -+-．又由条件得AB 与AC 的倾斜角互补，以m -代替点B 坐标中的m ， 可得点()2441,42C m m m ++--．∴BC ==，且BC 中点的横坐标为2412B Cx x m +=+， ∵以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，∴24112BC m ++==，解得2m =∴()32B -，()32C +-， ∴1BC k =-，∴直线BC 的方程为()(23y x -=--+，即10x y +-=．方法二：设()()1122,,,B x y C x y ， 因为直线12,l l 关于1x =对称， 所以AB 与AC 的倾斜角互补， 所以12122212121222224411221144AB AC y y y y k k y y x x y y ----+=+=+=+=--++--， 所以124y y +=-，所以1212221212124144BC y y y y k y y x x y y --====--+-． 设直线BC 的方程为y x m =-+，由24y x m y x=-+⎧⎨=⎩消去y 整理得()22240x m x m -++=， 所以2121224,x x m x x m +=+=，所以12BC x =-=BC 中点D 的横坐标为1222x x m +=+． 因为以线段BC 为直径的圆与抛物线的准线1x =-相切， 所以12122BC x x ++=，即3m +=1m =，所以直线BC 的方程为1y x =-+，即10x y +-=．【名师点睛】由于在解答圆锥曲线问题中需要涉及大量的计算，所以在解题时要注意“设而不求”、“整体代换”等方法的利用，另外还应注意巧设直线的方程，以达到简化运算的目的，考查直线和圆锥曲线的位置关系及计算能力，属于中档题．（1）将点()1,2A 坐标代入曲线方程求出2p =，于是可得曲线方程．（2）方法一：由题意设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立消元后，根据根与系数的关系求出点B 的坐标，同理得到点C 的坐标，然后根据以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切可求得点,B C 中的参数，进而可得所求方程．方法二：由题意得AB 与AC 的倾斜角互补，由此可得1BC k =-，于是可设直线BC 的方程为y x m =-+，与曲线方程联立消元后，再根据题意求得参数m ，进而得到直线方程．8．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学试题】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F与椭圆22143x y +=的右焦点重合，抛物线C 的动弦AB 过点F ，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线于点M .（1）求抛物线的标准方程； （2）求AB MF的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）2.【解析】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为()1,0， ∴抛物线的焦点为()1,0F ， ∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =.（2）①当动弦AB 所在直线的斜率不存在时，易得：24AB p ==，2MF =，2AB MF=.②当动弦AB 所在直线的斜率存在时，易知AB 的斜率不为0. 设AB 所在直线方程为()1y k x =-，且()11,A x y ，()22,B x y .联立方程：()241y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222220k x k x k -++=，∴()212222k x x k ++=，121x x ⋅=，()21610k ∆=+>，∴12AB x =-=()2241k k +=. ∵FM 所在的直线方程为()11y x k =--，联立方程()111y x kx ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，得点21,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴MF ==∴()22412kABMF+==>，综上所述：ABMF的最小值为2.【名师点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四川省2019届高三数学理一轮复习典型题专项训练圆锥曲线一、选择、填空题1、（2018全国III 卷高考）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．22、（2017全国III 卷高考）已知双曲线22221x y C a b-=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y+=有公共焦点．则C 的方程为（）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=3、（2016全国III 卷高考）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）344、（成都市2018届高三第二次诊断）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点P ，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点.若点A ，B 分别位于第一，四象限，O 为坐标原点.当12AP PB =时，AOB ∆的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．329 B ．169 C ．89 D ．495、（成都市2018届高三第三次诊断）已知,A B 是椭圆C ：221259x y +=上关于坐标原点O 对称的两个点，,,P M N 是椭圆C 异于,A B 的点,且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则MON △的面积为（ ）A ．32B ．32C ．152D ．2526、（达州市2017届高三第一次诊断）过双曲线2213x y -=右焦点的直线l 被圆22(2)9x y ++=截得弦长最长时，则直线l 的方程为（ ）A ．20x y -+=B ．20x y +-=C ．20x y --=D ．20x y ++=7、（德阳市2018届高三二诊考试）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，其一条渐近线被圆22()4(0)x m y m -+=>截得的线段长为22，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ．