(参考资料)筷子的受力分析

pl
上作用着大小为
的弯矩，以及大小为 F 的挤压力。因此确定危险点为距 z 轴
2
( 3 1)d
的圆截面上顶点。
2
yc
2、中性轴的确定
因为截面中性轴过截面形心，所以
首先确定截面形心。由图六显然有 zc 0 ，
在 yc z 坐标系内有 yc
Ay

A
i
ci
i
做 zc 轴距 z 轴
3 3d

。
, y max , I z
2
2
64
4
3、一点应力状态分析
对危险点有：
当筷子恰好发生强度失效时，有 F [] ，即有：
max
代入值可得： max
M max
F
ymax
IZ
S
16 pl
4F

。恰好发生强度失效时： max s
3
7 d
7 d 2
, I ZO1
d 2
2

d
64
2
d4
17
d4
64
O3
O7
zc
O4
O5
O6
图四
同理有：
I ZO2 I ZO3 I ZO4 I ZO5
故： I Z I ZO1 I ZO2 ... I ZO7
5
17 4
d4
4
d , I ZO6 d , I ZO7
2
z
13 4
d
64
同理有：
6
13 4
1
d , I ZO3 I ZO6 d 4
64
64
d4
故： I Z I ZO1 I ZO2 ... I ZO6
64
3
在 y z 坐标系内，根据公式 M
3
O
5
I ZO1
I ZO2 I ZO4 I ZO5
max M F
代入值可得： max
M max ymax F

IZ
S
48 pl
4F

3
55 d
7 d 2
4F

则发生强度失效时，有： max s 。则： p2* s
7 d 2

55 d

48l
3
（三）对组合三的内力分析
1、弯矩图
合平行移轴公式，以及 I zc I zci ，
zc
可得 I zc
119 d
。
64
4
在 zc y 坐标系内，根据公式
M
My
计算该界面上所受的正应力，
Iz
其中 M
pl
119 d 4
7 d 2
, y 2d , I z
。此外 F F / S , S
。
2
64
轴的位置如图四所示。参考图三，计算惯性矩 I Z 。对于单个圆来说，中性轴为过
直径的直线。故有：
I Z 'O I Z 'O ... I Z 'O
1
6
d4
y
64
1
由平行移轴公式有：
I ZO
d4
64
, I ZO1
d4
64
d sin 60

2
d 2

绑在一起，就很难轻易将它们折断，体现了团结的力量。本文将从材料力学角度分析，折
断7根筷子所用的力量是折断1根筷子的多少倍。
关键词：外力分析
内力分析
强度失效
Abstract：The ancient fable named seven chopsticks exudes that each of them
表一：
表一
7 根筷子组合排列
类型
单根筷子
排列一
排列二
排列三
排列四
排列五
p*
p1*
p2*
p3*
p4*
p5*
s d
16l
相应倍数
pi*
p*
3
55 s d 3
16( 3 1)l
55 s d
48l
55
3 1
55
3
3
7 s d
16l
7
3
193s d 3
16(4 3 7)l
119s d 3
（五）对于排列五的内力分析
1、弯矩图
结合截面法，进行内力分析，得弯矩图、内力图如下所示：
N
M
0
x
x
0
根据弯矩图确定危险面根据弯矩图可知危险面为 x l 处的截面，在该截面
pl
上作用着大小为
的弯矩，以及大小为 F 的挤压力。因此确定危险点为 (0, 2d )
2
y
2、中性轴的确定
中性轴即排列四所示 zc 横轴，参考图六。根据结
根 据 公 式 M
M
My
计 算 该 界 面 上 所 受 的 正 应 力 ， 其 中
Iz
pl
d
d4
d2
。此外， F F / S , S
。
, y , Iz
2
2
64
4
当 筷 子 恰 好 发 生 强 度 失 效 时 ， 有 F s ， 从 而 解 得
4
图六
3、一点应力状态分析
对危险点有：
当 筷 子 恰 好 发 生 强 度 失 效 时 ， 有 F [] ， 从 而 解 得
4 F 1 19d 3
。
p ( [ ]
)
7 d 2
6 l4
*
5
五、结果分析
根据上述分析，并认为在实际情况下筷子所受压力较小，即 F 0 ，所以有
64l
193
(4 3 7)
119
4
六、模型扩展
考虑到每根筷子之间存在摩擦力的作用，会在筷子变弯的过程中产生附加弯矩，并对筷
子的形变产生影响，改变筷子的着力支点。可以针对这一方面结合杠杆力学知识对模型进行
进一步的优化改进。
quantitative analysis of the breaking stress of the seven chopsticks as a whole as well
as that of just one of them has been made in this article, which, in all likelihood, gives
a remarkably convincing result.
Key words: analysis of external force; analysis of internal force; strength failure
组员：王红丽、董小钰、徐扬、王倩文、曲建楠、张冶、孙江、刘文远、苏健鹏、肖
故中性轴如图五所
示。
由图五显然有：
y
z
1
2
3
5
1
d4
6
64
利用平行移轴公式，以及 I zc I zci ，可得 I z
在 y z 坐标系内，根据公式 M
d4
64
7
7 d 4
。
64
My
计算该界面上所受的正应力，其中
Iz
pl
d
7 d 4
, S
max M F
代入值可得： max
16


