【创新设计】2014届高考数学 3-2-2~3直线的两点式方程直线的一般式方程配套训练 新人教A版必修2
3.2.2直线的两点式方程 3.2.3直线的一般式方程 教案(人教A版必修2)
3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．(3)明确直线方程一般式的形式特点，会把直线方程的一般式同直线方程的其他形式互化．2．过程与方法(1) 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．(2)通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察、分析、归纳，进而得出直线的一般式方程，培养学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式、一般式．难点：两点式的适用条件及直线方程一般式的形式特征．重难点突破：以具体案例“求过两点的直线方程”为切入点，通过学生解答，发现知识之间的联系，然后通过观察、思考和互相交流，归纳出直线方程的两点式的形式．针对其适用条件，教学时可引导学生从两点式的形式给予突破；从直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式出发，采用由特殊到一般的方式，通过学生观察、师生交流，寻其共性，得出直线方程一般式的形式特征，最后通过典例训练，熟练掌握直线方程的各种形式，突出重点的同时化解难点．●教学建议本节知识是上一节知识的拓展和补充，旨在培养学生多角度探求直线方程的求法．鉴于本节知识的特点，对于直线方程的两点式的教学，可引导学生由“点斜式方程”出发，探究“过两点的直线方程”求法，整个过程遵循由浅及深、由特殊到一般的认知规律，使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的．对于直线方程的截距式，教学时只需明确以下两点：(1)它是两点式的特殊情形；(2)讲清截距的几何含义和截距式方程的特征及适用条件．对于直线方程的一般式，教学时，可采取“分析法”“讨论法”“归纳法”与多媒体相结合进行教学，增强动感和直观性．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“一般式的形式特征与直线点斜式方程的互化”层层展开，体现知识的相互交融性，同时为下一节研究直线的交点坐标及距离公式做好铺垫．●教学流程创设问题情境，引出问题：过两定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的点斜式方程，探究得出直线的两点式方程，明确其适用条件.⇒通过引导学生回答所提问题理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握直线的两点式方程的求法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的截距式方程的求法.⇒1．利用点斜式解答如下问题：(1)已知直线l 经过两点P 1(1,2)，P 2(3,5)，求直线l 的方程；(2)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 【提示】 (1)y －2＝32(x －1)．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用x 3＋y6＝1表示吗？【提示】 能．直线方程的两点式和截距式若点12112212的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.我们已经学习了直线的点斜式y －y 0＝k (x－x 0)，直线的斜截式y ＝kx ＋b ，直线的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，直线的截距式x a ＋y b ＝1，并且掌握了它们的适用条件．1．上述方程的四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)来表示吗？ 【提示】 能．2．关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 【提示】 一定． 直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB.当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率.三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【思路探究】 由两点式直接求出三角形三边所在的直线的方程． 【自主解答】 由两点式，直线AB 所在直线方程为： y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.1．已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．2．利用两点式求直线方程的前提是x 1≠x 2，y 1≠y 2，切忌不注意坐标间的关系盲目套用公式．在题设条件不变的情况下，求AB 中点与点C 连线的方程． 【解】 设AB 边中点为D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－1＋32＝1，y ＝0＋(－1)2＝－12，C ，D 两点横坐标相同，所以直线CD 的方程为x ＝1.l 的方程． 【思路探究】 思路一：利用直线的截距式方程求解，需分截距“为零”和“不为零”两类分别求解；思路二：利用直线方程的点斜式求解．【自主解答】 法一 设直线l 在两坐标轴上的截距均为a . ①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋ya ＝1，因为直线l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a ＝1，即a ＝1， 所以直线l 的方程为x ＋y ＝1， 即x ＋y －1＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.法二 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k . 令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意－2－3k ＝2k ＋3，解得k ＝－1或k ＝－23.所以直线l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)，即x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.1．如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．2．应用截距式方程处理截距相等问题的一般思路：已知直线l 过点(1,1)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程． 【解】 由条件知直线l 的斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则由条件知1－k ＝2(1－1k)，解得k ＝1或k ＝－2.故l 的方程为y ＝x 或y ＝－2x ＋3.(1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(6)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【思路探究】 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． 【自主解答】 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 整理得3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1， 整理得x ＋3y ＋3＝0.直线方程的五种形式的比较：若直线Ax ＋By ＋C ＝0(不经过原点)不经过第三象限，则AB ________0，BC ________0. 【解析】 如图所示，若直线l 不经过第三象限，则斜率k <0且在y 轴上的截距大于零，∴B ≠0.由Ax ＋By ＋C ＝0， 得y ＝－A B x －CB .∴k ＝－A B <0，b ＝－CB >0.故AB >0且BC <0. 【答案】><利用坐标法解决实际问题(12分)如图3－2－1所示，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一图3－2－1幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(精确到1 m 2) 【思路点拨】 本题考查坐标法的应用和二次函数的最值，关键是确定长方形中在AB 上的顶点的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解．【规范解答】 建立如图所示的坐标系，则B (30,0)，A (0,20)，∴由直线的截距式方程得到线段AB 的方程为： x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).3分 设长方形中在AB 上的顶点为P ，点P 的坐标为(x ，y )， 则有y ＝20－23x (0≤x ≤30).4分∴公寓的占地面积为： S ＝(100－x )·(80－y ) ＝(100－x )·(80－20＋23x )＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30).8分∴当x ＝5，y ＝503时，S 取最大值，最大值为S ＝－23×52＋203×5＋6 000≈6 017(m 2).10分即当点P 的坐标为(5，503)时，公寓占地面积最大，最大面积约为6 017 m 2.12分本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A ，P ，B 三点共线，二是矩形的面积最大．借助三点共线寻求x 与y 的关系，然后利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．3．直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以应用方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 2＋y3＝0C.x 2＋y 3＝1D.x 2－y 3＝1 【解析】 由截距式，得所求直线的方程为x 2＋y3＝1.【答案】 C2．下列语句中正确的是( )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示D ．经过定点的直线都可以用y ＝kx ＋b 表示【解析】 A 不正确，该方程无法表示x ＝x 0这条直线；C 不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D 不正确，该方程无法表示与x 轴垂直的直线，B 正确．【答案】 B3．直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为________；化为截距式为________． 【解析】 直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为y ＝－23x －13.化为截距式为x －12＋y－13＝1.【答案】 y ＝－23x －13x－12＋y－13＝1 4．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．【解】 (1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎨⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3，∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M (0，－12)、N (52，0)，由直线方程的截距式得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即2x －10y －5＝0.