28、（德阳市2018届高三二诊考试）如图，过抛物线24y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、B 、C 点，令1AF BFλ=，2BC BFλ=，则当3πα=时，12λλ+的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69、（泸州市2018届高三第二次教学质量诊断）抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为C 上一点，过点P 作其准线的垂线，垂足为Q ，若||3PF =，则||FQ 的长度为A ． 22B ．3C ．23D ．4210、（泸州市2018届高三第二次教学质量诊断）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线右支上一点，若双曲线的一条渐近线垂直平分1PF ，则该双曲线的离心率是A ．2B ．5C ．2D ．511、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）抛物线x y C 8:2=的焦点为F ，准线为P l ,是l 上一点，连接PF 并延长交抛物线C 于点Q ，若PQ PF 54=，则=QF ( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．612、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）已知椭圆()01:112122121>>=+b a b y a x C 与双曲线()0,01:222222222>>=-b a b y a x C 有相同的焦点21,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且2212PF F F =,设1C 与2C 的离心率分别为21,e e ，则12e e -的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，31 C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，2113、（遂宁市2018届高三第一次诊断）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为A ．2 B.3 C. 2 D.23314、（遂宁市2018届高三三诊考试）已知P 是双曲线2213x y -=上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A 、B ，则PA PB ⋅的值是 A ．38- B ．316C ．38-D ．不能确定15、（雅安市2018届高三下学期三诊）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．516、（宜宾市2018届高三第一次诊断） 已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=)0,0(>>b a 的左右焦点,2F 与抛物线2:43C y x =的焦点重合，点M 在E 上,2MF 与x 轴垂直,2||=2MF ,则E 的离心率为A ．2B ．32C ．3D ．2 17、（资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊））抛物线()220y px p =>的焦点为F ，A B ，为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN MF的最大值为________．二、解答题1、（2018全国III 卷高考）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，． ⑴证明：12k <-；⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．2、（2017全国III 卷高考）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线l 与圆M 的方程．3、（2016全国III 卷高考）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ，两点，交C 的准线于P Q ，两点． （I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.4、（成都市2018届高三第二次诊断）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，离心率为22，点B 是椭圆上的动点，1ABF ∆的面积的最大值为212-. （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点1F 的直线与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为'l .若直线'l 与直线相交于点P ，与直线2x =相交于点Q ，求PQ MN的最小值.5、（成都市2018届高三第三次诊断）在平面直角坐标系xOy 中，动点M 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是1:2.记动点M 的轨迹为曲线C ，直线l :()0y kx m m =+≠与曲线C 相交于不同的两点,P Q . （I ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求OPQ △面积的最大值.6、（德阳市2018届高三二诊考试）已知长度为32的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数.若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.7、（泸州市2018届高三第二次教学质量诊断）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若2F 到过椭圆左焦点、斜率为3的直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的四边形面积为4．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 、B ，过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，证明：直线AP 、BQ 的交点在直线4x =上．8、（南充市2018届高三第二次高考适应性考试）已知点C 为圆()8122=++y x 的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点()0,1A 和AP 上的点M ，满足AM AP AP MQ 2,0==∙. (Ⅰ)当点P 在圆上运动时，判断Q 点的轨迹是什么？