3 1
55
则发生强度失效时，有： max
M max ymax F

IZ
S
pl
4F

3
d 7 d 2
4 F 55 d 3

s 。则： p

7 d 2 16( 3 1)l

由排列二，显然可得截面形心为中间圆圆心，截面是中心对称图形，故中性
轴的位置如图四所示。参考图四，计算惯性矩 I Z 。
对于单个圆来说，中性轴为过直径的直线。故有：
I Z 'O I Z 'O ... I Z 'O
1
6
d4
64
yc
由平行移轴公式有：
o1
O2
I ZO
d4
64
I ZO1
由截面法，进行内力分析，得内力图如下图所示：
N
M
0
x
x
0
根据弯矩图确定危险面根据弯矩图可知危险面为 x l 处的截面，在该截面
上作用着大小为
pl
的弯矩，以及大小为 F 的挤压力。因此确定危险点为距中性
2
轴（ z 轴）最远的圆截面上的顶点。
2、截面对中性轴的惯性矩
由排列一，显然可得截面形心为中间圆圆心，截面是中心对称图形，故中性
64
64
64
55 4
d
64
在 y z 坐标系内，根据公式 M
M
My
计算该界面上所受的正应力，其中
Iz
pl
3d
55 d 4
7 d 2
。此外 F F / S , S
。
, ymax
, Iz
2
2
64
4
3、一点应力状态分析
对危险点有：
当筷子恰好发生强度失效时，有 F [] ，即：
p * ( s
4F d 3
。
)
d 2 16l
五、组合筷子的内力分析
根据分析，我们给出了四种不同的组合方式，各组合方式横截面示意图如下：
yc
yc
zc
zc
排列二
排列一
y
z
1
2
3
O
排列三
4
5
6
y
yc
zc
4 3
d
14
z
3 3
d
14
zc
排列四
排列五
（一）对于排列一的分析
1、弯矩图
五结果分析根据上述分析并认为在实际情况下筷子所受压力较小即类型单根筷子根筷子组合排列排列一5516554819316411964六模型扩展考虑到每根筷子之间存在摩擦力的作用会在筷子变弯的过程中产生附加弯矩并对筷子的形变产生影响改变筷子的着力支点
筷子的受力分析
摘要：古代寓言“七根筷子”说的是，7根筷子分开来时每一根很容易被折断，可一旦
由截面法，进行内力分析，得弯矩图、内力图如下图所示：
N
M
0
x
x
0
根据弯矩图确定危险面根据弯矩图可知危险面为 x l 处的截面，在该截面
上作用着大小为
轴（ z 轴）
pl
的弯矩，以及大小为 F 的挤压力。因此确定危险点为距中性
2
d
的圆截面上顶点。
2
2、中性轴的确定
截面中性轴过
截面形心，截面形
心为中间圆圆心，
。
14
4 3
d
14
z
3 3
d
14
3 3d
。结合平行移轴公式
14
193 d 4
，以及 I zc I zci ，可得 I zc
。
448
在 yc zc 坐标系内，根据公式 M
M
zc
图六
My
计算该界面上所受的正应力，其中
Iz
7 d 2
pl
(4 3 7)d
193 d 4
,y
*
1
（二）对于排列二的内力分析
1、弯矩图
由截面法，进行内力分析，得内力图如下图所示：
N
M
0
x
x
0
根据弯矩图确定危险面根据弯矩图可知危险面为 x l 处的截面，在该截面
pl
的弯矩，以及大小为 F 的挤压力。因此确定危险点为距中性
2
上作用着大小为
轴（ z 轴）最远的圆截面上的顶点。
2、截面对中性轴的惯性矩
can be easily snapped, while it is almost impossible to do so while they are tied together,
which definitely shows the power of solidarity. By material mechanical method, a
, Iz
。此外 F F / S , S
。
4
2
14
448
3、一点应力状态分析
对危险点有：
当 筷 子 恰 好 发 生 强 度 失 效 时 ， 有 F [] ， 从 而 解 得
p4* ( [ ]
4F
1 93d 3
。
)
7 d 2 1 6 ( 4 3 l 7 )
4 F 7 d 3

则： p s

7 d 2 16l

*
3
6
图五
I Z 'O I Z 'O ... I Z 'O
M max
4
O
（四）对于排列四的内力分析
1、弯矩图
结合截面法，进行内力分析，得弯矩图、内力图如下所示：
N
M
0
x
x
0
根据弯矩图确定危险面根据弯矩图可知危险面为 x l 处的截面，在该截面
3、 忽略筷子间的摩擦力。
4、 认为单根筷子、筷子的组合体均为细长杆，即在横截面上不存在切应
力 。
5、
筷子发生强度断裂的极限应力为 s 。
三、受力图
将筷子的受力进行简化，可以视为在筷子两端存在铰链约束，且受挤压力 F ，
并在筷子的中间作用集中力 P ，则外力分析图如图一所示：
图一
外力分析图
四、单根筷子的内力分析
晗、董林
班级：理科实验三班
一、问题分析
分析 7 根筷子的不同的稳定排列组合方式，建立简化后的受力模型，并进行
受力分析，确定危险面以及危险点。结合一点应力分析，并进行强度校核，求得
筷子断裂时的最小力。
二、模型假设
1、 每根筷子横截面相同，都是直径为 d 的圆形截面，且筷子的长度为 2l 。
2、 筷子与周围筷子排列紧密，且整体稳定，即筷子与筷子成相切状态。
2
4
图三
13 d 4
55
4 d4
64
64
My
计算该界面上所受的正应力，其中
Iz
pl
d
55 d 4
7 d 2
。此外 F F / S , S
。
M , ymax d sin 60 , I z
2
2
64
4
3、一点应力状态分析
对危险点有：
当筷子恰好发生强度失效时，有 F [] ，即：
1、在 1-1 处取横截面，形状如图二所示：
y
d
z
oo
图二
2、内力分析——弯矩图
结合截面法，进行内力分析，得弯矩图如图三所示，内力图如图四所示：
N
M
0
x
0
x
根据弯矩图可知危险面为 x l 处的截面，在该截面上作用着大小为