一、选择题1．直线3x ＋y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( ) A ．k ＝3，b ＝6 B ．k ＝－3，b ＝－6 C ．k ＝－3，b ＝6 D ．k ＝3，b ＝－6 【解析】 化为斜截式，得y ＝－3x －6， ∴k ＝－3，b ＝－6，故选B. 【答案】 B2．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12【解析】 直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.【答案】 C3．(2013·周口高一检测)已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5【解析】 ∵A (1,2)，B (3,1)，∴线段AB 的中点坐标为(2，32)．又k AB ＝1－23－1＝－12，故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y ＝5.【答案】 B4．(2013·威海高一检测)若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0【解析】 把直线ax ＋by ＋c ＝0化成斜截式得 y ＝－a b x －c b ，由题意可知⎩⎨⎧－ab >0，－cb >0，即ab <0且bc <0.【答案】 D5．(2013·德化高一检测)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0【解析】 当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0，当直线不过点(0,0)时，可设为x a ＋ya ＝1，把(4,1)代入，可解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知直线方程为x＋y ＝5或x －4y ＝0.【答案】 C 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 【解析】 由点斜式得，所求直线方程为y －3＝2(x －1)， 整理得2x －y ＋1＝0. 【答案】 2x －y ＋1＝07．(2012·绵阳高一检测)直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．【解析】 令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝3.故直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是12×3×2＝3.【答案】 38．在下列各种情况下，直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的系数A ，B ，C 之间各有什么关系：(1)直线与x 轴平行时：________； (2)直线与y 轴平行时：________； (3)直线过原点时：________； (4)直线过点(1，－1)时：________.【解析】 ∵A ，B 不同时为零，故当A ＝0且B ≠0时(1)成立；当B ＝0且A ≠0时(2)成立；当C ＝0时(3)成立；当A －B ＋C ＝0时(4)成立．【答案】 (1)A ＝0且B ≠0 (2)B ＝0且A ≠0 (3)C ＝0且A ，B 不同时为0 (4)A －B ＋C ＝0三、解答题9．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．【解】 由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＋02＝4，0＋y2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)，由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解】 (1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，则当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意．当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，则当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，当a ＝2或a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，此时方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.解得a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1].求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程．【思路探究】 要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程．【自主解答】 法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝|4k ＋3k |，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.1．由于直线的截距式方程不能表示过原点的直线，因此法一首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视．2．求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x ＝0，所得y 值是在y 轴上的截距，令y ＝0，所得x 值是在x 轴上的截距．求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．【解】 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b ＝1，过点A ，∴4a ＋2b ＝1.①∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以 |a |＝|b |.②由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简即得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2.综上，直线方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.。
3.2.2-3.2.3 直线的两点式方程、直线的一般式方程 课件(人教A版必修2)
1．要注意方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)(x2－x1)＝ (x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形 式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后 者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．
2．直线方程的截距式为xa＋by＝1，x 项对应的分母是直 线在 x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在 y 轴上的截距， 中间以“＋”相连，等式的另一端是 1，由方程可以直接读 出直线在两轴上的截距，如：x3－4y＝1，x3＋4y＝－1 就不是 直线的截距式方程．
1．经过(5，－3)，(－7，－3)两点的直线的方程 是________________． 答案：y＝－3
3．已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点且线段 AB的中点为P(4,1)，求直线l的方程．
解：设 A 点(x,0)，B 点(0，y)，由 AB 的中点 P(4,1)，可 得 A 点(8,0)，B 点(0,2)，由直线方程的两点式可得2y－ －00＝ x0－ －88，整理可得 x＋4y－8＝0.也可利用截距式x8＋2y＝1， ∴x＋4y－8＝0.
2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋ B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或 A1C2－A2C1≠0)．
(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
3．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线 方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
4．过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反 数的直线l的方程为______________________．
解析：(1)当直线 l 在两坐标轴上的截距互为相反数且 不为 0 时，可设直线 l 的方程为xa＋－ya＝1，又直线 l 过点 A(5,2)，所以5a＋－2a＝1，解得 a＝3，所以直线 l 的方程为x3－3y＝1，即 x－y－3＝0；
学案4：3.2.2 直线的两点式方程~3.2.3 直线的一般式方程
3.2.2 直线的两点式方程~3.2.3 直线的一般式方程1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程．(重点)2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点) 3．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．(难点、易混点) 基础·初探教材整理1 直线方程的两点式和截距式，1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 教材整理2 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.预习自测2.已知A (1,2)及AB 的中点(2,3)，则B 点的坐标是________． 教材整理3 直线的一般式方程1．定义：关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB .当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率．预习自测3.直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 合作学习类型1 直线的两点式方程例1 在△ABC 中，A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)， (1)求BC 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 名师指导求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 跟踪训练1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________； (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 类型2 直线的截距式方程例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程. 名师指导用截距式方程解决问题的优点及注意事项1．由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．2．在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．3．