83 两个正态总体的假设检验

2 1


2 2
。
信息系 刘康泽
（2）均值检验
假设 H0 ： 1 2 , H1 ： 1 2
检验统计量：T X Y
Sw
11 n1 n2
~ t(n1 n2 2) ，
检验值：由于 sw2

(n1 1)s12 (n2 1)s22 n1 n2 2
5.40 ，
1
1 1 0.10 。
f / 2 (n2 1, n1 1) f0.025 (3, 4) 9.98
拒绝域 B (0, 0.10] [15.10, ) ，
由于 0.10 F0 2.894 15.10 故接受 H0 ，即可以认为甲、乙两矿煤的含灰率的方差
无显著差异，也即可以认为
信息系 刘康泽
构造小概率事件，对于①：
PF

剠 f1 n1 2
1, n2

或
F

f (n1 1,n2 ) ；
2

对于②： P F „ f1 n1 1,n2 ；
对于③： P F 協f n1 1,n2 。
其中
F
…
f
/2
(n1
1, n2
)
；
对于②： F „
1
；
f (n2 1, n1 1)
对于③： F … f n1 1, n2 .
(5)检验判断：检查是否有 F0 B ，确定是否拒绝 H0 或接受 H0 ，进而下统计结论。
信息系 刘康泽
例 2 从两煤矿各抽样数次，分析其含灰率(％)如下， 甲矿 24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 乙矿 18.2 16.9 20.2 16.7
二、方差齐性检验（对
2 1


2 2
的检验）
检验步骤如下：
(1)假设
①
H
0
：

2 1


2 2
,
H1
：

2 1


2 2
.
或
②
H
0
：

2 1


2 2
,
H1
：

2 1


2 2
.
或
③
H
0
：

2 1


2 2
,
H1
：

2 1


2 2
.
(2)检验统计量： F

S12 S22
~
F (n1
1, n2
1)
假定各煤矿含灰率都服从正态分布，问甲、乙两矿煤的含
灰率有无显著差异？ ( 0.05)
解 两矿煤的含灰率有无显著差异相当于检验两总体的 均值是否相等，由于两总体的方差未知，因此必须先检验两 总体的方差是否相等。
已知 n1 5 , n2 4 , s12 7.505 ， s22 2.593 ,
故 T0 sw
xy 11 n1 n2

21.5 18 2.245 。 5.4 1 1
54
信息系 刘康泽
查表得临界值： t (n1 n2 2) t0.05 (7) 2.365 拒绝域 B (, 2.365] [2.365, ) ， 由于| T0 | 2.245 2.365 。 故接受 H0 ，认为两矿煤的含灰率无显著差异。
随机地抽取 6 名及 10 名，测得体重如下(单位，克)， 12 月（6 名） 3520 2960 2560 2960 3260 3190；
6 月(10 名) 3220 3220 3760 3000 2920
3740 3060 3080 2940 3060.
信息系 刘康泽
假定新生儿体重服从正态分布，且 12 月与 6 月标准
由于 U0 0.4524 1.64 故接受 H0 ，即不能认为新生儿的体重冬季比夏季轻。
信息系 刘康泽
（
二
）方差

2 1
,

2 2
未知，但相
等
(
2 1


2 2
)
，对均
值
1 2 的检验
检验步骤如下：
(1)假设 ① H0 ： 1 2 , H1 ： 1 2 .
或 ② H0 ： 1 2 , H1 ： 1 2 .
或 ③ H0 ： 1 2 , H1 ： 1 2 .
(2)检验统计量：T X Y
Sw
1 1 n1 n2
~ t(n1 n2 2)
构造小概率事件：
信息系 刘康泽
对于① P T …t (n1 n2 2) ；
对于② 对于③
PT? t2 (n1 n2 2) ； PT? t2 (n1 n2 2) 。
差分别是 700 克与 300 克，问新生儿体重是否冬季的比夏
季的轻？ ( 0.05)
解 已知 n1 5 , n2 10 ,1 700 , 2 300 ,
x 3052 , y 3200 , 0.05.
假设 H0 ： 1 2 , H1 ： 1 2
对于①：拒绝域为 B (, u1 ]
[u
1

,
)
；
2
2
对于②：拒绝域为 B (, u1 ] ；
对于③：拒绝域为 B [u1 , ) 。
(5)检验判断：检查是否 U0 B ,从而确定是否拒绝 H0 或者接受 H0 ,进而下统计结论。
例 1 为比较不同季节出生的新生儿体重的差异，分别
X Y
~ N (0,1)

2 1


2 2
n1 n2


构造小概率事件：对于①
P
U
…u1 2



；
对于② PU? u1 ；对于③ PU? u1 .
(3)计算检验值：U0
xy
12


2 2
n1 n2
信息系 刘康泽
(4)查标准正态分布表得临界值，确定拒绝域 B ；
检验统计量为：U
X Y ~ N (0,1) .

2 1


2 2
n1 n2
检验值： U0
x y 3052 3200 0.4524
12


2 2
7002 3002
n1 n2
5 10
信息系 刘康泽
查表得临界值： u1 u0.95 1.64 ，
拒绝域为 B ： B (, 1.64]，
（一）方差

2 1
,

2 2
已知，对均值
1

2
的检验
检验步骤如下：
(1)假设 ① H0 ： 1 2 , H1 ： 1 2 . 或 ② H0 ： 1 2 , H1 ： 1 2 . 或 ③ H0 ： 1 2 , H1 ： 1 2 .
信息系 刘康泽
(2)检验统计量：U
f1 n1 1, n2 2
1
，
f /2 (n2 1, n1 1)
1 f1 n1 1, n2 f (n2 1, n1 1)
信息系 刘康泽
(3)计算检验值： F0

s12 s22
(4)确定拒绝域 B ：对于①：
F„
f
/2
(n2
1 1,
n1
1)
或
(3)计算检验值：T0
sw
x y 1 1 n1 n2
(4)查T 分布表得临界值，确定拒绝域 B ；
对于①：拒绝域为 B (, t ] [t , ) ；
对于②：拒绝域为 B (, t2 ] ；
对于③：拒绝域为 B [t2 , ) 。
信息系 刘康泽
(5)检验判断：检查是否 T0 B ,从而确定是否拒绝 H0 或者接受 H0 ，进而下统计结论。
x 21.5， y 18 ， 0.05.
（1）方差齐性检验
假设
H0
：

2 1


2 2
,
H
1
：

2 1


2 2
.
信息系 刘康泽
检验统计量： F

S12 S22
~
F (n1 1, n2
1)
检验值： F0

s12 s22

7.505 2.593
2.894
临界值： f / 2 (n1 1, n2 1) f0.025 (4, 3) 15.10 ；
信息系 刘康泽
第 8-3 节 两个正态总体的假设检验
信息系 刘康泽
第 8-3 节 两个正态总体的假设检验
设总体
X
~
N
(
1
,

2 1
)
，Y
~
N
(
2
,

2 2
)
,
X
与Y
相
互独立， ( X1, X 2 , , X n1 ) 为 X 的样本, (Y1,Y2 , ,Yn2 ) 为 Y 的样本。
一、均值的检验