2022-2021学年高中数学人教B版选修2-1学业测评：1.1.1 命题

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在空间中，下列命题正确的是()
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同始终线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质知，D为真命题．
【答案】 D
2．下列命题中是假命题的是()
A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若α＝60°，则cos α＝1 2
【解析】由于|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不肯定成立，故选B. 【答案】 B
3．下列四个命题中，真命题是()
【导学号：15460001】
A．a＞b，c＞d⇒ac＞bd
B．a＜b⇒a2＜b2
C.1
a＜
1
b⇒a＞b
D．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d
【解析】可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．
【答案】 D
4．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则下列四个命题为真命题的是() A．在a，b，c，d中有且仅有一个是负数
B．在a，b，c，d中有且仅有两个是负数
C．在a，b，c，d中至少有一个是负数
D．在a，b，c，d中都是负数
【解析】举例取特殊值，验证可知C是真命题．
【答案】 C
5．下面的命题中是真命题的是()
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则
c
a＞0
C．若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝3
D．在△ABC中，若AB
→
·BC
→
＞0，则B为锐角
【解析】A中，y＝sin2x＝
1－cos 2x
2
，T＝2π
2
＝π，故A为假命题；C中，∵a∥b，∴1
－2
＝
k
6
，得k＝－3，故C为假命题；D中，当AB→·BC→＞0时，向量AB→与BC→的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．
【答案】 B
二、填空题
6．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．
【解析】②中四条边相等的四边形是菱形，不肯定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①④正确．
【答案】①④
7．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③老师写的粉笔字真秀丽！④若x∈R，则x2＋4x＋5＞0.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
【解析】①是命题，且是假命题，由于空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③该语句是感叹句，不是命题；④是命题，由于x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题．
【答案】①④④
8．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④直线l与α垂直的等价条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号为________(写出全部真命题的序号).
【导学号：15460002】
【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知，①②正确；当两平面斜交时，在α内的直线可以与交线垂直，故③不对；只有直线l与α内的两条相交直线垂直时，直线l与α垂直，故④不对．
【答案】①②
三、解答题
9．推断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？
(1)2＋22是有理数；
(2)1＋1>2；
(3)2100是个大数；
(4)968能被11整除；
(5)非典型性肺炎是怎样传播的？
【解】(1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．由于(1)(2)(4)都可以推断真假，且为陈述句；
(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法推断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．
10．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断真假．
(1)等腰梯形的两条对角线相等；
(2)平行四边形的两条对角线相互垂直．
【解】(1)若一个梯形是等腰梯形，则它的两条对角线相等．真命题．
(2)若一个四边形是平行四边形，则它的两条对角线相互垂直．假命题．
[力量提升]
1．若a，b∈R，且a2＋b2≠0，则下列命题：①a，b全为0；②a，b不全为0；③a，b全不为0；④a，b至少有一个不为0.其中真命题的个数为()
A．0B．1
C．2D．3
【解析】②④为真命题．
【答案】 C
2．给出下列命题：
①在△ABC中，若∠A>∠B，则sin A>sin B；
②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；
③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；
④若将函数y＝sin 2x的图象向左平移
π
4个单位，则得到函数y＝sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x＋
π
4的图象．其中真命题的序号是()
A．①②B．①②③
C．①③④D．①②③④
【解析】①②③是真命题．
【答案】 B
3．设a，b为正实数．现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若
1
b－
1
a＝1，则a－b<1；③若|a－b|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.
其中的真命题有________．(写出全部真命题的序号)
【解析】将条件方程变形分析．
①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，
则必有a＋b>1，不合题意，故①正确．
②中，1
b －1
a
＝
a－b
ab
＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝2
3
满足上式，但a－b＝4
3>1，
故②错．
③中，a，b为正实数，所以a＋b>|a－b|＝1，且|a－b|＝|(a＋b)(a－b)|＝|a＋b |>1, 故③错．
④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|·
(a2＋ab＋b2)＝1.
若|a－b|≥1，不妨取a>b>1，则必有a2＋ab＋b2>1，不合题意，故④正确．
【答案】①④
4．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．
(1)当m>1
4时，方程mx
2－x＋1＝0无实根；
(2)平行于同一平面的两条直线平行．
【解】(1)命题可改写为：若m>1
4
，则mx2－x＋1＝0无实根．
由于当m>1
4
时，Δ＝1－4m<0，
所以是真命题．
(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们相互平行．
由于平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题.。