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．跟踪训练2．求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．探究共研型探究点直线一般式方程的应用探究1已知直线l过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线l的方程的五种形式？探究2直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？探究3当A＝0，或B＝0，或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？例3(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？名师指导1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，①若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).②若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2.与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C).②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.)跟踪训练3．已知两直线方程l1：mx＋2y＋8＝0和l2：x＋my＋3＝0，当m为何值时：(1)两直线互相平行？(2)两直线互相垂直？课堂检测1．过点A(3,0)和B(2,1)的直线方程为()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝02．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A．x4＋y3＝1 B．x3＋y4＝1C．x4－y3＝1 D．x3－y4＝13．过点A(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________.4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为__________．5．求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．参考答案预习自测1.【答案】B【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B. 预习自测2. 【答案】 (3,4)【解析】 设B (x ，y )，则⎩⎨⎧1＋x2＝2，2＋y2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即B (3,4)． 教材整理3 直线的一般式方程 1． Ax ＋By ＋C ＝0 预习自测 3. 【答案】 D【解析】 将3x －2y ＝4化为x 43＋y－2＝1即得．合作学习类型1 直线的两点式方程例1 【解析】 (1)由两点式直接求BC 所在直线的方程； (2)先求出BC 的中点，再由两点式求直线方程．解：(1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝5＋02＝52，y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 跟踪训练1．【答案】 (1)x ＝2 (2)－2【解析】 (1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2. 类型2 直线的截距式方程例2 【解析】 解此题可以利用两种方法，法一：利用截距式，分三种情况，截距相等不为零，截距互为相反数不为零，截距均为零，法二：利用点斜式，然后利用截距的绝对值相等求斜率．解：法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. 跟踪训练2．解：设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴l ：3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5，∴l ：x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.探究共研型探究点 直线一般式方程的应用探究1 【答案】 能．直线l 的斜率k ＝3－00－2＝－32，点斜式方程y －0＝－32(x －2)；斜截式方程y ＝－32x ＋3；两点式方程y －03－0＝x －20－2；截距式方程x 2＋y3＝1，一般式方程3x ＋2y －6＝0.探究2 【答案】 坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性．探究3 【答案】 (1)若A ＝0，则y ＝－CB ，表示与y 轴垂直的一条直线．(2)若B ＝0，则x ＝－CA ，表示与x 轴垂直的一条直线．(3)若C ＝0，则Ax ＋By ＝0，表示过原点的一条直线．例3 【解析】 解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手，也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证． 解：(1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5y －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由题意知直线l 1⊥l 2. ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 跟踪训练3． 解：(1)当m ＝0时，l 1与l 2显然不平行． 当m ≠0时，l 1的斜率k 1＝－m2，在y 轴上的截距b 1＝－4，l 2的斜率k 2＝－1m ，在y 轴上的截距b 2＝－3m .∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，且b 1≠b 2. 课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由两点式方程得y －01－0＝x －32－3，整理得x ＋y －3＝0. 2．【答案】 C【解析】 因为由点坐标知直线在x 轴，y 轴上截距分别为4，－3， 所以直线方程为x 4＋y－3＝1.3．【答案】 x －2y ＋7＝0【解析】 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0， 将点A (－1,3)代入，可得m ＝7， 所以所求直线的方程为x －2y ＋7＝0. 4．【答案】 4【解析】 由于l 1∥l 2，所以1×(－a )－(－2)×2＝0且－2×(－a )－(－a )×(－1)≠0，得a ＝4. 5．解：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )， ∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.。
【创新设计】2014届高考数学 3-2-2~3直线的两点式方程直线的一般式方程配套课件 新人教A版必修2
(2)法一
设直线 l 的斜率为 k.(3 分)
∵直线 l 与直线 2x＋y－10＝0 垂直， 1 ∴k· (－2)＝－1，∴k＝ . 2 又∵l 经过点 A(2,1)，(8 分) 1 ∴所求直线 l 的方程为 y－1＝2(x－2)，即 x－2y＝0.(12 分) 法二 设与直线 2x＋y－10＝0 垂直的直线方程为 x－2y＋m＝
直线的平行与垂直问题
【例 4】 (1)求与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程； (2)求经过点 A(2,1)，且与直线 2x＋y－10＝0 垂直的直线 l 的方 程． 审题指导
[规范解答] 法一 设直线 l 的斜率为 k，(3 分) ∵l 与直线 3x＋4y＋1＝0 平行， 3 ∴k＝－4.(8 分) 又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为 3 y－2＝－4(x－1)，即 3x＋4y－11＝0.(12 分) 法二 设与直线 3x＋4y＋1＝0 平行的直线 l 的方程为 3x＋4y ＋m＝0.(3 分) ∵l 经过点(1,2) ∴3×1＋4×2＋m＝0，解得 m＝－11.(8 分) ∴所求直线方程为 3x＋4y－11＝0.(12 分)
ab≠0
x y x y 想一想： 方程 － ＝1 和 ＋ ＝－1 都是直线的截距式方程吗？ 2 3 2 3 提示 都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个：一是中
间必须用“＋”号连接；二是等号右边为 1.
2．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 x＝ P1P2 的中点，则 y＝ x1＋x2 ， 2 y1＋y2 2 .
法二
由题意可知直线 l 的斜率存在．
设过点 A(2,1)的直线方程为 y－1＝k(x－2)(k≠0)． 令 x＝0，则 y＝1－2k； 1 令 y＝0，则 x＝2－ k. 1 由已知条件，得 1－2k＝2－k， 1 解得 k＝－1 或 k＝2. ∴所求直线的方程为 x＋y－3＝0 或 x－2y＝0.
3.2.2、3直线的两点式、一般式方程
数学 必修2
第三章 直线与方程
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
2．求过点A(3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的 方程．
解析： (1)当直线 l 在坐标轴上截距互为相反数且不为 0 x y 时，可设直线 l 的方程为 ＋ ＝1.又 l 过点 A(3,4)， a －a 3 4 所以 ＋ ＝1，解得 a＝－1. a －a x y 所以直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 x－y＋1＝0. －1 1
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第三章 直线与方程
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y－0 x－2 ＝ ，即：2x＋y－4＝0， 2－0 1－2 y－0 x＋1 AD 边所在直线为： ＝ ， 2－0 1＋1 即：x－y＋1＝0.
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第三章 直线与方程
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简称：一般式．
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3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化
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第三章 直线与方程
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认识直线的一般式方程 (1)方程是关于x，y的二元一次方程； (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺 序排列；
解析： 由两点式，直线 AB 所在直线方程为： y－－1 x－3 ＝ ，即 x＋4y＋1＝0. 0－－1 －1－3 同理，直线 BC 所在直线方程为： y－3 x－1 ＝ ，即 2x＋y－5＝0.直线 AC 所在直线方程为： －1－3 3－1 y－3 x－1 ＝ ，即 3x－2y＋3＝0. 0－3 －1－1
高中数学必修二教案：3.2.2直线的两点式方程
重点目标
知识与技能
难点目标
过程与方法
导入示标
目标三导
学做思一：利用点斜式解答如下问题：
（1）已知直线 经过两点 ,求直线 的方程.