并求出其方程；(Ⅱ)若斜率为k 的直线l 与圆122=+y x 相切，与(Ⅰ)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点H F ,，且5443≤∙≤OH OF （其中O 是坐标原点）求k 的取值范围.9、（遂宁市2018届高三第一次诊断）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，左焦点为F ，右顶点为A ，过点F 的直线交椭圆于H E ,两点，若直线EH 垂直于x 轴时，有23=EH（1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：1x =-上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.10、（遂宁市2018届高三三诊考试）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，其右顶点A 在圆2212x y +=上.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:3(0)l x my m =+≠交椭圆C 于M ，N 两点. （i ）若以弦MN 为直径的圆过坐标原点O ，求实数m 的值；（ii ）设点N 关于x 轴的对称点为1N （点1N 与点M 不重合)，且直线1N M 与x 轴交于点P ，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.11、（雅安市2018届高三下学期三诊）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,2)，且离心率为22.（1）求椭圆E 的方程；（2）过(1,0)-的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，判断点9(,0)4G -与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.12、（宜宾市2018届高三第一次诊断）已知A 为椭圆22:143x y E +=)0,0(>>b a 的左顶点，过A 作斜率为k 的直线交椭圆于另一点,M 点N 在E 上，.AM AN ⊥ （1）当1k =时，求AMN ∆的面积；（2）求证：直线MN 恒过定点.13、（资阳市2018届高三4月模拟考试（三诊））已知12A A ，为椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，12||22A A =，E 的两个焦点与E 的短轴两个端点所构成的四边形是正方形． （1）求椭圆E 的方程；（2）设动点(22)P t ，（0t ≠），记直线12PA PA ，与E 的交点（不同于12A A ，）到x 轴的距离分别为12d d ，，求12d d 的最大值．参考答案：一、选择、填空题 1、答案：C解答：∵2||PF b =，2||OF c =，∴ ||PO a =；又因为1||6||PF OP =，所以1||6PF a =；在2Rt POF ∆中，22||cos ||PF bOF cθ==； ∵在12Rt PF F ∆中，2222121212||||||cos 2||||PF F F PF bPF F F cθ+-==⋅⋅，∴222222222224(6)464463322b c a bb c a b c a c a b c c+-=⇒+-=⇒-=-⋅223c a ⇒=3e ⇒=.2、【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =，则52b a =①又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B. 3、4、A5、【答案】C【解析】方法一：特殊值法，取,A B 为短轴的端点，即()0,3A ,()0,3B -，点P 为左顶点()5,0P -，则直线OM ，ON 的方程分别为35y x =，35y x =-，所以53,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，53,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以152MON S =△.故选C 6、C 7、D 8、C 9、C 10、B11、C 12、D 13、A 14、A 15、D 16、C 17、2 二、解答题1、解答：（1）设直线l 方程为y kx t =+，设11(,)A x y ,22(,)B x y ,22143y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立消y 得222(43)84120k x ktx t +++-=， 则2222644(412)(34)0k t t k ∆=--+>， 得2243k t +>…①，且1228234kt x x k -+==+，121226()2234ty y k x x t m k +=++==+， ∵0m >，∴ 0t >且0k <.且2344k t k+=-…②.由①②得2222(34)4316k k k++>， ∴12k >或12k <-. ∵0k <，∴ 12k <-.（2）0FP FA FB ++=u u r u u r u u r r ，20FP FM +=uu r uuu r r ,∵(1,)M m ，(1,0)F ，∴P 的坐标为(1,2)m -.由于P 在椭圆上，∴ 214143m +=，∴34m =，3(1,)2M -， 又2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减可得1212121234y y x xx x y y -+=-⋅-+，又122x x +=，1232y y +=，∴1k =-， 直线l 方程为3(1)4y x -=--， 即74y x =-+， ∴2274143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 消去y 得2285610x x -+=，1,21432114x ±=，22221122||||(1)(1)3FA FB x y x y +=-++-+=uu r uu r，2233||(11)(0)22FP =-+--=uu r ,∴||||2||FA FB FP +=. ∴FA ，FP ，FB 成等差数列，12122||||||||||c c cd FA FB a x a x x x a a a=-=--+=±- 21212111321()4422714x x x x =±+-=±-=±.∴32128d =±.2、【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+u u r u u u r12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥uu r uu u r，即O 在圆M 上．⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径2291||42r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径22||31r OQ ==+ 则圆22:(3)(1)10M x y -+-=3、。