（2）已知两点 其中 ，求通过这两点的直线方程。
学做思二：若点 中有 ，或 ，此时这两点的直线方程是什么？
达标检测
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
1.已知直线 与 轴的交点为A ，与 轴的交点为B ，其中 ，求直线 的方程。
课题名称
直线的两点式方程
三维目标
1、知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
直线的两点式方程直线的一般式方程
直线的两点式方程直线的一般式方程直线是平面几何中的基本元素之一，可以用各种不同的方程表示。
其中，最常用的两种方式是直线的两点式方程和直线的一般式方程。
1.直线的两点式方程：(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁)在这个公式中，表示直线上任意一点的坐标为(x,y)。
通过运算化简，可以得到直线的两点式方程的另一种形式：(y₁-y₂)*x+(x₂-x₁)*y+(x₁*y₂-x₂*y₁)=0这就是直线的两点式方程，也叫做点斜式方程。
2.直线的一般式方程：直线的一般式方程是通过直线的斜率和截距来表示的。
斜率表示了直线在坐标平面上的倾斜程度，截距表示了直线与坐标轴的交点。
假设直线的斜率为m，截距为b。
那么直线的一般式方程可以写为：y = mx + b这就是直线的一般式方程。
直线的斜率通过两点式方程的公式可以求解：m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)而直线的截距b可以通过将已知点的坐标代入直线方程求解。
例如，已知点A(x₁,y₁)在直线上，我们可以将其代入直线方程，然后解出截距b 的值。
另外，一般式方程也可以变形为标准式方程。
标准式方程表示为Ax+By+C=0，其中A、B、C是常数。
可以通过对一般式方程进行整理和变形，将其转化为标准式方程。
总结：直线的两点式方程通过已知直线上的两个点来表示直线方程，可以求解出直线上任意一点的坐标。
直线的一般式方程通过斜率和截距来表示直线方程，可以清晰地表示直线的特征。
两种方程都可以用于求解直线与其他几何元素的交点、直线的长度等问题。
在解题过程中，根据实际情况选择使用哪种方程比较方便。
3-2-2、3直线的两点式、一般式方程课件(人教A版必修2)
[例1] 已知三角形的三个顶点分别为A(6，－7)，B(－ 2,3)，C(2,1)，求AC边上的中线所在的直线方程．
[分析] 欲求AC边上的中线所在直线的方程，因为两 点确定一条直线，AC边上的中线过顶点A和AC边的中点， 故只要求出AC边的中点A的坐标，即可代入两点式方程求 得结果．
[解析] 设AC的中点为M(x，y)，则 x＝6＋2 2＝4，y＝－72＋1＝－3，即M(4，－3)． 由于直线过B(－2,3)，M(4，－3)两点， ∴直线方程的两点式为－y－3－33＝4x－－((－－22))， 化简得x＋y－1＝0. ∴AC边上的中线所在的直线方程为x＋y－1＝0.
a－b＝1， (1)ab＝2；
或(2)ba－ b＝a－ ＝12， .
由(1)解得ab＝ ＝21， ； 或ab＝ ＝－ －12， .
方程组(2)无解．
故所求的直线方程为2x＋1y＝1，或－x1＋－y2＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求．
总结评述：要根据不同条件，选用适当的直线表示 形式来求直线方程．本题选用直线方程的截距式就是一个 好的选择．
[例2] 一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围 成的三角形的面积为1，求此直线方程．
[分析] 直线与两坐标轴围成三角形的面积与两截距 有关，故可设截距式方程求解．
[解析] 由题设可知，直线在两轴上的截距均不为 0，故可设所求直线方程为ax＋by＝1，
∵点A(－2,2)在直线上，故有 －2a＋2b＝1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a||b|＝1.② 由①，②可得
因此有mm··0(－＋3n)·＋4＋n·102＋＝102＝0 ， 解之得m＝4，n＝－3. 解法3：由直线在两轴上截距可得直线方程为－x3＋4y＝ 1，即4x－3y＋12＝0， ∵4x－3y＋12＝0与mx＋ny＋12＝0表示同一条直线， ∴m4 ＝－n3＝1122，∴m＝4，n＝－3.
直线的一般式方程教案-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版
第三章 直线方程 3.2.3 直线的一般式方程1 教学目标[1] 明确理解直线一般式方程的形式特征 [2] 理解直线方程几种形式之间的内在联系[3] 能在总体把握直线方程的基础上，掌握各种形式之间的相互转化[4] 通过直线方程一般式的学习，培养学生全面、系统、周密地分类讨论问题的能力 培养学生数学结合思想和严谨的科学态度2教学重点/难点教学重点：直线方程一般式的理解和掌握教学难点：直线方程的一般式与各种直线方程间的互化3专家建议直线方程的一般式是由前面所学习的四种直线方程的形式概括形成的，它克服以点斜式、斜截式、两点式、截距式四种方程“特殊式”的局限性，由于直线方程的一般式)(0不全为零、其中B A c By Ax =++是关于x 、 y 的二元一次方程，因此平面上的直线与二元一次方程)(0不全为零、其中B A c By Ax =++是一一对应的。
直线的各种方程各有各的特点，分别适用于不同条件下的直线，因此教学时要引导同学熟练掌握各自特性，灵活使用。
4 教学方法讲授式、启发式教学5 教学过程5.1 复习引入【师】到目前为止，我们都学习了直线方程的哪几种形式？它们各适用于具有什么条件的求直线方程问题？适用的X 围是什么？ 【板演/PPT 】引导学生回答各种直线方程点斜式：已知直线上一点P 1（x 1，y 1）的坐标，和直线的斜率k ，则直线的方程是斜截式：已知直线的斜率k ，和直线在y 轴上的截距b 则直线方程是两点式：已知直线上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）则直线的方程是：截距式：已知直线在X 轴Y 轴上的截距为a ，b ，则直线的方程是【师】他们所适用的X 围是什么？ 【生】点斜式：适用于有斜率的直线问题 斜截式：适合存在斜率且已知纵截距的直线问题 两点式：适合已知两点，且不垂直于x 轴或y 轴直线问题)(11x x k y y -=-bkx y +=121121x x x x y y y y --=--1=+by a x截距式：适合已知截距，且截距不为零的直线问题5.2 探索新知 [1] 直线的一般式方程【师】下面我们看一看屏幕上的问题： 【板书/PPT 】1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程____________ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是___________ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程_________【师】你能根据实际条件，写出直线方程吗？并思考：你所列出的直线方程能看作是二元一次方程吗？【生】讨论与计算 【板书/PPT 】(1)中方程可化为2x-y-3=0,故直线方程是二元一次方程。
数学必修Ⅱ人教新课标A版3-2-2-3直线的两点式方程课件(36张)
一般式．
2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By＝－Ax－C； ②当B≠0时，得斜截式：y＝－BAx－BC. (2)一般式化为截距式的步骤 ①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C； ②当C≠0时，方程两边同除以－C，得－AxC＋－ByC＝1； ③化为截距式：－xCA＋－yCB＝1. 由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜 式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
2．直线方程的截距式为xa＋by＝1，x 项对应的分母是直线在 x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在 y 轴上的截距，中间以“＋” 相连，等式的另一端是 1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截
距，如x3－4y＝1，x3＋4y＝－1 就不是直线的截距式方程.
直线方程的一般式 [提出问题] 观察下列直线方程： 直线l1：y－2＝3(x－1)； 直线l2：y＝3x＋2； 直线l3：3y－－22＝x4－－11； 直线l4：x4＋3y＝1. 问题1：上述直线方程的形式分别是什么？ 提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
不表示 垂直于坐标轴 的直线及原过点 的直线
[化解疑难]
1
．
要
注
意
方
程
y－y1 y2－y1
＝xx2－－xx11
和
方
程
(y
－
y1)·(x2－
x1)
＝
(x
－
x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形
式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，
适用于过任何两点的直线方程．
[类题通法] 用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐 标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、 周长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线 通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距 式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
第三章3.2-3.2.3直线的一般式方程
2．直线方程的一般式 (1)直线与二元一次方程的关系． ①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可 以用一个关于 x、y 的二元一次方程表示． ②每个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般方程的定义． 我们把关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋Bx＋C＝0(其 中 A、 B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程， 简称一般式．
归纳升华 1．利用平行与垂直的关系巧设方程． (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax ＋By＋C1＝0，再由其他条件求 C1.注意当 C＝C1 时，两 直线重合，当 C≠C1 时，两直线平行．
(2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx －Ay＋C2＝0，再由其他条件列方程求出 C2.
因为 l 经过点(1，2)， 所以 3×1＋4×2＋m＝0，解得 m＝－11. 所以所求直线方程为 3x＋4y－11＝0.
(2)法一 设直线 l 的斜率为 k. 因为直线 l 与直线 2x＋y－10＝0 垂直， 所以 k· (－2)＝－1， 1 所以 k＝ . 2 又因为 l 经过点 A(2，1)，
5．斜率为 2，且经过点 A(1，3)的直线的一般式方程 为________________． 解析：由直线点斜点式方程可得 y－3＝2(x－1)，化成一般式方程为 2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0
类型 1 利用两点式求直线方程(自主研析) [典例 1] 三角形的三个顶点是 A(－1，0)，B(3，－ 1)，C(1，3)，求三角形三边所在直线的方程．
a1＝4， a2＝2， 解得 b1＝3， b2＝6. 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
归纳升华 1．由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交 点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． 2．当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当 直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不 能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
【全优课堂】2014年秋高中数学 3.2.2-3直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
【答案】2
4．过点 A (-1,-2),B (3,5)的直线的一般式方程为________．
【答案】7x-4y-1=0
要点阐释 1．直线的两点式方程 y－y1 x－x1 (1) ＝ (x ≠x ， y ≠y )不能表示斜率不存在以及斜率 y2－y1 x2－x1 1 2 1 2 为零的直线． (2)两点式方程可以变形为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)· (y2－y1)，在 此方程中，不再有 x1≠x2，y1≠y2 的限制，因而此方程可以表示所 有的直线．
解： (1)由点斜式方程得 y－3＝ 3(x－5)， 整理得 3x－y＋3－5 3＝0； y－5 x－－1 (2)由两点式方程得 ＝ ， －1－5 2－－1 整理1， －3 －1 整理得 x＋3y＋3＝0.
2.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程. (1)经过点 B (4,2),平行于 x 轴； (2)在 x 轴和
【解析】 3 ∵直线 l 的方程为 3x＋4y－20＝0，∴kl＝－ . 4 3 (1)设过 A 且与 l 平行的直线为 l1，∵kl＝kl1，∴kl1＝－ . 4 3 ∴l1 的方程为 y－2＝－ (x－2)，即 3x＋4y－14＝0. 4 (2)设过 A 且与 l 垂直的直线为 l2， 3 4 ∵kl· kl2＝－1，∴－4· kl2＝－1，∴kl2＝ . 3 4 ∴l2 的方程为 y－2＝ (x－2)，即 4x－3y－2＝0. 3
自学导引 1．直线的两点式与截距式方程 (1)直线的两点式方程 已知直线 l 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线 l y2－y1 y2－y1 x2－x1 ，代入点斜式方程得 y－y1＝ 的斜率 k＝________ (x－x1)，当 x － x 2 1 y－y1 x－x1 ＝ y1≠y2 时，方程可写为________________ y2－y1 x2－x1 ，这个方程是由直线 l 上 的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式． 说明：若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中有 x1＝x2 或 y1＝y2 时，直线 P1P2 没有两点式方程．当 x1＝x2 时，直线 P1P2 平行于 y 轴，直线 方程为 x－x1＝0 或 x＝x1；当 y1＝y2 时，直线 P1P2 平行于 x 轴，直 线方程为 y－y1＝0 或 y＝y1.
高中数学人教A版必修2一课三测：3.2.2-3 直线的两点式方程 直线的一般式方程
3．2.2 直线的两点式方程 3．2.3 直线的一般式方程填一填1.直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2，y 1≠y 2) A(a,0)，B(0，b)且ab ≠0方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋yb ＝1(1)条件：点P(x ，y)是线段P 1P 2的中点且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．(2)结论：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.3．直线的一般式方程形式 Ax ＋By ＋C ＝0 条件 A ，B 不同时为04.判一判1.过点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1表示．(×)2．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为x a ＋yb＝1.(×)3．能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(√) 4．直线y ＝x 在x 轴和y 轴上的截距均为0.(√) 5．任何直线方程都能表示为一般式．(√)6．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(×)7．对于二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0，B ≠0时，方程表示斜率不存在的直线．(×) 8．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程．(√)想一想1.过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？提示：不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．2．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab ≠0，即有两个非零截距． 3．任何直线方程都能表示为一般式吗？提示：能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． 4．当A ，B 同时为零时，方程Ax ＋By ＋C ＝0表示什么？提示：当C ＝0时，方程对任意的x ，y 都成立，故方程表示整个坐标平面； 当C ≠0时，方程无解，方程不表示任何图象．故方程Ax ＋By ＋C ＝0，不一定代表直线，只有当A ，B 不同时为零时，即A 2＋B 2≠0时才代表直线．思考感悟：练一练1.经过点A(－3,2)，A .y －22＝x ＋37 B .y －2－2＝x －37C .y ＋22＝x －37D .y －2x ＋3＝27答案：A2．斜率为－3，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是( ) A ．3x ＋y ＋6＝0 B ．3x －y ＋2＝0 C ．3x ＋y －6＝0 D ．3x －y －2＝0 答案：C3．已知点P(2，m)在直线3x ＋y ＝2上，那么m 的值是________． 答案：－44．直线x 5－y3＝1在y 轴上的截距为________．答案：－35．已知点A(－3,5)，B(9，－11)，则线段AB 的中点坐标为________． 答案：(3，－3)知识点一 直线的两点式方程1.A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x －y ＋1＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：由两点式得直线l 的方程为y ＋22－(－2)＝x －1－3－1，即y ＋2＝－(x －1)．故选A .答案：A2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C .25D ．2 解析：由直线的两点式方程可得直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即2x －y ＋3＝0，令y ＝0得x＝－32.故选A .答案：A知识点二 直线的截距式方程3.过点A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x －4y ＝0解析：当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为x a ＋ya＝1(a ≠0)，把(4,1)代入，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知，直线方程为x ＋y ＝5或x －4y ＝0.选C . 答案：C4．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一平面直角坐标系中的图象可以是( )解析：将两直线方程化成截距式为l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a＝1，则l 1与x 轴交于(a,0)，与y 轴交于(0，－b)，l 2与x 轴交于(b,0)，与y 轴交于(0，－a)．结合各选项，先假定l 1的位置，判断出a ，b 的正负，然后确定l 2的位置，知A 项符合．选A .答案：A知识点三 直线的一般式方程5.已知直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° C ．60° D ．150°解析：设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ＝13，则θ＝30°.答案：A6．已知直线(m －1)x ＋(m 2＋2m －3)y ＋m ＋2＝0与两坐标轴有且只有一个交点，则m 的值为( )A ．1或－2B ．－3或－2C ．1或－3D ．1或－3或－2解析：因为直线与两坐标轴有且只有一个交点， 所以交点必定为原点或斜率k ＝0或斜率不存在，即m ＋2＝0或m －1m 2＋2m －3＝0或m 2＋2m －3＝0解得：m ＝－2，m ＝－3(m ＝1舍去)，选B . 答案：B7.已知M(A ．(－1,1) B ．(1，－1)C .⎝⎛⎭⎫－52，52D .⎝⎛⎭⎫52，－52 解析：设中点坐标为(a ，b)，则由中点坐标公式可得⎩⎨⎧a ＝－1＋32，b ＝2－42，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 答案：B8．已知△ABC 的三个顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0解析：由中点坐标公式知M(2,4)，N(3,2)，由两点式方程知MN 所在的直线方程为2x ＋y －8＝0.故选A .答案：A9.(1)若直线l 过点Q(－1,6)，求直线l 的方程；(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程．解析：(1)因为直线l 过点P(4,1)，Q(－1,6)，所以直线l 的方程为y －16－1＝x －4－1－4，即x ＋y－5＝0.(2)由题意知直线l 的斜率存在且不为0，所以设直线l 的斜率为k ，则其方程为y －1＝k(x －4)．令x ＝0，得y ＝1－4k ；令y ＝0得x ＝4－1k，所以1－4k ＝2⎝⎛⎭⎫4－1k ，解得k ＝14或k ＝－2. 所以直线l 的方程为y －1＝14(x －4)或y －1＝－2(x －4)，即y ＝14x 或2x ＋y －9＝0.10．直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解析：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等， 所以a ＝2，方程即3x ＋y ＝0；若a ≠2，则a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，所以a ＝0，即方程为x ＋y ＋2＝0，所以a 的值为0或2. (2)因为当直线l 过原点时，y ＝－3x 经过第二象限不合题意，所以直线不过原点，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0，a －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －2a ＋1>0，所以a ≤－1.11.分别求符合条件的直线方程，并化为一般式． (1)经过点(－1,3)，且斜率为－3； (2)经过两点A (0,4)和B (4,0)；(3)经过点(2，－4)且与直线3x －4y ＋5＝0平行； (4)经过点(3,2)，且垂直于直线6x －8y ＋3＝0. 解析：(1)根据条件，写出该直线的点斜式方程为 y －3＝－3(x ＋1)，即y －3＝－3x －3， 整理得其一般式为3x ＋y ＝0.(2)根据条件，写出该直线的截距式为x 4＋y4＝1，整理得其一般式为x ＋y －4＝0.(3)设与直线3x －4y ＋5＝0平行的直线为3x －4y ＋c ＝0，将点 (2，－4)代入得6＋16＋c ＝0，所以c ＝－22.故所求直线的一般式为3x －4y －22＝0.(4)设与直线6x －8y ＋3＝0垂直的直线为8x ＋6y ＋c ＝0，代入点(3,2)得24＋12＋c ＝0，c ＝－36.从而得8x ＋6y －36＝0，即所求直线的一般式为4x ＋3y －18＝0.12．已知△ABC 的三个顶点为A (0,3)，B (1,5)，C (3，－5)． (1)求边AB 所在的直线方程； (2)求中线AD 所在直线的方程．解析：(1)设边AB 所在的直线的斜率为k ，则k ＝5－31－0＝2.它在y 轴上的截距为3.所以，由斜截式得边AB 所在的直线的方程为y ＝2x ＋3.(2)B (1,5)、C (3，－5)，1＋32＝2，5＋(－5)2＝0，所以BC 的中点D (2,0)．由截距式得中线AD 所在的直线的方程为x 2＋y3＝1.基础达标一、选择题1．下列四个命题中的真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示解析：当直线与y 轴重合时，斜率不存在，选项A 、D 不正确；当直线垂直于x 轴或y 轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C 不正确；选项B 正确．故选B.答案：B2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D.答案：D 3．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( ) A ．3x ＋y －6＝0 B ．x ＋3y －10＝0 C ．3x －y ＝0 D ．x －3y ＋8＝0解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1.所以⎩⎨⎧1a ＋3b ＝1，12|ab |＝6，解得a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为3x ＋y －6＝0.故选A.答案：A4．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：因为直线Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，又AB <0，BC <0，所以－A B >0，－CB>0，所以直线过第一、二、三象限，不过第四象限．故选D. 答案：D5．已知m ≠0，则过点(1，－1)的直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率为( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13解析：由题意，得a －3m ＋2a ＝0，所以a ＝m ，又因为m ≠0，所以直线ax ＋3my ＋2a ＝0的斜率k ＝－a 3m ＝－13.故选D.答案：D6．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.故选C.答案：C7．两条直线l 1：ax ＋(1＋a )y ＝3，l 2：(a ＋1)x ＋(3－2a )y ＝2互相垂直，则a 的值是( ) A ．3 B ．－1C ．－1或3D ．0或3解析：因为两条直线l 1：ax ＋(1＋a )y ＝3，l 2：(a ＋1)x ＋(3－2a )y ＝2互相垂直，所以a (a ＋1)＋(1＋a )(3－2a )＝0，解得a ＝－1或a ＝3.所以a 的值是－1或3.故选C.答案：C 二、填空题8．经过A (1,3)和B (a,4)的直线方程为________．解析：当a ＝1时，直线AB 的斜率不存在，所求直线的方程为x ＝1；当a ≠1时，由两点式，得y －34－3＝x －1a －1，即x －(a －1)y ＋3a －4＝0.这个方程中，对a ＝1时方程为x ＝1也满足． 所以，所求的直线方程为x －(a －1)y ＋3a －4＝0. 答案：x －(a －1)y ＋3a －4＝09．已知直线l 经过点P (－2,5)，且与直线4x ＋3y ＋2＝0平行，则直线l 的方程为________． 解析：设直线l 的方程为：4x ＋3y ＋m ＝0，把点P (－2,5)代入可得：－8＋15＋m ＝0，解得m ＝－7.所以直线l 的方程为4x ＋3y －7＝0.答案：4x ＋3y －7＝010．已知直线l 的两点式方程为y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，则l 的斜率为________．解析：由两点式方程y －0－3－0＝x －(－5)3－(－5)，知直线l 过点(－5,0)，(3，－3)，所以l 的斜率为0－(－3)(－5)－3＝－38.答案：－3811．经过点(－2,0)与点 (6,2)的中点，在x 轴上的截距是－2的直线方程是________． 解析：因为点(－2,0)与点(6,2)的中点是(2,1)，所以直线经过(2,1)，(－2,0)两点，由两点式得y －01－0＝x ＋22＋2，即x －4y ＋2＝0. 答案：x －4y ＋2＝012．直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则a 等于________． 解析：显然当a ＝0时，l 1与l 2不平行当a ≠0时，由l 1∥l 2可得－1a ＝－(a －2)3，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝3. a ＝3时，l 1：x ＋3y ＋6＝0，l 2：x ＋3y ＋6＝0，l 1与l 2重合，不符合题意，舍去，经检验知a ＝－1时l 1∥l 2. 答案：－1 三、解答题13．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是－12，经过点A (8，－2)；(2)经过点B (4,2)，平行于x 轴；(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是32，－3；(4)经过两点P 1(3，－2)、P 2(5，－4)．解析：(1)由点斜式得y －(－2)＝－12(x －8)，化成一般式得x ＋2y －4＝0.(2)由斜截式得y ＝2，化成一般式得y －2＝0.(3)由截距式得x 32＋y－3＝1，化成一般式得2x －y －3＝0.(4)由两点式得y ＋2－4－(－2)＝x －35－3，化成一般式得x ＋y －1＝0.14．已知直线l 经过点(7,1)，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程． 解析：当直线l 经过原点时，直线l 在两坐标轴上的截距均等于0，符合题意． 又直线l 过点(7,1)，∴所求直线方程为y ＝17x ，即x －7y ＝0.当直线l 不经过原点时，设其方程为x a ＋yb＝1，由题意可得a ＋b ＝0， ①又l 经过点(7,1)，有7a ＋1b＝1， ②由①②，得a ＝6，b ＝－6，则l 的方程为x6＋y－6＝1，即x －y －6＝0.故所求直线l 的方程为x能力提升15.已知直线l 1：ax ＋3y 2a 的值； (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2；(3)当a 取何值时，直线l 2不过第四象限？解析：由题意可知A 1＝a ，B 1＝3，C 1＝1；A 2＝1，B 2＝a －2，C 2＝a . (1)当l 1∥l 2时， ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝a (a －2)－1×3＝0，B 1C 2－B 2C 1＝3a －(a －2)×1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，2a ＋2≠0， 解得a ＝3.所以，当a ＝3时，l 1∥l 2.(2)当l 1⊥l 2时，A 1A 2＋B 1B 2＝a ×1＋3×(a －2)＝0，即4a －6＝0，解得a ＝32.所以，当a ＝32时，l 1⊥l 2.(3)当a ≠2时，直线l 2的方程可转化为y ＝－1a －2x －aa －2.由于直线l 2不过第四象限，则⎩⎨⎧－1a －2>0，－aa －2≥0，解得0≤a <2，当a ＝2时，直线l 2的方程为x ＝－2，不过第四象限，符合题意． 综上所述，a 的取值范围是[0,2]．16．直线过点P ⎝⎛⎭⎫43，2，且与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线能同时满足下列条件：①△AOB 的周长为12；②△AOB 的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解析：设所求的直线方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)．由已知，得⎩⎨⎧43a ＋2b＝1， ①12ab ＝6， ②a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. ③由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.经验证，只有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3满足③式．所以存在直线满足题意，其方程为x 4＋y3＝1，即3x ＋4y －12＝0.由Ruize收集整理。
3.2.2-3.2.3直线的两点式方程与一般式
注意：。
1．直线 经过点 、 ，则直线 的两点式方程为．
新知2：已知直线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，其中 ，则直线的方程叫做直线的截距式方程．
注意：。
2．直线 交两条坐标轴于 、 ，则直线 的截距式方程为．
1、斜率是 ，经过点 ；经过点 ，平行于 轴；
⑶在 轴和 轴上的截距分别是 ；⑷经过两点 .
四、反馈练习
1．过两点 和 的直线的方程为（）
A． B． C． D．
2．过两点 和 的直线在 轴上的截距为（）
A． B． C． D．
3．已知直线经过点 ，斜率为 ，求直线的点斜截式，求出它斜率及它在两轴的截距。
新知3：关于 的二元一次方程（ 不同时为 ）叫做直线的一般式方程，简称一般式．
注意：。
3．求下列直线的斜率和纵截距．
（1） ；（2） ；（3）
三、典型例题：
例1已知直线经过点 ，斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程.
例2把直线 的一般式方程 化成斜截式，求出直线 的斜率以及它在 轴与 轴上的截距。
【例3】.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
课题
3.2.2～3.2.3直线的两点式方程与一般式
课时
2
学习目标
（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；
（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围．
（3）明确直线方程一般式的形式特征；
重点难点
熟悉直线方程间的互化，能运用直线方程解决简单的问题
一、课前准备：
预习教材 ～ 的内容：
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【创新设计】2014届高考数学 3-2-2~3直线的两点式方程直线的一
般式方程配套训练 新人教A 版必修2
双基达标 限时20分钟
1．经过点A (2,5)，B (－3,6)的直线在x 轴上的截距为( )．
A ．2
B ．－3
C ．－27
D ．27
解析 由两点式得直线方程为x ＋32＋3＝y －65－6
， 即x ＋5y －27＝0，令y ＝0得x ＝27.
答案 D
2．过点A (5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程为( )．
A ．x －y －3＝0
B ．2x －5y ＝0
C ．2x －5y ＝0或x －y －3＝0
D ．2x ＋5y ＝0或x ＋y －3＝0
解析 设直线在x 轴上的截距为a ，则在y 轴上的截距为－a .
若a ＝0，则直线过原点，其方程为2x －5y ＝0.
若a ≠0，则设其方程为x a ＋y
－a
＝1， 又点(5,2)在直线上，∴5a ＋2－a
＝1，∴a ＝3. 所以直线方程为x －y －3＝0.
综上直线l 的方程为2x －5y ＝0或x －y －3＝0.
答案 C
3．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若l 过原点和第二、四象限，则( )．
A ．C ＝0，且
B ＞0
B ．
C ＝0，B ＞0，A ＞0 C ．C ＝0，AB ＜0
D ．C ＝0，AB ＞0 解析 直线过原点，则C ＝0，又过第二、四象限，所以斜率为负值，即k ＝－A B
＜0，∴AB ＞0，故选D.
答案 D
4．(2012·海门高一检测)直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点A (6，－
2)，则直线l 方程为________．
解析 设在y 轴上的截距为a (a ≠0)，
∴方程为x a ＋1＋y a
＝1， 代入点A ，得
6a ＋1－2a ＝1， 即a 2－3a ＋2＝0，
∴a ＝2或a ＝1，
∴方程为：x 2＋y ＝1或x 3＋y 2
＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0.
答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋3y －6＝0
5．直线(2－m )x ＋my ＋3＝0与直线x －my －3＝0垂直，则m 为________．
解析 由直线方程可知，当一条直线的斜率不存在时，不存在m 使两直线垂直，所以两直线的斜率都存在．由k 1·k 2＝－1，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－ 2－m m ·1m
＝－1，解得m ＝－2或m ＝1. 答案 －2或1
6．求平行于直线3x ＋2y －6＝0，且在两坐标轴上截距之和为－2的直线方程．
解 设所求直线的方程为3x ＋2y ＋λ＝0，令x ＝0，则y ＝－λ2，令y ＝0，则x ＝－λ3
， 所以－λ2－λ3＝－2，解之得λ＝125.所求直线方程为3x ＋2y ＋125
＝0，即15x ＋10y ＋12＝0.
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7．直线ax ＋by －1＝0(ab ≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )．
A.12ab
B.12|ab |
C.12ab
D.12|ab |
解析 令x ＝0，得y ＝1b
； 令y ＝0，得x ＝1a
； S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1b ＝1
2|ab |
.故选D. 答案 D
8．在y 轴上的截距为－1，且倾斜角是直线3x －y －3＝0的倾斜角的2倍的直线方程是
( )． A.3x ＋y ＋1＝0 B.3x ＋y －1＝0 C.3x －y ＋1＝0 D.3x －y －1＝0
解析 由3x －y －3＝0得y ＝3x －3，所以其斜率为3，倾斜角为60°，所以所求直线的倾斜角为120°，其斜率为－3，所以其方程为y ＝－3x －1，即3x ＋y ＋1＝0. 答案 A
9．已知直线l 经过点A (－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．
解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a,0)，(0，b )，
由题意知：a ＋02＝－4，∴a ＝－8；
b ＋02＝－2，∴b ＝－4.
∴直线l 的方程为：
x －8＋y
－4＝1， 即x ＋2y ＋8＝0.
答案 x ＋2y ＋8＝0 10．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．
解析 ∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，
∴2a 1＋b 1＋1＝0.
由此可知点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0.
∵点A (2,1) 在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，
∴2a 2＋b 2＋1＝0.
由此可知点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0.
∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0.
答案 2x ＋y ＋1＝0
11．(2012·东北师大高一检测)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：
(1)平行；(2)垂直．
解 法一 当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0，l 1与l 2相交且不垂直；
当m ≠0时，l 1：y ＝－1m x －6m ，l 2：y ＝－m －23x －2m 3
. (1)l 1∥l 2⇔－1m ＝－m －23且－6m ≠－2m 3
，解得m ＝－1. ∴当m ＝－1时，l 1∥l 2.
(2)l 1⊥l 2⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m －23＝－1，解得m ＝12.
∴当m ＝12
时，l 1⊥l 2. 法二 (1)l 1∥l 2⇔1×3－m ·(m －2)＝0且1·(2m )－6·(m －2)≠0，解得m ＝－1.∴当m ＝－1时，l 1∥l 2.
(2)l 1⊥l 2⇔1·(m －2)＋m ·3＝0，解得m ＝12
. ∴当m ＝12
时，l 1⊥l 2. 12．(创新拓展)已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．直线l 平行于AB ，且
分别交AC ，BC 于E ，F ，且△CEF 的面积是△ABC 的面积的14
. (1)求点E ，F 的坐标；(2)求直线l 的方程．
解 (1)设点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，
因为直线EF ∥AB ，且△CEF 的面积是△ABC 的面积的14
， 所以E ，F 分别为边AC ，BC 的中点，
由中点坐标公式可得点E 的坐标为x 1＝－1＋12＝0，y 1＝－1＋62＝52
， 点F 的坐标为x 2＝3＋12＝2，y 2＝1＋62＝72
， 所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，72. (2)因为点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，72， 由两点式方程，可得直线l 的方程为y －
5272－52＝x －02－0， 即x －2y ＋5＝0.。